第四章　第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 2027届高中数学（通用版）一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“与三角形有关的范围(最值)问题”专题，依据高考评价体系明确考查要求，即运用三角函数性质、基本不等式、函数单调性等知识解题。通过分考点梳理，涵盖2020浙江卷等高考真题及模拟题，归纳三大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题解析+方法提炼+素养培养”，如典例1借助三角形内角和转化为三角函数求范围，培养数学思维；典例2用基本不等式求面积最值，强化数学语言表达。名师点评总结解题策略，助力学生掌握技巧，教师可据此精准教学，提升复习效率。

第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 第四章　三角函数与解三角形 [考试要求]能够运用三角函数的性质、基本不等式、函数的单调性等知识和方法解决与三角形有关的范围(最值)问题． 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 2 考点一　利用三角函数的性质求最值(范围) [典例1]　(2020·浙江卷)在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知2bsin A－a＝0． (1)求角B的大小； (2)求cos A＋cos B＋cos C的取值范围． 精研考点·提升素养 [解]　(1)由正弦定理，得2sin Bsin A＝sin A， 因为sin A≠0，0<B<，故sin B＝，B＝． 以题引理 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 3 (2)由A＋B＋C＝π，得C＝－A． 由△ABC是锐角三角形，得解得A∈． 由cos C＝cos＝－cos A＋sin A，得 cos A＋cos B＋cos C＝sin A＋cos A＋ ＝sin∈． 故cos A＋cos B＋cos C的取值范围是． 4 名师点评：借助三角形内角和定理把待求问题转化为某一角的三角函数取值范围问题，进而借助三角函数的性质求解． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 5 [巩固迁移] 1．若△ABC的面积为(a2＋c2－b2)，且C为钝角，则B＝_____________；的取值范围是________________． 60°　(2，＋∞)　[由已知得(a2＋c2－b2)＝acsin B，所以＝sin B，由余弦定理的推论得cos B＝sin B，所以tan B＝，又0°<B<180°，所以B＝60°．又C>90°，B＝60°，所以A<30°，且A＋C＝120°，所以．又A<30°，所以0<tan A<>>＝2．] 60° (2，＋∞) 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 6 2．(2025·南京雨花台区校级三模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a－c)(sin A＋sin C)＝b(sin A－sin B)． (1)求角C的大小； (2)若c＝且b≥c，求b－a的取值范围． [解]　(1)由正弦定理得(a－c)(a＋c)＝b(a－b)， 即a2＋b2－c2＝ab， 由余弦定理的推论得cos C＝， 又∵C∈(0，π)，∴C＝． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 7 (2)因为c＝，且b≥c，由正弦定理得＝2， 得b＝2sin B，a＝2sin A， 可得b－a＝2sin B－sin A＝2sin B－sinsin B－cos B＝sin， ∵b≥c，∴≤B<， ∴b－a∈． 8 【教用·备选题】 1．(2026·辽宁抚顺模拟)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a(sin B＋cos B)＝c． (1)求角A的大小； (2)求2cos B＋cos C的取值范围． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 9 [解]　(1)因为a(sin B＋cos B)＝c， 所以sin A(sin B＋cos B)＝sin C． 因为A＋B＋C＝π， 所以sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Asin B＋sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin Asin B＝cos Asin B． 因为0<B<，所以sin B≠0， 所以sin A＝cos A，即tan A＝． 因为0<A<，所以A＝． 10 (2)因为A＝，所以B＋C＝，所以C＝－B， 则2cos B＋cos C＝2cos B＋coscos B＋sin B＝sin． 因为△ABC是锐角三角形，所以 解得<B<<B＋<， 所以<sin<1，则<sin<， 即2cos B＋cos C的取值范围是． 11 2．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin2A－2sin Acos Bsin C＋sin2C＝． (1)求角B的值； (2)求的取值范围． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 12 [解]　(1)设△ABC的外接圆半径为R． 