人教A版高中数学必修1《三角函数的概念》课件2026-2027学年高一数学

该高中数学课件聚焦三角函数的概念，涵盖任意角三角函数的定义、各象限符号及诱导公式一，通过课前预习任务单（教材梳理填空、微思考、基本知能小试）搭建学习支架，帮助学生自主梳理基础，师生共研环节结合探究发现与例题，形成从定义到应用的完整知识脉络。 其亮点在于以数学抽象和数学运算素养为核心，通过单位圆定义抽象三角函数概念，微思考引导学生理解函数值与终边位置关系培养抽象能力，例题中终边在直线上取点分类讨论提升逻辑推理，摩天轮问题用数学语言表达现实世界体现模型意识。学生能深化概念理解与运算能力，教师可依托结构化设计高效开展教学。

5.2　三角函数的概念 5．2.1　三角函数的概念 明确目标 发展素养 1.借助单位圆理解任意角三角函数 (正弦、余弦、正切)的定义． 2.掌握任意角三角函数(正弦、余弦、正切)在各象限的符号． 3.掌握诱导公式一并会应用. 1.通过三角函数的概念，培养数学抽象素养． 2.借助公式的运算，提升数学运算素养. 知识点一　三角函数的定义 (一)教材梳理填空 1．任意角的三角函数的定义： 前提   如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x，y) 续表 y sin α x cos α tan α(x≠0) 三角函数 正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数 续表 [微思考]　三角函数值的大小与点P在角α终边上位置是否有关？ 提示：三角函数值是比值，是一个实数，它的大小与点P在角α终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关． 2．正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域： 三角函数 定义域 sin α R cos α R tan α _____________________ 3.三角函数值的符号： 如图所示： 正弦： 象限正， 象限负； 余弦： 象限正， 象限负； 正切： 象限正， 象限负． 简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦． [微思考]　三角函数值在各象限的符号由什么决定？ 提示：由α的终边所在的象限决定． 一二 三四 一四 二三 一三 二四 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)已知α是三角形的内角，则必有sin α>0. (　　) (2)若sin α＞0，则α是第一或第二象限角． (　　) (3)对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义． (　　) 答案：(1)√　(2)×　(3)× 2．若sin α<0，tan α>0，则α在 (　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：由sin α<0可知α在第三或第四象限，由tan α>0可知α在第一或第三象限，综上，α在第三象限． 答案：C 答案：B 知识点二　诱导公式一 (一)教材梳理填空 (1)终边相同的角的同一三角函数的值 ______. (2)公式 [微思考]　同一三角函数值相等时，角是否一定相等或相差周角的整数倍？ 相等 (二)基本知能小试 1．判断正误 (1)若α＝β＋720°，则cos α＝cos β. (　　) (2)若sin α＝sin β，则α＝β. (　　) 答案：(1)√　(2)× 答案：C　 题型一　 三角函数的定义与应用　 [探究发现] (1)一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则sin α，cos α，tan α为何值？ (2)对于一个任意给定的角α，按照上述定义，对应的sin α，cos α，tan α的值是否存在？是否唯一？ 提示：角α的终边在y轴上时，tan α的值无意义，除此之外，其他的角的三角函数值都是唯一确定的． (3)若已知α终边所在的直线方程为y＝kx，则如何求sin α，cos α，tan α的值． 【对点练清】 1．若本例(2)中的条件变为“已知角α的终边落在直线y＝2x上”，求sin α，cos α，tan α的值． 2．已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α. [典例2]　(1)已知点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ所在的象限是 (　　) A．第一象限　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 (2)判断下列各式的符号： ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°； ②tan 191°－cos 191°； ③sin 2cos 3tan 4. [解析]　(1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限， 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0， 所以角θ所在的象限是第三象限． [方法技巧] 有关三角函数值符号问题的解题策略 (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况． (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨论． (3)对于确定角α是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角α是第几象限角，它们的公共部分即为所求；对于已知角α的终边所在的象限来判断角α的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决．　　 【对点练清】 1．若三角形的两内角α，β满足sin α·cos β＜0，则此三角形必为 (　　) A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．以上三种情况都有可能 解析：三角形的两内角α，β的终边一定落在第一、二象限或y轴正半轴上，sin α·cos β＜0，所以sin α＞0，cos β＜0，所以角β为钝角，此三角形为钝角三角形． 答案：B　 题型三　诱导公式一的应用　 【学透用活】 对诱导公式一的三点说明 (1)公式一的实质是终边相同的角的三角函数值相等． (2)公式一的结构特征： ①左、右为同一三角函数； ②公式左边的角为α＋k·2π，右边的角为α. 注意公式一中的条件k∈Z不可遗漏． (3)公式一的作用：把求任意角的三角函数值转化为求0～2π(或0°～360°)范围内的角的三角函数值． [方法技巧] 利用诱导公式一进行化简求值的步骤 提示：错误．错误的根本原因是忽视对点的坐标中的参数进行分类讨论．实际上本题中要分x＝0和x≠0两种情况讨论． 二、应用性——强调学以致用 2．[好题共享——选自人教B版新教材]将如图(1)所示的摩天轮抽象成如图(2)所示的平面图形，然后以摩天轮转轮中心为原点，以水平线为x轴，建立平面直角坐标系．设O到地面的高OT为l m，点P为转轮上任意一点，转轮半径OP为r m．记以OP为终边的角为α rad，点P离地面的高度为h m，试用l，r与α表示h. [析题建模]　 解：过点P作x轴的垂线，垂足为M，则： 当α的终边在第一、二象限或y轴正半轴上时， h＝OT＋MP＝l＋rsin α； 当α的终边在第三、四象限或y轴负半轴上时， 因为MP＝－rsin α，此时h＝OT－MP＝l＋rsin α； 当α的终边在x轴上时，sin α＝0，此时h＝OT＝l＋rsin α. 所以，不管α的终边在何处，都有h＝l＋rsin α. 定义 正弦函数 把点P的纵坐标 叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝ 余弦函数 把点P的横坐标 叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝ 正切函数 把点P的纵坐标与横坐标的比值 叫做α的正切，记作tan α，即＝ ． 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数称为正切函数 3．已知角α的终边与单位圆的交点P，则sin α＋cos α＝(　　) A. B．－ C. D．－ 解析：由三角函数的定义知sin α＝－，cos α＝，所以sin α＋cos α＝－＋＝－. 提示：不一定，如sin 30°＝sin 150°＝. 2．sin(－315°)的值是 (　　) A．－　　　B．－　　　　C.　　　　D. 解析：sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝. 3．tanπ＝________. 解析：tanπ＝tan＝tan＝. 答案： 提示：sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． 提示：可在直线y＝kx所过的两个象限中分别任取线上点(x0，y0)，x0≠0，然后利用sin α＝，cos α＝，tan α＝求解． 【学透用活】 [典例1]　(1)已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ＋tan θ的值； (2)已知角α的终边落在直线x＋y＝0上，求sin α，cos α，tan α的值． [解]　(1)因为r＝，cos θ＝， 所以x＝ . 又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.又y＝3＞0， 所以θ是第一或第二象限角． 当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3， 则sin θ＋tan θ＝； 当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3， 则sin θ＋tan θ＝. (2)直线x＋y＝0，即y＝－x经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1，)， 则r＝＝2， 所以sin α＝，cos α＝－，tan α＝－； 在第四象限取直线上的点(1，－)， 则r＝＝2， 所以sin α＝－，cos α＝，tan α＝－. [方法技巧] 利用三角函数的定义求角的三角函数值的类型 (1)若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值． (2)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)为单位圆上的点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝. (3)若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＝ )． (4)若已知角α终边上点的坐标含参数，则需对其所在象限进行分类讨论．　　 解：当角α的终边在第一象限时，在角α的终边上取点P(1,2)，由r＝|OP|＝＝，得sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝2. 当角α的终边在第三象限时，在角α的终边上取点Q(－1，－2)，由r＝|OQ|＝＝， 得sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝2. 解：因为r＝＝5|a|， ①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， 所以2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， 所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 题型二　三角函数值符号的运用　 【学透用活】 由三角函数的定义知sin α＝，cos α＝，tan α＝(r＞0)，可知角的三角函数值的符号是由角终边上任一点(除原点)P(x，y)的坐标确定的，则准确确定角的终边位置是判断该角的三角函数值符号的关键． 答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵<2<π，<3<π，π<4<， ∴2是第二象限角，3是第二象限角，4是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0. 2．设α是第三象限角，且＝－cos，则所在的象限是 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：∵α是第三象限角，∴2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z， ∴kπ＋<<kπ＋，k∈Z，∴在第二、四象限．又∵＝－cos ， ∴cos <0.∴在第二象限． 答案：B　 3．tan 4cos 2sin－的符号为________(填“正”或“负”)． 解析：∵＜2＜π＜4＜，－＝－6π＋，∴4,2，－分别为第三、第二、第一象限角，∴tan 4＞0，cos 2＜0，sin－＞0，∴tan 4cos 2sin－＜0，符号为负． 答案：负 [典例3]　求值： (1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (2)sincos＋tancos. [解]　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. (2)原式＝sincos＋ tancos＝sincos＋tancos＝×＋1×＝. 【对点练清】 求下列各式的值： (1)cosπ＋tan； (2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 解：(1)原式＝cos＋tan ＝cos＋tan＝＋1＝. (2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60°＝1＋1＋＝. 【课堂思维激活】 一、综合性——强调融会贯通 1．角α的终边经过点P(x,4)，且cos α＝，求sin α的值． 解：点P(x,4)到原点的距离为r＝. 由cos α＝，得＝，所以 ＝5， 即r＝5，所以sin α＝＝. 分析以上解题过程，判断是否正确．若错误，错在何处？并给出正确的解题过程. 正解如下： 点P(x,4)到原点的距离为r＝. ①当x＝0时，r＝4.由三角函数的定义，有sin α＝＝＝1； ②当x≠0时，由cos α＝，得＝，所以 ＝5，即r＝5.由三角函数的定义，有sin α＝＝. 综上可得，sin α＝或sin α＝1. $