24.2 数据的离散程度 第2课时教案 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

该教案聚焦“数据的离散程度”中的方差知识，承接平均数等集中趋势统计量，通过“灌装线质量检验”情境对比数据波动，构建“集中趋势+离散程度”完整分析逻辑，搭建旧知到新知的学习支架。 以真实情境（灌装线、气温对比）驱动探究培养数学眼光，通过错题辨析（甲、乙班成绩比较）打破思维定势发展数学思维，特色作业“挑选学习搭档”让学生用数据决策提升数学语言表达能力，助力学生数据分析能力提升，为教师提供实用教学案例与完整逻辑。

第二十四章 数据的分析 24.2 数据的离散程度 第2课时   一、教材分析 本节课选自人教版八年级下册《数据的分析》章节，是学生在学习平均数、中位数、众数等集中趋势统计量后，进一步学习的离散程度统计量，在整个数据统计体系中起到承上启下的关键作用.此前学生已掌握用平均数刻画数据的整体水平，本节课通过方差补充刻画数据的波动与稳定性，形成了“集中趋势+离散程度”完整的数据分析逻辑，为后续抽样调查、统计推断等内容奠定方法基础. 教材的教学逻辑链条清晰且层层递进：首先以“灌装线质量检验”的实际情境引入，通过对比两组平均数相同的数据，发现仅靠集中趋势无法全面评价，从而引出刻画波动程度的需求；接着类比平均数的计算方式，推导方差的定义与计算公式，结合“甲乙两地气温对比”的案例，示范方差的计算方法与解读方式；最后通过练习巩固，引导学生应用方差解决“稳定性比较”类实际问题，让学生体会统计量的实际价值. 整个过程从问题冲突出发，到概念构建、方法学习，再到应用实践，符合学生的认知规律，体现了统计知识服务于生活决策的核心思想.   二、学情分析 已有基础：八年级学生已熟练掌握平均数、中位数、众数的计算与意义，能通过集中趋势统计量描述数据的整体水平，具备基本的数据计算和简单分析能力；同时学生已接触过简单的统计案例，能理解统计知识在生活中的应用场景，具备初步的数学建模意识，为方差的学习提供了知识与经验基础. 存在困难：方差的计算涉及平方、求和、平均等多步运算，步骤繁琐，学生容易出现计算错误；学生难以理解方差的“平方”操作意义，容易混淆方差平均差的区别；同时，学生容易形成“平均数决定一切”的思维定势，难以理解“平均数相同时，方差才是决策关键”的逻辑，在实际问题中无法灵活运用方差进行合理判断. 认知特点：八年级学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对抽象的统计概念理解需要借助具体的生活情境与案例支撑；他们好奇心强，对贴近生活的实际问题(如产品质量、成绩稳定性)兴趣浓厚，但抽象概括和逻辑推理能力仍有待提升，需要通过动手计算、对比分析、合作探究等活动，逐步构建方差的概念，理解其统计意义与应用价值.   三、教学目标 1.进一步理解方差的概念，掌握方差的计算公式，能利用方差比较两组数据的波动大小. 2.理解方差的统计意义，能结合平均数和方差对实际问题做出合理决策. 3.经历方差概念的构建过程，通过对比分析、计算探究，提升数据分析与逻辑推理能力，体会类比、建模的数学思想. 4感受统计知识在生活中的应用价值，培养用数据说话的理性思维，养成严谨求实的科学态度.   四、教学重难点 重点：进一步理解方差的概念，掌握方差的计算公式，能利用方差比较两组数据的波动大小. 难点：理解方差的统计意义，能结合平均数和方差对实际问题做出合理决策.   五、教学过程 · 复习回顾 问题1：说一说离差、离差平方和和方差的计算公式. 答：离差：xi－ (i = 1，2，···，n) 离差平方和： 方差： 问题2：方差的意义是什么？ 答：方差的意义：方差越大，数据的离散程度越大； 方差越小，数据的离散程度越小. 师生活动：教师提问引导学生回忆离差、离差平方和、方差的公式与意义，学生独立回答，教师补充纠错，梳理知识关联. 设计意图：唤醒旧知，夯实方差概念基础，为后续应用方差解决实际问题搭建桥梁，帮助学生构建完整的统计知识体系. · 探究新知 活动：探究运用方差解决实际问题 问题3：自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差(实际含量-标准含量). 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10 瓶饮料进行测量，结果 (单位：mL) 如表所示. (1) 如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？ (2) 哪条灌装线的灌装质量更好？ 师生活动：教师呈现灌装线情境问题，引导学生先判断合格率，再追问“如何比较稳定性”，学生计算平均数、方差，教师点拨方差的应用前提 解：(1) 甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示. 从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为 5 mL、7 mL，两者都小于 10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的. 追问：可通过哪些统计量来关注饮料的质量？ 答：每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性. 分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好. (2) 甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为 ， . 两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量. （注：甲、乙两条灌装线生产的饮料含量的平均数相等，等价于平均误差相同. ） 可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为 可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小. 根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好. （注：实际含量与标准含量的平均差异相比的前提是两条灌装线都是合格的，也就是说平均差异小并不能保证生产线是合格的.） 特别提醒： 方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平. 因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断. 在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数时，不能直接用方差来比较它们的离散程度. 设计意图：以真实问题驱动探究，让学生经历“判断合格——比较水平——分析稳定”的完整过程，理解平均数与方差结合决策的必要性，深化对统计量应用的认识. 问题4：甲、乙两地同一天的气温记录如表所示. 两地的气温有什么差异？ 师生活动：教师引导学生对比两地气温折线图，分组计算平均数、方差，讨论波动差异；师生共同梳理利用方差解决问题的步骤，强调实际情境中对稳定性的需求. 解：为了直观地观察两地气温的特点，以时刻为横坐标，气温为纵坐标，把表中的数据用折线图进行表示，得到下图. 从图可以看出，甲、乙两地气温在不同的时刻互有高低，但甲地的最高气温高于乙地，而最低气温低于乙地.为进一步了解两地气温的差异，可以从数据的集中趋势和离散程度两个方面分别进行比较. 两地气温的平均数分别为：甲= =16， 乙= =16. 将两地气温按从小到大排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 可以发现两地气温的中位数都是16，众数各有两个（甲地是16和21，乙地是15和17）且都出现两次，因为重复次数太少，所以不具有代表性.因此，从数据的集中趋势看，两地的气温差异不明显. 两地气温的方差分别为 s2甲 = ， s2乙 = . 由s2甲＞s2乙可知，乙地气温的波动程度比甲地的小，气温更稳定. 总结：利用方差解决实际问题的一般步骤： 1.首先计算各组数据的平均数； 2.当各组数据的平均数相等或相近时，再计算出它们的方差来估计总体数据的波动情况; 3.最后根据“方差越小越稳定”来做出判断. 注意：选择方差大还是方差小的数据，要看这组数据所反应的实际问题. 设计意图：通过真实情境让学生完整经历数据分析过程，巩固平均数与方差的综合应用，提炼解题方法，提升学生用统计知识解决实际问题的能力. · 应用新知 【经典例题】 师生活动：教师呈现典型错题与跳远选拔案例，引导学生辨析“方差≠唯一标准”，分组讨论不同情境下的决策依据，师生共同总结“具体问题具体分析”的原则. 例1 甲、乙两班各有8名学生参加数学竞赛，成绩(单位：分)如下表： 若75分及以上为优秀，请比较两个班学生成绩的优劣. 思考：通过计算可得s2甲＝23 ，s2乙＝67.5， 所以s2甲<s2乙，即甲班成绩比乙班成绩好. 这样解答正确吗？ 答：错误. 解：先计算两个班学生成绩的平均数和方差： ͞x甲＝×(65＋74＋… ＋71)＝70(分)， s2甲＝×[(65－70)2＋(74－70)2＋… ＋(71－70)2]＝23； ͞x乙＝×(60＋75＋… ＋79)＝70(分)， s2乙＝×[(60－70)2＋(75－70)2＋… ＋(79－70)2]＝67.5. 针对此题而言，两个班学生成绩的平均数相同，由s2甲< s2乙，得甲班的成绩比乙班的成绩波动程度小. 优秀率：75 分及以上的甲班有1 人，优秀率为12.5%，乙班有4 人，优秀率为50 %. 综上，乙班学生的成绩优于甲班学生的成绩. 总结：把方差大小作为评判成绩好坏的唯一标准，这是对方差概念的误解，方差只是反映一组数据的波动情况，至于方差大好还是方差小好，则要看这组数据所反映的实际问题. 就此题而言，方差不应作为评判成绩优劣的唯一标准.从优秀率这个角度来评判两班成绩的优劣才是客观的、准确的，所以并不能说方差小了就好，而是要具体问题具体分析，主要是看从什么角度去比较. 例2 某校要从两名跳远选手中挑选一人参加市中学生运动会，在次选拔赛中，他们的成绩如表单位： 把表中所空各项数据填写完整； ，两人的跳远成绩分别有什么特点 经查阅历届市中学生运动会纪录，成绩若达到，就很可能夺冠，你认为选谁参赛更有把握 历届市中学生运动会上该项最高纪录为，为打破这一记录，你认为应选派哪位选手参赛 答：； (2)从成绩的平均数来看，A，B成绩的“平均水平”一样，从成绩的方差来看，A的成绩比B的稳定.  (3)在7次跳远选拔赛中，A有5次成绩超过6m，而B只有2次超过6m，从成绩的方差来看，A的成绩比B的稳定，选A更有把握夺冠.  (4)B有两次成绩超过m，而A没有一次达到m，故为打破纪录应该选B去参加比赛.  设计意图：通过错题辨析与多情境对比，打破“方差越小越好”的思维定势，引导学生结合实际需求综合分析，深化统计量应用的理解，培养数据分析与决策能力. · 课堂练习 【教材练习】 1. 甲、乙两名运动员进行罚球线上投篮测试. 每人投篮 10 组，每组投篮 10 次，两名运动员投篮 10 组命中的次数如下表所示. 哪名运动员的投篮更稳定？ 解：甲运动员投篮命中次数的平均数为 乙运动员投篮命中次数的平均数为 甲、乙两名运动员投篮命中次数的方差分别为 1.2. 由平均数相同，可知，乙运动员的投篮更稳定. 2. 甲、乙两台机床同时生产一种零件. 在 10 天中，两台机床每天出次品的数量(单位：件)如下表所示. (1)分别计算两组数据的平均数和方差； (2)哪台机床的性能比较好？ 解：(1)两组数据的平均数分别为 ， . 两组数据的方差分别为 0.76. (2)∵1.5>1.2，∴乙机床出次品的平均数较小； ∵，∴乙机床出现次品的波动较小. 综合比较，乙机床性能比较好. 师生活动：学生独立完成两道练习，上台板演计算平均数与方差；教师巡视纠错，引导学生对比分析“平均数+方差”的综合决策逻辑，梳理解题步骤. 设计意图：通过针对性练习巩固方差的计算与应用，强化“平均数反映水平、方差反映稳定”的综合分析方法，提升学生用统计知识解决实际问题的能力力. 【限时训练】 1.某校今年春季开展体操活动，小聪收集、整理了成绩突出的甲、乙两队队员各名的身高，得到平均身高单位：分别为，方差分别为：，. 现要从甲、乙两队中选出身高比较整齐的一队参加上一级的体操比赛，根据上述数据，应该选择          填“甲队”或“乙队”. 【答案】甲队  2.某班需要从甲、乙两位同学中选拔一位同学参加学校举办的竞赛，已知甲、乙两位同学的次选拔成绩如统计图所示． 甲同学次选拔成绩的中位数是          ，众数是          ，平均数是          ，方差是乙同学次选拔成绩的中位数是          ，众数是          ，平均数是          ，方差是           综合考虑，应该选派          去参加竞赛． 【答案】(1)85；100；85；85；80和90；85；20  (2)乙  3.校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩单位：的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： 丙运动员次测试成绩：                   四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 表中的值为          ； 表中          填“”“”或“”； 根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为          ． 【解析】 解：甲的次测试成绩排列为：， 中位数， 故答案为：；  根据方差计算公式求解，再比较即可； 解：乙的次测试成绩平均数为：， 方差为： ， 故答案为：；  根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可． 解：丙的平均数， 丙的平均数最大，则实力最弱， 方差， 乙实力最强， 丁的测试成绩中位数为， 第次成绩和为， 前次测试成绩小于平均数， 甲测试成绩小于平均数的次数有次， 丁比甲强， 这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙， 故答案为：乙、丁、甲、丙． 4.垫球是排球队常规训练的重要项目之一. 下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩，测试规则为连续接球个，每垫球到位个记分.                         运动员甲测试成绩表 测试序号 成绩分 运动员 平均数 中位数 众数 方差 甲 乙 丙 小明将三人的成绩整理后制作了上面的表格：则表中          ，          ，          ，          ，          . 若在他们三人中选择一名垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适请作出简要分析. 【答案】(1)；7；6；7；6 (2)选乙运动员更合适. 理由如下：因为甲、乙、丙三人的众数分别为7，7，6；中位数分别为7，7，6；平均数分别为7，7，，所以甲、乙比丙优秀，且甲的方差大于乙的方差，乙更稳定，所以选乙运动员更合适. 5.从文本生成到语音识别，从绘画到编程，的应用范围不断扩大，为各行各业带来了前所未有的创新与变革为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价满分分，并进行整理、描述和分析． 信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 项目统计量软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 众数 平均数 方差 甲 乙 根据以上信息，解答下列问题： 表格中______ 分，______ 分，______ 填“”“”或“”； 若某市共有万人使用甲款软件，请你估计对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数； 综合上表中的统计量，你认为哪款软件使用效果更好？请说明理由列出两条即可． 【解析】解：由题意得，，  由条形统计图可知，，  由折线统计图可知，甲的信息识别准确度得分波动程度更小，则，  故答案为：，，；  万人，  答：对甲款软件信息识别准确度打分超过分的人数约为万；  我认为甲款软件使用效果更好，理由如下：  甲款软件信息识别准确度得分的平均数高于乙，而且甲的方差小于乙的方差，  甲款软件信息识别准确度更高且更稳定，  甲款软件使用效果更好． 师生活动：学生独立完成练习，小组互评答案；教师选取典型错题，引导全班辨析平均数、方差的综合应用，梳理解题步骤与易错点. 设计意图：通过分层练习巩固方差计算与实际决策方法，强化“先比水平、再比稳定、结合情境”的解题逻辑，提升数据分析与问题解决能力. · 课堂总结 师生活动：教师和学生一起回顾本节课所讲的内容. 1.本节课你学到了什么？ 2.利用方差解决实际问题的一般步骤是什么？ 3.在解决根据方差做决策的实际问题中有哪些注意事项？ 设计意图：通过小结让学生进一步熟悉巩固本节课所学的知识. · 特色作业 主题：用方差 “挑选” 你的专属学习搭档 任务：1.记录你和同桌（或好友）连续 10 次数学作业的错题数量，整理成两组数据； 2.分别计算两组数据的平均数和方差，对比两人作业的稳定性； 3.结合计算结果，分析两人作业的特点：谁的错题数量波动更小？谁的整体水平更稳定？ 4.思考：如果要组建学习小组，除了方差，你还会考虑哪些因素？写一段 50 字左右的分析说明. 要求：数据真实，计算过程规范清晰；分析需结合方差的意义，体现 “数据决策” 的思想；可结合实际情况，为小组合作提出 1 条优化建议. 学科网（北京）股份有限公司 $