第四章 课时作业8 正弦定理与余弦定理(2)-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦正弦定理与余弦定理综合应用，以分层题型构建“定理应用-综合变换-高考实战”的递进训练体系，渗透数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|单选1-3、填空10（4题）|正弦定理边角互化、三角形内角和应用|从定理直接应用到边角关系转化，构建概念生成逻辑| |综合应用|单选4-6、多选7-9、填空11-12（7题）|余弦定理判断形状、射影定理验证、三角恒等变换结合|定理与三角公式融合，形成原理推导与应用拓展链条| |高考真题|解答题13-14（2题）|方程思想证明边关系、面积公式与定理综合|多定理交叉应用，体现知识迁移与问题解决的数学语言表达|

课时8 正弦定理与余弦定理（2） 一、单选题 1．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若A＝105°，B＝45°，b＝2，则c=(　　) A.1 B.2 C. D. 2、在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c. 若a＝bsin A，则△ABC一定是(　　) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 3．在△ABC中，若sin A>sin B，则A与B的大小关系为(　　) A.A>B B.A<B C.A≥B D.A，B的大小关系不确定 4、（2026·江西九江市模拟）在中，内角所对的边分别为，已知，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·四川眉山市模拟）在中，分别是角所对的边，若，则（    ） A． B． C． D． 6．(2026·山东潍坊市模拟)在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.下列结论正确的有(　　) A．a2＝b2＋c2－2bccos A B．asin B＝bsin A C．a＝bcos C＋ccos B D．acos B＋bcos C＝c 8、(2026·福建福州市第四中学期末)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则下列条件能确定B为钝角的有(　　) A.sin2A＋sin2C<sin2B B.·<0 C.<cosA D.0<tan A tan C<1 9. 在中，已知边，，所对的角分别为，，.若，，则有（ ） A. B. 为钝角三角形 C. D. 的面积为 3、 填空题 10．在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a＝，sin C＝2sin A，则c＝ . 11、（2026·广东东莞市模拟）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，则cos C＝ . 12．（2026·四川攀枝花市模拟）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则 ． 四、解答题 13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cos A＝，D是边AC的中点，且a＝2BD. (1)证明：b＝6c； (2)若△ABC的面积为，求a的长. 14、（2025·天津高考）在△中，角，，的对边分别为，，．已知，，．求： （1）的大小； （2）的长； （3）的值． 课时8 正弦定理与余弦定理（2）参考答案 1．B【解析】因为A＝105°，B＝45°，所以C＝30°.由正弦定理，得c＝＝＝2.故选B. 2、B【解析】由题意可知＝b＝，则sin B＝1，又B∈(0，π)，故B为直角，△ABC是直角三角形.故选B. 3．A【解析】设内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，因为sin A>sin B，所以2Rsin A>2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)，即a>b，故A>B.故选A. 4、B【解析】因为，由正弦定理，因为，展开化简，又.故选B. 5．C【解析】因为，又由题知，所以，整理得到，.又由余弦定理，所以，所以.又，所以.故选C. 6．D【解析】，，.，或，所以可得或．故选D． 7．ABC【解析】由正弦定理、余弦定理及三角形中的射影定理得结论A，B，C正确．故选ABC. 8、ACD【解析】对于选项A，由正弦定理及sin 2A＋sin 2C<sin 2B，知a2＋c2<b2，由余弦定理得，cos B＝<0，由B∈(0，π)，所以B为钝角，故A正确； 对于选项B，·＝||·||cos (π－B)＝－||·||cos B<0，则cos B>0，显然B不可能为钝角，故B错误； 对于选项C，由正弦定理及<cos A，得<cos A，由B∈(0，π)，sin B>0，所以sin C<sin B cos A，又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，所以sin A cos B<0，由A∈(0，π)，sin A>0，所以cos B<0，由B∈(0，π)，所以B为钝角，故C正确； 对于选项D，由0<tan A tan C<1，知0<<1，由A∈(0，π)，C∈(0，π)，则sin A sin C>0，有cos A cos C>0，所以cos A cos C－sin A sin C>0，即cos (A＋C)＝－cos B>0，所以cos B<0，由B∈(0，π)，所以B为钝角，故D正确．故选ACD. 9． BCD【解析】由正弦定理得，由余弦定理得，即.因为 ，故，故可得，当且仅当，即时取得.也即当时取得等号，所以 ，即.所以的面积为.故选BCD. 10．2【解析】由正弦定理，得c＝＝2a＝2. 11、【解析】因为在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知8b＝5c，C＝2B，所以8sin B＝5sin C＝5sin 2B＝10sin Bcos B，所以cos B＝.又B为三角形内角，所以sin B＝＝.所以sin C＝sin 2B＝2××＝.又cos B>cos 45°，所以B<45°，C＝2B<90°，cos C＝＝. 12．【解析】由，由余弦定理得，由正弦定理得，因为，即，即.因为，则.因为，故. 13．(1)【证明】设BD＝x，则a＝BC＝2x.在△ABC中，由余弦定理，得b2＋c2－2bccos A＝4x2，即2b2＋2c2－bc＝8x2 ①. 在△ABD中，由余弦定理，得＋c2－2··c·cos A＝x2，即b2＋4c2－bc＝4x2 ②. 2×②－①，得6c2－bc＝0.又c≠0，所以b＝6c. (2)【解】将b＝6c代入①，得2b2＋b2－b2＝8x2，解得b＝x(负值舍去)，所以c＝x. 由cos A＝，A∈(0，π)，可知sin A＝.因为S△ABC＝，所以bcsin A＝，即·x·x·＝，解得x＝2(负值舍去).所以a＝4. 14、【解】（1）因为，所以.又因为，所以，即.因为，所以。 （2）因为，，，所以，即，整理得，解得. （3）因为，，，，所以，，所以，所以， ，所以 ． . 学科网（北京）股份有限公司 $