23.4实际问题与一次函数同步培优讲义 2025-2026学年人教版八年级数学下册

本讲义聚焦“实际问题与一次函数”核心知识点，系统梳理一次函数定义、自变量取值范围（含实际意义限制）、增减性（k值影响最值）及“实际情境—变量提取—模型建立—求解”的解题思想，搭建从概念到应用的学习支架。 资料以6大题型（分配方案、利润等）为主线，每个题型配典例与变式，结合购票、行程等生活情境，培养数学建模能力与几何直观（数学眼光），通过推理分析变量关系提升运算与推理意识（数学思维）。课中助教师结构化授课，课后检测助力学生查漏补缺。

23.4实际问题与一次函数 （4知识点+6题型+过关检测） 【题型1 分配方案问题】 1 【题型2 最大利润问题】 3 【题型3 行程问题】 5 【题型4 阶梯计价问题】 7 【题型5 其它问题】 9 【题型6 一次函数与几何综合】 11 1. 知识目标：理解实际问题中一次函数的建模逻辑，掌握一次函数的基本性质、自变量取值范围的确定方法，熟练运用一次函数解决各类实际问题与简单几何综合问题。 2. 能力目标：能从文字、图像情境中提取数量关系，建立一次函数模型，会利用函数增减性、端点值求解最值、最优方案等问题，提升数形结合与数学建模能力。 3. 素养目标：培养用函数思维解决实际生活问题的意识，养成严谨审题、考虑实际取值限制的解题习惯。 03 知识•梳理 知识点1. 一次函数基本定义：形如（为常数，）的函数为一次函数。当时，为正比例函数，是特殊的一次函数。 知识点2. 自变量取值范围（必考易错点）：实际问题中自变量不能直接取全体实数，需满足实际意义：人数、物品数量为非负整数；长度、重量、用量为非负数；题目有限定条件时需严格遵从限定范围。 知识点3. 一次函数增减性（求最值核心）：，随增大而递增，最小值在自变量最小值处，最大值在自变量最大值处；，随增大而递减，最大值在自变量最小值处，最小值在自变量最大值处。 知识点4. 解题核心思想：实际情境→提取变量关系→建立一次函数模型→结合取值范围与增减性求解。 04 题型•汇总 【题型1 分配方案问题】 题型特征：已知两种及以上物资、人员、设备的分配方式，根据限制条件设计分配方案，求解最优分配方式。 核心解题步骤：设变量→列一次函数式→不等式组求自变量整数范围→依增减性选最优方案。 极简技巧：分配问题变量必为非负整数，先锁定所有可行方案，再对比最值择优。 【典例1】．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【变式1】．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【变式2】．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【变式3】．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 【题型2 最大利润问题】 题型特征：销售商品、生产产品场景，已知单价、成本、销量与变量的关系，求最大利润或最优定价、进货量。 核心公式：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=售价-进价 核心解题步骤：设调价/进货变量→表示单件利润和销量→列利润一次函数→结合取值范围，代入端点求最大利润。 极简技巧：一次函数利润无顶点最值，最值只在自变量区间端点处。 【典例2】．某学校初二学生计划在学校空中农场种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组用240元购进第一批向日葵花苗后，又用660元购进第二批向日葵花苗．第二批所购数量是第一批数量的3倍，第二批单株进价比第一批便宜了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进向日葵花苗和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元．学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【变式1】．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？（用方程组解应用题） (2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．设购买m辆A型新能源公交车，年均载客总量为W万人次．请写出W（万人次）与m（辆）之间的函数表达式．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【变式2】．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【变式3】．4月10日至12日，第十届中国国际食品及配料博览会、第四届中国国际预制菜产业博览会、第十五届广东现代农业博览会在广东东莞现代国际展览中心举办．在豫农优品展区，琳琅满目的河南特色农产品全方位展现了中原农业的深厚底蕴与创新活力．河南焦作温县的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； (2)厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 【题型3 行程问题】 题型特征：结合匀速运动的相遇、追及、往返问题，通过函数图像或文字描述路程、速度、时间关系。 核心公式：路程=速度×时间（） 极简解题技巧：图像斜率=速度，交点=相遇；往返、停留问题分段列函数；依托图像特殊点坐标（起点、终点、交点）快速求解路程、速度、时间，注意区分距离与总路程，避免混淆。 【典例3】．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【变式1】．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中离家的距离（米）与离家时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)小明从家到学校的路程共多少米？ (2)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (3)小明修车前和修车后的平均速度分别是多少？ 【变式2】．甲、乙二人分别沿同一条道路从学校出发，前往体育场锻炼，甲步行，乙骑自行车．乙到达体育场停留一段时间后，原路原速返回学校．两人距学校的距离y（单位：）与甲的出发时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)乙在体育场停留了________； (2)当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了多少？ 【变式3】．已知李华的学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行h到达书店，在书店停留h后，匀速骑行h到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中李华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开学校的时间/h 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 12 ②填空：李华从书店到陈列馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (2)李华从陈列馆出发的时候，同学张明从书店出发，用和李华从书店到陈列馆相同的骑行速度返回学校，当张明到达学校时，两人相距多少km（直接写出结果即可）． 【题型4 阶梯计价问题】 题型特征：水电费、打车费、快递费、话费等分段收费问题，不同用量对应不同单价。 核心解题步骤：按收费标准划分用量区间→分段列出一次函数式→判断数据所属区间→代入对应式子计算求解。 极简技巧：阶梯计价为分段函数，先定区间再计算，严禁通用一个公式。 【典例4】．分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 【变式1】．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【变式2】．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 【变式3】．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【题型5 其它问题】 常见场景：工程问题、蓄水放水问题、浓度问题、气温变化问题等动态变化类实际问题。 极简解题思路：找准两个相关变量→根据匀速变化速率建函数→结合初始值写解析式→根据题意求解取值、变化规律即可。 【典例5】．2025年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进A、B两型与此电影有关的网红创意桌面摆件一“我命由我不由天”进行销售．已知1件A型摆件的进价比1件B型摆件的进价多10元，用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等． (1)求A、B两型摆件的进货单价； (2)该商家准备购进A、B两型摆件共75件，且购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【变式1】．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（填图1中的图形序号）， 其中______，______． (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数为： ． 【变式2】．随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键．某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池电量（占电池容量的百分比）与充电时间（单位：h）的函数图象；快充的电量变化为折线，普通充电的电量变化为线段．根据测试数据，图象标注：点，，，． 请结合图象和数据，解答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【变式3】．草莓在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同． 甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠； 乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠． 