24.1数据的集中趋势寒假预习讲义（5知识点+13大题型+过关检测）2025-2026学年人教版八年级数学下册寒假预习（知识点+题型精讲）

24.1数据的集中趋势寒假预习讲义 （5知识点+13大题型+过关检测） 【题型1 求一组数据的平均数】 1 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 2 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 3 【题型4 利用平均数做决策】 5 【题型5 求加权平均数】 8 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 9 【题型7 运用加权平均数做决策】 11 【题型8 求中位数】 13 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 14 【题型10 运用中位数做决策】 16 【题型11 求众数】 17 【题型12 利用众数求未知数据的值】 19 【题型13 运用众数做决策】 20 1. 初步理解数据集中趋势的意义，知道平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的三种主要统计量，明确三者的核心作用是反映一组数据的“集中水平”。 2. 掌握平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义，能根据简单的一组数据，准确计算出这三种统计量，牢记计算的基本步骤。 3. 初步区分平均数、中位数、众数的适用场景，能结合数据特点，判断哪种统计量更能反映一组数据的集中趋势，为课堂深入学习和应用铺垫基础。 4. 能结合简单的实际情境（如学生成绩、商品售价等），识别数据中的平均数、中位数、众数，感知三种统计量在生活中的应用。 模块三 知识点梳理 知识点一：算数平均数 算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 知识点二：加权平均数 加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数。 知识点三：中位数 中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇个数据（）或偶个数据（）。 第3步：如果是奇个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数，中位数是中间两个数据的平均数。 知识点四：众数 众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 平均数、中位数、众数的区别： 1、平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大。 2、 当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。 3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影响,这在有些情况下是一个优点。 知识点五：三种统计量的对比 统计量 核心特点 优点 缺点 适用场景 平均数（算术/加权） 利用所有数据计算，反映整体平均水平 全面利用数据信息，计算简便，应用广泛 易受极端值影响，数据有极端值时，结果偏离集中趋势 数据无极端值、各数据重要程度相同（算术）；各数据重要程度不同（加权） 中位数 仅与数据的排列位置有关，反映中间水平 不受极端值影响，计算简单，稳定性强 未利用所有数据信息，不能反映整体平均水平 数据有极端值、需要反映中间水平 众数 仅与数据的出现次数有关，反映最普遍水平 通俗易懂，能快速反映数据的普遍情况，不受极端值影响 未利用所有数据信息，可能有多个众数或无众数，稳定性差 需要找出最普遍、最常见的数据（如销量、尺码等） 预习易错点梳理 1. 计算加权平均数时，漏乘权重、混淆数据与权重的对应关系，或权重求和错误； 2. 求中位数时，未对数据排序，或数据个数为偶数时，忘记取中间两个数据的平均数； 3. 判断众数时，数错数据出现次数，或忽略“多个众数”“无众数”的情况； 4. 混淆三种统计量的适用场景，如数据有极端值时，仍用平均数反映集中趋势； 5. 计算过程中粗心大意，出现加减乘除计算错误，导致统计量结果错误。 模块四 题型汇总 【题型1 求一组数据的平均数】 【典例1】．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查算术平均数的计算，根据算术平均数的定义，将所有数据求和后除以数据的个数即可得到结果． 【详解】解：根据题意，得这组数据的平均数为， 故选：B． 【变式1-1】．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了平均数的计算，计算一周总睡眠时间除以总天数7，得到平均睡眠时间即可． 【详解】解：小王这一周的平均睡眠时间为：（小时）， 故选：B． 【变式1-2】．某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是 分（精确到）． 【答案】 【分析】本题考查了平均数的求解，先计算两个班的总分数和总人数，再求总平均分，最后精确到分即可． 【详解】解：一班总分数为（分）， 二班总分数为（分）， 两个班总分数为（分）， 总人数为（人）， 总平均分为（分）， 故答案为：． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 【典例2】．若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平均数的概念和一元一次方程的解法，熟练掌握平均数的计算公式是解题的关键． 根据平均数的定义，先求出这组数据的总和，再列出关于的方程，通过解方程求出的值． 【详解】解：， ， ， ， 故答案为：． 【变式2-1】．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是 ． 【答案】 80，82，90 【分析】本题考查数的和差问题，根据平均数求出每两个数的和，再通过三个和相加得到三个数总和的两倍，从而求出总和，最后分别减去每两个数的和得到每个数． 【详解】解：甲数和乙数的平均数是81，故甲数和乙数的和为； 甲数和丙数的平均数是85，故甲数和丙数的和为； 乙数和丙数的平均数是86，故乙数和丙数的和为； 将三个和相加：，这是甲、乙、丙三个数总和的两倍，故三个数总和为； 丙数为：；乙数为：；甲数为：． 故答案为：80，82，90． 【变式2-2】．气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 【答案】C 【分析】本题考查了平均数，熟练掌握平均数的计算方法是解题的关键； 根据平均数倒推星期三的气温即可． 【详解】解：∵平均气温为 ∴这一周气温总和为 周三温度为： 故选：C． 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【典例3】．已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【答案】2019 【分析】本题考查了平均数的定义，利用平均数的定义，计算新数据总和与原数据总和的关系，再求新平均数． 【详解】解：设原数据，，，的总和为S，则，即， 新数据，，，的总和为， ∴新平均数为． 故答案为：2019． 【变式3-1】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是求解平均数，利用样本估计总体，求解数据的平均数即可． 【详解】解：， 本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为． 故选：B 【变式3-2】．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【答案】C 【分析】本题考查了平均数．结合一组数据的平均数是2，得，则，即可作答． 【详解】解：∵一组数据的平均数是2， ∴， 即， 则 ， 故选：C 【题型4 利用平均数做决策】 【典例4】．学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况： 班长 团支部书记 学习委员 思想表现 24 26 28 学习成绩 26 24 27 工作能力 28 26 24 (1)如果把三名同学各项成绩的平均数作为综合成绩，应该选谁为优秀学生干部？ (2)若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按：：的比例计算个人总分，请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部． 