第四章 课时作业7 正弦定理与余弦定理(1)-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理的系统性应用，通过分层题型构建“基础应用-综合判断-高考迁移”的方法体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |定理基础应用|4（1,2,5,6）|余弦定理求角、正弦定理边角互化|从边边角关系到角的求解，夯实定理直接应用| |综合判断|3（4,7,8）|三角形形状判定、定理性质辨析|结合定理与三角性质，构建逻辑推理链条| |面积与边角计算|3（2,10,11）|面积公式结合定理、已知关系求边|从定量计算到关系转化，强化应用意识| |高考真题迁移|2（3,14）|综合应用定理与三角恒等变换|对接高考命题趋势，提升迁移能力|

课时7 正弦定理与余弦定理（1） 一、单选题 1．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a＝7，b＝5，c＝3，则角A的大小为(　 ) A．120° B．90° C．60° D．45° 2．(2026·山东青岛市模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b＝2asinB，bc＝4，则△ABC的面积为(　 　) A．1 B． C．2 D．2 3、(2024·全国甲卷)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B＝，b2＝ac，则sinA＋sinC＝(　 　) A． B． C．　　 D． 4．在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，且满足＝，2bcosA＝c，则△ABC的形状是(　 　) A．等腰直角三角形 B．等腰钝角三角形 C．等边三角形 D．以上结论均不正确 5．(2026·江西赣州市模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，b＝2，cos(A＋B)＝，则c=(　　) A.4 B. C.3 D. 6、在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若acos B＝，bcos A＝，c＝，则的值为(　　) A. B.－ C. D.－ 二、多选题 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列结论正确的有(　 　) A．若cos A＞cos B，则sin A＜sin B B．若(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，则C＝ C．已知a＝7，b＝4，c＝，则最小内角的大小为 D．若＝，则B＝ 8、在△ABC中，若A>B，则有(　　) A.sin A>sin B B.cos A<cos B C.sin 2A>sin 2B D.cos 2A<cos 2B 9、(2026·湖南益阳市检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则下列结论正确的有(　 　) A．(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5∶6∶7 B．△ABC为钝角三角形 C．若a＋b＋c＝18，则△ABC的面积是6 D．若△ABC的外接圆半径是R，内切圆半径为r，则5R＝16r 三、填空题 10、(2026·湖北武汉市调研)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若B＝，b＝6，a2＋c2＝2ac，则△ABC的面积为__ _． 11．(2026·河南开封市模拟)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b＝3，a－c＝2，A＝，则△ABC的面积为________． 12．(2026·浙江丽水市模拟)如图所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为 . 四、解答题 13.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsin A＝acos B. (1)求B的大小； (2)若b＝3，sin C＝sin A，求a，c的长. 14、（2025·新课标II卷）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）求A的大小． （2）若，，求的周长． 课时7 正弦定理与余弦定理（1）参考答案 1．A【解析】由余弦定理知cosA＝＝－，所以A＝120°．故选A. 2．A【解析】由题及正弦定理得sinB＝2sinAsinB.因为B∈(0，π)，则sinB≠0，所以1＝2sinA，解得sinA＝，所以S△ABC＝bcsinA＝×4×＝1．故选A. 3、C【解析】因为B＝，b2＝ac，所以由正弦定理得sinAsinC＝sin2B＝．由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝ac，即a2＋c2＝ac.根据正弦定理得sin2A＋sin2C＝sinAsinC＝，所以(sinA＋sinC)2＝sin2A＋sin2C＋2sinAsinC＝．因为A，C为三角形内角，则sinA＋sinC＞0，所以sinA＋sinC＝．故选C. 4．C【解析】因为2bcosA＝c＞0，所以A为锐角．由余弦定理得2b×＝c，得b2＝a2，a＝b，则B为锐角． 方法一：由＝以及余弦定理得＝，＝，即＝，由于b2－a2＝0，所以b2－c2＝0，即b＝c，所以a＝b＝c，所以△ABC是等边三角形．故选C. 方法二：由＝及正弦定理得sinCcosC＝sinAcosA，从而A＝C或A＋C＝(由B为锐角，舍去)．综上，A＝B＝C，即△ABC为等边三角形．故选C. 5．D【解析】由三角形内角和定理，可知cos C＝－cos(A＋B)＝－，又由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝9＋4－2×3×2×＝17，所以c＝.故选D. 6、B【解析】因为acos B＝，bcos A＝，c＝，所以＝＝＝＝－.故选B. 7．ABC【解析】对于选项A，cos A＞cos B⇔A＜B⇔sin A＜sin B，故A正确． 对于选项B，由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，得a2＋b2－c2＝ab．由余弦定理得cosC＝＝．因为0＜C＜π，所以C＝，故B正确． 对于选项C，因为a＝7，b＝4，c＝，所以c＜b＜a，所以C＜B＜A，所以cosC＝＝＝．因为0＜C＜π，所以C＝，故C正确． 对于选项D，由正弦定理得＝1，即tanB＝1，所以B＝，故D错误．故选ABC. 8、ABD【解析】在△ABC中，若A>B，由三角形中大边对大角，可得a>b，又由正弦定理，可知sin A>sin B，故A正确； 又由余弦函数在(0，π)上单调递减，可知cos A<cos B，故B正确； 由sin 2A＝2sin Acos A，和sin 2B＝2sin Bcos B，当A>时，cos A<0，所以sin 2A<sin 2B，故C错误； 由cos 2A＝1－2sin2A，cos 2B＝1－2sin2B，由A可知cos 2A<cos 2B，故D正确.故选ABD. 9、BD【解析】因为sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，由正弦定理＝＝＝2R，可得a∶b∶c＝2∶3∶4，设a＝2x(x＞0)，b＝3x，c＝4x，则(a＋b)∶(b＋c)∶(c＋a)＝5x∶7x∶6x＝5∶7∶6，故A错误； 由题意可知，C为最大角，因为cosC＝＝＝－＜0，所以C为钝角，故B正确； 若a＋b＋c＝18，则a＝4，b＝6，c＝8，又cosC＝－，所以sinC＝＝，所以S△ABC＝absinC＝×4×6×＝3，故C错误； 由正弦定理得2R＝＝＝，即R＝．由面积公式可得(a＋b＋c)r＝absinC，即×9x×r＝×2x×3x×，所以r＝x，所以＝，即5R＝16r，故D正确．故选BD. 10、3【解析】 在△ABC中，B＝，b＝6，a2＋c2＝2ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝2ac－2accos＝3ac＝36，解得ac＝6，所以S△ABC＝acsinB＝×6×＝3． 11． 【解析】由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A.因为b＝3，a－c＝2，A＝，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3c×，解得c＝5，则△ABC的面积为S＝bcsin A＝×3×5×＝. 12．【解析】因为sin∠BAC＝sin(90°＋∠BAD)＝cos∠BAD＝，所以在△ABD中，有BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcos∠BAD，所以BD2＝18＋9－2×3×3×＝3，所以BD＝. 13.【解】(1)由bsin A＝acos B及正弦定理，得sin Bsin A＝sin Acos B.在△ABC中，sin A≠0，所以sin B＝cos B，所以tan B＝.因为0<B<π，所以B＝. (2)由sin C＝sin A及正弦定理，得c＝a ①. 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得32＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝9 ②. 联立①②，解得a＝3，c＝3. 14、【解】（1）方法一（辅助角公式）：由可得，即.由于，故，解得. 方法二（同角三角函数的基本关系）：由，又，消去 sinA得到：，解得，又， 故. （2）由题设条件和正弦定理，又，则，进而，得到，于是， ，由正弦定理可得， ，即，解得，故△ABC的周 长为. . 学科网（北京）股份有限公司 $