设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓总数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为、元，其函数图象如图所示． (1)请分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请求出图中点A的坐标，并说明点A表示的实际意义； (3)请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算． 【题型6 一次函数与几何综合】 题型特征：一次函数图像与坐标轴、三角形、四边形结合，求点坐标、线段长度、图形面积、解析式等。 核心知识点： 1. 坐标轴交点：一次函数与轴交点，与轴交点； 2. 两点间距离、线段长度、图形面积公式； 3. 两直线平行：值相等；两直线垂直：。 极简解题技巧：数形结合画简易图像，把几何的线段、面积问题转化为坐标计算；不规则图形用割补法，依托坐标轴转化为规则图形计算，结合两直线位置关系解题。 【典例6】．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【变式1】．如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． (1)记，则________；________；点B的坐标为________； (2)与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3)y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 【变式3】．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 05 过关•检测 1．王阿姨和张阿姨一起去超市买绿豆，王阿姨买了 3斤绿豆和一个元的购物袋，共支付元，张阿姨买了x斤绿豆，她自备了购物袋，需支付y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 2．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 3．一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 4．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（     ） A．33元 B．39元 C．42元 D．46元 5．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 6．如图，点是矩形边上的一动点，它从点出发沿着路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 7．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 8．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 11．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 12．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 13．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度随时间的变化是均匀的，则19分钟时的温度是_____________． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/ 10 25 40 55 70 85 14．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 16．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 17．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发40秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距100米时，x（秒）的值是________． 18．直线的解析式为，点在轴上，点在轴上，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交直线于点，则直线的解析式为________． 19．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 20．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 21．平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)有一动点，淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)在（2）的条件下，设线段分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求a的值； ②若点P在的内部（不含边界），求a的取值范围． 22．在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 m 0 1 … (1)请通过“列表一描点一连线”的过程画出 的函数图象； ①上表是x与y的几组对应值：m的值为________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数的图象及性质描述正确的是________（多选）； ①此函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值为0； ③当时，y随x的增大而增大． (3)已知的图象与y轴的交点为点，的图象上有一点，在y轴上存在一点C，使的面积为8，求出点C的坐标． 23．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 25．随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用元购进了若干台A型打印机，用元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵元． (1)B型打印机的单价是多少元？ (2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过台，则前台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．若购买A型、B型打印机共台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 23.4实际问题与一次函数 （4知识点+6题型+过关检测） 【题型1 分配方案问题】 1 【题型2 最大利润问题】 6 【题型3 行程问题】 11 【题型4 阶梯计价问题】 16 【题型5 其它问题】 22 【题型6 一次函数与几何综合】 27 1. 知识目标：理解实际问题中一次函数的建模逻辑，掌握一次函数的基本性质、自变量取值范围的确定方法，熟练运用一次函数解决各类实际问题与简单几何综合问题。 2. 能力目标：能从文字、图像情境中提取数量关系，建立一次函数模型，会利用函数增减性、端点值求解最值、最优方案等问题，提升数形结合与数学建模能力。 3. 素养目标：培养用函数思维解决实际生活问题的意识，养成严谨审题、考虑实际取值限制的解题习惯。 03 知识•梳理 知识点1. 一次函数基本定义：形如（为常数，）的函数为一次函数。当时，为正比例函数，是特殊的一次函数。 知识点2. 自变量取值范围（必考易错点）：实际问题中自变量不能直接取全体实数，需满足实际意义：人数、物品数量为非负整数；长度、重量、用量为非负数；题目有限定条件时需严格遵从限定范围。 知识点3. 一次函数增减性（求最值核心）：，随增大而递增，最小值在自变量最小值处，最大值在自变量最大值处；，随增大而递减，最大值在自变量最小值处，最小值在自变量最大值处。 知识点4. 解题核心思想：实际情境→提取变量关系→建立一次函数模型→结合取值范围与增减性求解。 04 题型•汇总 【题型1 分配方案问题】 题型特征：已知两种及以上物资、人员、设备的分配方式，根据限制条件设计分配方案，求解最优分配方式。 核心解题步骤：设变量→列一次函数式→不等式组求自变量整数范围→依增减性选最优方案。 极简技巧：分配问题变量必为非负整数，先锁定所有可行方案，再对比最值择优。 【典例1】．某展厅举行专场音乐会，成人票每张20元，学生票每张5元，假期期间，为了丰富广大师生的业余文化生活，该展厅制定了两种优惠方案，两种优惠方案只能选择其中一种．方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的付款 某校有4名老师与x名学生去该展厅听音乐会． (1)设方案1中的付款总金额为（元），方案2中的付款总金额为（元），分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请帮助该校师生确定出最节省费用的购票方案． 【答案】(1)， (2)当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少 【分析】（1）根据题干所给的优惠方式，分别计算出、与x之间的函数关系式即可； （2）分三种情况：当时，当时，当时，分别计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得：， ； （2）解：当时，， 解得：， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，当学生人数为24人时，两种优惠方案付款一样多；学生人数小于人时，优惠方案1付款较少；学生人数大于人时，优惠方案2付款较少． 【变式1】．随着春季假期到来，研学旅行热潮持续升温，为进一步提升游客体验，让游客更深入感受自然与文化魅力，某景区正着力打造沉浸式旅游新场景，并计划采购一批帐篷．已知购买4个A型号的帐篷和2个B型号的帐篷共需4400元；购买3个A型号的帐篷和4个B型号的帐篷共需4800元． (1)求A，B两种型号的帐篷的单价； (2)据统计，该景区需购买A，B两种型号的帐篷共40个，且A型号的帐篷数量不少于B型号的帐篷数量的．请你设计购买成本最少的方案，并求出该方案的费用． 