【答案】(1)学习委员应当选 (2)班长应当选 【分析】本题考查算术平均数，加权平均数，根据平均数做决策，掌握算术平均数，加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）根据算术平均数的计算方法计算，再根据平均数进行判断即可； （2）根据加权平均数的计算方法计算，再根据平均数进行判断即可． 【详解】（1）解：班长的成绩为（分）， 团支部书记的成绩为（分）， 学习委员的成绩为（分）， ∵， ∴应该选学习委员为优秀学生干部； （2）解：班长的成绩为：（分）， 团支部书记的成绩为：（分）， 学习委员的成绩为（分）， ， ∴班长应当选为优秀学生干部． 【变式4-1】．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，神舟十八号与神舟十九号航天员顺利会师．某校团委组织了“中国梦·航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分） 项目班级 知识竞赛 演讲比赛 手抄报创作 项目班级 1班 85 91 88 1班 2班 90 84 87 2班 (1)如果根据三项成绩的平均数计算最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． (2)如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． 【答案】(1)1班将获胜 (2)2班将获胜 【分析】本题主要考查了根据平均数和加权平均数做决策，熟知平均数和加权平均数的计算方法是解题的关键． （1）把对应班级三个项目的得分相加除以3可求出对应班级的平均成绩，比较即可得到答案； （2）把对应班级三个项目的得分乘以其对应的权重后再相加除以10可求出对应班级的加权平均成绩，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：1班的最终成绩为分， 2班的最终成绩为分， ∵， ∴1班将获胜； （2）解：1班的最终成绩为分， 2班的最终成绩为分， ∵， ∴2班将获胜． 【变式4-2】．某科技公司招聘一名研发工程师，对甲、乙两名候选人进行了三项测试，测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 甲 乙 专业理论知识 技术实操水平 团队协作能力 (1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作能力同等重要，从甲、乙的平均成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为团队协作能力更重要，对专业理论知识、技术实操水平、团队协作能力分别赋权，，，计算甲、乙两人的平均成绩．从成绩看，谁将被录取？ 【答案】(1)甲将被录用 (2)乙将被录用 【分析】本题考查的知识点是运用平均数、加权平均数做决策，解题关键是掌握加权平均数的公式． （1）根据平均数的计算公式分别求出甲、乙的成绩，再进行比较，即可得出答案； （2）将两人的总成绩按比例求出测试成绩，比较得出结果． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为：分， 乙的平均成绩为：分， ， 则甲的平均成绩好，甲将被录用； （2）解：甲的测试成绩为：（分）， 乙的测试成绩为：（分）， 则乙的综合成绩好，乙将被录用． 【题型5 求加权平均数】 【典例5】．小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 【答案】D 【分析】本题考查加权平均数的计算，需根据给定的权重比例，利用加权平均数公式计算总评成绩． 【详解】解：∵ 权重比为， ∴ 总权重为， ∴ 总评成绩 （分）． 故选：D． 【变式5-1】．某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为 分． 【答案】84 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算方法，将笔试和试讲成绩分别乘以对应的比例，再求和． 【详解】解：根据题意，综合成绩（分）， 故答案为：84． 【变式5-2】．相声，一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲、乙两人的各项得分如下表，如果将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定总分，则甲的总分是 分． 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【答案】 【分析】本题考查了求加权平均数，有理数四则混合运算的实际应用等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据加权平均数的计算方法，将甲的各项得分乘以其对应的权重比例，然后求和得到总分． 【详解】解：甲的总分 （分）， 故答案为：． 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【答案】C 【分析】本题考查了算术平均数，加权平均数． 根据题意即可判断A；设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、，求出即可判断C，根据已知条件无法判断B、D． 【详解】解：设内容、表达、逻辑、台风、互动的得分分别为、、、、． 根据题意：算术平均数为87分，故，故A错误； 加权平均数为86分，故， 将加权平均方程两边乘以100，得： 将算术平均方程两边乘以20，得： 两式相减，得： ， 即，故C正确； 根据已知条件无法判断B、D． 故选：C． 【变式6-1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 【变式6-2】．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了加权平均数的计算和列方程解决问题的能力，解题的关键是利用加权平均数列出方程．利用加权平均数的计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设成绩为分的人数为，由题意，得 ， 解得． 故选：． 【题型7 运用加权平均数做决策】 【典例7】．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【答案】(1)甲的平均成绩为分，乙的平均成绩为分，不能确定两人的名次； (2)甲为第一名，乙为第二名． 【分析】本题考查算术平均数与加权平均数的计算及实际应用．关键是掌握算术平均数和加权平均数的计算公式，理解不同权重对结果的影响． 解题思路：根据算术平均数的计算公式，分别求出甲、乙两名选手的平均成绩，若平均成绩相等则无法确定名次； 解题思路：根据加权平均数的计算公式，按照的权重分别计算甲、乙的加权平均成绩，比较成绩大小确定名次． 【详解】（1）解：甲的平均成绩为(分)； 乙的平均成绩为(分)； ∵甲、乙两名选手的平均成绩相同， ∴不能以此确定两人的名次； （2）解：根据题意，权重总和为， 甲的加权平均成绩为(分)； 乙的加权平均成绩为(分)； ∵， ∴甲为第一名，乙为第二名． 【变式7-1】．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【答案】B 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，掌握加权平均数的定义是解题的关键； 根据加权平均数定义可得． 【详解】解：∵最终成绩； ∴该选手的最终成绩是84分． 故选：B． 【变式7-2】．小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是 ． 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的计算，分别计算每个景区的加权平均分，比较后确定最高分的景区即可得出答案． 【详解】解：景区A的总评分：； 景区B的总评分：； 景区C的总评分：； ∵， ∴景区A总分最高， ∴他最终选择的景区是A． 故答案为：A． 【题型8 求中位数】 【典例8】．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义； 根据奇数个数据的中位数概念，确定的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数定义为：将数据从小到大排列后，奇数个数据的中位数是中间位置的数， ∵这组数据共5个，中位数是5， ∴将数据从小到大排列后，第3个数必须为5， ∴需满足， ∵选项中仅符合条件， 故选：D． 