期末复习(2) 勾股定理-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（人教版·新教材）

期末复习( 01重难点突破 突破点一勾股定理的证明 例1勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多 样，其巧妙各有不同.其中“面积法”给了小聪 以灵感.他惊喜地发现，当四个全等的直角三 角形按如图的方式摆放时可以用“面积法”来 证明勾股定理，请利用该图证明勾股定理. 反思归纳勾股定理的证明是用面积法证明恒等式，通 过不同的方式表示同一个图形的面积. 对点训练 1.我们根据图形的移、拼、补可以简单直观地推 理验证数学规律和公式，这种方法称为“无字 证明”.下面是用三块全等的直角三角形移、 拼、补所形成的“无字证明”图形.已知直角三 角形直角边长分别为a,b,斜边长为c,图1、 图2的面积相等，请你根据此图验证勾股 定理 图 图2 125八年极数学·下册 勾股定理 突破点二勾股定理及其逆定理 例2如图，每个小方格的边长都为1. (1)求图中格点四边形ABCD的面积； (2)请探究AD与CD的位置关系，并说明 理由. 反思归纳正方形网格中两个格点之间的距离可以用 勾股定理求出，勾股定理的逆定理是证明一个角是直 角或两条线段垂直的一种思路。 对点训练 2.如图所示，在△ABC中，三边分别是a,b,c,并 且满足a2+b-12a-16b+100=0,c=10. (1)请你判断△ABC的形状，并说明理由； (2)求AB边上的高CD. 突破点三勾股定理的应用 例3如图，高速公路的一侧有A,B两个村庄， 它们到高速公路所在直线MN的距离分别为 AA1=2km,BB1=4km,A1B1=8km.现要 在高速公路上A,B1之间设一个出口P,使 A,B两个村庄到P的距离之和最短，则这个 最短距离是多少千米？ MA. 对点训练 3.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开 发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上 的停靠站A的距离为300m,与公路上另一 停靠站B的距离为400m且CA⊥CB,如图. 为了安全起见，爆破点C周围半径250m范 围内不得进人，问在进行爆破时，公路AB段 是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计 算进行说明， B 分 02备考集训 (60分钟100分】 一、选择题（每小题6分，共30分） 1.已知直角三角形的两条直角边的长分别是2 和3，则斜边的长是 () A.√5 B.√/13 C.5 D.13 2.下列各组数是三角形的三边的长，则能构成 直角三角形的是 () A.2,2,3 B.60,80,100 C.4,5,6 D.5,6,7 3.在△ABC中，∠ACB=90°，分别以AB,BC, AC为直径向外作三个半圆，其面积分别为 S1,S2,S3.若S1=40,S3=18,则S2=() A.18 B.20 C.22 D.24 S 第3题图 第4题图 4.“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的，以直角三角 形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由 4个全等的直角三角形再加上中间的小正方 形组成.如图，若∠AEB=90°，AB=13cm,BE =5cm,则阴影部分的面积是 () A.169cm2 B.25 cm2 C.49 cm2 D.64 cm2 5.如图，图1是由边长为1的六个小正方形组 成的图形，它可以围成图2所示的正方体，则 图1中正方形的顶点A,B在图2围成的正 方体中的距离是 A.0 B.1 C.√2 图1 图2 D.3 二、填空题（每小题7分，共28分】 6.如图，点A表示的实数是 2-1012 助学助教优质高效126 7.小红同学先朝正东方向行进了4km,再朝正 北方向行进了8km,此时小红离出发点的距 离是 km. 8.如图，在长方形ABCD中，BC=6,CD=3,将 △BCD沿对角线BD翻折，点C落在点C处， BC交AD于点E,则线段DE的长为 第8题图 第9题图 9.如图，在△ABC中，AC=5,BC=12,AB 13,CD是边AB上的中线，则CD 三、解答题（共42分） 10.(10分)如图，已知某山的高度AC为800m, 在山上A处与山下B处各建一个索道口， 且BC=1500m,欢欢从山下索道口坐缆车 到山顶.已知缆车每分钟走50m,那么大约 多少分钟后，欢欢才能达到山顶？ 11.(14分)如图，一艘轮船从A港向南偏西48° 方向航行100km到达B岛，再从B岛沿 BM方向航行125km到达C岛，A港到航 线BM的最短距离是60km. (1)若轮船从C岛沿CA返回A港所需的时 间为3h,求轮船的速度； (2)C岛在A港的什么方向？ 127八年级数学·下册 12.(18分)已知△ACB和△ECD都是等腰直 角三角形，CA=CB,CE=CD,∠ACB= ∠ECD=90°，△ACB的顶点A在△ECD 的斜边DE上. (1)如图1，连接BD.