2.10 函数模型及其应用 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，依据课标要求覆盖指数、对数、一次函数增长差异，“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”理解及模型选择等核心考点，通过表格梳理7类函数模型、对比3种增长性质，对接高考评价体系，明确图象辨析、模型应用、建模求解等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题引领+模型建构+素养落地”，如2025北京高考题用对数函数模型突破“数据量与训练时间”问题，培养数学思维；通过分段函数、均值不等式等方法指导应试，帮助学生用数学语言表达实际问题，提升得分率，为教师提供系统复习框架与学情诊断工具。

第10节　函数模型及其应用 课标要求 1. 了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异. 2. 理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义. 3. 能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会 生活中的广泛应用. 01 PART 夯实必备知识 目 录 知识梳理 1. 几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f（x）＝ax＋b（a，b为常数，a≠0） 反比例函数模型 f（x）＝ ＋b（k，b为常数，k≠0） 二次函数模型 f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0） 高中总复习·数学 目 录 指数函数模型 f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且 a≠1） 对数函数模型 f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0 且a≠1） 幂函数模型 f（x）＝axn＋b（a，b，n为常数，a≠0，n≠0） 对勾函数模型 y＝ax＋ （a，b为常数，ab＞0） 高中总复习·数学 目 录 2. 三种函数性质比较 类别 y＝ax（a＞1） y＝logax（a＞1） y＝xn（n＞0） 在（0，＋ ∞）上的单调性 ⁠ ⁠ ⁠ 增长速度 ⁠ ⁠ 相对平稳 图象的变化 随x值增大， 图象与 ⁠接 近平行 随x值增大， 图象与 ⁠接 近平行 随n值的变化而各 有不同 单调递增 单调递增 单调递增 越来越快 越来越慢 y轴　 x轴　 高中总复习·数学 目 录 提醒：“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢 后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快 后慢，其增长速度缓慢. 高中总复习·数学 目 录 诊断自测 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）函数y＝2x的函数值恒比y＝x2的函数值大. （　×　） （2）幂函数的增长速度比一次函数的增长速度快. （　×　） （3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数 模型. （　×　） × × × 高中总复习·数学 目 录 2. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据： x 0.24 0.51 1 2.02 3.98 8.02 y －2.0 －1.0 0 1.0 2.0 3.0 在下列四个函数模型中，最能反映x，y函数关系的是（　　） A. y＝a＋bx B. y＝a＋bx C. y＝a＋logbx D. y＝a＋ √ 解析： 　作出散点图如图所示，由散点图可知，散点图和 对数函数图象接近，故y＝a＋logbx最能反映x，y的函数关系. 高中总复习·数学 目 录 3. 某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越 快，后3年年产量保持不变，则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随 时间t变化的图象是（　　） √ 解析： 　∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当0≤t≤3时，随着t的 增大c的增长速度越来越快，c关于t的函数图象下凹.又后3年年产量保持 不变，∴当3＜t≤6时，c随着t的增大保持固定的增长速度.故选A. 高中总复习·数学 目 录 4. 某商品在最近30天内的价格f（t）与时间t（单位：天）的函数关系是f （t）＝t＋10（0＜t≤30，t∈N），销售量g（t）与时间t的函数关系是 g（t）＝－t＋35（0＜t≤30，t∈N），则这种商品的日销售金额的最大 值是 ⁠. 解析：日销售金额y＝（－t＋35）（t＋10）＝－（t－ ）2＋350＋ ，∵t∈N，∴t＝12或13时，ymax＝506. 506　 高中总复习·数学 目 录 02 PART 研透核心考点 目 录 用函数图象刻画实际问题的变化过程（基础自学过关） 1. 如图所示，圆柱形水槽内放了一个圆柱形烧杯，向放在水槽底部的烧杯 注水（流量一定），注满烧杯后，继续注水，直至注满水槽，水槽中水面 上升高度h与注水时间t之间的函数关系大致是（　　） √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　开始注水时，水注入烧杯中，水槽内无水，高度不变；烧杯内 注满水后，继续注水，水槽内水面开始上升，且上升速度较快；当水槽内 水面和烧杯水面持平以后，继续注水，水槽内水面继续上升，且上升速度 减慢.故选D. 高中总复习·数学 目 录 2. 已知正方形ABCD的边长为4，动点P从点B开始沿折线BCDA向点A运 动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积为S，则函数S＝f（x）的图象 是（　　） √ 解析： 依据题意，有S＝f（x）＝ 则函数S＝f （x）的图象是由三段折线段构成，故排除选项A、B、C，故选D. 高中总复习·数学 目 录 3. 〔多选〕血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度.药物在人体 内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中 毒浓度之间.已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关 信息如图所示： 根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中，正确的是（　） 高中总复习·数学 目 录 A. 首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用 B. 每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒 C. 每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用 D. 首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物 中毒 √ √ √ 高中总复习·数学 目 录 解析： 　从图象中可以看出，首次服用该药物1单位约10分钟后药物 发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用该药物1单位约1小时后 的血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一 定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓 度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确； 第1次服用该药物1单位4小时后与第2次服用该药物1单位1小时后，血药浓 度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误. 高中总复习·数学 目 录 用函数图象刻画变化过程的2种方法 （1）构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模 型，再结合模型选图象； （2）验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变 化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情 况的答案. 高中总复习·数学 目 录 已知函数模型解决实际问题（师生共研过关） （1）（2025·北京高考9题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训 练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N（单位：小时），其中k为常 数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位 时，训练时间增加20小时；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到 4.096×109个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　B　） A. 2 B. 4 C. 20 D. 40 B 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意得训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时， 训练时间增加20小时，即k·log2（1.024×109）－k·log2106＝k·log21 024＝ 10 k＝20，解得k＝2，则T＝2log2N. 所以当训练数据量N从1.024×109个 单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加2 log2（4.096×109）－ 2log2（1.024×109）＝2log24＝4小时，故选B. 高中总复习·数学 目 录 （2）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内 甲醛浓度≤0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲 醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲 醛浓度μ（t）（单位：mg/m3）与竣工后保持良好通风的时间t（t∈N） （单位：天）近似满足函数关系式μ（t）＝λ ＋0.05（λ∈R），则 该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的 时间为（参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1，ln 5≈1.6）（　C　） A. 32天 B. 33天 C. 34天 D. 35天 C 高中总复习·数学 目 录 解析：依题意可知当t＝0时，μ（t）＝6.05，即6.05＝λ ＋0.05，解 得λ＝6，所以μ（t）＝6 ＋0.05，由μ（t）＝6 ＋0.05≤0.1， 得 ≤ ，即－ ≤ln ，即 ≥ln 120＝3ln 2＋ln 3＋ln 5≈3×0.7＋ 1.1＋1.6＝4.8，所以t≥33.6，又t∈N，所以tmin＝34，故至少需要放置 的时间为34天. 高中总复习·数学 目 录 根据给定函数模型解决实际问题的技巧 （1）认清函数模型，明确其中的变量，弄清楚哪些为待定系数； （2）根据已知条件，确定模型中的待定系数； （3）分析函数模型，借助函数的性质解决相关问题. 高中总复习·数学 目 录 训练1 （1）异速生长规律描述生物的体重与其他生理属性之间的非线性数 量关系通常以幂函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x 满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程 中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的 8倍，则α＝（　D　） A. B. C. D. D 高中总复习·数学 目 录 解析：设初始状态为（x1，y1），则x2＝16x1，y2＝8y1，又y1＝k ，y2 ＝k ，所以8y1＝k（16x1）α＝k·16α ，故 ＝ ，即24α＝ 23，所以4α＝3，故α＝ .故选D. 高中总复习·数学 目 录 （2）某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）＝x2＋4x ＋16（单位：万元），每件商品售价为28元，假设每月所生产的产品能全 部售完.当月所获得的总利润用w（x）（单位：万元）表示，用 表 示当月生产商品的单件平均利润，则下列说法正确的是（　D　） A. 当生产12万件时，当月能获得最大总利润144万元 B. 当生产12万件时，当月能获得最大总利润160万元 C. 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为24元 D. 当生产4万件时，当月能获得单件平均利润最大为16元 D 高中总复习·数学 目 录 解析： 由题意可得w（x）＝28x－C（x）＝－x2＋24x－16＝－（x－ 12）2＋128，故当x＝12时，w（x）取得最大值128. ＝ ＝24－（x＋ ）≤24－2 ＝16，当且仅当x＝4时，等号成立.因 此，当生产12万件时，当月能获得最大总利润128万元，当生产4万件时， 当月能获得单件平均利润最大为16元.故选D. 高中总复习·数学 目 录 构建函数模型解决实际问题（师生共研过关） （1）（2026·重庆调研）酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保 障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量大于或者等于20 mg且小于80 mg认定为饮酒驾车，大于或者等于80 mg认定为醉酒驾车.假 设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.6 mg/mL. 如果停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那 么他至少经过 个小时后才能驾驶？（结果取整数.参考数据：lg 3≈0.48，lg 7≈0.85） 4　 高中总复习·数学 目 录 解析：设经过x小时后才能驾驶，由题意得60（1－30%）x＜20.化简得 0.7x＜ ，则lg 0.7x＜lg ，即xlg 0.7＜lg ，因为lg 0.7＜0，所以x＞ ＝ ≈ ＝3.2，所以他至少经过4个小时后才能驾驶. 高中总复习·数学 目 录 （2）在城市旧城改造中，某小区为了升级居住环境，拟在小区的闲置地 中规划一个面积为200 m2的矩形区域（如图所示），按规划要求：在矩形 内的四周安排2 m宽的绿化，绿化造价为200元/m2，中间区域地面硬化以方 便后期放置各类健身器材，硬化造价为100元/m2，设矩形的长为x m，当x 取何值时，总造价y（单位：元）最低，并求出最低总造价. 高中总复习·数学 目 录 解：由矩形的长为x m，得矩形的宽为 m，则中间区域的长为（x－4） m，宽为 m，x∈（4，50）. 故y＝100（x－4） ＋200×［200－（x－4）（ －4）］＝18 400＋400 ，x∈（4，50）. 因为x＋ ≥2 ＝20 ，当且仅当x＝ ，即x＝10 ∈（4， 50）时取等号. 所以当x＝10 时，总造价最低为（18 400＋8 000 ）元. 高中总复习·数学 目 录 构建函数模型解决实际问题的步骤 （1）建模：抽象出实际问题的数学模型； （2）推理与运算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数 学意义上的解； （3）评价与解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价与解释， 并返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解. 高中总复习·数学 目 录 训练2 （2025·江苏苏州期末）“活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经 济效益好的特点.研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定条件 下，每尾鱼的平均生长速度v（单位：千克/年）是养殖密度x（单位：尾/ 立方米）的函数.当x不超过4尾/立方米时，v的值为2千克/年；当 4≤x≤20时，v是x的一次函数；当x达到20尾/立方米时，因缺氧等原 因，v的值为0千克/年. （1）当0＜x≤20时，求函数v关于x的函数表达式； 高中总复习·数学 目 录 解： 依题意，当0＜x≤4时，v（x）＝2； 当4＜x≤20时，v（x）是关于x的一次函数，假设v（x）＝ax＋b （a≠0）， 则 解得 所以v（x）＝ 高中总复习·数学 目 录 （2）当养殖密度x为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以 达到最大？并求出最大值. 解：设鱼的年生长量为f（x），则f（x）＝x·v（x）， 当0＜x≤4时，v（x）＝2⇒f（x）＝x·v（x）＝2x，f（x）单调递 增，f（x）max＝f（4）＝8； 当4＜x≤20时，v（x）＝－0.125x＋2.5⇒f（x）＝－0.125x2＋2.5x， 当x＝－ ＝10时，f（x）max＝f（10）＝12.5. 因为12.5＞8，所以当x＝10时，鱼的年生长量可以达到最大，最大值为 12.5千克/立方米. 高中总复习·数学 目 录 03 PART 课时跟踪检测 （时间：60分钟，满分：85分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 目 录 1. （2025·湖南衡阳一模）有一货船从石塘沿水路顺水航行，前往河口， 途中因故障停留一段时间，到达河口后逆水航行返回石塘.假设货船在静 水中的速度不变，水流速度不变，若该货船从石塘出发后所用的时间为x （单位：小时），货船距石塘的距离为y（单位：千米），则下列各图 中，能反映y与x之间函数关系的大致图象是（　　） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 解析： 　分析图象可知选项A正确.故选A. 高中总复习·数学 目 录 2. 如图是根据国家卫生健康委员会2025年6月发布的《中国7岁以下儿童生 长发育参照标准》绘制的我国7岁以下女童身高（长）的中位数散点图， 下列可近似刻画身高y（单位：cm）随年龄x（单位：岁）的变化规律的 函数模型是（　　） A. y＝mx＋n（m＞0） B. y＝m ＋n（m＞0） C. y＝max＋n（m＞0，a＞1） D. y＝mlog4x＋n（m＞0） √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析： 　对于A，由题中散点图知身高y随时间x的变化不是线性增长， 故A错误；对于B，y随x的增长越来越慢，且在x＝0时有意义，符合题 图，故B正确；对于C，指数函数模型中y随x的增长越来越快，与题图不 符合，故C错误；对于D，对数函数模型在x＝0时没有意义，故D错误.故 选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 3. 〔一题多解〕当2＜x＜4时，2x，x2，log2x的大小关系是（　　） A. 2x＞x2＞log2x B. x2＞2x＞log2x C. 2x＞log2x＞x2 D. x2＞log2x＞2x √ 解析： 　法一　在同一坐标系中画出函数y＝log2x，y＝ x2，y＝2x的图象如图所示，在区间（2，4）内从上往下依 次是y＝x2，y＝2x，y＝log2x的图象，∴x2＞2x＞log2x. 故选B. 法二　取x＝3，经检验知B正确.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 4. （2026·辽宁沈阳模拟）某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案： 当销售利润不超过8万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过 8万元时，若多出的部分为A万元，则多出的部分按log5（2A＋1）进行奖 励.记奖金为y（单位：万元），销售利润为x（单位：万元）.如果业务员 小江获得3.2万元的奖金，那么他的销售利润是（　　） A. 15万元 B. 25万元 C. 30万元 D. 20万元 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析： 　由题意知，当0≤x≤8时，y＝0.15x；当x＞8时，y＝8×0.15 ＋log5[2（x－8）＋1]＝1.2＋log5（2x－15），所以y＝ 当0≤x≤8时，ymax＝0.15×8＝1.2＜3.2， 故小江的销售利润x＞8，所以1.2＋log5（2x－15）＝3.2，解得x＝20， 所以小江的销售利润是20万元.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 5. （2025·湖北武汉部分学校调研）某企业在生产中为倡导绿色环保的理 念，购入污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的 剩余污染物数量N（单位：mg/L）与时间t（单位：h）的关系为N＝N0e－ kt，其中N0为初始污染物的数量，k为常数.若在某次过滤过程中，前2个小 时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6个小时共能过滤掉污染物的（　　） A. 49% B. 51% C. 65.7% D. 72.9% √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析： 　当t＝2时，N＝（1－30%）N0＝0.7N0，因为N＝N0e－kt， 所 以0.7N0＝N0e－2k，所以e－2k＝0.7.当t＝6时，N＝N0e－6k＝N0（e－2k）3 ＝0.73N0＝0.343N0，所以前6个小时共能过滤掉污染物的 ×100%＝65.7%，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 6. 〔多选〕（2026·辽宁名校联盟模拟）震级是以地震仪测定的每次地震 活动释放的能量多少来确定的，我国目前使用的震级标准是国际上通用的 里氏分级表，共分9个等级，其中能量E（单位：焦耳）与里氏震级M的 对应关系为lg E＝4.8＋1.5M，则（　　） A. 若某次地震的震级不超过2级，则产生的能量低于108焦耳 B. 若某次地震的震级超过4级，则产生的能量高于1010焦耳 C. 5级地震的能量是4级地震的能量的100倍 D. 3级地震的能量是7级地震的能量的 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析： 　记i级地震的能量为Ei，若M≤2，则lg E＝4.8＋ 1.5M≤7.8，所以E≤107.8＜108，故A项正确；若M＞4，则lg E＝4.8＋ 1.5M＞10.8，所以E＞1010.8＞1010，故B项正确；lg E5－lg E4＝4.8＋ 1.5×5－4.8－1.5×4＝1.5，则 ＝101.5≠100，故C项错误；lg E3－lg E7 ＝4.8＋1.5×3－4.8－1.5×7＝－6，则 ＝ ，故D项正确.故选A、 B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 7. “好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线 的.已知某品牌商品广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝a （a为常数），广告效应为D＝a －A. 那么精明的商人为了取得最大 的广告效应，投入的广告费应为 （用常数a表示）. 解析：令t＝ （t≥0），则A＝t2，∴D＝at－t2＝－ ＋ a2，∴当t＝ a，即A＝ a2时，D取得最大值. a2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 8. 物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温 度是T0，经过一定时间t（单位：min）后的温度是T，则T－Ta＝（T0－ Ta）（ ，其中Ta称为环境温度，h为常数.现有一杯用85 ℃的热水冲 的速溶咖啡，放在21 ℃的房间中，如果咖啡降到37 ℃需要16 min，那么这 杯咖啡要从37 ℃降到25 ℃，还需要 min. 解析：由题意知Ta＝21 ℃.令T0＝85 ℃，T＝37 ℃，得37－21＝（85－ 21）·（ ，解得h＝8.令T0＝37 ℃，T＝25 ℃，则25－21＝（37－ 21）·（ ，解得t＝16. 16　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 9. （13分）某专营店经销一种小袋装地方特色桃酥食品，每袋桃酥的成本 为6元，预计当一袋桃酥的售价为x元（9≤x≤11）时，一年的销售量为 万袋，并且全年该桃酥食品共需支付3x万元的管理费，一年的利润＝ 一年的销售量×售价－（一年销售桃酥的成本＋一年的管理费）（单位： 万元）. （1）求该专营店一年的利润L（单位：万元）与每袋桃酥食品的售价x的 函数解析式； 解：由题意知，该专营店一年的利润L（单位：万元）与售价x的函 数解析式为L＝ ·x－（6× ＋3x）＝ －3x，x∈[9，11]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 （2）当每袋桃酥的售价为多少元时，该专营店一年的利润L最大，并求出 L的最大值. 解： L＝ －3x＝48－ －3（x－5）－15＝33－ －3 （x－5）， 因为9≤x≤11，所以 ＋3（x－5）≥2 ＝24，当且仅 当 ＝3（x－5），即x＝9时，取等号，此时L最大，为9万元. 故当每袋桃酥的售价为9元时，该专营店一年的利润最大，且最大利润为9 万元. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 10. （2026·福建福州模拟）当药品A注射到人体内，它在血液中的残余量 会以每小时25%的速度减少，另一种药物B注射到人体内，它在血液中的 残余量会以每小时10%的速度减少.现同时给两位患者分别注射800 mg药品 A和500 mg药品B，当两位患者体内药品的残余量恰好相等时，所经过的时 间约为（参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477）（　　） A. 0.57 h B. 1.36 h C. 2.58 h D. 3.26 h √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析： 　设经过t h后两位患者体内药品的残余量恰好相等，由题意得 800×（1－25%）t＝500×（1－10%）t，整理得（ ）t＝ ，两边取常用 对数得tlg ＝lg ，即t（lg 5－lg 6）＝lg 5－lg 8，即t（1－2lg 2－lg 3） ＝1－4lg 2，所以t＝ ≈ ≈2.58，所以大约经过2.58 h，两位患者体内药品的残余量恰好相等.故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 11. 〔多选〕（2023·新高考Ⅰ卷10题）噪声污染问题越来越受到重视.用声 压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0（p0＞0） 是听觉下限阈值，p是实际声压.下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 A. p1≥p2 B. p2＞10p3 C. p3＝100p0 D. p1≤100p2 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别 为p1，p2，p3，则（　　） √ √ √ 解析： 　由Lp＝20×lg ，得p＝p0×1 .由题表中的数据可知 p0×103≤p1≤p0×1 ，p0×1 ≤p2≤p0×103，p3＝p0×102＝100p0， 故A、C正确；因为10p3＝10×100p0＝p0×103≥p2，故B错误；因为 p0×1 ≤100p2≤p0×105，所以p1≤100p2，故D正确.故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 12. （2026·辽宁葫芦岛模拟）某景区套票原价300元/人，如果多名游客组 团购买套票，现有如下两种优惠方案供选择：方案一：若人数不低于10， 则票价打9折，若人数不低于50，则票价打8折；若人数不低于100，则票 价打7折.不重复打折.方案二：按原价计算，总金额每满5 000元减1 000 元.已知一个旅游团有47名游客，若可以两种方案搭配使用，则这个旅游 团购票总费用的最小值为 元. 11 710　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解析：方案一：满10人可打9折，则单人票价为270元，方案二：满5 000元 减1 000元，按原价计算 ≈16.7，则满5 000元至少需凑齐17人， 17×300－1 000＝5 100－1 000＝4 100，则单人票价为 ≈241.满10 000 元时， ≈33.3，则需34人，单人票价为241元，满15 000元时， ＝50，人数不足.因为241＜270，所以用方案二先购买34张票，剩余13人 不满足方案二，但满足方案一，所以总费用的最小值为34×300－2 000＋ 13×300×0.9＝11 710（元）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 13. （15分）（2025·广西南宁月考）为践行“绿水青山，就是金山银山” 的理念，某省决定净化闽江上游水域的水质.省环保局于2024年年底在闽 江上游水域投入一些蒲草，这些蒲草在水中的蔓延速度越来越快，2025年 2月底测得蒲草覆盖面积为36 m2，2025年3月底测得蒲草覆盖面积为48 m2，蒲草覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函 数模型y＝kax（k＞0，a＞1）与y＝mx2＋n（m＞0）可供选择. （1）分别求出两个函数模型的解析式； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 解： 对于模型y＝kax（k＞0，a＞1）， 由题意得 解得a＝ ，k＝ ， 故函数模型为y＝ ·（ ）x. 对于模型y＝mx2＋n（m＞0），由题意得 解得m＝ ， n＝ ， 故函数模型为y＝ x2＋ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 （2）若2024年年底测得蒲草覆盖面积为20 m2，从上述两个函数模型中选 择更合适的一个模型，说明理由，并估算至少到哪一年的几月底蒲草覆盖 面积能达到810 m2.（参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48） 解： 把x＝0代入y＝ ·（ ）x，可得y＝ ＝20.25， 把x＝0代入y＝ x2＋ ，可得y＝ ＝26.4，可知26.4与20相差比 较大， 故选择函数模型y＝ ·（ ）x更合适. 令 ·（ ）x≥810，可得（ ）x≥40，两边取常用对数可得xlg ≥lg40， 即x≥ ＝ ≈ ≈13.33， 故至少到2026年2月底蒲草覆盖面积能达到810 m2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 高中总复习·数学 目 录 $