24.2 数据的离散程度 第2课时教案 -2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十四章 数据的分析

24.2 数据的离散程度

第2课时

本节课选自人教版八年级下册《数据的分析》章节，是学生在学习平均数、中位数、众数等集中趋势统计量后，进一步学习的离散程度统计量，在整个数据统计体系中起到承上启下的关键作用.此前学生已掌握用平均数刻画数据的整体水平，本节课通过方差补充刻画数据的波动与稳定性，形成了“集中趋势+离散程度”完整的数据分析逻辑，为后续抽样调查、统计推断等内容奠定方法基础.

教材的教学逻辑链条清晰且层层递进：首先以“灌装线质量检验”的实际情境引入，通过对比两组平均数相同的数据，发现仅靠集中趋势无法全面评价，从而引出刻画波动程度的需求；接着类比平均数的计算方式，推导方差的定义与计算公式，结合“甲乙两地气温对比”的案例，示范方差的计算方法与解读方式；最后通过练习巩固，引导学生应用方差解决“稳定性比较”类实际问题，让学生体会统计量的实际价值. 整个过程从问题冲突出发，到概念构建、方法学习，再到应用实践，符合学生的认知规律，体现了统计知识服务于生活决策的核心思想.

已有基础：八年级学生已熟练掌握平均数、中位数、众数的计算与意义，能通过集中趋势统计量描述数据的整体水平，具备基本的数据计算和简单分析能力；同时学生已接触过简单的统计案例，能理解统计知识在生活中的应用场景，具备初步的数学建模意识，为方差的学习提供了知识与经验基础.

存在困难：方差的计算涉及平方、求和、平均等多步运算，步骤繁琐，学生容易出现计算错误；学生难以理解方差的“平方”操作意义，容易混淆方差平均差的区别；同时，学生容易形成“平均数决定一切”的思维定势，难以理解“平均数相同时，方差才是决策关键”的逻辑，在实际问题中无法灵活运用方差进行合理判断.

认知特点：八年级学生处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，对抽象的统计概念理解需要借助具体的生活情境与案例支撑；他们好奇心强，对贴近生活的实际问题(如产品质量、成绩稳定性)兴趣浓厚，但抽象概括和逻辑推理能力仍有待提升，需要通过动手计算、对比分析、合作探究等活动，逐步构建方差的概念，理解其统计意义与应用价值.

1.进一步理解方差的概念，掌握方差的计算公式，能利用方差比较两组数据的波动大小.

2.理解方差的统计意义，能结合平均数和方差对实际问题做出合理决策.

3.经历方差概念的构建过程，通过对比分析、计算探究，提升数据分析与逻辑推理能力，体会类比、建模的数学思想.

4感受统计知识在生活中的应用价值，培养用数据说话的理性思维，养成严谨求实的科学态度.

重点：进一步理解方差的概念，掌握方差的计算公式，能利用方差比较两组数据的波动大小.

难点：理解方差的统计意义，能结合平均数和方差对实际问题做出合理决策.

         复习回顾

问题1：说一说离差、离差平方和和方差的计算公式.

答：离差：xi－  (i = 1，2，···，n)

离差平方和：

方差：  

问题2：方差的意义是什么？

答：方差的意义：方差越大，数据的离散程度越大；

    方差越小，数据的离散程度越小.

师生活动：教师提问引导学生回忆离差、离差平方和、方差的公式与意义，学生独立回答，教师补充纠错，梳理知识关联.

设计意图：唤醒旧知，夯实方差概念基础，为后续应用方差解决实际问题搭建桥梁，帮助学生构建完整的统计知识体系.

         探究新知

活动：探究运用方差解决实际问题

问题3：自动灌装线灌装饮料时，由于各种不可控的因素，每瓶饮料的实际含量与标准含量会存在一些误差(实际含量-标准含量). 甲、乙两条灌装线同时灌装标准含量为 500 mL的饮料，为了检验两条灌装线的灌装质量，从每条灌装线上各随机抽取10 瓶饮料进行测量，结果 (单位：mL) 如表所示.

(1) 如果有一瓶饮料含量的误差的绝对值超过 10 mL，此条灌装线的灌装质量为不合格，那么两条灌装线的灌装质量是否合格？

(2) 哪条灌装线的灌装质量更好？

师生活动：教师呈现灌装线情境问题，引导学生先判断合格率，再追问“如何比较稳定性”，

学生计算平均数、方差，教师点拨方差的应用前提

解：(1) 甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量 500 mL 的误差如表所示.

从表中的数据可以看出，甲、乙灌装线灌装的误差绝对值最大分别为 5 mL、7 mL，两者都小于 10 mL，因此两条灌装线灌装的质量都是合格的.

追问：可通过哪些统计量来关注饮料的质量？

答：每瓶饮料的含量；灌装线的稳定性.

分析：在饮料含量的误差的绝对值符合要求前提下，灌装饮料的实际含量与标准含量的差异越小，说明灌装线的质量越好.

(2) 甲、乙灌装线饮料实际含量的平均数分别为

，

.

两条灌装线饮料实际含量的平均数都等于标准含量.

（注：甲、乙两条灌装线生产的饮料含量的平均数相等，等价于平均误差相同. ）

可以类比方差，计算甲、乙灌装线饮料的实际含量与标准含量的平均差异程度，分别为

可以发现，甲灌装线饮料实际含量与标准含量的平均差异更小.

       根据样本估计总体，综合来看，甲灌装线的灌装质量更好.

（注：实际含量与标准含量的平均差异相比的前提是两条灌装线都是合格的，也就是说平均差异小并不能保证生产线是合格的.）

特别提醒：    

方差只能反映样本的稳定性，而不能反映样本的一般水平.

因而在用样本估计总体时，通常要综合考虑样本平均数与样本方差，再作出判断.

在两组数据的平均数相差较大时，以及在比较单位不同的两组数时，不能直接用方差来比较它们的离散程度.

设计意图：以真实问题驱动探究，让学生经历“判断合格——比较水平——分析稳定”的完整过程，理解平均数与方差结合决策的必要性，深化对统计量应用的认识.

问题4：甲、乙两地同一天的气温记录如表所示.