【答案】(1)A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元 (2)购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元 【分析】（1）设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元，根据题意列出方程组，解方程组即可； （2）设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个，根据题意列出不等式求出的取值范围，设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元，则，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设A型号的帐篷的单价为x元，B型号的帐篷的单价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号的帐篷的单价分别为800元，600元； （2）解：设购买A型号的帐篷a个，则B型号的帐篷个， 根据题意得：， 解得：， 设购买A、B两种型号的帐篷的总价为w元， 则， ， 随a的增大而增大， 当时，w最小，此时， 的最小值为， 答：购买A型号的帐篷10个，B型号的帐篷30个时，购买成本最少，该方案所需费用26000元． 【变式2】．项目式学习任务：校园机器人科普展奖品采购方案 为响应科技强国、人工智能发展的社会热点，某校开展“智能机器人进校园，科创筑梦向未来”主题科普展活动，计划采购智能机器人模型与科创文具作为奖品，激励积极参与科普活动的学生． 学校决定购买款智能机器人模型和款科创笔记本共件，已知款机器人模型单价元/件，款科创笔记本单价元/件．请以“活动采购规划小组”的身份，完成以下采购成本分析任务： 任务一：建立总费用函数模型 (1)设购买款智能机器人模型的数量为件，购买两种奖品的总费用为元．请求出总费用与款机器人模型数量之间的函数关系式． 任务二：实际采购费用核算 (2)若本次科普展计划购买件款智能机器人模型，剩余奖品均为款科创笔记本，请计算本次采购的总费用． 任务三：最优采购方案设计 (3)结合活动预算与奖品购置要求，规定款智能机器人模型的购买数量不少于件且不多于件．请通过函数分析，设计出总费用最少的采购方案，并求出最少总费用． 【答案】(1)（，且为整数） (2)元 (3)当款智能机器人模型件，款科创笔记本件时，总费用最少，最少是元 【分析】（1）根据两种奖品的单价和总数量，建立总费用与款数量的一次函数关系； （2）直接将给定的款机器人数量代入函数，计算总费用； （3）根据一次函数的增减性，在给定的取值范围内找到使总费用最小的采购方案． 【详解】（1）解：根据题意，得： ，其中，且为整数， 故总费用（元）与机器人模型的数量（件）之间的关系式为（，且为整数）． （2）解：当时，， 故当购买了件款智能机器人模型时，总费用是元． （3）解：由题意，得， 由（1）可知为， 且， 随的增大而增大， 当时，有最小值为元， 款科创笔记本为（件）， 故总费用最少的采购方案是款智能机器人模型件，款科创笔记本件，总费用最少是元． 【变式3】．综合与实践 背景 第十五届运动会的吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”，以珠江口栖息的中华白海豚为原型，头顶木棉红、紫荆紫和莲花绿三朵小水花，寓意广东、澳门和香港三地同心，传递团结拼搏与团圆和美的愿景． 图片 素材一 某中学准备举行“第十五届全运会”知识竞赛活动，拟购买30套吉祥物“喜洋洋”和“乐融融”作为竞赛奖品，某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 (1)甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 (2)如何购买才能使总费用最少？ 【答案】(1)甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元 (2)购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少 【分析】本题考查分式方程、一元一次不等式、一次函数的应用，根据已知条件列出分式方程和不等式，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元，根据题意列出分式方程，解方程即可，注意检验是否为分式方程的解； （2）设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用，根据题意列出不等式，求出购买的总费用，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设甲规格每套吉祥物x元，则乙规格每套吉祥物元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的根， 则， 答：甲规格每套吉祥物70元，乙规格每套吉祥物90元； （2）解：设甲规格购买了y套，乙规格购买了套，购买的总费用， 根据题意可得：， 解得：， 则购买的总费用是， ， 随着y的增大而减小， 当时，最少费用是（元）， 此时（套）， 答：购买甲规格的20套，乙规格的10套时，使总费用最少． 【题型2 最大利润问题】 题型特征：销售商品、生产产品场景，已知单价、成本、销量与变量的关系，求最大利润或最优定价、进货量。 核心公式：总利润=单件利润×销售数量；单件利润=售价-进价 核心解题步骤：设调价/进货变量→表示单件利润和销量→列利润一次函数→结合取值范围，代入端点求最大利润。 极简技巧：一次函数利润无顶点最值，最值只在自变量区间端点处。 【典例2】．某学校初二学生计划在学校空中农场种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组用240元购进第一批向日葵花苗后，又用660元购进第二批向日葵花苗．第二批所购数量是第一批数量的3倍，第二批单株进价比第一批便宜了0.2元． (1)求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； (2)学校计划再购进向日葵花苗和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元．学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】(1)该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； (2)购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元． 【分析】（1）设第二批向日葵花苗的单株进价为x元，则第一批向日葵花苗的单株进价为元，第二批所购数量是第一批数量的3倍，据此列出分式方程并解方程即可； （2）设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗株，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍求出m的取值范围，再根据总费用列出一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【详解】（1）解：设第二批向日葵花苗的单株进价为x元，则第一批向日葵花苗的单株进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）解：设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗株， 由题意，得：， 解得； ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W取得最小值， 此时（株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元 【变式1】．随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有A型和B型两种车型，若购买A型公交车3辆，B型公交车1辆，共需260万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车3辆，共需360万元． (1)求购买A型和B型新能源公交车每辆各需多少万元？（用方程组解应用题） (2)经调研，某条线路上的A型和B型新能源公交车每辆年均载客量分别为70万人次和100万人次．公司准备购买10辆A型、B型两种新能源公交车，总费用不超过650万元．设购买m辆A型新能源公交车，年均载客总量为W万人次．请写出W（万人次）与m（辆）之间的函数表达式．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元； (2)（且为整数）；购买方案为购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量的最大值为760万人次 【分析】（1）设两种车型的单价为未知数，根据题干给出的两种购买总费用列出二元一次方程组，求解即可得到两种车型的单价； （2）先根据总费用不超过650万元的限制求出自变量的取值范围，再根据年均载客量的关系写出函数表达式，结合一次函数的增减性即可求出最大载客量和对应的购买方案． 【详解】（1）解：设购买A型新能源公交车每辆需万元，购买B型新能源公交车每辆需万元， 根据题意得 解得，， 答：购买A型新能源公交车每辆需60万元，购买B型新能源公交车每辆需80万元； （2）由题意得购买辆B型新能源公交车，根据总费用不超过650万元，得， 解得， 又是不超过10的非负整数， 且为整数， 年均载客总量， ， 随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 此时（万人次），（辆） 答：与的函数表达式为（且为整数），购买方案为购买A型新能源公交车8辆，B型新能源公交车2辆，年均载客总量的最大值为760万人次． 【变式2】．综合与实践 某校为表彰在数学文化节活动中表现优秀的学生，决定购买A、B两种奖品．若购买A种奖品3件和B种奖品2件，共需60元；若购买A种奖品2件和B种奖品3件，共需65元． (1)求A、B两种奖品的单价各是多少？ (2)学校计划购买A、B两种奖品共100件，购买总费用不超过1140元，且A种奖品的数量不大于B种奖品数量的3倍，设购买A种奖品m件，购买总费用为w元，写出w（元）与m（件）之间的函数关系式，并确定最少费用w的值． 【答案】(1)奖品的单价是元，奖品的单价是元； (2)，最少费用w的值是1125元 【分析】本题考查了二元一次方程组、一次函数、不等式组的经济问题，正确理解题意是解题关键． （1）设、两种奖品的单价各是，由题意得：，据此即可求解； （2）由题意得：购买种奖品件，推出；根据即可确定最少费用的值． 【详解】（1）解：设、两种奖品的单价各是， 由题意得：， 解得：， ∴奖品的单价是元， 奖品的单价是元； （2）解：由题意得：购买种奖品件， 则； ∵，可得：， ∴当时， 【变式3】．4月10日至12日，第十届中国国际食品及配料博览会、第四届中国国际预制菜产业博览会、第十五届广东现代农业博览会在广东东莞现代国际展览中心举办．在豫农优品展区，琳琅满目的河南特色农产品全方位展现了中原农业的深厚底蕴与创新活力．河南焦作温县的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． (1)求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； (2)厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 【答案】(1)每个种礼盒的进价是80元，每个种礼盒的进价是60元 (2)总费用（元）与之间的函数关系式是，最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用为2000元 【分析】（1）设每个B种礼盒的进价是元，则每个A种礼盒的进价是元．根据“用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等”列方程求解即可； （2） 【详解】（1）解：（1）设每个B种礼盒的进价是元，则每个A种礼盒的进价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ． 答：每个A种礼盒的进价是80元，每个B种礼盒的进价是60元； （2）解：由题意，得买了个A种礼盒，则送了个B种礼盒，购买A种礼盒的费用为元． 则需要出钱的B种礼盒的数量为 ． 由题意可知， 解得． 若，此时B种礼盒不需要花钱买， 故总费用 ，此时最大为4，此时元； 若，此时B种礼盒需要花钱买， 故总费用 ． 令 ， 解得． 取正整数， 最大为16．此时 （元） 综上，最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用 （元）． 答：总费用（元）与之间的函数关系式是最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用为2000元． 【题型3 行程问题】 题型特征：结合匀速运动的相遇、追及、往返问题，通过函数图像或文字描述路程、速度、时间关系。 核心公式：路程=速度×时间（） 极简解题技巧：图像斜率=速度，交点=相遇；往返、停留问题分段列函数；依托图像特殊点坐标（起点、终点、交点）快速求解路程、速度、时间，注意区分距离与总路程，避免混淆。 【典例3】．小方同学骑车上学，当他骑了一段路时，想起要带当天的报纸回班级分享每日时事，于是又折回到刚经过的报刊亭，买到报纸后继续去学校．以下是他离家距离（米）与上学所用的时间（分钟）的关系图．根据图中提供的信息回答下列问题： (1)小方在报刊亭停留了______分钟； (2)本次上学途中，小方一共行驶了多少米？ (3)通过计算说明，在整个上学的途中哪个时间段小方骑车速度最快，最快的速度是多少米／分钟？ 【答案】(1)2 (2) (3)在分钟时，速度最快，速度是 【分析】本题考查一次函数的实际应用和一次函数与图形之间的关系．通过读题显然得知，小方同学在分钟时想起要带报纸开始折返，在分钟时到达报刊亭，在分钟时继续往学校走，在分钟时到达学校． 【详解】（1）解：小方在报刊亭停留时间是：． （2）解：小方行驶的路程是：． （3）解：小方在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； 在分钟时，速度是：； , 在分钟时，速度最快，速度是． 【变式1】．某天小明骑自行车上学，途中因自行车发生故障，修车耽误了一段时间后继续骑行，按时赶到了学校，如图所示是小明从家到学校这一过程中离家的距离（米）与离家时间（分）之间的关系，根据图象解答下列问题： (1)小明从家到学校的路程共多少米？ (2)从家出发到学校，小明共用了多少分钟？ (3)小明修车前和修车后的平均速度分别是多少？ 【答案】(1)米 (2)分钟 (3)小明修车前的速度为米/分钟，小明修车后的速度为米/分钟． 【分析】（1）根据观察图象，纵坐标表示离家的距离，即路程最大值为米； （2）观察图象可知，横坐标表示离家的时间，图象中横坐标的最大值为分钟； （3）由图象可知，小明修车前分钟行驶了米，小明修车后行驶的路程为（米），修车后所用的时间为（分钟），根据速度路程时间，即可求解． 【详解】（1）观察函数图象可知，图象的终点坐标为； 纵坐标表示离家的距离，即路程最大值为米； 故小明从家到学校的路程共米． （2）观察图象可知，横坐标表示离家的时间，图象中横坐标的最大值为分钟， 所以从家出发到学校，小明共用了分钟． （3）由图象可知，小明修车前分钟行驶了米， 所以修车前的平均速度为(米/分钟)， 小明修车后行驶的路程为（米），修车后所用的时间为（分钟） 所以修车后的平均速度为（米/分钟） 答：小明修车前的平均速度为米/分钟，修车后的平均速度为米/分钟． 【变式2】．甲、乙二人分别沿同一条道路从学校出发，前往体育场锻炼，甲步行，乙骑自行车．乙到达体育场停留一段时间后，原路原速返回学校．两人距学校的距离y（单位：）与甲的出发时间x（单位：）之间的函数关系如图所示． (1)乙在体育场停留了________； (2)当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了多少？ 【答案】(1) (2)甲出发了 【分析】（1）根据函数图象可得乙往返时间为分钟，进而求得停留时间； （2）分别求得甲乙的函数关系式，令，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 根据函数图象可得乙往返时间为分钟， 乙在体育场停留了分钟 （2）设，代入，得，， ∴， 设，由题意得，代入，， ， 解得， ． 令，解得． ∴当乙从体育场返回与甲相遇时，甲出发了． 【变式3】．已知李华的学校、书店、陈列馆依次在同一条直线上，书店离学校，陈列馆离学校．李华从学校出发，匀速骑行h到达书店，在书店停留h后，匀速骑行h到达陈列馆，在陈列馆参观学习一段时间，然后回学校；回学校途中，匀速骑行后减速，继续匀速骑行回到学校．下面图中表示时间，表示离学校的距离．图象反映了这个过程中李华离学校的距离与时间之间的对应关系． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)①填表： 离开学校的时间/h 0.5 0.8 1 3 离学校的距离/km 12 ②填空：李华从书店到陈列馆的骑行速度为______； ③当时，请直接写出关于的函数解析式． (2)李华从陈列馆出发的时候，同学张明从书店出发，用和李华从书店到陈列馆相同的骑行速度返回学校，当张明到达学校时，两人相距多少km（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①10； 12；20②16； ③ (2)3 【分析】（1）①可知李华从学校到书店的速度，代入即可求值，当h时，李华在书店，当时，李华在陈列馆，；②根据速度等于路程除以时间；③用待定系数法即可求解； （2）由图可知当张明到达学校的时间即可求解． 【详解】（1）①解：由题可知， 当离开学校的时间时，离学校的距离为, ∴李华从学校到书店的速度为：， 则当时，离学校的距离为：, 当时，李华在书店，则离学校的距离为； 当时，李华在陈列馆，则离学校的距离为； ②李华从书店到陈列馆的骑行速度为：， ③在时，设， 将点，代入得， 解得， 则， 在时，则， 在时，设， 将点，代入得， 解得， 则， 则关于的函数解析式为： （2）解：张明骑行速度为：， 当张明到达学校时，时间为：， 回学校途中，匀速骑行后减速，速度为： ∴离学校的距离为：， 则两人相距3km． 【题型4 阶梯计价问题】 题型特征：水电费、打车费、快递费、话费等分段收费问题，不同用量对应不同单价。 核心解题步骤：按收费标准划分用量区间→分段列出一次函数式→判断数据所属区间→代入对应式子计算求解。 极简技巧：阶梯计价为分段函数，先定区间再计算，严禁通用一个公式。 【典例4】．分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)且为偶数 【分析】（1）根据题意，写出两个时段的关系式； （2）先确定，则，令计算出对应的的值，再根据收费规则确定游泳时间； （3）根据一次函数的增减性，求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，根据题意，收费恒定为12元， ∴； 当时，根据题意，超出部分每小时加收2元， ∴； （2）解：∵， ∴，此时， 将代入，得， ∴； （3）解： ∵， ∴随的增大而增大， ∵当时，；当时，； ∴且为偶数． 【变式1】．某市出租车采取分段收费方式：起步价为元，即路程不超过千米时收费元，超过部分每千米收费元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图像知，__________，__________，__________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为元，请求出与之间的关系式． (3)若小明共付车费元，那么出租车共行驶了多少千米？ 【答案】(1)，， (2) (3) 【分析】（1）根据分段收费的定义和图像信息来确定、、的值即可． （2）根据待定系数法即可求解． （3）根据已知的车费判断行驶路程是否超过起步路程，然后代入相应的关系式求解即可． 【详解】（1）解：从图象可知，当行驶路程为到千米时，乘车费固定为元， 此时对应的乘车费为元，即， 当乘车费开始变化时，对应的行驶路程就是的值，从图像可得， 从图像可知，当行驶路程为千米时，乘车费为元； 当行驶路程为千米时，乘车费为元， 那么超过千米的部分行驶了千米，费用增加了元， 所以每千米收费元． （2）解：当时，设与之间的关系式为． 将与代入关系式， 则有，解得， 则与之间的关系式为． （3）解：当时，可知行驶路程已超过起步路程， 则，解． 答：出租车共行驶了千米． 【变式2】．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案： 甲商场：所有商品打折； 乙商场：一次性购物不超过元不打折，超过元时，超出的部分打折． (1)设原价为元，甲、乙两个商场的购物金额分别，，请直接分别写出与，与之间的表达式； (2)请你按照下表中自变量的值代入（1）中的表达式计算，分别得到了，的几组对应值： x/元 /元 /元 则表格中， ， (3)在如图所示的同一平面直角坐标系中，描出（2）中补全后的表格里各组数值所对应的点，并画出，函数的图象．    (4)根据以上分析，在购买原价相同的同种商品时，应该如何选择这两家商场购物更省钱？请写出购物更省钱的方案（直接写出结论）． 【答案】(1)； (2)； (3)见解析 (4)①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱；②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多；③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱 【分析】（1）根据题意，得；乙商场的费用：分类计算即可； （2）根据表达式代入计算即可； （3）根据表达式描点，画图，连线画图象即可； （4）根据题意，分类讨论即可； 【详解】（1）解：； ． （2）解：根据题意，得当时，（元）， 当时，（元）， （3）解：画图如下： （4）解：根据题意，得， 解得， ①当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在甲商场购物更省钱； ②当时，，购买原价相同的同种商品时，在甲、乙商场购物花钱一样多； ③当时，，购买原价相同的同种商品时，选择在乙商场购物更省钱． 【变式3】．项目式学习 项目主题 绿植养护营养土购买方案选择 项目背景 学校后勤部门为提升校园绿植养护效果，计划采购一批营养土．优质的营养土能有效促进植物生长，是校园绿化的重要保障．综合实践活动小组以“探究绿植养护营养土购买方案”为主题开展项目学习． 研究步骤 a．收集校园周边“绿园”“植享”两家园艺店的营养土销售信息． b．整理信息并建立付款金额与购买量的函数关系式． c．通过数据分析，确定最优采购方案． 信息收集 1．“绿园”店营养土的售价为18元/袋，无论购买多少均不打折． 2．“植享”店营养土的售价如下表： 购买量/袋 售价/（元/袋） 3袋以内（含3袋） 20元/袋 超过3袋 超过3袋的部分打八折 设学校后勤部门购买x袋营养土（，且为正整数），在“绿园”店购买营养土的费用为元，在“植享”店购买营养土的费用为元． (1)请分别写出，与x之间的函数关系式． (2)通过计算说明选择哪家店购买更划算． 【答案】(1)， (2)当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样．当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算．当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算 【分析】（1）根据题意分别找出与x，与x的等量关系，从而求得与x，与x之间的函数关系式； （2）由求得x的临界值，从而分情况进行讨论得出结果． 【详解】（1）解：由题意得： 在“绿园”店购买的费用与x的关系式为：， 在“植享”店购买的费用与x的关系式为：． （2）解：当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， ， ， 当购买营养土的袋数为6袋时，在两家店购买营养土的费用一样， 当购买营养土的袋数超过6袋时，在“植享”店购买更划算， 当购买营养土的袋数大于3袋小于6袋时，在“绿园”店购买更划算． 【题型5 其它问题】 常见场景：工程问题、蓄水放水问题、浓度问题、气温变化问题等动态变化类实际问题。 极简解题思路：找准两个相关变量→根据匀速变化速率建函数→结合初始值写解析式→根据题意求解取值、变化规律即可。 【典例5】．2025年，我国国产动漫电影《哪吒之魔童闹海》火爆全球，某商家看准商机，决定购进A、B两型与此电影有关的网红创意桌面摆件一“我命由我不由天”进行销售．已知1件A型摆件的进价比1件B型摆件的进价多10元，用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等． (1)求A、B两型摆件的进货单价； (2)该商家准备购进A、B两型摆件共75件，且购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍．怎样购买才能使总费用最少？并求出最少费用． 【答案】(1)A型摆件每个的进价为40元，B型摆件每个的进价为30元 (2)商家购买50件A型摆件，25件B型摆件总费用最少，最少费用为2750元 【分析】（1）设A型摆件每个的进价为a元，B型摆件每个的进价为元，根据“用1200元购进A型摆件的数量与用900元购进B型摆件的数量相等”列分式方程求解即可； （2）设购买A型摆件x件，则购买B型摆件件，根据“购进A型摆件的数量不少于B型摆件数量的2倍”求出的值，设商家购买两型摆件的总费用为w元，求出w的函数关系式，进而根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设A型摆件每个的进价为a元，B型摆件每个的进价为元， 根据题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合实际意义， ∴， 答：A型摆件每个的进价为40元，B型摆件每个的进价为30元； （2）解：设购买A型摆件x件，则购买B型摆件件， 根据题意得：， 解得， ∴x的取值范围为， 设商家购买两型摆件的总费用为w元， 则， ∵， ∴w随x的增大而增大， ∵， ∴当时，w最小，最小值为2750， 此时， 答：商家购买50件A型摆件，25件B型摆件总费用最少，最少费用为2750元． 【变式1】．在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方为弹簧悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图1所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图2所示． (1)图2中，点对应状态为______，点对应状态为______（填图1中的图形序号）， 其中______，______． (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数为： ． 【答案】(1)②，④，12，6 (2)弹簧测力计显示的读数是 【分析】本题考查了从函数图像获取信息以及物理中的浮力知识： （1）分析点的含义，再根据状态对应弹簧测力计的读数求解； （2）分析浮力与深度的关系，计算圆柱体的高度，再计算完全浸没时的浮力，最后计算状态时的浮力，进而得到此时弹簧测力计显示的读数． 【详解】（1）解：点是示数开始下降的转折点，对应圆柱体刚接触水面的时刻， 由图1可知，状态为刚接触水面， 故点对应状态为； 点是示数停止下降、变为水平的转折点，对应圆柱体刚刚完全浸没在水中的时刻， 由图1可知，状态为完全浸没水中， 故点对应状态为； 弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ． （2）解：圆柱体的高度为：， 在空气中，即状态时，示数为， 重力， 完全浸没时，即状态时，示数为， 完全浸没所受的浮力， ，且排开水的体积与浸入水中的高度成正比， 浮力与高度成正比， 则， 即， 解得：， 此时弹簧测力计显示的读数为：． 【变式2】．随着新能源汽车的普及，快充技术成为提升用车体验的关键．某新能源汽车品牌研发中心为测试旗下新款车型的充电效率，安排实验团队分别用快充充电器和普通充电器对汽车电池进行充电测试，得到电池电量（占电池容量的百分比）与充电时间（单位：h）的函数图象；快充的电量变化为折线，普通充电的电量变化为线段．根据测试数据，图象标注：点，，，． 请结合图象和数据，解答下列问题． (1)求段的函数表达式． (2)若将该汽车电池电量从充至，快速充电器比普通充电器少用多长时间？ 【答案】(1) (2)将汽车电量从充至，快充比普充少用时间小时． 【分析】（1）利用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）求出段的解析式，将代入两解析式求出x的值，然后求差解答即可． 【详解】（1）解：设段的函数解析式为． 将代入得， 解得． 因此，段的函数解析式为：； （2）解：将代入解析式得， 解得：（小时）， 设段解析式为，将、代入得， ， 解得， ∴， 将代入段解析式得， 解得：（小时）， 将汽车电量从充至，快充比普充少用时间：（小时）． 【变式3】．草莓在每年成熟期都会吸引很多人到果园去采摘．现有甲、乙两家果园可供采摘，这两家草莓的品质相同，售价均为每千克30元，这两家果园的采摘方案不同． 甲果园：每人需购买20元的门票一张，采摘的草莓按6折优惠； 乙果园：不需要购买门票，采摘的草莓按售价付款不优惠． 设小明和爸爸妈妈三个人采摘的草莓总数量为x千克，在甲、乙果园采摘所需总费用分别为、元，其函数图象如图所示． (1)请分别求出、与x之间的函数关系式； (2)请求出图中点A的坐标，并说明点A表示的实际意义； (3)请根据函数图象，直接写出小明一家选择哪家果园采摘更合算． 【答案】(1)， (2)，点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同，均为150元 (3)当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算；当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲、乙两家果园都可以；当采摘量小于5千克时，到乙果园更划算 【分析】（1）直接根据两个果园的收费方式，列出函数关系式即可； （2）联立解析式，求出交点坐标，进行说明即可； （3）直接利用图象法进行分析即可. 【详解】（1）解：根据题意得，； （2）解：联立，解得， 点A的坐标为，点A的实际意义是当采摘量为5千克时，到两家果园所需总费用相同，均为150元； （3）解：由（2）知点A的坐标为， 观察图象知：当采摘量大于5千克时，到甲果园更划算； 当采摘量等于5千克时，两家果园所需总费用相同，所以到甲、乙两家果园都可以； 当采摘量小于5千克时，到乙果园更划算． 【题型6 一次函数与几何综合】 题型特征：一次函数图像与坐标轴、三角形、四边形结合，求点坐标、线段长度、图形面积、解析式等。 核心知识点： 1. 坐标轴交点：一次函数与轴交点，与轴交点； 2. 两点间距离、线段长度、图形面积公式； 3. 两直线平行：值相等；两直线垂直：。 极简解题技巧：数形结合画简易图像，把几何的线段、面积问题转化为坐标计算；不规则图形用割补法，依托坐标轴转化为规则图形计算，结合两直线位置关系解题。 【典例6】．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． 【变式1】．如图，直线与x轴，y轴分别相交于点A，点B，直线与x轴相交于点． (1)求直线的解析式； (2)点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，当以点O，B，P，Q为顶点的四边形是平行四边形时，求点P的坐标； (3)点D在直线上，若，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）先由确定与轴交点的坐标，再用待定系数法求解析式； （2）由条件知，根据平行四边形的判定方法，再添加，以点，，，为顶点的四边形就是平行四边形，所以根据解析式设出点P、的坐标，根据点P的位置分情况表示线段长度，再根据列方程求解，最终确定点P的坐标； （3）根据点D在直线上的位置进行分类讨论，结合，构造全等三角形，确定线段长，进而确定点G（或H）的坐标，表示直线解析式，直线和直线两个解析式联立求点D的坐标． 【详解】（1）解：∵直线与轴，轴分别相交于点，点， 当时，， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为； （2）轴，，当时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， 设点， ，当时，， ， ， ． 当时，， ； 当时，， ， ， ． 当时，， ． 综上所述，当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，点的坐标为或； （3）在中，当时，，， ． 如图1，当点在轴上方时，设交轴于点， ，，， ， ， ． 设直线的解析式为，代入， ，解得， ∴直线的解析式为，联立，解得， ； 如图2，当点在轴下方时，设交轴于点．同理可得，， ． 设直线的解析式为，代入， ， ． ∴直线的解析式为，联立，解得． ． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴交点、待定系数法求解析式、平行四边形的判定、全等三角形的性质和判定、联立解析式求交点．解题关键是根据点的位置进行分类讨论． 【变式2】．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． (1)记，则________；________；点B的坐标为________； (2)与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； (3)y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)解：，，理由如下： 如图，作于点K． ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 又∵在等腰中，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴． (3)存在， ， 【分析】（1）先运用以及正方形的性质，推导出， ，再过点B作于点N，证，得出，，根据已知条件求出，的长度，从而求得点B坐标，注意B点在第四象限； （2）作于点K．先运用已知条件计算得到，从而证得 ，再证明，最后运用全等三角形的性质证得，； （3）过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，．易证， 设，点，点．求出直线的解析式，由点P在直线上，可将点P代入直线中，求得m的值，从而求出P、Q两点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 即； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 即； 过点B作于点N． ∵， ∴， ∵正方形， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B在第四象限， ∴． （2）略 （3）解：过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，． ∵，， ∴， 同理可证，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 同理可证． 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点，点． ∵由（1）可知， 又∵， ∴设直线的解析式为：， 则有：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P在线段上， ∴将点代入直线的解析式中，得：， ∴， ∴，． 【变式3】．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 05 过关•检测 1．王阿姨和张阿姨一起去超市买绿豆，王阿姨买了 3斤绿豆和一个元的购物袋，共支付元，张阿姨买了x斤绿豆，她自备了购物袋，需支付y元，则y与x的关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据王阿姨的消费情况算出绿豆的单价，再根据张阿姨的购买条件推导与的关系式． 【详解】解：由题意，得 ， ∴． 2．小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（     ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 【详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 3．一化学兴趣小组对某小苏打样品中的含量做了测定：将一定质量的小苏打样品加水全部溶解后，向该溶液中逐渐加入稀盐酸，产生气体的质量与加入稀盐酸的质量的关系如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．加入的稀盐酸越多，产生的气体越多 B．加入的稀盐酸时，产生气体 C．m的值为 D．产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为 【答案】C 【分析】根据函数图象求出函数解析式，然后逐项进行判断即可． 【详解】解：A．当加入稀盐酸的质量超过时，产生的气体不变，故A错误； B．当加入的稀盐酸时，产生气体，故B错误； C．设当加入稀盐酸质量小于时，产生气体质量关于加入的稀盐酸质量之间的函数解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴， 把代入得：， 即m的值为，故C正确； D．把代入得：， 解得：， 即产生的气体的质量为时，加入的稀盐酸为，故D错误． 4．自来水公司采用分段收费标准收水费，每月收取水费y（元）与用水量之间的函数关系如图所示，琪琪家5月份用水，应收水费（     ） A．33元 B．39元 C．42元 D．46元 【答案】B 【分析】设当时，y关于x的函数关系式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后代入求解即可 【详解】解：设当时，y关于x的函数关系式为， 将、代入中， 则， 解得， ∴当时，y关于x的函数关系式为， ∴当时，． 5．用充电器给某手机充电时，其屏幕画面显示目前电量为，经测试，用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，电量（单位：）与充电时间（单位：）的函数图象分别为图2中的线段，，根据以上信息，下列说法正确的是（     ） A．线段对应的函数表达式为 B．若仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为 C．若仅用普通充电器充电，此时的电量为 D．快速充电器的充电效率是普通充电器的2倍 【答案】C 【分析】根据函数的图象分别求出线段 和线段 对应的函数表达式逐项求解即可． 【详解】A．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为，错误； B．设线段对应的函数表达式为， 将，代入得： ， 解得， ∴线段对应的函数表达式为． 把代入，得，故仅用快充器充电1小时，此时屏幕画面电量为60%，错误； C．仅用普通充电器充电，即把代入，，正确； D．，∴快速充电器的充电效率是普通充电器的3倍，错误． 6．如图，点是矩形边上的一动点，它从点出发沿着路径匀速运动到点，设的面积为，点的运动时间为，则关于的函数图象大致为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分点在上，在上和在上三种情况，利用三角形的面积公式列式求出相应的函数关系式，然后选择答案即可． 【详解】解：①当在边上时，如图， ， 随的增大而增大，不变，且匀速运动， 随的增大而增大，且成正比例， 故选项C和D不正确； ②当在边上时，如图， ， 和都不变， 在这个过程中，不变， 故选项B不正确； ③当在边上时，如图， ， 随的增大而减小，不变， 随的增大而减小，故选项A正确． 7．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一动点，以为边作等腰直角，使，如果点B的横坐标为x，点C的纵坐标为y，那么表示y与x的函数关系的图像大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先作出合适的辅助线，再证明和的关系，即可建立y与x的函数关系，从而确定函数图像． 【详解】解：由题意可得：，， ，，，点C的纵坐标是y， 作轴，作于点D，如图所示： ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵点C到x轴的距离为y，点D到x轴的距离等于点A到x轴的距离， ∴， 结合选项可得，A符合题意． 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，明确题意、建立相应的函数关系式是解答本题的关键． 8．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 9．如图，在平面直角坐标系中，点在轴上且，点的坐标，点、点在轴上，点，为轴上两个动点，且，所走路线最短，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取点，连接交轴于点，连接，证明四边形是平行四边形，得出，则，当所走路线最短时，点重合，进而求得直线解析式，令，即可得出的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，取点，连接交轴于点，连接 ∵点的坐标， ∴ 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴所走路线最短时，点重合， ∵，则 设直线的解析式为 代入得 解得： ∴直线的解析式为 当时， 解得； ∴，即当所走路线最短，则点的坐标为 10．在平面直角坐标系中，将点进行平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度，按上述要求将点连续平移3次的过程如图所示，当点第一次落在y轴上时，停止移动． 嘉嘉说：当点第一次落在轴上时，n的值是10； 淇淇说：若直线（）使得这些点分布在它的两侧，每侧点的数量相等，则k的取值范围是． 对于嘉嘉和淇淇的说法，下列判断正确的是（     ） A．只有嘉嘉说的对 B．只有淇淇说的对 C．嘉嘉和淇淇说的都对 D．嘉嘉和淇淇说的都不对 【答案】C 【分析】按照题意要求，经过平移，确定的值，即可判定嘉嘉的说法是正确的，先确定直线经过定点，利用每侧需要分布5个的边界点求出的值，进而即可判定淇淇的说法是正确的． 【详解】解：∵：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为1，向上平移1个单位，得， ：横纵坐标和为，余数为2，向左平移1个单位，得， 此时第一次落在y轴上， ∴当点第一次落在y轴上时，n的值是10，嘉嘉的说法是正确的； ∵， ∴直线经过定点， ∵， ∴这些点共有个，分布在直线的两侧，每侧点的数量相等， ∴每侧需要分布5个， ①当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ②当直线经过和时，代入解析式得，，解得，此时在直线上， ∴当时，如图所示，直线两侧各分布5个，个数相等， ∴淇淇的说法是正确的． 11．在弹性限度内，弹簧的长度是所挂物体质量的一次函数．如图，某弹簧挂质量为的物体时，弹簧长度为，挂质量为的物体时，弹簧长度为．那么该弹簧不挂物体时的长度为__________． 【答案】 【分析】已知两点坐标，待定系数法求对应一次函数解析式，所求函数解析式中的b的值，其实际意义就是该弹簧不挂物体时的长度． 【详解】解：设， 由题意，得该一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴该弹簧不挂物体时的长度为． 12．如图，反映了某产品的销售收入与销售量之间的关系，反映了该产品的销售成本与销售量之间的关系，当销售收入大于销售成本时，该产品才开始盈利．该产品的销售量超过______吨时，生产该产品才能盈利． 【答案】4 【分析】本题考查了一次函数的实际应用；解题的关键是理解两直线交点的实际意义，交点处销售收入等于销售成本，超过该点则开始盈利． 先找到直线与的交点，交点的横坐标即为盈亏平衡点，当销售量超过该值时，销售收入大于销售成本，开始盈利． 【详解】解：由图可知，直线与的交点坐标为， 即当销售量为吨时，销售收入等于销售成本； 当销售量吨时，在上方，即销售收入大于销售成本，产品开始盈利． 故答案为：． 13．下表中记录了一次试验中时间和温度的数据．若温度随时间的变化是均匀的，则19分钟时的温度是_____________． 时间/分钟 0 5 10 15 20 25 温度/ 10 25 40 55 70 85 【答案】67 【分析】温度随时间变化均匀，可知温度是时间的一次函数，先根据表格数据得到函数解析式，再代入计算对应温度即可． 【详解】解：设时间为分钟，此时温度为． 由表格数据可得，每经过分钟，温度升高，因此每分钟温度升高． 当时，， 所以函数关系式为． 当时，代入得． 14．如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则点的坐标是______． 【答案】 【分析】延长交x轴于点D，证明，求得点D坐标，运用待定系数法求直线的解析式，从而求得点C坐标． 【详解】解：如图所示，延长交x轴于点D， ∵这束光线从点出发，经y轴上的点C反射后经过点， ∴设，由反射定律可知，， ∴， ∵于， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，则将点，点代入得 ， ∴， ∴直线为， 当时，， ∴点C坐标为． 15．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点的坐标为．点在线段上，连接，使，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】先由直线求出与坐标轴的交点、，从而得，为等腰直角三角形，．由可推出．过点作交的延长线于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，．通过同角的余角相等证明，进而证明，得到，，从而确定点的坐标为．再利用待定系数法求出直线$EB$的解析式，求其与轴的交点即可得点的坐标． 【详解】解：对于直线， 令，得， ， ； 令，得， ， ． ， ． ，， 为等腰直角三角形， ． ， ． 过点作交的延长线于点，过点作轴于点， 则． 在中，， ， 为等腰直角三角形， ． ， 又， ． 在和中： ， ， ，． ，， ， ， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 把，代入得： ， 解得， 直线的解析式为． 令，得， ， 点的坐标为． 16．如图，直线和轴、轴分别交于点、点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角，，如果在直角坐标平面内有一点，且的面积与的面积相等，则的值为________． 【答案】 或6 【分析】由已知求出、的坐标，根据三角形全等的判定与性质求出点的坐标，由的面积与的面积相等，得点在过点且平行于直线的直线上；作点关于直线的对称点，点在过点且平行于直线的直线上；求出直线、的解析式，即可求出的值． 【详解】解：在直线中， 令，则， ∴； 令，则， ∴． ∴，． 如图，过点作轴于点， ∵，， ，， ． 又∵，， ． ，． ． ∵的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 作点关于直线的对称点，则， 则的面积与的面积相等， ∴点在过点且平行于直线的直线上． 设直线的解析式为， 将点代入得，，解得， ∴直线的解析式为． 将点代入得，，解得． 综上所述，的值为或6． 17．甲、乙两人在直线道路上从同一起点，向同一方向匀速跑1800米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发40秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与甲出发的时间x（秒）的关系如图所示，则甲、乙两人相距100米时，x（秒）的值是________． 【答案】20或140或340 【分析】根据图象求出两人的速度，分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：由图象可知，甲的速度为（米/秒）， 当甲出发240秒时，乙追上甲， 故乙的速度为（米/秒）， 当甲、乙两人相距100米时，分3种情况： ①乙未出发时，； ②乙追上甲之前，，解得； ③乙追上甲之后，，解得； 当乙到达终点时，甲跑了（秒），此时甲乙正好相距100米，此后乙原地休息，甲继续跑向终点，两人距离逐渐减小，不存在相距100米的情况； 综上：x的值是20或140或340. 18．直线的解析式为，点在轴上，点在轴上，将沿翻折，点的对应点为点，过点作交直线于点，则直线的解析式为________． 【答案】 【分析】先根据直线的解析式求出点和点的坐标，利用翻折变换的性质及平行线的性质得出，从而判定是等腰三角形，设出点的坐标，利用勾股定理建立方程求出点的坐标，最后利用待定系数法求出直线的解析式． 【详解】解：对于直线， 当时，，当时，， ，， 将沿翻折，点的对应点为点， ，，， ， ， ， 即， ， 且轴， 设点的坐标为，且， ，， ， 在中， ， ， 解得， ， 设直线的解析式为， 把，代入中得： ， 解得， 直线的解析式为． 19．在平面直角坐标系中，直线的解析式为：，分别交轴，轴于点， (1)直接写出点，的坐标； (2)如图，过点的直线与轴交于点，与直线交于点，且，求点的坐标；（温馨提示：若思考有困难，可尝试通过平移直线，求出直线的解析式，进而求出点的坐标．） (3)在（2）的条件下，若点是直线上的动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）如果求x轴上点B的坐标，那么令直线解析式中求解x；如果求y轴上点C的坐标，那么令直线解析式中求解y． （2）过点O作，交于点F，作于点G，设（），可得，面积法求得，由勾股定理求得，得，，得，得，由，得，得，，得，得直线的解析式，得直线解析式，联立，解得，即得． （3）因为平行四边形的顶点顺序不固定，所以分为边、为对角线两种情况，结合平行四边形对边平行且相等或对角线互相平分的性质，设G、F的坐标，根据坐标关系列方程求解点F坐标． 【详解】（1）解：∵x轴上点纵坐标为， ∴代入，得， 解得， 故； ∵y轴上点横坐标为， ∴代入得， ∴． 故． （2）解：过点O作，交于点H，作于点I，设（）， 则， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵的边与的边上的高相等， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴， 设直线解析式为， 代入，得， 解得， ∴， 联立， 解得， ∴． （3）解：存在或． 由（1）、（2）知，直线解析式为，，． 设，， ∵以点，，，为顶点的四边形是平行四边形， ∴当为边时， 向上平移，使点B落在y轴上的点，点D落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 向下平移，使点D落在y轴上的点，点B落在直线上的点，连接， 则， ∴四边形是平行四边形， ∴， 解得， ∴； 当对角线时，取的中点P，过P作直线交y轴于点，交直线于点，使，连接， 则四边形是平行四边形， 由中点坐标公式得， 解得， ∴． 综上，存在满足条件的点，坐标为或． 20．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 【答案】(1) ( 且 为整数 ) (2)550元 【分析】（1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：与的函数关系式为且为整数； （2）解：∵该商场计划最多投入2300元， ∴， 解得， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为（元）， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 21．平面直角坐标系中，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)有一动点，淇淇说：“无论a怎样变化，点P都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)在（2）的条件下，设线段分别交x轴，y轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求a的值； ②若点P在的内部（不含边界），求a的取值范围． 【答案】(1) (2)解：淇淇的说法是正确的， 理由：设动点所在直线解析式为：， 将代入，可得， 当时，符合条件， 即动点所在直线解析式为； (3)①；② 【分析】（1）由题意直接利用待定系数法即可求解； （2）可设动点所在直线解析式为：，将代入即可得出结论； （3）①当动点在和的交点上时，取得最小值，联立和求出交点即可； ②由（2）得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解． 【详解】（1）解：设的解析式为：， ∵线段的端点为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为； （2）略 （3）解：如图当动点在和的交点上时， 取得最小值， 联立，解得， 即，此时； ②由（2）得出点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，， ∵点P在的内部 ∴点P在线段上（不含端点）， ∴． 22．在一次函数的学习中，我们体会了函数关系式与函数图象的对应关系，经历了“画函数的图象——根据图象研究函数的性质——运用函数的性质解决问题”的学习过程． x … 0 1 2 3 … y … 1 0 m 0 1 … (1)请通过“列表一描点一连线”的过程画出 的函数图象； ①上表是x与y的几组对应值：m的值为________； ②在平面直角坐标系中，描出上表中各组对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (2)下列关于函数的图象及性质描述正确的是________（多选）； ①此函数图象关于y轴对称； ②当时，函数有最小值为0； ③当时，y随x的增大而增大． (3)已知的图象与y轴的交点为点，的图象上有一点，在y轴上存在一点C，使的面积为8，求出点C的坐标． 【答案】(1)①；② (2)②③ (3)或或或 【分析】（1）①把代入解析式，求出函数值即可；②描点，连线，画出函数图象即可； （2）根据图象逐一进行判断即可； （3）求出点坐标，点坐标，根据三角形的面积公式，分2种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：（1）①当时，， ∴； ②略 （2）解：画出函数的图象如图： 由图象可知： 函数图象关于直线对称，故①错误； 当时，函数有最小值为，故②正确； 当时，y随x的增大而增大，故③正确， 故正确的是②③． （3）解：∵点在的图象上， ∴， ∴或6， ∴点或． ∵， ∴当时，， ∴的图象与y轴的交点为点， ∵在y轴上存在一点C，使的面积为8， ， 当时，， ∴或， ∴此时点或； 当时， ∴，， ∴此时点或     综上所述，点C的坐标为或或或 23．在平面直角坐标系中，若，为某个矩形不相邻的两个顶点，且该矩形的边均与坐标轴垂直，则称该矩形为点，的“相关矩形”．如图1为点，的“相关矩形”的示意图．已知点的坐标为． (1)如图2，点的坐标为． ①若，则点，的“相关矩形”的面积是_____； ②若点，的“相关矩形”的面积是，则的值为_____． (2)如图3，等边的边在轴上，顶点在轴的正半轴上，点的坐标为．点的坐标为，若在的边上存在一点，使得点，的“相关矩形”为正方形，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)①6；②或5 (2)或 【分析】（1）①由矩形的性质结合图形和“相关矩形”的定义即可得出点A，B的“相关矩形”的面积为6；②分类讨论：当点B在点A左侧时和当点B在点A右侧时，画出图形，结合矩形的性质结合“相关矩形”的定义即可得出的值为或5； （2）由题意可求出，，．分类讨论：①当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；②当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或；③当点N在边上时，求出此时m的取值范围为或，即得出答案． 【详解】（1）解：①当时，点的坐标为，如图． ∵， ∴由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为； ②分类讨论：当点B在点A左侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：； 当点B在点A右侧时，如图点， 由矩形的性质可得：点A，B的“相关矩形”的面积为， 解得：． 综上可知的值为或5； （2）解：∵点M的坐标为， ∴点M在直线上． ∵是等边三角形，顶点F在y轴的正半轴上，， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当点N在边上时，若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ②当点N在边上时，若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点F重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且当点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或； ③当点N在边上时，点M，N的“相关矩形”为正方形，其边长为定值2， 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N左侧时，则此时， 则此时m的取值范围为； 若点N与点E重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 若点N与点D重合，点M，N的“相关矩形”为正方形，且点M位于点N右侧时，则此时， 则此时m的取值范围为， ∴此时m的取值范围为或． 综上可知的取值范围是或． 24．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线与直线关于y轴对称． (1)求直线的表达式及C点坐标； (2)将直线向右平移8个单位后与直线交于点D，E为直线上一动点，F为y轴上一动点，是否存在点E和点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形?若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)或 【分析】（1）根据对称可得，设直线的解析式为： ，代入即可求解； （2）根据题意得平移后解析式为：；再得点，即可求得直线解析式为：，根据A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形可得 ，即可求解. 【详解】（1）解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， ∴，， ∵直线与直线关于y轴对称， ∴点与点A关于y轴对称， ∴， ∵直线过点与点B，设直线的解析式为：， ∴ ，解得， ∴直线的解析式为： ； （2）解：存在 ∵直线向右平移8个单位后与直线交于点D， ∴平移后解析式为：， ∵平移后的解析式与直线交于点D， ∴，解得， ∴点， 设直线解析式为：， ∴，解得， ∴直线解析式为：， ∵以A，C，E，F为顶点的四边形是以为边的平行四边形，E为直线上一动点，F为y轴上一动点， ∴ ， 设，则 ， ∴ ，解得：， ∴或. 25．随着个人用户对打印机需求量的增加，某文具店用元购进了若干台A型打印机，用元购进了相同数量的B型打印机．已知B型打印机比A型打印机的单价贵元． (1)B型打印机的单价是多少元？ (2)为了促销，批发商针对B型打印机推出以下团购优惠方案：一次性购买不超过台，则每台B型打印机享九折优惠；若一次性购买超过台，则前台享九折优惠，超过的部分享八折优惠．若购买A型、B型打印机共台，且购买A型打印机的数量不超过B型打印机数量的，如何购买才能使花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】(1) 500元 (2) 购买A型打印机14台，B型打印机21台花费最少，最少花费为13600元. 【分析】（1）根据两种打印机购进数量相等的关系列分式方程求解； （2）先根据题意得到B型打印机购买数量的取值范围，再结合优惠方案写出总花费的一次函数，利用一次函数的增减性求出最少花费； 【详解】（1）解：设B型打印机的单价是元，则A型打印机的单价为元， 由题意可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴B型打印机的单价是500元； （2）解：设购买B型打印机台，则购买A型打印机台，A型打印机单价为元， 由题意得， 解得， ∵总台数为35台， ∴，且为正整数， ∵， 根据优惠方案，购买B型打印机的总费用为：， 设总花费为元， 则：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当取最小值21时，最小，此时，（元）， 答：购买A型打印机14台，B型打印机21台，最少花费为13600元． 26．如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，直线与x轴交于点，点D在第四象限，． (1)求直线的解析式； (2)若，求点D的坐标； (3)在（2）的条件下，若点F在直线上，且在x轴下方，试探究x轴上是否存在点E，使得以C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在．或． 【分析】（1）求出点的坐标，利用待定系数法进行解答即可； （2）过点D作轴于点E，根据面积关系、等腰直角三角形的判定和性质解得．证明是等腰直角三角形，得到，即可求出答案； （3）分两种情况根据平行四边形的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， ， 设直线的解析式为，把， 代入得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过点D作轴于点H， 在中，令，得， ， ． ，， ，， ． ， ，． ， ． ， ，解得． ，， ．轴， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3）理由如下：D由（2）知，． ①四边形为平行四边形时，，即轴，， ，在中，令得． ， ， ， ； ②四边形为平行四边形时，由①可得，． 综上，以点C，D，F，E为顶点的四边形是平行四边形，或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $