24.1数据的集中趋势同步培优讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

本讲义聚焦数据的集中趋势核心知识点，系统梳理算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义、公式及性质，明确三者区别与适用场景，构建从基础计算到实际决策的完整学习支架。 该资料以14类分层题型为特色，涵盖统计量计算、未知数据求解及决策应用，典例与变式结合。通过成绩分析、销售决策等实例培养数据意识和运算能力，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，提升数据分析与现实应用能力。

24.1数据的集中趋势 （6知识点+14题型+过关检测） 【题型1 求一组数据的平均数】 2 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 3 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 3 【题型4 利用平均数做决策】 4 【题型5 求加权平均数】 5 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 6 【题型7 运用加权平均数做决策】 7 【题型8 求中位数】 8 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 9 【题型10 运用中位数做决策】 9 【题型11 求众数】 10 【题型12 利用众数求未知数据的值】 11 【题型13 运用众数做决策】 11 【题型14 解答题5道】 12 1. 知识目标：精准掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义、公式和性质，明确三类统计量的区别与适用场景。 2. 能力目标：熟练计算各类统计量，能根据已知条件求解未知数据，会利用三类统计量对实际问题做数据分析与合理决策。 3. 素养目标：建立数据分析观念，能根据数据特点选择合适的统计量描述数据集中趋势，提升数据处理与实际应用能力。 03 知识•梳理 知识点一、算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 特别说明：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点二、中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 特别说明：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 特别说明：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点三、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 04 题型•汇总 【题型1 求一组数据的平均数】 核心公式：对于个数据，算术平均数 技巧：直接套用算术平均数公式，求和可凑整简化计算，细心核对数据个数。 【典例1】．小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（   ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 【变式1】．某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 【变式2】．某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 【变式3】．某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 步骤：先算数据总和（总和=平均数×个数），再用总和减去已知数据和，快速求出未知数。 【典例2】．黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【变式1】．已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】．已知一组数据，，，，的平均数是，则的值为______． 【变式3】．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 规律：数据整体加减，平均数同步加减；数据整体倍数缩放，平均数同步缩放；多组数据总平均=总数据和÷总个数。 【典例3】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【变式2】．某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【变式3】．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【题型4 利用平均数做决策】 思路：计算各组平均数，对比大小判断整体水平，结合数据是否有极端值，给出合理决策。 技巧：按权重公式计算，百分比权重可直接用“数据×占比”累加求和，计算更快捷。 【典例4】．数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【变式1】．某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，他们的月工资各不相同．若该单位员工的月平均工资是1500元，则下列说法中正确的是（　　） A．所有员工的月工资都是1500元 B．一定有一名员工的月工资是1500元 C．至少有一名员工的月工资高于1500元 D．一定有一半员工的月工资高于1500元 【变式2】．立德树人    最美人间四月天，正是读书好时节．总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是______________选手（填“甲、乙、丙”）． 【变式3】．为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是___________． 【题型5 求加权平均数】 步骤：代入加权平均数公式求解，核对权重总和无误即可。 【典例5】．在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 【变式1】．在语文期末评卷中，某位老师根据评分标准从“符合题意、语言、篇章”三个方面对一份作文做出了二类卷的评判，他的评判依据是“符合题意，中心突出，内容充实”占；“语言通顺，偶有语病”占；“篇章、结构完整，条理较清楚”占，若某位同学这三项的成绩（百分制）依次为80分，85分，90分．则该同学最后得分为（     ） A．81分 B．84分 C．85分 D．86分 【变式2】．小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【变式3】．学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 步骤：设未知数，代入加权平均数公式列方程求解，核对权重总和无误即可。 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【变式1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【变式2】．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【变式3】．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【题型7 运用加权平均数做决策】 题型场景：招聘、评优、选拔比赛等，不同考核项目权重不同。 极简技巧：严格按题目权重计算加权分，分数越高综合表现越好，以此作为评优、选拔决策依据。 【典例7】．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（   ） A． B． C． D． 【变式1】．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【变式2】．某公司计划从基层员工中择优提拔一名中层管理，经过第一轮考核后甲、乙两名候选人胜出，现对甲、乙两人进行“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试，测试成绩如下表： 候选人 测试项目 综合知识 工作业绩 人际交流 甲 乙 最终将“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试，按照的权重计算其总成绩，并提拔成绩更高者，则最终被公司提拔的员工是______． 【变式3】．某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 【题型8 求中位数】 步骤：数据先排序，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均数（口诀：奇取中，偶取均）。 【典例8】．小明同学一周内每天抄写词语的个数如下：12，15，10，14，13，11，16，该同学这一周抄写词语的个数的中位数是（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【变式1】．某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（     ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 【变式2】．某篮球训练营40名队员的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该训练营队员年龄的中位数为___岁． 年龄 12 13 14 15 人数 5 11 18 6 【变式3】．据调查，某班名学生所穿鞋子鞋号统计如表所示，则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数是_______． 鞋号 20 21 22 23 24 频数 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 技巧：确定中位数位置，分类讨论未知数取值区间，结合中位数数值求解，最后验证合理性。 【典例9】．如图是某地某月1日-5日的每天最高气温．若该月1日-7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式1】．某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（     ） A．