由正弦定理＝2R， 得sin A＝，sin B＝，sin C＝． 因为sin2A－2sin Acos Bsin C＋sin2C＝， 则－2··cos B·， 整理得a2＋c2－2accos B＝3R2， 由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B得b2＝3R2，即sin2B＝． 又因为B∈，则sin B>0，可得sin B＝，所以B＝． 13 (2)由正弦定理可得 sin A＋cos A＝sin，因为△ABC是锐角三角形，则<A<<A＋<<sin≤1，所以． 14 考点二　利用基本不等式求最值(范围) [典例2]　(2026·湖南常德开学考试)在△ABC中，已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且sin A－cos A－1＝0． (1)求角A； (2)若a＝6，求△ABC面积的最大值． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 15 [解]　(1)因为sin A－cos A－1＝0， 所以sin， 又因为A∈(0，π)，A－∈． 所以A－，故A＝． 16 (2)由余弦定理b2＋c2－2bccos A＝a2， 得b2＋c2－bc＝36． 又因为b2＋c2≥2bc，所以36＝b2＋c2－bc≥bc， 即bc≤36．当且仅当b＝c＝6时取等号． 所以△ABC面积S＝bcsin A＝bc≤9． 所以△ABC面积的最大值为9． 17 名师点评：在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A，a，根据余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，即可得到b2＋c2与bc的等量关系． (1)求面积S＝bcsin A的最值时，即求bc的最值．在等量关系中利用基本不等式b2＋c2≥2bc，即可得到bc的最值． (2)求周长a＋b＋c的最值时，即求b＋c的最值．在等量关系中，把b2＋c2换成(b＋c)2－2bc，再利用基本不等式bc≤，即可求得b＋c的最值． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 18 [巩固迁移] 3．(2026·河北保定模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b(acos B＋bcos A)＝c，B＝． (1)求b的值； (2)若C＝，求c的值； (3)求△ABC周长的最大值． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 19 [解]　(1)因为b(acos B＋bcos A)＝c，由正弦定理可得，b(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C，所以bsin(A＋B)＝sin C， 又A＋B＝π－C，所以bsin C＝sin C， 因为sin C≠0，所以b＝1． (2)若C＝，则sin B＝，故c＝． 20 (3)因为B＝，b＝1，由余弦定理得， b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac≥(a＋c)2－3， 化简得(a＋c)2≤4b2，即a＋c≤2b＝2， 当且仅当a＝c＝1时等号成立， 故△ABC周长的最大值为3． 21 考点三　利用函数的单调性求最值(范围) [典例3]　(2025·江苏南通三模)在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为S，满足2S＝(b2－a2)sin B． (1)求证：B＝2A； (2)求的取值范围． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 22 [解]　(1)证明：由2S＝(b2－a2)sin B，得2×acsin B＝(b2－a2)sin B，又sin B≠0，所以ac＝b2－a2， 由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B， 即b2－a2＝c2－2accos B＝ac，化简得c－2acos B＝a， 由正弦定理有sin C－2sin Acos B＝sin(A＋B)－2sin Acos B＝sin A， 即sin Acos B＋cos Asin B－2sin Acos B＝sin A， 化简得sin(B－A)＝sin A， 因为0<A<，0<B<，所以－<B－A<， 因为正弦函数y＝sin x在上单调递增，故B－A＝A，即B＝2A． 23 (2)由正弦定理得＝cos B－＝cos 2A－＝cos 2A－＝2cos2A－3cos A－1， 因为△ABC为锐角三角形，则 解得<A<<cos A<， 令t＝cos A，则f (t)＝2t2－3t－1，其中<t<， 24 所以函数f (t)在内单调递增， 则f (t)min＝f ＝－， 因为f ，f ＝－， 故f <f ，故－≤f (t)<． 因此，． 25 名师点评：解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 26 [巩固迁移] 4．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足． (1)若C＝，求B； (2)求的取值范围． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 27 [解]　(1)由及正弦定理可得 ， 即c2＝b2＋ab．又C＝，∴c2＝a2＋b2， ∴a2＝ab，即a＝b． ∴A＝B． 又C＝， ∴A＝B＝． 28 (2)由(1)得c2＝b2＋ab，∴a＝，∴c>b． 又所以b<c<2b． ∴－1． 令x＝∈(1，2)，∴f (x)＝x2＋x－1，1<x<2， ∴f (x)＝，∴f (x)∈(1，5)， 即的取值范围为(1，5)． 29 【教用·备选题】 记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsin B＋csin C－asin A＝2bsin Bsin C且C≠． (1)求证：B＝A＋； (2)求cos A＋sin B＋sin C的取值范围． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 30 [解]　(1)证明：因为bsin B＋csin C－asin A＝2bsin Bsin C， 由正弦定理得，b2＋c2－a2＝2bcsin B，由余弦定理得b2＋c2－a2＝2bccos A＝2bcsin B， 所以cos A＝sin B，又cos A＝sin，所以sin＝sin B． 又0<A<π，0<B<π，所以－A＝B或－A＋B＝π， 所以A＋B＝或B＝A＋， 又C≠，所以A＋B＝π－C≠， 所以B＝A＋，得证． 31 (2)由(1)知B＝A＋，所以C＝π－A－B＝－2A，又cos A＝sin B， 所以cos A＋sin B＋sin C＝2sin B＋sin C＝2sin＋sin ＝2cos A＋cos 2A＝2cos2A＋2cos A－1＝2， 因为所以0<A<，所以<cos A<1， 32 令cos A＝t，t∈． 因为函数y＝2内单调递增， 所以<2<3， 所以cos A＋sin B＋sin C的取值范围为． 33 1．(2026·海南三沙模拟)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c＝． (1)证明：c＝2b； (2)当角B最大时，求角A的大小． 课后作业(三十三)　与三角形有关的范围(最值)问题 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 34 [解]　(1)证明：∵c＝， 所以c－ccos A＝b＋acos C， 由正弦定理得，sin C－sin Ccos A＝sin B＋sin Acos C， sin C＝sin B＋sin Acos C＋sin Ccos A＝sin B＋sin(A＋C)＝2sin B， 由正弦定理得 c＝2b． (2)由余弦定理的推论得 cos B＝≥2， 当且仅当，即c＝a＝2b时等号成立，此时B取到最大值． 因为c>a>b，所以A∈， 又由正弦定理得sin A＝sin B＝， 所以此时A＝． 2．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a2＋c2－b2)＝－2absin C． (1)求角B； (2)若D为AC的中点，且BD＝2，求△ABC面积的最大值． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 37 [解]　(1)∵(a2＋c2－b2)＝－2absin C， ∴(a2＋c2－b2)＝－2acsin B， 即＝－sin B， 由余弦定理的推论，得cos B＝－sin B， ∵cos B≠0，∴tan B＝－， ∵0<B<π，∴B＝． (2)∵)， ∴， ∴c2＋accosa2＝4， 即a2＋c2－ac＝16， ∵a2＋c2≥2ac， ∴ac≤16， ∴S△ABC＝acsin≤×16sin＝4， 当且仅当a＝4，c＝4时取等号， 故△ABC面积的最大值为4． 3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足b＝a－2bcos C． (1)求证：C＝2B； (2)若△ABC为锐角三角形，求3sin C＋cos B－sin B的最大值． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 40 [解]　(1)证明：由已知b＝a－2bcos C 及正弦定理得， sin B＝sin A－2sin Bcos C＝sin(B＋C)－2sin Bcos C ＝sin Bcos C＋cos Bsin C－2sin Bcos C ＝sin Ccos B－cos Csin B＝sin(C－B)， ∴B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)， ∴C＝2B． (2)∵△ABC为锐角三角形， ∴⇒<B<． 由(1)得，C＝2B，∴原式＝3sin 2B＋cos B－sin B， 令t＝cos B－sin B＝sin∈， 则原式＝3(1－t2)＋t＝－3t2＋t＋3＝－3，t∈， ∴当t＝． 4．(2022·新高考Ⅰ卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)若C＝，求B；(2)求的最小值． [解]　(1)因为＝， 所以sin B＝cos Acos B－sin Asin B＝cos(A＋B)＝－cos C＝， 而0<B<，所以B＝． 精研考点 课后作业 第33课时　与三角形有关的范围(最值)问题 43 (2)由(1)知，sin B＝－cos C>0，所以<C<π，0<B<， 而sin B＝－cos C＝sin， 所以C＝＋B，即有A＝－2B． 所以＝ ＝＝4cos2B＋－5≥2 －5＝4 －5， 当且仅当cos2B＝时取等号， 所以的最小值为4 －5． 谢 谢 ！ $