【变式8-1】．在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【答案】B 【分析】本题考查中位数的定义，解题关键是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数的奇偶性确定中位数. 【详解】解：∵将7位同学的成绩从小到大排列为：77，77，79，79，80，80，80 又∵数据个数7为奇数，中位数为第个数据 ∴这组数据的中位数是79， 故选：B. 【变式8-2】．将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数 ；上四分位数 ． 【答案】 78 【分析】本题主要考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键． 根据中位数和四分位数的定义，数据个数为偶数时，中位数取中间两个数的平均值；上四分位数取后半部分数据的中位数，据此即可解． 【详解】解：数据从小到大排列为71，72，73，74，75，76，77，78，79，80，共10个数据． ∴中位数 为第5个数据75和第6个数据76的平均值，即． 后半部分数据为76，77，78，79，80，共5个数据，其中位数为第3个数据78，故上四分位数 ． 故答案为 ，78． 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 【典例9】．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查中位数的定义．需根据中位数概念，结合数据排序后中位数为6的条件确定a的取值范围，再匹配选项即可． 【详解】解：∵中位数的定义是将一组数据从小到大（或从大到小）排列后，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． ∵这组数据共5个（奇数个），中位数为排序后的第3个数，且题目规定中位数为6． 将已知数据从小到大排列：2，4，6，8． 要使排序后第3个数为6，则． 观察选项，只有D选项的6满足的条件． 故选：D 【变式9-1】．数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是 ． 【答案】任何不小于16的数 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的计算方法是解题的关键． 根据数据可知，中位数是第三个数和第四个数的平均值，判断出第三个数和第四个数，判断出所处的位置，即可求解． 【详解】解：一共6个数，且中位数为， 按大小排列，第三个数字和第四个数字之和为， 当时，第四个数为，第三个数不大于，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为或，和等于，符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和等于，符合题目要求； 综上所述，可知． 故答案为：任何不小于的数． 【变式9-2】．一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．6 D．11 【答案】A 【分析】本题主要考查了中位数和平均数，熟练掌握中位数定义，是解题的关键．数据中有两个3，无论x为何值，排序后中位数恒为3，因此只需令平均数等于3，解方程即可． 【详解】解：∵数据中有两个3， ∴无论x为何值，排序后中位数恒为3， ∵平均数与中位数相同， ∴平均数为3， ∴， 解得：. 故选：A． 【题型10 运用中位数做决策】 【典例10】．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中位数的实际应用，先将一组数据从小到大排序后，求解中位数，根据约半数的数据不超过中位数，因此只需计算该组数据的中位数即可． 【详解】解：∵将这组数据从小到大排序为：37，45，45，47，58，58，59，63，72，83， 又∵数据共有10个，为偶数个，中位数为中间两个数的平均数， ∴中位数为． ∴大约有半数的机动车的时速不会超过． 故选：C． 【变式10-1】．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查统计量的选择，需结合各统计量的意义，分析判断小明进入决赛需要参考的统计量． 【详解】解：∵共有14位同学的成绩，取前7名进入决赛 ∴将14个成绩按从高到低排序后，中位数是第7名和第8名成绩的平均数 ∴若小明的成绩高于中位数，则他的成绩至少排在第8名之前，能进入决赛；若等于中位数，也可能并列第7名进入决赛；若低于中位数，则排在第8名及之后，无法进入决赛 ∴小明需要知道这14位同学成绩的中位数， 故选：C． 【变式10-2】．如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【答案】D 【分析】本题考查了中位数的概念与应用，理解加入两组数据后中位数保持不变的条件是解题的关键． 由题意可知，要使选定的组种子发芽率的中位数仍为，新加入的两组数据中必须包含一个发芽率高于的组和一个发芽率低于的组，结合选项即可得出正确答案． 【详解】解：依题意分析， A、甲和丁的发芽率均高于，会使整体中位数大于，故该选项不符合题意； B、乙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； C、丙、戊的发芽率均低于，会使整体中位数小于，故该选项不符合题意； D、乙、丁发芽率一个低于，一个高于，可保证中位数仍为，故该选项不符合题意． 故选：D． 【题型11 求众数】 【典例11】．在“赋能”主题演讲比赛中，七位选手得分为：6，7，8，10，8，8，10，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查众数的定义，即一组数据中出现次数最多的数据叫做这组数据的众数，只需统计各数据出现的次数，找出出现次数最多的数即可． 【详解】解：∵在数据6，7，8，10，8，8，10中，6出现1次，7出现1次，8出现3次，10出现2次． ∴出现次数最多的数是8． ∴这组数据的众数是8， 故选：C． 【变式11-1】．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该公式，下列说法错误的是（　　） A．n值是3 B．中位数是3 C．众数是2 D．平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，n值是7，则该选项符合题意； B、样本的中位数是3，则该选项不符合题意； C、样本的众数是2，则该选项不符合题意； D、样本的平均数是，则该选项不符合题意； 故选：A． 【变式11-2】．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【答案】A 【分析】本题考查众数的定义，众数是指一组数据中出现次数最多的数据值．从表格中找出对应购买数量最多的尺码，该尺码即为众数． 【详解】解：∵观察表格可知，尺码对应的购买数量为4，是所有尺码中数量最多的， ∴这十一双运动鞋尺码的众数为； 故选：A． 【题型12 利用众数求未知数据的值】 【典例12】．若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是 ． 【答案】 【分析】本题考查众数和中位数的概念．熟悉众数和中位数的概念是解题的关键．众数是，说明出现次数最多，因此的值为，将数据从小到大排列后，中位数为第三个数． 【详解】解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 【变式12-1】．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了众数的概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，解题的关键是理解众数的概念． 众数是指一组数据中出现次数最多的数，且题目明确众数为，因此在本题的条件下，是唯一出现次数最多的数，据此分析的值． 【详解】解：∵ 众数是， ∴ 的出现次数必须最多， 当前数据中出现次，出现次，其他数出现次数均少于， 若，则出现次，其他数出现次数均少于，满足众数为； 若，则出现次，众数为，不符合题意； 若，则数据中的众数为6，8，10，不符合题意；若，则数据中的众数为6，8，12，不符合题意． ∴ ． 故选：B． 【变式12-2】．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了平均数和众数，熟练掌握相关概念是解题的关键； 根据平均数和众数的概念进行计算． 