若，则b的最小值为7 B．若，则b的最大值为8 C．若，则a的最大值为 D．若，则a的最小值为6 【变式2】．在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【变式3】．一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【题型10 运用中位数做决策】 思路：数据含极端值时用中位数决策，高于中位数为中上水平，低于为中下水平，反映整体中等层次。 【典例10】．某公司在招聘广告中说：“本公司新入职员工的月工资，中位数为6000元．”关于该公司新入职员工的工资，下列说法一定正确的是（    ） A．所有员工工资都是6000元 B．平均工资为6000元 C．一半员工工资等于6000元 D．至少有一半员工工资不低于6000元 【变式1】．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【变式2】．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【变式3】．某工厂生产两种型号的零件和，它们的抗压强度（单位：）数据的四分位数如下表所示： 型号 下四分位数/ 中位数/ 85 92 78 88 若工程要求零件抗压强度至少达到，且希望数据稳定性较高（波动较小），应优先选择零件__________（填“”或“”），理由：___________________________________________________． 【题型11 求众数】 技巧：统计数据出现频次，频次最高为众数；多数据频次相同且最高则多众数，全部频次一致则无众数。 【典例11】．2026东北超级志愿者评选，六位评委打分分别是8.6，8.9，9.3，9.1，8.9，9.4，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8.9，9.0 B．8.9，8.9 C．9.4，9.0 D．9.4，8.9 【变式1】．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【变式2】．植树节到来之际，某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织了20名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如表： 植树棵数 4 5 7 8 9 人数 8 5 2 3 2 若这20名学生所植树棵数的众数为m，中位数为n，则m与n的平均数为______． 【变式3】．某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 【题型12 利用众数求未知数据的值】 技巧：根据给定众数，确定未知数取值，保证该众数出现频次最高，排除不合理取值。 【典例12】．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【变式1】．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式2】．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 【变式3】．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【题型13 运用众数做决策】 思路：众数代表大众高频需求，进货、选款等场景优先选择众数对应方案，贴合多数需求。 【典例13】．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式1】．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．极差 D．中位数 【变式2】．下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 【变式3】．某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为_______________的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【题型14 解答题5道】 【典例14】．在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【变式1】．期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66  88  99  100  79  94  87  86  98  84 100  90  98   98  96  92  91  91  68  77 七（2）班：68  96  92  97  98  100  83  100  90  93 99  69  96  96  87   94  76   86  99  75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； (3)在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 【变式2】．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行问卷测试，结果采用百分制，结果越高，则表明对人工智能的关注程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84， 84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上述图表中，____，____，_____． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由． 【变式3】．根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____． (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 【变式4】．某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 05 过关•检测 1．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年1月1日起对居民生活用水按照新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究性学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如下表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是（    ） A．25，27.5 B．25，25 C．30，27.5 D．30，25 2．某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 3．如图，用雷达图展示小智参与数学教学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（    ） A．5.6 B．5.8 C．6.8 D．7.6 4．2025年12月4日是我国第十二个国家宪法日．为加强对学生的法治教育，弘扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动．活动结束后，进行了“法治知识”测评，下面是随机抽取的名学生的测试成绩（分）：，，，，，．则这名学生成绩的众数为（    ） A． B． C． D． 5．在浙BA联赛中，瑞安队某主力球员在5场比赛中的得分（单位：分）如下：13，16，16，18，21．则这组数据的中位数是（   ） A．13分 B．16分 C．18分 D．21分 6．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 7．某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 8．某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（    ） A．中位数落在C组 B．众数落在B组 C．平均数落在B组 D．无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 9．学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由变成，________的成绩增加最多． 10．某在线教育平台根据讲师近六个月的“课程内容质量”和“互动答疑效果”两项评分综合计算教师评分，两项权重及得分如下表所示，则该讲师的综合评分为_____分． 课程内容质量 互动答疑效果 得分 85 95 权重 11．某小组7名同学1分钟跳绳次数为：175，180，185，185，190，220，240．这组数据的中位数是________． 12．为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 13．某公司欲招聘一名职员，对甲、乙两名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_____． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 82 80 70 乙 80 90 62 14．在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表： 植树株数（株） 5 6 7 小组个数 3 4 3 则这10个小组植树株数的平均数是_____． 15．某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 16．年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 17．为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 (1)直接写出上述表中________，________，________； (2)根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） (3)若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 18．为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，激发学生对传统节日的探索热情，旭辉中学在七年级和八年级开展了“传统文化知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为4组：组．；组．；组．；组．，下面给出了部分信息： 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 八年级25名学生竞赛成绩数据是：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请根据上述信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ；并将条形统计图补充完整； (2)根据以上数据分析，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有名学生、八年级有名学生，请你估计该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数共是多少？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1数据的集中趋势 （6知识点+14题型+过关检测） 【题型1 求一组数据的平均数】 2 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 4 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 5 【题型4 利用平均数做决策】 7 【题型5 求加权平均数】 9 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 11 【题型7 运用加权平均数做决策】 14 【题型8 求中位数】 16 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 17 【题型10 运用中位数做决策】 20 【题型11 求众数】 22 【题型12 利用众数求未知数据的值】 23 【题型13 运用众数做决策】 25 【题型14 解答题5道】 27 1. 知识目标：精准掌握算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义、公式和性质，明确三类统计量的区别与适用场景。 2. 能力目标：熟练计算各类统计量，能根据已知条件求解未知数据，会利用三类统计量对实际问题做数据分析与合理决策。 3. 素养目标：建立数据分析观念，能根据数据特点选择合适的统计量描述数据集中趋势，提升数据处理与实际应用能力。 03 知识•梳理 知识点一、算术平均数和加权平均数 一般地，对于个数，我们把叫做这个数的算术平均数，简称平均数，记作.计算公式为. 特别说明：平均数表示一组数据的“平均水平”，反映了一组数据的集中趋势. （1）当一组数据较大时，并且这些数据都在某一常数附近上、下波动时，一般选用简化计算公式.其中为新数据的平均数，为取定的接近这组数据的平均数的较“整”的数. （2）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任一数据的变动都会相应引起平均数的变动.所以平均数容易受到个别特殊值的影响. 若个数的权分别是，则叫做这个数的加权平均数. 特别说明：（1）相同数据的个数叫做权，越大，表示的个数越多，“权”就越重. 数据的权能够反映数据的相对“重要程度”. （2）加权平均数实际上是算术平均数的另一种表现形式，是平均数的简便运算. 知识点二、中位数和众数 1.中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数. 特别说明：（1）一组数据的中位数是唯一的；一组数据的中位数不一定出现在这组数据中. （2）由一组数据的中位数可以知道中位数以上和以下数据各占一半. 2.众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数. 特别说明：（1）一组数据的众数一定出现在这组数据中；一组数据的众数可能不止一个；如果所有数据出现的次数都一样，那么这组数据就没有众数. （2）众数是一组数据中出现次数最多的数据而不是数据出现的次数. 知识点三、平均数、中位数与众数的联系与区别 联系：平均数、众数、中位数都是用来描述数据集中趋势的量，其中以平均数最为重要. 区别：平均数的大小与每一个数据都有关，任何一个数的波动都会引起平均数的波动，当一组数据中有个别数据太高或太低，用平均数来描述整体趋势则不合适，用中位数或众数则较合适.中位数与数据排列位置有关，个别数据的波动对中位数没影响；众数主要研究各数据出现的频数，当一组数据中不少数据多次重复出现时，可用众数来描述. 04 题型•汇总 【题型1 求一组数据的平均数】 核心公式：对于个数据，算术平均数 技巧：直接套用算术平均数公式，求和可凑整简化计算，细心核对数据个数。 【典例1】．小智参加演讲比赛，五位评委给他打的分值分别是：6分，7分，8分，9分，10分．五位评委所给分值的平均数是小智的最终得分，则他的最终得分是（   ） A．8分 B．分 C．9分 D．分 【答案】A 【分析】根据算术平均数的定义，将所有分数求和后除以分数的个数，即可得到小智的最终得分． 【详解】解：分， ∴他的最终得分是8分． 【变式1】．某排球队6名上场队员的身高（单位：cm）是：180，185，188，189，192，194，现用一名身高为的队员换下场上身高为的队员，与换人前相比，场上队员的身高平均数（   ） A．变大 B．变小 C．不变 D．都有可能 【答案】B 【详解】解：原数据的平均数为：， 新数据的平均数为． ， 与换人前相比，场上队员的身高平均数变小． 【变式2】．某中学数学兴趣小组10名同学的年龄情况如表所示： 年龄／岁 12 13 14 15 人数 1 2 3 4 这10名同学年龄的平均数是_______岁． 【答案】 【详解】解：这10名同学年龄的平均数是：（岁）． 【变式3】．某同学本学期体育素质历次测试的成绩（单位：分）如表所示： 测试类别 平时测试 期中测试 期末测试 第1次 第2次 第3次 成绩/分 84 85 86 80 90 如果本学期的总评成绩是将平时测试的平均成绩、期中测试成绩、期末测试成绩按的比例计算，该同学本学期体育素质的总评成绩是___________分． 【答案】86 【分析】先计算出平时测试的平均成绩，再根据加权平均数的计算方法求解总评成绩即可． 【详解】解： 总成绩(分)． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 步骤：先算数据总和（总和=平均数×个数），再用总和减去已知数据和，快速求出未知数。 【典例2】．黄河流域某河段年均流量变化数据，若一组数据28，32，30，x，34的平均数为31，则x的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】D 【分析】根据平均数计算公式列方程求解即可． 【详解】解：根据题意，得 解得． 【变式1】．已知一样本数据，4，5，5，6，m的平均数为5，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】利用平均数的计算公式，列方程求解即可． 【详解】解：数据，4，5，5，6，m的平均数为5， ，解得， 则数的值为． 【变式2】．已知一组数据，，，，的平均数是，则的值为______． 【答案】 【分析】根据算术平均数的定义，列出关于的一元一次方程，解方程即可得到的值． 【详解】解：由题意得：， ． 【变式3】．若一组数据2，3，x，5，7的平均数为4，则________． 【答案】3 【分析】根据平均数的定义，通过列一元一次方程求解未知数x的值． 【详解】解：∵一组数据2，3，x，5，7的平均数为4， ∴根据平均数的计算公式可得， 去分母，得 计算得 移项，得 解得， 故答案为：3． 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 规律：数据整体加减，平均数同步加减；数据整体倍数缩放，平均数同步缩放；多组数据总平均=总数据和÷总个数。 【典例3】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 【变式1】．如果一组数据的平均数是5，则数据的平均数是（   ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平均数的变化规律，利用平均数的运算性质得： 数据变化后计算平均数将其代入计算即可 ． 【详解】解：原数据平均数为5，即 ，即， 新数据为 ， 新平均数 ； 故选D． 【变式2】．某社区开展“低碳经济”知识竞赛，共有9名选手进入决赛．决赛的得分分别是：、、、、、、、、（单位：分）．如果每个分数减去该组数据的平均数，得到一组新数据，那么所得新数据的平均数是____________． 【答案】 【分析】本题考查平均数的定义与计算，根据平均数的运算性质，推导每个数据减去原平均数后新数据的平均数即可． 【详解】解：设原个数据分别为，原数据的平均数为，根据平均数的定义得 新数据为每个原数据减去原平均数，即，，，，设新数据的平均数为， 则 ． 【变式3】．已知一组数据，，的平均数是，那么另一组数据的平均数是____ 【答案】 【分析】本题考查了平均数，根据平均数的定义可得，则数据，，的平均数为，即可求解． 【详解】解：数据，，的平均数是， ， ， 则数据，，的平均数为 ． 故答案为：． 【题型4 利用平均数做决策】 思路：计算各组平均数，对比大小判断整体水平，结合数据是否有极端值，给出合理决策。 技巧：按权重公式计算，百分比权重可直接用“数据×占比”累加求和，计算更快捷。 【典例4】．数学期中考试，齐思所在班级的平均分是112分，苗想所在班级的平均分是122分，这次齐思的数学成绩与苗想相比（    ） A．齐思分数高 B．苗想分数高 C．他们分数一样 D．以上三种都有可能 【答案】D 【分析】本题考查平均数的认识：平均数反映的是一组数据的特征，不是其中每一个数据的特征，所以齐思和苗想所在班级的平均分不能代表他们的成绩，他们的成绩可能高于平均分，也可能低于平均分，也可能等于平均分． 【详解】解：齐思所在班级的平均分是112分，齐思的数学成绩可能低于112分，也可能高于112分，也可能正好是112分；苗想所在班级的平均分是122分，苗想的数学成绩可能低于122分，也可能高于122分，也可能正好是122分；所以齐思的成绩与苗想的成绩无法确定高低， 故选：D． 【变式1】．某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，他们的月工资各不相同．若该单位员工的月平均工资是1500元，则下列说法中正确的是（　　） A．所有员工的月工资都是1500元 B．一定有一名员工的月工资是1500元 C．至少有一名员工的月工资高于1500元 D．一定有一半员工的月工资高于1500元 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.它是反映数据集中趋势的一项指标，根据平均数的意义即可得到结论． 【详解】解：某单位有1名经理、2名主任、2名助理和11名普通职员，普通职员的人数占多数，该单位员工的月平均工资是1500元， ∴至少有一名员工的月工资高于1500元是正确的. 故选：C. 【变式2】．立德树人    最美人间四月天，正是读书好时节．总书记习近平曾指出，阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径，可以让人得到思想启发，涵养浩然之气．某中学在今年读书日来临之际，举行相关朗诵比赛，更好地落实五育并举的教育方针，促进师生珍惜时光、广泛阅读．下面是甲、乙、丙三名参赛选手的成绩（如表所示），每名选手的成绩由观众评分和评委评分两部分组成： 评分人 评分权重 甲 乙 丙 观众（学生） 95分 90分 93分 评委（老师） 90分 95分 92分 经过最后汇总，总分最高的是______________选手（填“甲、乙、丙”）． 【答案】乙 【分析】本题考查的是加权平均数的计算，根据加权平均数的定义先计算三人各自的平均数，再进行比较即可． 【详解】解：甲的平均成绩为：（分）， 乙的平均成绩为：（分）， 丙的平均成绩为：（分）， ， ∴总分最高的是乙选手． 故答案为：乙 【变式3】．为了从甲、乙两位选手中选择一位代表学校参加所在区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面进行了测试，他们各自的成绩(百分制)如下表： 选手 表达能力 阅读理解 综合素质 汉字听写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别占20%、10%、30%和40%计算两位选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，成绩较好的选手是___________． 【答案】乙 【分析】先分别求出两选手的加权平均成绩，然后比较即可解答． 【详解】解：=85×0.2+78×0.1+85×0.3+73×0.4=79.5 =73×0.2+80×0.1+82×0.3+83×0.4=80.4 ∵＞ ∴应选派乙． 故答案为乙． 【点睛】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数的求法以及运用加权平均数决策是解答本题的关键． 【题型5 求加权平均数】 步骤：代入加权平均数公式求解，核对权重总和无误即可。 【典例5】．在九年级学生评优活动中，综合成绩由“学业水平”和“综合素养”两项按比例组成．小康的“学业水平”为95分，“综合素养”为90分．若两项的权重分别为和，则小康的综合成绩为（） A．91 B．92 C．93 D．94 【答案】C 【分析】本题考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算规则，将两项成绩分别乘以对应权重后求和，即可得到综合成绩． 【详解】解：∵综合成绩为两项成绩分别乘以对应权重的和， ∴小康的综合成绩为：． 【变式1】．在语文期末评卷中，某位老师根据评分标准从“符合题意、语言、篇章”三个方面对一份作文做出了二类卷的评判，他的评判依据是“符合题意，中心突出，内容充实”占；“语言通顺，偶有语病”占；“篇章、结构完整，条理较清楚”占，若某位同学这三项的成绩（百分制）依次为80分，85分，90分．则该同学最后得分为（     ） A．81分 B．84分 C．85分 D．86分 【答案】C 【分析】根据各部分的权重和对应成绩，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵三个考查方面的权重分别为，，，对应成绩依次为80分，85分，90分． ∴该同学最后得分（分）． 【变式2】．小明参加演讲比赛，他的演讲形象，内容，效果三项分别是9分，8分，8分，若将三项得分依次按的比例确定成绩，则小明的最终比赛成绩为__________分． 【答案】8.3 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得（分）， 故小明的最终比赛成绩为8.3分． 【变式3】．学校举行舞蹈比赛，从服装、动作技巧、感染力三个方面打分，并按服装、动作技巧、感染力权重比为计算最终成绩，九年级（1）班和（2）班的成绩如下表，若（2）班的最终成绩超过（1）班，则（2）班的感染力得分至少应超过_________． 参赛班级 服装 动作技巧 感染力 九（1）班 75分 85分 80分 九（2）班 80分 75分 x分 【答案】87 【分析】根据权重比得到加权平均数的计算方法，结合“2班最终成绩超过1班”的条件列出一元一次不等式求解即可. 【详解】解：由服装、动作技巧、感染力权重比为，可得总权重为， 计算九（1）班的最终成绩为： ， 九（2）班的最终成绩为： ， 由题意得九（2）班最终成绩超过九（1）班，列不等式： ， 不等式两边同乘得： ， 移项得： 合并同类项得： 系数化为得： 故（2）班的感染力得分至少应超过. 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 步骤：设未知数，代入加权平均数公式列方程求解，核对权重总和无误即可。 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【变式1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【变式2】．校园歌手大赛中，小明的演唱技巧得分86分，舞台表现得分90分，两项按一定权重计算后的总分为分．则评委更看重______．（填“演唱技巧”或“舞台表现”） 【答案】演唱技巧 【分析】通过设未知数，根据总分列出方程，求出两项的权重，比较权重大小即可得到结论． 【详解】解：设演唱技巧的权重为，则舞台表现的权重为， 根据题意得： 解得， 则， ∵，演唱技巧的权重更大， ∴评委更看重演唱技巧． 【变式3】．学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 【题型7 运用加权平均数做决策】 题型场景：招聘、评优、选拔比赛等，不同考核项目权重不同。 极简技巧：严格按题目权重计算加权分，分数越高综合表现越好，以此作为评优、选拔决策依据。 【典例7】．在广播体操比赛活动中，学校对参赛班级进行了“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面的测评．若本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”要求最低，则根据这个要求，“动作规范、节奏统一、精神面貌、队形编排”四个方面比较合适的权重设计是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】权重大小对应测评项目的重要程度，重要性越高，权重越大，根据题干给出的四个项目的重要程度要求，即可判断符合条件的权重设计． 【详解】解：∵本次评比对“动作规范”要求最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之， ∴“动作规范”权重最高，“节奏统一”与“精神面貌”次之，“队形编排”权重最低， 观察各选项，只有选项A，，满足权重要求，符合题意． 故选：A． 【变式1】．某校在“科技创新”比赛中，对甲、乙、丙三项作品进行量化评分（百分制），如表： 项目作品 甲 乙 丙 创新性 90 95 90 实用性 90 90 95 如果按照创新性占，实用性占计算总成绩，并根据总成绩择优推荐，那么应推荐的作品是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．甲和丙 【答案】B 【分析】分别计算甲、乙、丙三项作品的总成绩，比较总成绩大小后择优推荐即可． 【详解】解：根据加权平均数公式，分别计算三项作品的总成绩： 甲的总成绩 （分）， 乙的总成绩 （分）， 丙的总成绩 （分）， ∵ ， ∴ 乙的总成绩最高，应推荐乙． 【变式2】．某公司计划从基层员工中择优提拔一名中层管理，经过第一轮考核后甲、乙两名候选人胜出，现对甲、乙两人进行“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试，测试成绩如下表： 候选人 测试项目 综合知识 工作业绩 人际交流 甲 乙 最终将“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试，按照的权重计算其总成绩，并提拔成绩更高者，则最终被公司提拔的员工是______． 【答案】甲 【分析】“综合知识”“工作业绩”“人际交流”三项测试的权分别为，，，根据加权平均数计算公式得甲的总成绩为：，乙的总成绩为：，由于，故甲的成绩更高，因此最终被公司提拔的员工是甲． 【详解】解：，，， 根据加权平均数计算公式， 甲的总成绩为：， 乙的总成绩为：， ， 甲的成绩更高， 故最终被公司提拔的员工是甲． 【变式3】．某校学生会举行换届选举，分笔试和演讲两部分，笔试和演讲成绩按计算最终成绩．若小明的笔试和演讲成绩分别为分，分，小亮的笔试和演讲成绩分别为分，分，则两名同学中最终成绩较高的是______．（填“小明”或“小亮”） 【答案】小明 【分析】由加权平均数计算公式代入数据计算后，比较两名同学最终成绩大小即可 【详解】解：小明的成绩为（分）；小亮的成绩为（分）； ∵， ∴小明的最终成绩较高． 【题型8 求中位数】 步骤：数据先排序，奇数个取中间数，偶数个取中间两数的平均数（口诀：奇取中，偶取均）。 【典例8】．小明同学一周内每天抄写词语的个数如下：12，15，10，14，13，11，16，该同学这一周抄写词语的个数的中位数是（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【详解】将这组数据从小到大重新排列，得到： ∵这组数据共有个，个数为奇数，中位数为排序后位于中间位置的数， ∴中位数是第个数，第个数为， 即该组数据的中位数为． 【变式1】．某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（     ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 【答案】B 【详解】解：将数据排序后，位于中间的数是6.9， 故中位数为6.9. 【变式2】．某篮球训练营40名队员的年龄情况如下表所示（单位：岁），则该训练营队员年龄的中位数为___岁． 年龄 12 13 14 15 人数 5 11 18 6 【答案】 14 【分析】根据中位数的定义，先确定数据总数为偶数，找到排序后对应位置的两个数据，再计算其平均数即可得到中位数． 