请你探究AE与BD之 间的关系，并证明你的结论： (2)求证：AE+AD=2AC; (3)如图2，若AE=2,AC=2√5，点F是 AD的中点，则CF的长为 图 图2点：菱形和筝形的对角线都互相垂直；不同点：菱形的四条边都相等，筝形的两组邻边 分别相等；(3)图略.8.解：(1)描点并作图略，这些点在同一条直线上，设这条直 线的解析式为y=kx十b(k,b为常数，且k≠0)，将x=2,y=116和x=10,y=100代 人=x十6得0.1860解得合128”y=-2z+120: （2)背带的总长 度为单层部分与双层部分的长度和，∴.总长度为一2x十120十x=一x十120.当单肩 包背节长度调整为最佳背带总长度时，得一大120=号A= h 2x+180.身高h 3 与这款背包的背带双层部分的长度x之间的函数表达式为九=一2x十180。（3)4 3 期末复习（一）二次根式 重难点突破 【例1】x≥-1且x≠2，x≠3【例2】a【例3】解：原式=(3√2+2√3)(3√2-2√3) (3-26+2)=18-12-5+26=1+26.【例4】解：原式=a-2ab+6 a (a-b)2 =a-b (a+b)(a-b) ·(a+b)(a-b)a+b 当a=22-1,6=1-2时，8 atb -22-1-1+2=3E-2=3-2.【例511) =√/n+1-√n(2) 2√2-1+1-√2√2 n+n+1 /n+1-1 对点训练 1.x≥-3且x≠士22.43.C4.25.26.解：原式=4-2v√6+8+3十4√6=15 +2√6.7.解：x+y=√3-√2+√3+√2=23，xy=(W3-√2)(W3+√2)=1，∴.x2+ 3y+=x+y+y=(2y+1=13.81√要5√层(2V0w4 /5 n =√n2+1 备考集训 1.C2.C3.D4.B5.D6.C7.0(答案不唯一)8.19.<10.4811.是 12.(1)解：原式=2√12÷×3=2V7厄=122；(2)解：原式=(65-5+4 3)÷23-1=93÷23-1=3.5.13.解：1<32，.∴.5<4+3<6..a=5 b=√3-1..b2+2a=(wW3-1)2+2×5=4-2√3+10=14-2W3. 14.解：(1)AP=√a十16，DP=√+4.(2)k存在最小值.作点A 关于线段BC的对称点A',连接A'D,交线段BC于点P,过点A作A E⊥DC于点E,连接AP...AP=AP,..k=AP十DP=A'P十DP D=AE+DE=4+6=52=213.15.1人4+6与 5√后2+干2=+ID√臣证明：左边= 1 /n2+2n+1 /(n+1) n十2 n+2 /1 1 /1 =（m+1D√n十2-右边…猎想成立.(3)原式=100√10×20√20 ×√402× v10-10x0xV×v1i)xV×v42)-20602. 期末复习（二）勾股定理 重难点突破 【例1】证明：Sk方e=4区2ab十2=2ab+c=(a+b.即2=a十.【例2】解g (1:56e=2X5X2=5,5g=2×5X3=7.55a0m=5aAx十58m=5 +7.5=12.5.(2)AD⊥CD.理由：由勾股定理，得AD=√+2=5，CD= √4+2=2√5，∴.AD2+CD=(W5)2+(2√5)2=25=AC..△ACD为直角三角 形，且∠ADC=90°..AD⊥CD.【例3】解：作点B关于直线MN 的对称点B,连接AB交AB于点P,则AP十BP=AP+PB AB',易知点P即为到A,B距离之和最短的点.过点A作AE⊥MA,户 B BB于点E,则AE=AB,=8km,BE=AA,十BB,=2十4=6 (km).由勾股定理，得AB'=√AE十EB=√82+62=10(km), 即AP+BP=AB'=10km.答：出口P到A,B两村庄的距离之和最短是10km. 对点训练 1.解：图1的面积S,=a+6+ab,图2的面积S,=2+a6.:S,=Sa+6 b=c+a6.a+6=不，2.解：(1D△ABC为直角三角形，理由如下，a 大3 +b2-12a-16b+100=0,.(a-6)2+(b-8)2=0..a=6,b=8.a2+b=62+8 =100=10=c2,∴.△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°.(2)：SAc BC=AB.CD,即ab=c·CD,CD=b=6X8=4,8. 10 3.解：过点C作CD⊥AB于点D.,BC=400m,AC=300m, ∠ACB=90.根据勾股定理，得AB=500m.:2AB·CD =2BC·AC.CD=240m“240<250.有危险∴AB段公路需要暂时封镇 备考集训 1.B2.B3.C4.C5.C6.-57.458 9.6.510.解：根据题意，得 ∠ACB=90°.在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB=√AC+BC= √/800+15002=1700(m).1700÷50=34.答：大约34min后，欢欢才能达到山顶. 11.解：(1)由题意知AD=60km,AB=100km,BC=125km.在Rt△ABD中，BD =/AB2-AD2=80km,..CD=BC-BD=45km,,.在Rt△ACD中，AC= √CD+AD=75km,75÷3=25(km/h).答：轮船的速度为25km/h;(2):AB +AC2=1002+752=15625,BC2=1252=15625,∴.AB+AC=BC.,∴.∠BAC= 90°.∴.∠NAC=180°一90°一48°=42°，答：C岛在A港的北偏西42°方向.12.(1) 解：AE=BD,AE⊥BD.证明：，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，CA=CB CE=CD,∴.∠ECA+∠ACD=∠ACD+∠DCB=90°，∠CEA=∠CDE=45° ∠CAB=∠CBA=45°，AB=2AC,∴.∠ECA=∠DCB,又.CE=CD,AC=BC, △ECA≌△DCB(SAS)..∴.AE=BD,∠CEA=∠CDB=45°..∠ADB=∠CDB+ ∠EDC=90°..AE⊥BD;(2)证明：：△ADB是直角三角形，∠ADB=90°，∴AD +BD2=AB2...AD2+AE=AB2..'.AE+AD2=2AC2.(3)17 期末复习（三）四边形 重难点突破 【例1】(1)解：①∠1=∠2，理由如下：'AD∥BC,.∠1=∠DBC.,BDI CD,EF⊥ CD,∴.BD∥EF..∠2=∠DBC..∠1=∠2；②.'AD∥BC,∴.∠ABC=180°-∠A =180°-100=80.BD平分∠ABC.∠DBC=3∠ABC=号×80=40.∠1 =∠DBC=40°..BD⊥CD,∴.∠BDC=90°∴.∠ADC=∠1+∠BDC=40°+90° 130°.(2)①720°②820【例2】证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥ CD..∠ABE=∠FCE..'OE是△ABC的中位线，∴.E是BC的中点..BE=CE 又∠AEB=∠CEF,∴.△ABE≌△FCE.∴.AB=CF.又AB∥CF,.四边形ABFC是 平行四边形.【例3】(1)证明：.O是AC的中点，.AO=CO..AE∥BC,.∠EAC =∠ACD,∠AED=∠EDC.∴.△AOE≌△COD..AE=DC..AE∥DC,.四边形 AECD是平行四边形.，AB=AC,AD是△ABC的角平分线，.AD⊥BC,即∠ADC =90°.∴.□ADCE是矩形；(2)解：当∠BAC=90°时，四边形ADCE是正方形.理由 如下：：AD是△BAC的角平分线，∠DAC=之∠BAC=45°..∠ACD=90° ∠DAC=45°=∠DAC..AD=CD.又矩形ADCE,∴.矩形ADCE是正方形 对点训练 1.七2.135°3.724.540°5.C6.C7.(1)证明：.四边形ABCD是菱形， AB∥CD..∠DNE=∠AME.·E是AD的中点，，AE=DE.又∠DEN= ∠AEM,∴.△NDE≌△MAE.∴.NE=ME.又AE=DE,∴.四边形AMDN是平行四 边形.(2)①3②证明：，四边形ABCD是菱形，∴.AB=AD=6.,AM=6,∴.AD =AM.,∠DAB=60°，.△AMD是等边三角形.，E是AD的中点，.ME⊥AD. ,平行四边形AMDN是菱形. 备考集训 1.B2.C3.C4.D5.B6.D7.B8.1209.610.1611.60 12.AC⊥BD或AB=BC(答案不唯一)13.214.证明：(1)BF=DE,.BF-EF =DE一EF.∴.BE=DF;(2),四边形ABCD为平行四边形，.AB=CD,且AB∥ CD.∴.∠ABE=∠CDF.又BE=DF,∴.△ABE≌△CDF.15.(1)证明：.DO= AO,EO=CO,∴.四边形AEDC是平行四边形.：四边形ABCO是矩形，∴∠AOC= 90°.∴.AO LOC,即AD⊥EC..平行四边形AEDC是菱形：(2)解：连接EB..四 边形AEDC是菱形，∠AED=60°，∴∠AEO=30°.∠AOE=90°，AE=4,∴.OA= 2AE=2.·E0=VAE-OA=√4-2=23.∴.CE=2E0=4V3.四边形 ABCO是矩形，∴.BC=OA=2,∠BCE=90°.，.EB=√/BC+EC=√2+(43)= 2I3.16.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，∴.BC=CD,∠B=∠CDF=90° 又BE=DF,.∴.△CBE≌△CDF(SAS)..CE=CF;(2)解：GE=BE十GD成立.理 由：由(1)，得△CBE≌△CDF,∴.∠BCE=∠DCF...∠BCE+∠ECD=∠DCFH ∠ECD,即∠BCD=∠ECF=90°.又∠GCE=45°，.∠GCF=∠GCE=45°.'CE CF,∠GCE=∠GCF,GC=GC,∴，△ECG≌△FCG(SAS).'.GE=GF..∴.GE=DF+ GD=BE+GD.17.(1)证明：，四边形ABCD为正方形，.AB=AD,AB∥CD.又 MF∥AD,.四边形AMFD为矩形.∴.AD=MF.∴.AB=FM.∴.∠MFN=∠BAE =90°.又MN为BE的垂直平分线，.∠FMN+∠BMO=∠BMO+∠ABE=90°