【详解】解：∵平均数和众数相等， ∴众数只有一个， ∴这组数据的众数为3， ， 解得． 【题型13 运用众数做决策】 【典例13】．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】在投票中，获胜者应为得票最多者，即众数． 本题考查了众数的概念，熟练掌握众数是解题的关键． 【详解】解：∵ 投票结果中，获胜者由得票数最多决定， ∴ 需使用众数作为统计量． 故选：C． 【变式13-1】．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题考查了数据与统计，理解题意是解题的关键． 根据统计图的信息解题即可． 【详解】解：由统计图可知，贵州红色文化书签的销量最大， ∴影响老板决策的统计量是众数． 故选：C ． 【变式13-2】．某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图如图所示． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 98 中位数 96 平均数 (1)统计表中，____________，____________，____________ (2)请问你认为哪个班级的成绩更好？并说明理由（说出一条即可）． 【答案】(1)96，96， (2)八（2）班的成绩更好，理由见解析 【分析】本题考查了求中位数，求众数，求一组数据的平均数，运用中位数做决策，运用众数做决策，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）根据统计图，得出相应的数据，再根据众数、中位数、平均数的意义求解即可； （2）比较两个班的成绩的众数、中位数、平均数，再作出判断． 【详解】（1）解：根据图象，八（1）参赛选手的成绩为：100、98、98、96、96、96、92、92、89、88， 其中96出现次数最多， 所以八（1）参赛选手的成绩的众数， 八（1）参赛选手的成绩的平均数为； 八（2）参赛选手的成绩从大到小排列为：99、98、98、98、97、95、93、91、90、89， 所以八（2）参赛选手的成绩的中位数为， 故答案为：96；96；； （2）解：八（2）参赛选手的成绩的众数比八（1）的大，两班的中位数相同， 八（2）参赛选手的成绩的平均数比八（1）的大， 故八（2）班的成绩更好． 模块五 过关检测 1．样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 2．某校规定期中考试成绩的与期末考试成绩的的和作为学生总成绩．若该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的数学总成绩为（    ） A．85分 B．86分 C．95分 D．96分 【答案】B 【分析】根据加权平均数的计算公式，总成绩为期中成绩与期末成绩的加权和. 【详解】解：总成绩 = 期中成绩 期末成绩， 总成绩 （分）. 故选：B. 【点睛】本题考查加权平均数的计算，解决本题的关键是熟练掌握公式. 3．如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据中位数的定义解答即可求解． 本题考查了中位数，掌握中位数的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可知，三个温度计显示的度数分别为，，， ∴中位数为， 故选：B． 4．一组数据，6，6，0，3，6的众数是（    ） A． B．0 C．3 D．6 【答案】D 【分析】通过计算每个数据出现的次数即可确定众数． 本题主要考查众数的定义：众数是一组数据中出现次数最多的数，熟练掌握众数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵ 数据出现1次，6出现3次，0出现1次，3出现1次， ∴ 6出现的次数最多， ∴ 众数为6． 故选：D． 5．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】B 【分析】要判断某同学能否进入前7名，需要知道他的分数在15个分数中的相对位置．由于分数互不相同，中位数是第8名的分数，若某同学分数高于中位数，则一定在前7名内；若低于中位数，则一定不在前7名.因此只需知道中位数． 本题考查了中位数，熟练掌握中位数相关概念是解题的关键． 【详解】解：∵有15位同学，分数互不相同，按成绩取前7名进入决赛， ∴将分数从高到低排列，中位数是第8名的分数. 若某同学分数高于中位数，则其分数必在前7名内； 若低于中位数，则其分数不在前7名内. ∴只需知道中位数即可判断． 故选：B． 6．某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分（满分100分）．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（   ） A．分 B．86分 C．88分 D．87分 【答案】B 【分析】本题主要考查了加权平均数，解题的关键是掌握加权平均数的定义和公式． 计算加权平均得分，将每个维度得分乘以其权重并求和． 【详解】解：∵加权平均得分 ∴该产品A的最终加权平均得分是86分， 故选：B． 7．某学校需要招聘一名数学老师，招聘方案规定每个应聘老师的最终成绩都由笔试、讲课、答辩成绩组成，其中笔试占，讲课占，答辩占，已知王老师的笔试、讲课成绩分别为98分、95分，最终成绩为96分，那么王老师的答辩成绩为（   ） A．90分 B．92分 C．94分 D．96分 【答案】A 【分析】本题考查加权平均数的实际应用，根据加权平均数的计算公式，设出答辩成绩，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设王老师的答辩成绩为分， ∵最终成绩由笔试、讲课、答辩成绩按加权计算得出， ∴根据题意列方程：， ∴， 解得：， ∴王老师的答辩成绩为90分， 故选：A． 8．某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（    ） A．3.5分，3分，3分 B．3分，3分，4分 C．3.42分，3分，3分 D．无法计算，3分，4分 【答案】C 【分析】本题考查了平均数、众数、中位数，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平均数、众数、中位数的定义解题即可． 【详解】解：由图可知，本次打分的平均数为分， 3分占， ∴众数为3分，中位数为3分． 故选：C ． 9．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比例计算学期成绩、某同学本学期的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、86分，则该同学本学期的体育成绩是 分． 【答案】89 【分析】本题考查加权平均数．按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：该同学本学期的体育成绩为： （分）， 故答案为：89． 10．实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是 ． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 【答案】乙 【分析】本题考查了加权平均数的计算；计算出甲、乙、丙三位选手的平均数，比较平均数的大小即可． 【详解】解：甲选手的平均分：， 乙选手的平均分：， 丙选手的平均分：， 而， 故乙选手的平均分最高； 故答案为：乙． 11．某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 采访写作 创意设计 计算机操作 测试成绩（分） 84 80 88 如果将采访写作、创意设计和计算机操作的成绩按计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是 ． 【答案】 【分析】本题考查了加权平均数，掌握加权平均数公式是解题关键． 根据加权平均数公式，将各测试成绩按权重比例计算平均成绩即可． 【详解】该应聘者的素质测试平均成绩是 ． 故答案为：． 12．如表是小明在竞选班干部时的各项数据，则的值是 ． 801班班委竞选评分表 竞选人 小明 评分维度 表达能力 组织能力 责任心 评委均分 90 80 85 维度权重 10% 50% 40% 最终成绩 分 【答案】83 【分析】本题考查加权平均数，根据加权平均数的计算方法，将各维度的评委均分乘以对应的权重，再求和即可得到最终成绩． 【详解】解：表达能力的加权得分：（分）， 组织能力的加权得分：（分）， 责任心的加权得分：（分）， 最终成绩， 故答案为：83． 