【详解】解：将这名队员的年龄按照从小到大排序后，中位数为第个数据和第个数据的平均数，年龄为岁和岁的总人数为，年龄岁的人数为，可知年龄从第个到第个数据均为，因此第个和第个数据都为，则中位数为． 【变式3】．据调查，某班名学生所穿鞋子鞋号统计如表所示，则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数是_______． 鞋号 20 21 22 23 24 频数 【答案】 【分析】找中位数需要把数据按从小到大的顺序排列，若数据个数为偶数，中位数为最中间两个数的平均数，通过累计频数确定中间两个数即可求解． 【详解】解：总共有个数据， ∴数据个数为偶数， 中位数是从小到大排列后，第个和第个数据的平均数， 累计频数可得：鞋号的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 鞋号不大于的累计频数为， 因此第个和第个数据都是， 中位数为 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 技巧：确定中位数位置，分类讨论未知数取值区间，结合中位数数值求解，最后验证合理性。 【典例9】．如图是某地某月1日-5日的每天最高气温．若该月1日-7日每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同，则6日与7日的最高气温可能是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】B 【详解】解：从折线图可得1日-5日的每天最高气温的中位数为，而1日-7日这七天的每天最高气温的中位数与前五天每天最高气温的中位数相同， ∴6日与7日的温度既不能同时大于，也不能同时小于， 四个选项中，A选项中的两个温度都小于，C和D选项中的两个温度都大于，只有B选项符合． 【变式1】．某班进行趣味投篮比赛，每人投10次，6位参赛同学的命中次数整理如下表（单位：次）： 最小值 平均数 中位数 众数 最大值 3 a 6 6 b 根据以上信息，下列分析正确的是（     ） A．若，则b的最小值为7 B．若，则b的最大值为8 C．若，则a的最大值为 D．若，则a的最小值为6 【答案】C 【分析】先将6个数据从小到大排列，根据中位数、众数的定义确定数据关系，再结合平均数公式，对每个选项逐一计算判断即可． 【详解】解：设6位同学命中次数从小到大排列为 ， 由题意得 ，中位数为6， 所以 ，即， 因为众数是6， 若 ，则 ， 此时数据中最多只有1个6，不满足众数为6， 因此 ，6个数为 ，满足 ，所有数为不超过10的整数，6是唯一众数，总和满足 ． 若，则 ， 对A选项，若 ，则 ， ， ，不成立，A错误． 对B选项，取 ，数据 满足所有条件， 此时 ，B错误． 若，则 ， 对C选项，要使最大，需 最大， ， 取 ，此时 ，数据 满足所有条件， 故最大值为，C正确． 对D选项，要使最小，需 最小，取 ， 此时 ，数据 满足所有条件， 故最小值不是，D错误． 【变式2】．在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分三种情况讨论：；；，根据中位数的定义求解即可. 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 【变式3】．一组数据：3，9，2，m，7，它的中位数是4，则这组数据的平均数是______． 【答案】5 【分析】根据中位数的定义确定的值，再根据平均数的计算公式计算即可． 【详解】解：一组数据：，，，，，共个数据，它的中位数是， 将数据从小到大排序后，第个数为中位数， ∵已知中位数为4，且已知数据中比4小的数有2和3，比4大的数有7和9， ， 这组数据的平均数是． 【题型10 运用中位数做决策】 思路：数据含极端值时用中位数决策，高于中位数为中上水平，低于为中下水平，反映整体中等层次。 【典例10】．某公司在招聘广告中说：“本公司新入职员工的月工资，中位数为6000元．”关于该公司新入职员工的工资，下列说法一定正确的是（    ） A．所有员工工资都是6000元 B．平均工资为6000元 C．一半员工工资等于6000元 D．至少有一半员工工资不低于6000元 【答案】D 【分析】根据中位数的定义逐一判断即可． 【详解】解：该公司新入职员工月工资的中位数为6000元，说明工资排序后，中位数及中位数之后共有不少于一半的数据，这些数据都不低于6000元． A选项，中位数为6000元不能推出所有员工工资都是6000元，A错误． B选项，中位数和平均数是不同的统计量，无法推出平均工资为6000元，B错误． C选项，中位数不代表一半员工工资等于6000元，C错误． D选项，由中位数定义可知，至少有一半员工工资不低于6000元，D正确． 【变式1】．某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【答案】A 【详解】解：∵7名学生分数互不相同，将分数从小到大排序后，中位数是第4个分数， 又∵比赛共设3个获奖名额，获奖的分数是排序后前3个分数，均大于中位数， ∴该学生只需将自己的分数与中位数比较，若分数大于中位数，则可以获奖，反之不能获奖， 因此他应该关注的统计量是中位数． 【变式2】．某中学举行的“宪法伴你我，守一生平安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，前八名获奖．他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否获奖，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的_____（填“平均数”“中位数”或“众数”）； 【答案】中位数 【分析】15个不同成绩排序后，第8名的成绩为中位数，可据此判断该学生能否获奖． 【详解】解：由题意可知，15名学生决赛成绩各不相同，将成绩从小到大排列后，第8个数据为这组数据的中位数． 本次比赛前八名获奖，因此该学生将自己的成绩与中位数比较，即可判断是否获奖． 因此这名学生还需要了解这15名学生成绩的中位数． 【变式3】．某工厂生产两种型号的零件和，它们的抗压强度（单位：）数据的四分位数如下表所示： 型号 下四分位数/ 中位数/ 85 92 78 88 若工程要求零件抗压强度至少达到，且希望数据稳定性较高（波动较小），应优先选择零件__________（填“”或“”），理由：___________________________________________________． 【答案】 A 因为其中位数高于，且数据分布更集中 【分析】本题考查下四分位数与中位数的综合应用，熟悉下四分位数与中位数的意义是解决问题的关键． 比较两种零件的中位数与工程要求的关系，并利用下四分位数与中位数的差值评估数据稳定性． 【详解】解：工程要求抗压强度至少，零件的中位数为，高于，表明至少的零件满足要求； 零件的中位数为，低于，表明少于的零件满足要求。 同时，零件的下四分位数与中位数的差值为， 零件的差值为， 零件的差值较小，说明其抗压强度数据更集中，波动更小，稳定性更高． 故优先选择零件． 故答案为：，因为其中位数高于，且数据分布更集中． 【题型11 求众数】 技巧：统计数据出现频次，频次最高为众数；多数据频次相同且最高则多众数，全部频次一致则无众数。 【典例11】．2026东北超级志愿者评选，六位评委打分分别是8.6，8.9，9.3，9.1，8.9，9.4，则这组数据的众数和中位数分别是（     ） A．8.9，9.0 B．8.9，8.9 C．9.4，9.0 D．9.4，8.9 【答案】A 【详解】解：将这组数据从小到大排序得：，，，，，， ∵出现次，次数最多，其余数都只出现次， ∴众数为， ∵这组数据共个，个数为偶数，中位数是排序后中间两个数的平均数，中间两个数为和， ∴中位数为． 【变式1】．幼儿园老师带着一群小朋友在公园里玩游戏，他们的年龄分别是（单位：岁）：，，，，，，，，，，这组数据的众数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，据此即可解答． 【详解】解：在这组数据中，4出现次，出现次，出现次，6出现的次数最多，则这组数据的众数是． 【变式2】．植树节到来之际，某校在“爱护地球，绿化祖国”的活动中，组织了20名学生开展植树造林活动，其植树情况整理如表： 植树棵数 4 5 7 8 9 人数 8 5 2 3 2 若这20名学生所植树棵数的众数为m，中位数为n，则m与n的平均数为______． 【答案】4.5 【分析】根据题意可得，众数为4，总共有20个数据，中位数为从小到大排序后第10个数和第11个数的平均数，求出中位数，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，植树棵数为4的人数为8，人数最多，则众数为4，即， 总共有20个数据，中位数为从小到大排序后第10个数和第11个数的平均数， 第10个数和第11个数都为5，则中位数为5，即， 则m与n的平均数为． 【变式3】．某校开展了科技普及讲座，并进行了相关测试，随机抽取名学生的测试成绩（分）：，，，，，，则这名学生测试成绩的众数为______分． 【答案】 【详解】解：根据众数的定义，出现次数最多的数据是，故这组数据的众数为． 【题型12 利用众数求未知数据的值】 技巧：根据给定众数，确定未知数取值，保证该众数出现频次最高，排除不合理取值。 【典例12】．当5个自然数a，b，5，6，6从小到大排列后，其中位数是5，如果这组数据唯一的众数是6，那么所有满足条件的a，b中，的最大值是（     ） A．12 B．10 C．8 D．6 【答案】A 【分析】根据中位数和众数的定义确定的取值范围，再找出满足条件的使取最大值．中位数定义为奇数个数据从小到大排列后，位于中间位置的数；唯一众数要求6的出现次数大于其他所有数的出现次数． 【详解】解：∵这组数据共5个，从小到大排列后中位数是第3个数，且中位数为5，而已知数据中有两个6大于5， ∴排列后第3个数是5，可得 ， ∵原数据中6已经出现2次，且这组数据的唯一众数是6， ∴其他数的出现次数都必须小于2，若中有1个是5，则5出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若 ，则这个数出现2次，和6次数相同，众数不唯一； 若都是5，则5出现3次，众数为5，均不符合要求， ∴ ，为不同自然数，要使最大，取满足条件的最大，得，， ∴． 【变式1】．一组数据1，4，6，x，3，8，5的众数是3，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】C 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，该组数据的众数是3， ∴， 将该组数据从小到大排序为 ， ∵该组数据共有7个数，中位数是排序后位于中间位置的数，即第4个数， ∴该组数据的中位数为4． 【变式2】．若一组数据10，，10，10，8的平均数和众数相等，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定这组数据的众数，再利用平均数的计算公式，结合平均数与众数相等列方程求解． 【详解】解：这组数据中，已经出现次，出现次，无论取何值，都是这组数据中出现次数最多的数， 因此这组数据的众数为 由题意得，这组数据的平均数与众数相等， 因此可得 整理得 ， 解得 ． 【变式3】．已知、、的平均数与、、、、的唯一众数相同，则这个数的中位数是___________ ． 【答案】 【分析】根据众数的定义确定、、、、这组数据的众数，进而根据平均数的定义求出n的值，再根据中位数的定义可得答案． 【详解】解：、、、、有唯一众数， 、、、、这组数中的众数为， 、、的平均数与、、、、的唯一众数相同， 、、的平均数为， ∴ ， 这个数这个数为， 从小到大排列依次是：、、、、、、、， 这个数的中位数是． 【题型13 运用众数做决策】 思路：众数代表大众高频需求，进货、选款等场景优先选择众数对应方案，贴合多数需求。 【典例13】．某商场上月空调的销售情况如表所示：商场经理决定本月增加库存时多加一些品牌空调，可用来解释这一决定的统计量是（     ） 品牌 销售量/台 260 140 300 480 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】根据不同统计量所反映的数据特征：平均数反映平均水平，中位数反映中等水平，方差反映数据的波动程度，而众数反映的是数据中出现次数最多(即最热门，最集中)的情况，商场经理根据销量决定进货，关注的是销量最大的品牌，这与众数的定义相符，据此即可解答． 【详解】解：从表格数据可知，品牌空调的销售量(480台)高于其他所有品牌，是销量最高的品牌，众数表示一组数据中出现次数最多的数，对应本题情境中代表销量最高、最受欢迎的品牌，而平均数反映平均销售量，中位数反映销售量的中间水平，方差反映数据的波动程度，都无法直接体现哪个品牌最畅销，故经理的决定可以用众数解释． 【变式1】．某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周中不同尺码的衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 平均每天销售数量/件 10 12 20 12 12 该店主决定本周进货时，增加了一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．众数 C．极差 D．中位数 【答案】B 【分析】店主根据不同尺码衬衫的销量调整进货量，需要多进销量最高的尺码，只需根据各统计量的意义判断即可 【详解】解：∵这组销售数据中，41码的平均日销量最高，销售数量最多，是这组数据的众数，因此影响该店主决策的统计量是众数； ∴答案选B 【变式2】．下面是某校30名学生上学路上所花的时间（单位：分钟）： 30，20，15，20，20，25，30，5，25，20，10，15，20，45，10，20，12，30，20，15，20，20，10，5，8，20，20，5，20，15． 若随机地问一个学生上学路上要用多少时间，你认为最可能得到的回答是______分钟． 【答案】20 【分析】统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数据即可． 【详解】解：统计题中各上学时间的出现次数：分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次，分钟出现次， 可知这组数据的众数为， 因此随机问一个学生上学路上所用时间，最可能得到的回答是分钟． 【变式3】．某男装专卖店专营某品牌夹克，店主统计了一周中不同尺码的夹克销售量如下表，如果每件夹克的利润相同，你认为下一周应进尺码为_______________的夹克最多． 尺码 38 40 42 44 46 平均一周销售量（件） 10 12 20 12 12 【答案】42 【分析】本题考查了众数，熟练掌握定义是解题的关键．由于每件夹克利润相同，销售量最大的尺码应多进货，尺码42的销售量最大，为众数． 【详解】解：由统计表可知，尺码为38的夹克销售10件，尺码为40的夹克销售12件，尺码为42的夹克销售20件，尺码为44的夹克销售12件，尺码为46的夹克销售12件，其中尺码为42的夹克销售量最大，为20件，因此这组数据的众数是42，所以下一周应进尺码为42的夹克最多． 故答案为：． 【题型14 解答题5道】 【典例14】．在“大美山东，宜居家园”美丽乡村建设演讲比赛中，评委对每位参赛选手的“演讲效果”和“演讲技巧”进行打分．选手编号分别为、、、、的5位选手的成绩如图所示． 请根据上图信息解答下列问题： (1)5位选手“演讲效果”成绩的众数是__________分，“演讲技巧”成绩的中位数是__________分； (2)5位选手“演讲技巧”成绩的平均分__________分； (3)根据规定，“演讲效果”与“演讲技巧”成绩按一定比例计算最终成绩，若选手按比例计算后最终成绩为83.5分，求“演讲效果”所占比例为多少（结果为百分比）？ 【答案】(1)90，85 (2)86 (3) 【分析】（1）提取所有选手的“演讲效果”成绩，根据众数定义找出现次数最多的数值；提取所有选手的“演讲技巧”成绩，按从小到大排序后取中间位置的数得到中位数． （2）提取所有选手的“演讲技巧”成绩，代入平均数公式，计算总成绩除以总人数的商． （3）设“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”所占比例为，因为选手B的两项成绩已知、最终成绩已知，所以根据加权平均数的计算方法列方程，求解方程即可． 【详解】（1）解：∵5位选手“演讲效果”成绩出现次数最多的是90， ∴5位选手“演讲效果”成绩的众数是90分， ∵5位选手“演讲技巧”成绩按从小到大顺序排列为：80，80，85，90，95， ∴5位选手“演讲技巧”成绩的中位数是85分； （2）解：5位选手“演讲技巧”成绩的平均分为（分） （3）解：设选手B“演讲效果”所占比例为，则“演讲技巧”为， 根据题意得：， 解得， 答：选手B“演讲效果”所占比例为． 【变式1】．期末考试后，教务处刘老师随机抽取了七年级两个班各20名同学历史成绩进行统计分析成绩如下（百分制）： 七（1）班：66  88  99  100  79  94  87  86  98  84 100  90  98   98  96  92  91  91  68  77 七（2）班：68  96  92  97  98  100  83  100  90  93 99  69  96  96  87   94  76   86  99  75 刘老师对上述成绩进行整理、描述数据： 频数分数段班级 七（1）班 2 2 a 12 七（2）班 2 2 3 13 分析数据： 统计量年级 平均数 中位数 众数 七（1）班 89.1 91 c 七（2）班 89.7 b 96 根据上述数据，回答下列问题： (1)填空：________，________，________； (2)该校七年级共12个班，每班人数均为50人，请估算在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数； (3)在这次期末考试中，你认为以上两班中哪个班学生的历史成绩较好，并说明理由． 【答案】(1)4；93.5；98 (2)60人 (3)七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好．（答案不唯一，合理即可）． 【分析】（1）先根据七（1）班成绩得出a的值，再根据中位数和众数的定义求解b和c即可． （2）用样本估计总计即可． （3）利用平均数和中位数的定义做决策即可． 【详解】（1）解：七（1）班成绩之间的人数有4人，故， 七（1）班成绩出现次数最多的是3次，为98，故， 七（2）班从小到大成绩排列为：68，69，75，76，83，86，87，90，92，93，94，96，96，96，97，98，99，99，100，100， 则中位数为第10位和第11位的平均数，即． （2）解：估计在期末考试中历史成绩可以得到满分的人数为：（人）， 答：期末考试中历史成绩可以得到满分的人数约有60人； （3）解：七（2）班的历史成绩较好．理由：比较两班学生的测试成绩可知，七（2）班学生成绩的平均数比七（1）班的高，中位数比七（1）班大，以上分析说明，七（2）班得高分的人数更多，所以，七（2）班的历史成绩较好． 【变式2】．人工智能是当前科技领域的热门话题，特别是上线后，在知识类任务上水平显著提升，生成速度大幅提高．某学校为了解该校学生对人工智能的关注程度，对全校学生进行问卷测试，结果采用百分制，结果越高，则表明对人工智能的关注程度就越高．现分别从八、九年级学生中随机抽取20名学生的测试成绩进行整理和分析（得分用x表示，且为整数，共分为5组：A组：，B组：，C组：，D组：，E组：），下面给出了部分信息： 八年级被抽取的学生测试得分的所有数据如下： 50，51，59，65，66，73，76，79，83，84， 84，84，84，86，88，88，92，93，97，98． 九年级被抽取的学生测试得分中D组包含的所有数据如下： 88，88，87，88，88，85，85，89． 八、九年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数/分 众数/分 中位数/分 八年级 79 a 84 九年级 79 88 b 根据以上信息，解答下列问题： (1)填空：上述图表中，____，____，_____． (2)根据以上数据，你认为该校八、九年级哪个年级的学生对人工智能的关注程度更高？请说明理由． 【答案】(1)84；85；40 (2)九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高．理由： ∵八、九年级被抽取的学生测试得分的平均数相同，但九年级测试得分的中位数、众数均大于八年级， ∴九年级的学生对人工智能的关注与了解程度更高． 【分析】（1）根据众数的定义确定八年级的众数a；根据中位数的定义确定九年级的中位数b；再求出九年级D组所占的百分比即可； （2）根据平均数或中位数或众数的数据比较结果回答即可； 【详解】（1）解：八年级被抽取的学生测试得分的所有数据中，84出现4次是出现次数最多的数据， ． 九年级被抽取的学生测试得分， A组有：（个）， B组有：（个）， C组有：（个）， 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组的第1、2个的平均数， D组数据从小到大排序后为：85，85，87，88，88，88，88，89， ． 九年级被抽取的学生测试得分的中位数是D组共有8个数据， D组占比． ． （2）略 【变式3】．根据中国电影观众满意度调查结果，电影《飞驰人生3》以87.3分的成绩位居2026年春节档满意度榜首．某社团为了解学生对《飞驰人生3》的喜爱程度，现从七、八年级学生中各随机抽取了20名学生展开问卷调查，并对收集的评分数据进行整理、描述和分析（评分用表示，共分成四组：A．，B．，C．，D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生的评分为： 70，81，83，83，88，91，91，91，92，92，94，94，94，94，96，100，100，100，100，100． 八年级20名学生的评分在组的数据是： 91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，100，100． 七、八年级抽取的学生评分统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 91.7 93 八年级 91.7 99 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_____，_____，_____． (2)根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级的学生更喜欢《飞驰人生3》？请说明理由（写出一条理由即可）． (3)该校七、八年级共有3000名学生，请估计该校七、八年级非常喜欢（）《飞驰人生3》的学生人数． 【答案】(1)92.5；100；5； (2)解：七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》，理由：因为七年级的中位数和众数均高于八年级，所以七年级的学生更喜欢《飞驰人生3》；（答案不唯一） (3)2025名 【分析】（1）根据中位线、众数的定义可知a、b的值，根据统计图及八年级20名学生的评分在D组的数据可知m的值； （2）根据中位数和众数判断即可； （3）用3000乘以七、八年级非常喜欢《飞驰人生3》的学生比例即可． 【详解】（1）解：∵八年级20名学生评分的中位数为从小到大第10、11位的平均值，D组的数据是：91，91，92，93，94，95，99，99，99，99，99，100，100， ∴； 七年级20名学生评分出现次数最多的为100，故； 八年级20名学生的评分在D组的有12名，A组的有1名，B组的有2名， 故C组的有，即； （2）略； （3）解：根据题意，七年级评分在的有15名，八年级评分在的有13名， 名． 【变式4】．某校组织七、八年级学生去石家庄研学，并在研学基地开展了传统文化教育活动．活动结束后组织了一场传统文化知识竞赛，竞赛满分为100分．现随机抽取七、八年级各人的竞赛成绩，统计整理并绘制了如下不完整的统计图表： ①将抽查的两个年级成绩（用表示）进行整理，并将成绩分为4个等级： A．；B．；C．；D．． ②八年级B等级学生成绩为：82，86，86，84，86，84，86，89，88，85； 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 80 80 79 45.7 八年级 85 86 32.9 根据以上信息解答下列问题： (1)补全条形统计图，题中________表格中________； (2)若该校七年级有1200名学生，八年级有900名学生，请你估计该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共________人； (3)请从平均数、中位数、众数、方差中任选两个统计量评价哪个年级传统文化知识掌握情况较好？ 【答案】(1)如图所示： ，40 ； 86 (2)780 (3)八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好．八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好．（答案不唯一） 【分析】（1）根据八年级人数可得，然后求出七年级B等级的人数，进而可补全条形统计图，最后根据中位数的计算得到的值． （2）根据样本百分比估算总体数量的方法即可求解； （3）根据调查数据作决策即可． 【详解】（1）解：（人）， 则七年级B等级的人数有：（人） 补全条形图略， ∵七、八年级各抽取了人，八年级组有人，组有人，组有人，组有人， ∴八年级的中位数为排序后第位同学成绩的平均数， 八年级等级学生成绩从大到小排序为：， ∴． （2）解：（人）， 答：该校七年级和八年级学生成绩达到A等级及以上的学生人数共约人， （3）解：八年级的传统文化知识掌握情况较好，理由如下， ∵八年级平均数大于七年级，说明八年级总体掌握情况比七年级好． 八年级众数是86，七年级众数是79，所以八年级掌握情况比七年级好． 05 过关•检测 1．根据国家发改委实施“阶梯水价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2017年1月1日起对居民生活用水按照新的“阶梯水价”标准收费，某中学研究性学习小组的同学们在社会实践活动中调查了30户家庭某月的用水量，如下表所示： 用水量（吨） 15 20 25 30 35 户数 3 6 7 9 5 则这30户家庭该月用水量的众数和中位数分别是（    ） A．25，27.5 B．25，25 C．30，27.5 D．30，25 【答案】D 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后，若数据个数为偶数，取中间两个数的平均数． 【详解】解：∵一共30个数据，用水量为30吨的户数最多，共9户， ∴这组数据的众数为30； 将30户用水量从小到大排列，计算累计户数得：15吨累计3户，20吨累计户，25吨累计户， ∴第15个和第16个数据都是25， ∴中位数为， 因此众数为30，中位数为25． 2．某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】根据给定的比例确定权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵三项评分的比例为，总权重和为， ∴该选手综合得分为． 3．如图，用雷达图展示小智参与数学教学活动过程中探索学习、动手操作、沟通合作、创新、问题解决五项能力的得分，分别按进行综合评价，则他的综合得分为（    ） A．5.6 B．5.8 C．6.8 D．7.6 【答案】D 【详解】解：由题意得， 4．2025年12月4日是我国第十二个国家宪法日．为加强对学生的法治教育，弘扬法治精神，维护宪法权威，某校开展了“宪法宣传周”系列教育活动．活动结束后，进行了“法治知识”测评，下面是随机抽取的名学生的测试成绩（分）：，，，，，．则这名学生成绩的众数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据众数的定义，找出这组数据中出现次数最多的数即可得到答案． 【详解】解：统计题干中每个成绩的出现次数： 出现1次，出现2次，出现1次，出现1次，出现1次， ∵出现的次数最多， ∴这名学生成绩的众数为． 5．在浙BA联赛中，瑞安队某主力球员在5场比赛中的得分（单位：分）如下：13，16，16，18，21．则这组数据的中位数是（   ） A．13分 B．16分 C．18分 D．21分 【答案】B 【分析】本题考查中位数的概念，解题思路为先将数据按大小排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数位置． 【详解】解：∵ 将这组数据从小到大排序为 ，，，，，数据总个数为 5，是奇数， ∴ 中位数为排序后第3 个数据， ∵ 第三个数据为 ， ∴ 这组数据的中位数是分． 6．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的阅读课外书的情况（次数），并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图．设抽取的学生中，一周内读课外书3次的学生数有人，下列说法正确的是（    ） A．这组数据的平均数是3 B．这组数据的平均数与无关 C．当时，这组数据的众数为10 D．当时，这组数据的中位数为2 【答案】D 【分析】根据条形统计图读出各阅读次数对应的人数，计算总人数和总阅读次数，结合平均数、众数、中位数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：由图可知，阅读0次、1次、2次、4次、5次的人数分别为4、6、8、10、2人，阅读3次的人数为人， 总人数为， 总阅读次数为． 对于A、B，平均数，显然平均数与有关且不恒为3，故A、B错误； 对于C，当时，阅读4次的人数最多（10人），故众数为4，故C错误； 对于D，当时，总人数，则中位数应在第14-18人之中，，，则这组数据的中位数为2，故D正确． 7．某校现有学生1800人，为了增强学生的法律意识，学校组织全体学生进行了一次普法教育和测试．随机抽取部分测试成绩（满分100分，成绩为整数）作为样本，并绘制成频数直方图（如图）．下列判断不正确的是（     ） A．共抽取了48人的测试成绩 B．估计本次测试中全校在90分以上的学生有225人 C．样本的中位数落在这一分数段内 D．样本中80分以上的人数占总体的 【答案】D 【详解】解：选项A中，根据频数分布直方图中每一组内的频数总和等于总数据个数，知本次随机抽查的学生人数为（人），所以共抽取了48人的测试成绩，说法正确，故选项A不符合题意； 选项B中，48人中90分以上的学生有6人，占，所以全校在90分以上的学生约有（人），说法正确，故选项B不符合题意； 选项C中，读图即可知48个样本的中位数是第24和25这两个数据的平均数，数据按从小到大排列，频数，，所以样本的中位数落在这一分数段内，说法正确，故选项C不符合题意； 选项D中，样本中80分以上的人数有人，占总体人数的，说法不正确，故选项D符合题意． 8．某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，随机抽取若干名学生进行调查，将每周阅读时间x（小时）分成五组，分组情况如下：A：，B：，C：，D：，E：，并将获得的数据整理后绘制成不完整的统计图，如图，下列说法正确的是（    ） A．中位数落在C组 B．众数落在B组 C．平均数落在B组 D．无法确定中位数、平均数、众数落在哪一组 【答案】D 【分析】根据中位数，众数，平均数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、由图可得调查总人数为（人）， ∴A组人数为（人），中位数是从小到大排列后的第25个和第26个数据的平均数， ∴A组和B组人数一共为（人）， ∴第25个数据为B组的最后一个，则第26个数据是C组第一个， ∴当第25个数是3，第26个数是4时，中位数为，则在B组； 当第25个数是3，第26个数是5时，中位数为，则在C组； ∴中位数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； B、由题意得，D组人数为（人）， ∴可得B组人数最多，但这只表示每周阅读时间在范围内的人数最多， ∵不知道每组内数据的具体分布情况， ∴无法确定具体的众数，即无法确定众数落在哪一组，故选项不符合题意； C、∵E组数据范围为， ∴当E组数据都为8时，平均数为，则落在C组； 当E组数据都为15时，平均数为，则落在D组； ∴平均数不能确定在哪一组，故选项不符合题意； D、综上所述，中位数，众数，平均数所在组均无法确定，故选项符合题意． 9．学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由变成，________的成绩增加最多． 【答案】小亮 【分析】根据加权平均数的计算公式，分别计算权重变化前后三人的加权平均分，计算各人成绩的变化量，比较变化量即可得到结果． 【详解】解：权重比变化前为，总权数和为， 因此三项的权重分别为，，， 权重比变化后为，总权数和为， 因此三项的权重分别为，，． 小明变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小明成绩变化：（分）； 小亮变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小亮成绩变化：（分）； 小丽变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小丽成绩变化：（分）， 比较三人成绩变化量，可得，因此小亮的成绩增加最多． 10．某在线教育平台根据讲师近六个月的“课程内容质量”和“互动答疑效果”两项评分综合计算教师评分，两项权重及得分如下表所示，则该讲师的综合评分为_____分． 课程内容质量 互动答疑效果 得分 85 95 权重 【答案】 【详解】解：（分）． 11．某小组7名同学1分钟跳绳次数为：175，180，185，185，190，220，240．这组数据的中位数是________． 【答案】185 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，数据个数为奇数时，位于最中间的数即为这组数据的中位数，据此求解即可． 【详解】解：将这组数据按从小到大的顺序排列如下：，，，，，，， 这组数据共个，个数为奇数，最中间的数是， 因此这组数据的中位数是． 12．为举办读书节活动，我校计划选拔一名英语主持人，选拔共分为读、听、写三轮，其中小丽参加选拔的各项成绩如下： 项目 读 听 写 成绩（分） 若把读、听、写的成绩按计入总分，则小丽的个人总分为_______分． 【答案】 【分析】根据读，听，写三项的成绩和对应权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：小丽的个人总分为： ． 13．某公司欲招聘一名职员，对甲、乙两名应聘者进行了综合知识、工作经验、语言表达等三方面的测试，他们的各项成绩如下表所示．如果将每位应聘者的综合知识、工作经验、语言表达的成绩按的比例计算其总成绩，并录用总成绩最高的应聘者，则被录用的是_____． 项目应聘者 综合知识 工作经验 语言表达 甲 82 80 70 乙 80 90 62 【答案】乙 【分析】分别计算甲、乙两名应聘者的加权平均数，比较大小即可求解. 【详解】解：由题意得 ∴被录用的是乙. 14．在植树节当天，某校一个班同学分成10个小组参加植树造林活动，10个小组植树的株数见下表： 植树株数（株） 5 6 7 小组个数 3 4 3 则这10个小组植树株数的平均数是_____． 【答案】6 【分析】根据加权平均数的计算方法，先求出植树总株数，再除以小组总个数即可得到平均数． 【详解】解：由表格可得，总小组个数为，植树总株数为 根据平均数公式，平均数为． 15．某校在一次班班有歌声评比活动中，A，B两班各项得分如表． 精神面貌 演唱质量 整体规范 A 86 91 87 B 90 85 92 (1)如果根据三项得分的平均分从高到低确定名次，那么两个班级的排名顺序怎样？ (2)若学校认为这三个项目的重要程度有所不同，而给予“精神面貌”“演唱质量”“整体规范”三个项目在总分中的占比为，那么两个班级的排名顺序又怎么样？ 【答案】(1) 排名顺序为B班第一，A班第二 (2) 排名顺序为A班第一，B班第二 【分析】（1）分别计算两个班级的平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序； （2）分别计算两个班级的加权平均数，通过比较平均数大小确定排名顺序. 【详解】（1）解：；， ， 排名顺序为B班第一，A班第二； （2）解： ；， ， 排名顺序为A班第一，B班第二. 16．年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)；； (2)见解析 (3)人 【分析】（1）从扇形统计图中，读取信息，根据中位数和众数的确定方法求出的值，根据百分比的计算，求出； （2）利用中位数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）； 由题意可得，组的人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）； 把组的数据从小到大排列为：，，，，，， 七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是， ∴； ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴； ∵七年级组的人数为：（人）， ∴， ∴． （2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好， 理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数， ∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好． （3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人； 把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人， ∴； 答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人． 17．为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 (1)直接写出上述表中________，________，________； (2)根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） (3)若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 【答案】(1)，，； (2)三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． (3)1230人． 【分析】（1）根据众数，中位数，圆心角的计算求解即可； （2）根据中位数解答即可； （3）利用样本估计总体思想求解即可； 【详解】（1）解：142出现的次数最多，3次，故众数， 根据题意，A组人数为：（人），B组人数为：9（人）， 中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故中位数， 因为， 所以 故； （2）解：三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． （3）解：根据题意，得（人） 答：估计该校三年级学生身高不低于130cm的学生共有1230人． 18．为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，激发学生对传统节日的探索热情，旭辉中学在七年级和八年级开展了“传统文化知识竞赛”，并从七年级和八年级的学生中分别随机抽取了25名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数），通过收集、整理、描述和分析（得分用表示，共分为4组：组．；组．；组．；组．，下面给出了部分信息： 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 八年级25名学生竞赛成绩数据是：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 七、八年级被抽取的学生测试得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级 八年级 请根据上述信息，解答下列问题： (1)填空： ， ， ；并将条形统计图补充完整； (2)根据以上数据分析，你认为该中学七年级和八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更优秀？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校七年级有名学生、八年级有名学生，请你估计该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生人数共是多少？ 【答案】(1)88，84，16， (2)见解析 (3)784人 【分析】（1）根据中位数，众数，百分比的计算公式解答即可； （2）利用中位数，众数作出决策，求解即可； （3）利用样本估计总体计算即可． 【详解】（1）解：根据数据：98，96，96，94，92，92，90，90，89，88，88，88，85，85，84，83，82，81，80，80，78，77，75，71，68． 得88出现次数最多，3次， 故八年级25名学生竞赛成绩的众数为分； 根据题意，得七年级25名学生竞赛成绩在组的人数为：（人） 中位数是第13个数据，C，D两组的人数为11人， 故中位数落在B组， 七年级25名学生竞赛成绩在组中的数据是：89，83，84，86，88，85，87，89． 从小到大重新排序为：， 故中位数分； 根据题意，得， 故； （2）解：八年级学生的竞赛成绩更优秀； 在这两个年级中，因为八年级成绩的中位数更大些． （3）解：（名）． 答：该校七、八年级参加此次传统文化知识竞赛成绩达到优秀（）的学生共有784人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $