函数模型及其应用课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数模型及其应用”专题，覆盖二次函数、分式函数、分段函数、指数对数函数等核心模型，依据高考评价体系梳理审题、建模、解模、还原四步解题流程，结合2023新课标Ⅰ卷噪声污染、2025北京卷AI训练时间等真题，明确各类模型在实际应用中的高频考点分布，归纳选择函数模型、求解最值等常考题型。 课件亮点在于“真题情境+模型建构+素养落地”的备考设计，如以二次函数跳水曲线为例，用数学思维分析顶点坐标与定义域关系，通过指数函数蓝藻增长问题培养数学语言表达能力，特设函数模型选择易错点分析，帮助学生掌握实际问题转化技巧，教师可据此开展针对性训练，提升学生用数学眼光解决实际问题的能力，助力高效备考。

第三章 3.9　函数模型及其应用 函数、导数及其应用 复习目标　1．了解常见函数的性质．2．了解常见函数模型在社会生活中的广泛应用． 内容索引 内容索引 核心体系 活动方案 核 心 体 系 内容索引 函数应用问题的解题四步骤： 1．审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择函数模型； 2．建模：将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的函数模型； 3．解模：求解函数模型，得出数学结论； 4．还原：将数学结论还原为实际意义的问题． 内容索引 以上过程用框图表示如下： 内容索引 活 动 方 案 内容索引 活动一　基础引入 1 [2025长春期中]在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，已知经过30天后，该湖泊的蓝藻数大约为原来的6倍，则经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的 (　　) A．12倍　 B．18倍 C．36倍　 D．48倍 C 【解析】设湖泊原来的蓝藻数为x．由题意，得x(1＋6.25%)30≈6x，则x(1＋6.25%)60＝x[(1＋6.25%)30]2≈36x，故经过60天后该湖泊的蓝藻数大约为原来的36倍． 内容索引 A．265年　 B．266年 C．276年　 D．277年 D 内容索引 3 [2025安庆期末]已知从甲地到乙地的距离约为240km，经多次实验得到一辆汽车每小时耗油量Q(单位：L)与速度v(单位：km/h)(0≤v ≤120)的数据如下表： 为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是 (　　) A．Q＝0.5v＋a B．Q＝av＋b C．Q＝av3＋bv2＋cv D．Q＝klogav＋b C v 0 40 60 80 120 Q 0.000 6.667 8.125 10.000 20.000 内容索引 【解析】作出散点图如图所示．由图可知函数模型满足：第一，定义域为[0，120]；第二，在定义域内单调递增且单位增长率变快；第三，函数图象过原点．对于A，函数Q＝0.5v＋a在定义域内单调递减，故A错误；对于B，函数Q＝av＋b的单位增长率 恒定不变，故B错误；对于C，Q＝av3＋bv2＋cv满足上述三点，故C正确；对于D，函数Q＝klogav＋b在v＝0处无意义，故D错误． 内容索引 4 某种商品进价为4元/件，当日均零售价为6元/件时，日均销售100件，当单价每增加1元，日均销量减少10件，试计算该商品在销售过程中，若每天固定成本为20元，则单价为______元/件时，日利润最大． 10 【解析】设单价为(6＋x)元/件，则日均销售量为(100－10x)件，故日利润y＝(6＋x－4)(100－10x)－20＝－10x2＋80x＋180＝－10(x－4)2＋340(0≤x＜10)，所以当x＝4时，ymax＝340，即单价为10元/件时，日利润最大． 内容索引 (1) 用速度v表示动车每小时的运输成本，并指出v的取值范围； (2) 用速度v表示全程运输成本y； (3) 求全程运输成本的最小值及此时动车的行驶速度． 内容索引 内容索引 内容索引 活动二　典例悟法 题组一　二次函数模型 　　　 某跳水运动员在一次跳水训练时的跳水曲线为如图所示的抛物线中的一段．已知跳水板AB的长为2 m，跳水板距水面CD的高BC为3 m．为了安全和空中姿态优美，训练时跳水曲线应在离起跳点A处h m (h≥1)(水平距离)时达到距水面的最大高度为 4 m．规定：以CD为横轴，BC为纵轴建立平面直角坐标系． 1 (1) 当h＝1时，求跳水曲线所在的抛物线方程； (2) 若跳水运动员在区域EF内入水时才能达到 比较好的训练效果，求此时h的取值范围． 内容索引 【解析】(1) 由题意，得点A(2，3)． 当h＝1时，顶点坐标为(3，4)． 设抛物线方程为y＝m(x－3)2＋4(m＜0)． 将点A(2，3)代入，得3＝m＋4，解得m＝－1， 所以抛物线方程为y＝－(x－3)2＋4． 内容索引 内容索引 内容索引 题组二　分式函数模型 2 (1) 求利润L(x)的函数关系式，并写出定义域； (2) 当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？ 内容索引 内容索引 内容索引 题组三　分段函数模型 3 内容索引 (1) 写出年利润S(x)(单位：亿元)关于年产量x(单位：万台)的函数关系式； (2) 当年产量为多少万台时，该企业获得的年利润最大，并求出最大年利润； (3) 若该企业当年不亏本，求年产量x的取值范围． 内容索引 内容索引 (2) 当0≤x≤3时，S(x)max＝S(3)＝9； 又9＜39， 所以该企业获得的年利润最大为39亿元． 内容索引 (3) 当0≤x≤3时，由S(x)＝－x2＋14x－24≥0，解得2≤x≤12，所以2≤x≤3；       所以3＜x≤10． 故若该企业当年不亏本，则年产量x的取值范围为[2，10]． 内容索引 题组四　指数函数、对数函数模型 　　　 (多选)科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，那么tmin后物体的温度θ(单位：℃)满足：θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－0.05t．已知空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90≤θ1≤100)下降到30℃，大约所需的时间为t1min，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2 min，t3 min，则下列结论中正确的是(参考数据：ln 2≈0.7，ln 3≈1.1) (　 　) A．t2＝20　 B．28≤t1≤30 C．t1≥2t3　 D．t1－t2≤6 4 BC 内容索引 内容索引 (1) 求a，b的值； (2) 若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？ 5 内容索引 内容索引 求解已知函数模型解决实际问题的关键 1．认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数； 2．根据已知利用待定系数法，求出模型中的待定系数； 3．利用该函数模型解决实际问题，并进行检验． 内容索引 　　　 某科研小组研制钛合金产品时添加了一种新材料，该产品的性能指标值y是这种新材料的含量x(单位：g)的函数．研究过程中的部分数据如下表： 6 内容索引 (1) 选择一个恰当的函数模型来描述x，y之间的关系，并求出其解析式； (2) 求该新材料的含量x为多少克时，产品的性能指标值达到最大？ 【解析】(1) 由表格知，当x＝0时，y＝－4． 若选①y＝ax2＋bx＋c，则c＝－4； 若选②y＝k·ax(a＞0且a≠1)，则k＝－4， 此时y＝－4ax(a＞0且a≠1)不满足当x＝2时，y＝8，故不选； 若选③y＝klogax(a＞0且a≠1)，当x＝0时无意义，故不选， 内容索引 所以选①的函数模型来描述x，y之间的关系． 由题意，得当0≤x＜7时，由y＝ax2＋bx＋c，且x＝0，y＝－4时，得c＝－4； 当x＝2，y＝8时，4a＋2b＝12； 当x＝6，y＝8时，36a＋6b＝12；     所以当0≤x＜7时，y＝－x2＋8x－4． 内容索引 内容索引 内容索引 1 [2025北京卷·9]在一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要时间T＝klog2N(单位：h)，其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024×109个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加 (　　) A．2h　 B．4h C．20h　 D．40h B 内容索引 【解析】设当N取106个单位，1.024×109个单位，4.096×109个单位时训练所需时间分别为T1，T2，T3，则T1＝klog2106＝6klog210，T2＝klog2(1.024×109)＝klog2(210×106)＝k(10＋6log210)，T3＝klog2(4.096×109)＝klog2(212×106)＝k(12＋6log210)．由T2－T1＝k(10＋6log210)－6klog210＝10k＝20，解得k＝2，所以T3－T2＝k(12＋6log210)－k(10＋6log210)＝2k＝4，所以当训练数据量N从1.024×109个单位增加到4.096×109个单位时，训练时间增加4 h． 内容索引 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m 处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则下列结论中正确的是 (　　　) A．p1≥p2　 B．p2＞10p3 C．p3＝100p0　 D．p1≤100p2 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 ACD 内容索引 内容索引 注意不要忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性． 内容索引 谢谢观看 Thank you for watching 【解析】由题意，得θ＝10＋(θ1－10)e－0.05t，令θ＝30，则30＝10＋(θ1－10)e－0.05t1，即e－0.05t1＝，则－0.05t1＝ln ，所以t1＝20ln ，其是关于θ1的单调增函数．当θ1＝90时，t1＝20ln ＝20ln 4＝40ln 2≈28；当θ1＝100时，t1＝20ln ＝20ln ＝20(2ln 3－ln 2)≈30，所以28≤t1≤30，故B正确；当θ1＝70时，t2＝20ln ＝20ln 3≈22，故A错误；当θ1＝50时，t3＝20ln ＝20ln 2≈14，此时满足t1≥2t3，t1－t2≥6，故C正确，D错误．故选BC． x/g 0 2 6 10 … y －4 8 8 … $