13．在某中学组织的全校师生迎“元旦”的歌舞比赛中，将进入决赛的25名同学的得分情况制成如下条形统计图，则这些成绩的众数是 分． 【答案】96 【分析】本题考查了众数，解题的关键是学会从条形统计图中获取解题信息． 根据众数的定义即可求解． 【详解】解：由条形统计图可得：名参赛同学的得分数据出现最多的是分， ∴众数是分， 故答案为：． 14．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取 ． 【答案】甲 【分析】本题主要考查了用加权平均数做决策，用对应项的得分乘以其对应的权重求出每项的加权成绩，再求和得到两人的加权总成绩，比较即可得到答案． 【详解】解：甲的综合成绩为（分）， 乙的综合成绩为（分）， ∵， ∴应该录取甲． 故答案为：甲． 15．2025年5月，教育部办公厅和中央宣传部办公厅联合印发了《关于深入实施全国青少年学生读书行动的通知》，鼓励学校每周开设节阅读课，开展“每天阅读一小时”“周末阅享半日”行动．某校为更好地落实文件精神，了解学生阅读情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天阅读的时间（单位：小时）（    ）（单选） A． B． C． D． (1)补全条形统计图，每天阅读时间的众数和中位数分别落在哪个选项？ (2)若该校共有2100名学生，估算每天阅读时间不少于1小时的学生人数． (3)基于以上数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】(1)见解析，众数落在选项，中位数落在选项 (2)1260名 (3)见解析 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、用样本估计总体，能从统计图中准确获取信息是解答的关键． （1）先利用选项A的人数以及其所占的圆心角的度数求出抽查人数，再求得选项的人数，进而可补全条形统计图；由众数和中位数的定义，结合图形可得答案； （2）用该校总人数乘以样本中每天阅读时间不少于1小时的学生人数所占比例求解即可； （3）答案不唯一，言之有理即可． 【详解】（1）解：设随机抽取了名学生，则， 解得：， ∴选项的人数为， 补全条形统计图如图所示： 由图知，选项C每天阅读时间的人数最多，故每天阅读时间的众数落在选项； 中位数为第50个和第51个数据的平均数，且，， 故每天阅读时间的中位数落在选项； （2）解：（名）， ∴估计每天阅读时间不少于1小时的学生人数为1260名； （3）解：答案不唯一，言之有理即可． 信息：从阅读时间调查来看，有的学生每天阅读时间不足1小时． 建议：学校应加强阅读推广活动，如开展读书节、阅读打卡等，鼓励学生增加阅读时间． 16．为了解初二学生的体育水平，体育老师抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 女生 在这次测试中，女生得9分的人数为5人．根据以上信息，解答下列问题： (1)在这次测试中，得7分的女生有________人； (2)这个年级共有男生300人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀； (3)补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上； (4)表格中的________，________． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4)， 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，样本估计总体，求平均数与众数． （1）利用抽测女生得9分的人数除以抽测女生得9分的人数所占百分比，得出总人数，再乘以即可； （2）根据样本估计总体，即可求解； （3）根据中位数为，进而求出男生得分的人数，据此补全条形统计图即可得； （4）根据平均数与众数的定义求解． 【详解】（1）解：抽测女生总人数为（人） ∴得7分的女生有， 故答案为：． （2）解：抽测男生的人数为：（人）， 估计成绩达到优秀的男生有：（人） （3）解：男生得分和8分的人数为（人） 因为男生成绩的中位数为，则第10和第11个数都是， ∴男生得分的人数为（人） 则补全条形统计图如下： （4）解： 由女生成绩的扇形统计图可知，在女生的成绩中，8分的人数最多，则 故答案为：． 17．背景材料： 党和国家高度重视青少年身心健康．一种少年儿童的标准体重(单位：)计算方式为：标准体重．某校七年级某小组6位同学(年龄均为岁)的体重情况如下表所示，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 同学编号 1 2 3 4 5 6 差值 (1)根据公式，计算岁少年的标准体重．并分别求出编号1、5两位同学的实际体重． (2)计算该小组6位同学的体重差值(即上表中的数据)的平均偏离值．【注：平均偏离值，结果保留一位小数】 (3)对于重视青少年身心健康，在6位同学中，你想对哪一个编号的同学说一句话？这一句话是什么？ 【答案】(1)13岁少年的标准体重为；编号1同学实际体重为，编号5同学实际体重为； (2)； (3)示例：编号4的同学；同学，你的体重超出标准较多，请注意合理饮食，加强体育锻炼，保持健康体魄。（答案不唯一） 【分析】本题考查有理数的运算及实际应用，涉及代数式求值、绝对值的计算和平均数的求解。 （1）先利用给定的标准体重公式代入年龄计算标准体重，再根据“实际体重=标准体重+体重差值”分别计算1号、5号同学的实际体重； （2）根据平均偏离值的定义，先求所有体重差值的绝对值之和，再除以总人数6，最后按要求保留一位小数； （3）结合各同学体重与标准体重的差值情况，从健康角度给出合理建议即可，答案具有开放性。 【详解】（1）解：根据标准体重公式， ； 编号1同学的实际体重为； 编号5同学的实际体重为； （2）解：根据平均偏离值的定义，先计算各差值的绝对值之和： ； 再计算平均偏离值； （3）解：选择编号4的同学，想对他说：“同学，你的体重超出标准较多，请注意合理饮食，多参加体育锻炼，保持健康的体重哦！”。（答案不唯一，针对体重偏差较大的同学给出合理健康建议即可） 18．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，小军和小明两位同学报名参加选拔，他们需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小军、小明的三项测试成绩和总评成绩如表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小军 83 72 80 78 小明 86 84 (1)在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是_____分，众数是______分，平均数是_____分； (2)请你计算小明的总评成绩，并结合总评成绩分析谁入选，并说明理由． 【答案】(1)69，69，70 (2)小明入选，理由见详解 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，中位数，众数等知识点，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）根据中位数，众数，平均数的计算求解即可； （2）根据加权平均数的计算得到小明的总评成绩为82分，由此即可求解． 【详解】（1）解：七位评委给小明打出的分数从小到大排序：67，68，69，69，71，72，74， ∴中位数为：69， 众数为：69， 平均数为：， 故答案为：69，69，70； （2）解：小明入选，理由如下， 由（1）得到，小明的摄影成绩为70， ∴小明的总评成绩为（分）， ∵， ∴小明入选． 19．为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校40名学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)被调查的学生一周零花钱的中位数是__________元，众数是__________元； (2)求被调查的学生一周零花钱的平均数； (3)为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估计该校学生共捐款多少元？ 【答案】(1)30，30 (2) (3)估算全校学生共捐款32500元． 【分析】本题考查条形统计图、用样本估计总体、中位数和众数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题． （1）根据中位数的定义以及众数的定义求解即可； （2）根据算术平均数的定义求解； （3）用总人数乘以每个学生共捐款数即可得出答案． 【详解】（1）解：把这些数从小到大排列，中位数是第20、21个数的平均数， 则中位数是元， 捐款30元的学生人数最多，则众数是30元， 故答案为：30，30； （2）解：被调查的部分学生一周零花钱的平均数是 （元）； （3）解：全校学生共捐款约为：（元）． 答：估算全校学生共捐款32500元． 20．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b (1)完成填空：________，______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； (3)若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 【答案】(1)，88，图见解析 (2) (3)估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人 【分析】本题考查条形图和扇形图，求中位数和众数，利用样本估计总体． （1）根据中位数和众数的计算方法求解即可，根据频数之和求出等级的人数，补全条形图即可； （2）用乘以D等级的百分比即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，八年级等级的人数为， 八年级数据中第10个和第11个数据分别为：， ∴； 九年级中等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，等级的人数为，数据中出现次数最多的是88， ∴； 补全条形图如图： 故答案为：，88； （2）解：； （3）解：（人）； 答：估计该校八、九年级成绩为等级的学生共有169人． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1数据的集中趋势寒假预习讲义 （5知识点+13大题型+过关检测） 【题型1 求一组数据的平均数】 3 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 4 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 4 【题型4 利用平均数做决策】 4 【题型5 求加权平均数】 6 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 6 【题型7 运用加权平均数做决策】 7 【题型8 求中位数】 8 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 8 【题型10 运用中位数做决策】 8 【题型11 求众数】 9 【题型12 利用众数求未知数据的值】 10 【题型13 运用众数做决策】 10 1. 初步理解数据集中趋势的意义，知道平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的三种主要统计量，明确三者的核心作用是反映一组数据的“集中水平”。 2. 掌握平均数（算术平均数、加权平均数）、中位数、众数的定义，能根据简单的一组数据，准确计算出这三种统计量，牢记计算的基本步骤。 3. 初步区分平均数、中位数、众数的适用场景，能结合数据特点，判断哪种统计量更能反映一组数据的集中趋势，为课堂深入学习和应用铺垫基础。 4. 能结合简单的实际情境（如学生成绩、商品售价等），识别数据中的平均数、中位数、众数，感知三种统计量在生活中的应用。 模块三 知识点梳理 知识点一：算数平均数 算术平均数：简称平均数，记作“”，读作“x拔”。 公式：平均数== 【注意】分析平均数时，容易被数据的极值影响，导致错误的判断。 知识点二：加权平均数 加权平均数概念：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数。 知识点三：中位数 中位数的概念：将一组数据由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这个数据的中位数，如果数据的个数是偶数，则中间两个数的平均数就是这组数据的中位数。 确定中位数的一般步骤： 第1步：排序，由大到小或由小到大。 第2步：确定是奇个数据（）或偶个数据（）。 第3步：如果是奇个数据，中间的数据就是中位数。如果是偶数，中位数是中间两个数据的平均数。 知识点四：众数 众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数。 【注意】如果一组数据中有两个数据的频数一样且都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数，所以一组数据中众数的个数可能不唯一。 众数的意义：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好地反映其集中的趋势。 平均数、中位数、众数的区别： 1、平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用数据提供的信息,在现实生活中较为常用.但它受极端值的影响较大。 2、 当一组数据中某些数据多次重复出现时,众数往往是人们关心的一个量,众数不受极端值的影响,这是它的一个优势。但当各个数据的重复次数大致相等时，众数往往没有意义。 3.中位数只需很少的计算,不受极端值的影响,这在有些情况下是一个优点。 知识点五：三种统计量的对比 统计量 核心特点 优点 缺点 适用场景 平均数（算术/加权） 利用所有数据计算，反映整体平均水平 全面利用数据信息，计算简便，应用广泛 易受极端值影响，数据有极端值时，结果偏离集中趋势 数据无极端值、各数据重要程度相同（算术）；各数据重要程度不同（加权） 中位数 仅与数据的排列位置有关，反映中间水平 不受极端值影响，计算简单，稳定性强 未利用所有数据信息，不能反映整体平均水平 数据有极端值、需要反映中间水平 众数 仅与数据的出现次数有关，反映最普遍水平 通俗易懂，能快速反映数据的普遍情况，不受极端值影响 未利用所有数据信息，可能有多个众数或无众数，稳定性差 需要找出最普遍、最常见的数据（如销量、尺码等） 预习易错点梳理 1. 计算加权平均数时，漏乘权重、混淆数据与权重的对应关系，或权重求和错误； 2. 求中位数时，未对数据排序，或数据个数为偶数时，忘记取中间两个数据的平均数； 3. 判断众数时，数错数据出现次数，或忽略“多个众数”“无众数”的情况； 4. 混淆三种统计量的适用场景，如数据有极端值时，仍用平均数反映集中趋势； 5. 计算过程中粗心大意，出现加减乘除计算错误，导致统计量结果错误。 模块四 题型汇总 【题型1 求一组数据的平均数】 【典例1】．某景区推出“AI讲解，智游古迹”的活动，当天结束时统计5个景点的订阅数量分别为2，3，4，5，6．上述数据的平均数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式1-1】．小王用智能手表记录了一周睡眠时间，其中工作日和周末差异较大．工作日5天平均每天睡7小时，周末2天平均每天睡9小时．下列数据用来表示小王这一周的平均睡眠时间合理的是（   ） A．7 B．7.57 C．8 D．9 【变式1-2】．某学校八年级一班学生45人，二班学生50人．某次测试，一班的平均分是80分，二班的平均分是分，那么两个班的总平均分是 分（精确到）． 【题型2 已知平均数求未知数据的值】 【典例2】．若一组数据1，2，5，3，x，的平均数是2，则x的值为 ． 【变式2-1】．有三个数，甲数和乙数的平均数是81，甲数和丙数的平均数是85，乙数和丙数的平均数是86．甲、乙、丙这三个数各是 ． 【变式2-2】．气象小组测得上周星期一至星期日的室外气温如下表所示，并算得平均气温为31℃，则星期三的气温是（    ） 星期 一 二 三 四 五 六 日 气温/℃ 31 34 31 32 28 29 A．30℃ B．31℃ C．32℃ D．33℃ 【题型3 利用已知的平均数求相关数据的平均数】 【典例3】．已知一组数据，，，的平均数是2018，则另一组数据，，，的平均数是 ． 【变式3-1】．4月23日是世界读书日，某校为了解本校学生阅读情况，随机调查了一部分学生最近一周的读书时间，并进行了统计，根据调查结果制作了如下的统计图． 根据本次调查的数据估计该校学生最近一周的平均读书时间为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】．如果一组数据的平均数是2，那么一组新数据的平均数是（　　） A．2 B．6 C．8 D．18 【题型4 利用平均数做决策】 【典例4】．学期末，根据学校统一安排，某班评选一名优秀学生干部，下表是班长、团支部书记和学习委员的得分情况： 班长 团支部书记 学习委员 思想表现 24 26 28 学习成绩 26 24 27 工作能力 28 26 24 (1)如果把三名同学各项成绩的平均数作为综合成绩，应该选谁为优秀学生干部？ (2)若在评选优秀学生干部时，将思想表现、学习成绩、工作能力三项成绩按：：的比例计算个人总分，请通过计算说明谁应当选为优秀学生干部． 【变式4-1】．2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射成功，神舟十八号与神舟十九号航天员顺利会师．某校团委组织了“中国梦·航天情”系列活动，下面数据是八年级1班、2班两个班级在活动中各项目的成绩（单位：分） 项目班级 知识竞赛 演讲比赛 手抄报创作 项目班级 1班 85 91 88 1班 2班 90 84 87 2班 (1)如果根据三项成绩的平均数计算最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． (2)如果将知识竞赛、演讲比赛、手抄报创作按的比例确定最终成绩，请通过计算说明1班、2班哪个班将获胜． 【变式4-2】．某科技公司招聘一名研发工程师，对甲、乙两名候选人进行了三项测试，测试成绩如下： 测试项目 测试成绩 甲 乙 专业理论知识 技术实操水平 团队协作能力 (1)如果公司认为专业理论知识、技术实操水平和团队协作能力同等重要，从甲、乙的平均成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为团队协作能力更重要，对专业理论知识、技术实操水平、团队协作能力分别赋权，，，计算甲、乙两人的平均成绩．从成绩看，谁将被录取？ 【题型5 求加权平均数】 【典例5】．小丽在本学期的数学成绩如下：平时测验成绩为93分，期中考试成绩为90分，期末考试成绩为95分，将平时测验成绩、期中考试成绩、期末考试成绩分别按计入学期总评成绩，则小丽本学期的总评成绩是（　　） A．92.5分 B．92.8分 C．93.1分 D．93.3分 【变式5-1】．某中学校史展览馆要招募一名讲解员，小明经历了笔试和试讲两轮测试．他的笔试和试讲成绩分别为90分，80分．综合成绩中笔试占，试讲占，小明的综合成绩为 分． 【答案】84 【分析】本题主要考查加权平均数的计算，根据加权平均数的计算方法，将笔试和试讲成绩分别乘以对应的比例，再求和． 【详解】解：根据题意，综合成绩（分）， 故答案为：84． 【变式5-2】．相声，一种民间说唱曲艺，它以说、学、逗、唱为形式．某相声社要招聘一名相声学徒，通过考察，甲、乙两人的各项得分如下表，如果将“说、学、逗、唱”四种功夫按照、、、的百分比确定总分，则甲的总分是 分． 说功 学功 逗功 唱功 甲 80 85 90 95 乙 90 80 95 85 【题型6 利用加权平均数求未知数据的值】 【典例6】．某学校举行了八年级学生演讲比赛，对参赛者的“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面进行评分(各方面均为百分制)．已知小明五项得分的算术平均数为87分，若将“内容”“表达”“逻辑”“台风”“互动”五个方面评分的权重分别设为，，，，，则小明五项得分的加权平均数为86分．那么以下结论中，正确的是（   ） A．重新设置权重前，小明五项得分的总分是430分 B．重新设置权重前，小明的“内容”得分超过87分 C．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“表达”得分高 D．重新设置权重前，小明的“内容”得分比“逻辑”得分高 【变式6-1】．在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【变式6-2】．某校八（3）班第二小组期中数学测验成绩分布如表所示： 分数 60 70 80 90 人数 1 3 2 该班第二小组这次数学测验成绩平均分是分，则成绩为分的人数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【题型7 运用加权平均数做决策】 【典例7】．某校开展主题为“多彩非遗，国韵传扬”的演讲比赛．进入决赛的前两名选手需要确定名次(不能并列)，他们的成绩如下(单位：分)． 选手 内容 能力 效果 甲 乙 (1)分别计算甲、乙两名选手的平均成绩，能否以此确定两人的名次？ (2)如果把内容、能力、效果的成绩按计算，请你确定两人的名次． 【变式7-1】．我校八年级开展“校园歌手大赛”选拔赛，某选手的音准节奏、舞台表现、情感表达这三项的成绩分别为90分、80分、75分、若依次按照的百分比确定最终成绩，则该选手的最终成绩是（   ） A．74分 B．84分 C．80.5分 D．82分 【变式7-2】．小迪计划春节假期与家人去A、B、C三个景区游玩，为了选择一个最合适的景区，他对三个景区进行了调查与评估，并依据自然风光、特色美食、乡村民俗三个方面进行评分（10分制），如表所示： 景区 自然风光 特色美食 乡村民俗 A 10 7 7 B 9 7 8 C 8 6 9 小迪和家人按照他们认为的重要程度，把三个方面分别按照、、的比重计算总评分数以确定要去的景区，则他最终选择的景区是 ． 【题型8 求中位数】 【典例8】．一组数据1，3，5，8，的中位数是5，则下列的取值中，满足条件的是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式8-1】．在学校迎春节歌咏比赛中，参加决赛的7位同学成绩依次为：80，77，79，77，80，79，80．这组数据的中位数是（   ） A．77 B．79 C．79.5 D．80 【变式8-2】．将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数 ；上四分位数 ． 【题型9 利用中位数求未知数据的值】 【典例9】．已知一组数据a，2，4，8，6的中位数是6，那么a可以是（   ） A．2 B．4 C．5 D．6 【变式9-1】．数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是 ． 【变式9-2】．一组数据2，3，x，6，3的平均数与中位数相同，则x的值是（　　） A．1 B．2 C．6 D．11 【题型10 运用中位数做决策】 【典例10】．在2025年国庆中秋八天的国家法定假日期间，拥堵的某路段上，一台机动车雷达测速仪记录了一段时间内通过的机动车的时速（单位：）：37，83，72，45，58，47，63，59，45，58．依据该组数据进行估计，这一期间内该路段通行的机动车中大约有半数的机动车的时速不会超过（    ） A． B． C． D． 【变式10-1】．某校开展“颂时代强音，启元旦韶华”朗诵比赛，有14位同学参加了初赛，按初赛成绩由高到低取前7位进入决赛．若小明要判断自己能否进入决赛，除自己的成绩外，他还需要知道这14位同学成绩的（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【变式10-2】．如图，表示组种子发芽率，前组种子发芽率的中位数为，第组的种子发芽率从甲、乙、丙中选一个，第组的种子发芽率从丁、戊中选一个，若这组的种子发芽率的中位数仍为，则第组、第组选择的可以是（   ） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、戊 D．乙、丁 【题型11 求众数】 【典例11】．在“赋能”主题演讲比赛中，七位选手得分为：6，7，8，10，8，8，10，则这组数据的众数是（   ） A．6 B．7 C．8 D．10 【变式11-1】．运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该公式，下列说法错误的是（　　） A．n值是3 B．中位数是3 C．众数是2 D．平均数是 【变式11-2】．某校给足球队的十一位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表，则这十一双运动鞋尺码的众数为（   ） 尺码 40 41 42 43 44 购买数量 2 4 2 2 1 A．41 B．42 C．43 D．44 【题型12 利用众数求未知数据的值】 【典例12】．若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是 ． 【变式12-1】．已知一组数据6，8，10，6，8，12，14，x，它的众数是8，则x的值为（   ） A．6 B．8 C．12 D．10 【变式12-2】．若一组数据，3，1，6，3的平均数和众数相等，求的值． 【题型13 运用众数做决策】 【典例13】．某校“创客作品展示活动”采用民主投票的方式进行评选，即该校每位同学从10名候选人中选择1名进行无记名投票，进而从中选出获胜者．根据投票结果判断最终获胜者所需要考虑的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式13-1】．某文创店2025年12月部分文创手办销售量如图所示，现该店准备进货，老板对员工说：“下个月要多进贵州红色文化书签”．影响老板决策的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【变式13-2】．某校举行了“防溺水”知识竞赛，八年级两个班各选派10名同学参加预赛，依据各参赛选手的成绩（均为整数）绘制了统计表和折线统计图如图所示． 班级 八（1）班 八（2）班 最高分 100 99 众数 98 中位数 96 平均数 (1)统计表中，____________，____________，____________ (2)请问你认为哪个班级的成绩更好？并说明理由（说出一条即可）． 模块五 过关检测 1．样本数据3，4，3，6的平均数是（  ） A．3 B． C．4 D．6 2．某校规定期中考试成绩的与期末考试成绩的的和作为学生总成绩．若该校小红期中数学考了80分，期末考了90分，则她的数学总成绩为（    ） A．85分 B．86分 C．95分 D．96分 3．如图，下列三个温度计显示的度数的中位数为（     ） A． B． C． D． 4．一组数据，6，6，0，3，6的众数是（    ） A． B．0 C．3 D．6 5．某校举行“唱红歌”歌咏比赛，有15位同学参加了选拔赛，他们所得的分数互不相同．学校决定按成绩取前7名进入决赛．若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道这15位同学分数的（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 6．某学校为了引入一款适合学生使用的“AI智能学习助手”，决定从五个维度对候选产品进行测试评分（满分100分）．这五个维度及其在总评分中的权重（比例）如表所示： 评价维度 交互响应速度 解题准确率 个性化推荐 内容丰富度 界面友好度 权重 候选产品A在这五项指标上的实测得分依次为：90分、80分、85分、90分、90分，则该产品A的最终加权平均得分是（   ） A．分 B．86分 C．88分 D．87分 7．某学校需要招聘一名数学老师，招聘方案规定每个应聘老师的最终成绩都由笔试、讲课、答辩成绩组成，其中笔试占，讲课占，答辩占，已知王老师的笔试、讲课成绩分别为98分、95分，最终成绩为96分，那么王老师的答辩成绩为（   ） A．90分 B．92分 C．94分 D．96分 8．某学校学生给学校食堂的打分情况如图所示，由此可以得到本次打分的平均数，众数和中位数分别是（    ） A．3.5分，3分，3分 B．3分，3分，4分 C．3.42分，3分，3分 D．无法计算，3分，4分 9．某中学规定学生的学期体育成绩满分为100分，按课外活动成绩、期中成绩、期末成绩的比例计算学期成绩、某同学本学期的三项成绩（百分制）依次为95分、90分、86分，则该同学本学期的体育成绩是 分． 10．实验中学举行演讲比赛，甲、乙、丙三位选手的得分如下表所示．三项综合评分所占百分比如下图所示．则平均分最高的选手是 ． 选手 专家组评分 教师组评分 学生组评分 甲 7 7 9 乙 8 7 8 丙 7 8 8 11．某电视台要招聘1名记者，某应聘者参加了3项素质测试，成绩如下： 测试项目 采访写作 创意设计 计算机操作 测试成绩（分） 84 80 88 如果将采访写作、创意设计和计算机操作的成绩按计算，则该应聘者的素质测试平均成绩是 ． 12．如表是小明在竞选班干部时的各项数据，则的值是 ． 801班班委竞选评分表 竞选人 小明 评分维度 表达能力 组织能力 责任心 评委均分 90 80 85 维度权重 10% 50% 40% 最终成绩 分 13．在某中学组织的全校师生迎“元旦”的歌舞比赛中，将进入决赛的25名同学的得分情况制成如下条形统计图，则这些成绩的众数是 分． 14．某校学生会要在甲、乙两位候选人中选择一人担任文艺部干事，对他们进行了文化水平、艺术水平、组织能力的测试．他们的各项成绩（单项满分100分）如表所示： 候选人 文化水平 艺术水平 组织能力 甲 80分 85分 85分 乙 80分 95分 75分 如果根据综合成绩择优录取，把文化水平、艺术水平、组织能力三项成绩分别按照的比例计入综合成绩，则应该录取 ． 15．2025年5月，教育部办公厅和中央宣传部办公厅联合印发了《关于深入实施全国青少年学生读书行动的通知》，鼓励学校每周开设节阅读课，开展“每天阅读一小时”“周末阅享半日”行动．某校为更好地落实文件精神，了解学生阅读情况，随机抽取部分学生进行问卷调查．部分信息如下： 调查问卷 整理与描述 1．你每天阅读的时间（单位：小时）（    ）（单选） A． B． C． D． (1)补全条形统计图，每天阅读时间的众数和中位数分别落在哪个选项？ (2)若该校共有2100名学生，估算每天阅读时间不少于1小时的学生人数． (3)基于以上数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 16．为了解初二学生的体育水平，体育老师抽取了45名学生进行了一次体育模拟测试（得分均为整数），成绩满分为10分，成绩达到9分及以上（包含9分）为优秀，成绩达到6分及以上（包含6分）为合格．根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表． 抽测体育模拟测试成绩分析表 平均分 方差 中位数 众数 男生 女生 在这次测试中，女生得9分的人数为5人．根据以上信息，解答下列问题： (1)在这次测试中，得7分的女生有________人； (2)这个年级共有男生300人，你估计大约有多少男生的成绩能够达到优秀； (3)补全抽测男生体育模拟测试成绩统计图，并把相应的数据标注在统计图上； (4)表格中的________，________． 17．背景材料： 党和国家高度重视青少年身心健康．一种少年儿童的标准体重(单位：)计算方式为：标准体重．某校七年级某小组6位同学(年龄均为岁)的体重情况如下表所示，其中超出标准体重的千克数记为正数，少于标准体重的千克数记为负数． 同学编号 1 2 3 4 5 6 差值 (1)根据公式，计算岁少年的标准体重．并分别求出编号1、5两位同学的实际体重． (2)计算该小组6位同学的体重差值(即上表中的数据)的平均偏离值．【注：平均偏离值，结果保留一位小数】 (3)对于重视青少年身心健康，在6位同学中，你想对哪一个编号的同学说一句话？这一句话是什么？ 18．为增强学生的社会实践能力，促进学生全面发展，某校计划建立小记者站，小军和小明两位同学报名参加选拔，他们需参加采访、写作、摄影三项测试，每项测试均由七位评委打分（满分100分），取平均分作为该项的测试成绩，再将采访、写作、摄影三项的测试成绩按的比例计算出每人的总评成绩． 小军、小明的三项测试成绩和总评成绩如表 选手 测试成绩/分 总评成绩/分 采访 写作 摄影 小军 83 72 80 78 小明 86 84 (1)在摄影测试中，七位评委给小明打出的分数如下：67，72，68，69，74，69，71．这组数据的中位数是_____分，众数是______分，平均数是_____分； (2)请你计算小明的总评成绩，并结合总评成绩分析谁入选，并说明理由． 19．为了解学生零花钱的使用情况，校团委随机调查了本校40名学生每人一周的零花钱数额，并绘制了如图所示的统计图． 请根据图中信息，回答下列问题： (1)被调查的学生一周零花钱的中位数是__________元，众数是__________元； (2)求被调查的学生一周零花钱的平均数； (3)为捐助贫困山区希望小学，全校1000名学生每人自发地捐出一周零花钱，请估计该校学生共捐款多少元？ 20．为提升信息素养，学校组织八、九年级开展“AI小达人·校园智创赛”．老师从八、九两个年级中各抽取20名学生的竞赛成绩进行整理，分A、B、C、D四个等级，90分及以上为优秀，并评为“校园智创之星”． 【信息整理】 信息1： 等级 A B C D 成绩 信息2：八年级B、C两组同学的成绩分别为： 85，88，89，89，92，92，93，94，94； 九年级C组同学的成绩分别为： 89，89，88，88，88，88，88，87，86． 信息3： 【数据分析】 八、九年级抽取学生的竞赛成绩统计表如下： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 88 a 95 九年级 88 88 b (1)完成填空：________，______，并补全条形统计图； (2)求扇形统计图中D等级所占的圆心角度数； (3)若该校八年级学生有560人，九年级学生有425人，请估计该校八、九年级成绩为A等级的学生共有多少人？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $