第四章 4.5 三角函数中有关ω的范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦三角函数中ω的范围问题，依据高考评价体系梳理了单调性、对称性、最值、零点四大核心考点，通过近五年真题及模拟题分析，明确单调性与对称性占比超60%的高频考查方向，归纳四类典型题型及解题通法。 课件亮点在于“真题溯源+题型建模+素养提升”，如以2022全国甲卷极值点与零点问题为例，运用整体代换思想构建不等式组，培养学生数学思维与模型观念。设“易错警示”专栏，通过跟踪训练强化区间子集、周期关系等技巧，助力学生高效突破考点，教师可据此精准指导复习。

三角函数中有关ω的范围问题 例1　已知函数f(x)=cos，其中ω>0.若f(x)在区间上单调递增，则ω的取值范围是 A. B. C. D.(0，1] √ 题型一　三角函数的单调性与ω的关系 解析　由-π+2kπ<ωx-<2kπ(k∈Z)，且ω>0， 解得<x<(k∈Z). 由题意可知⊆(k∈Z). 则k∈Z，解得-+6k≤ω≤+k(k∈Z). 又ω>0，于是0<ω≤，即ω的取值范围是. 已知三角函数在某区间(a，b)上单调递增(递减)，求ω的范围问题，常规方法是先确定三角函数的单调递增(递减)区间，再利用区间(a，b)为三角函数f(x)的单调递增(递减)区间的子集求解. 思维升华 跟踪训练1　(2026·漳州模拟)已知f(x)=sin，若f(x)在区间(0<a<2π)上不单调，则a的取值范围是 A. B. C. D. √ 解析　方法一　画出函数f(x)的部分图象如图所示， 因为a<2π， 所以a+<<. 因为f(x)在区间(0<a<2π)上不单调， 所以解得<a<. 解析　方法二　f(x)在上不单调⇔f(x)在上有极值， 令x+=+kπ，k∈Z， 得x=+2kπ，k∈Z， 所以其中k∈Z， 解得<a<. 例2　(2025·杭州模拟)已知ω≠0，函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值，则 A.<ω≤ B.<ω≤ C.-≤ω<- D.-≤ω<- 题型二　三角函数的对称性与ω的关系 √ 解析　∵x∈， ①当ω>0时，ωx+∈， 若f(x)在上有两个极小值，则f(x)至少有四条对称轴，不满足题意； ②当ω<0时，ωx+∈， 又函数f(x)=sin在上有三条对称轴和两个极小值， ∴-≤+<-，解得-≤ω<-， 综上，-≤ω<-. 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为，这就说明，我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性，解决问题的关键在于运用整体代换的思想，建立关于ω的不等式组，进而可以研究ω的取值范围. 思维升华 跟踪训练2　已知函数f(x)=2cos+1(ω>0)的图象在区间(0，2π)内至多存在3条对称轴，则ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 解析　因为x∈(0，2π)，ω>0， 令z=ωx-，则z∈， 画出y=2cos z+1的大致图象， 要想图象在区间内至多存在3条对称轴，则2ωπ-∈，解得ω∈， 即ω的取值范围是. 例3　已知函数f(x)=sin(ω>0)，若f=f，且f(x)在区间 内有最大值，无最小值，则ω=　　　　.  题型三　三角函数的最值与ω的关系 解析　由题意知当x=时，f(x)取得最大值， 即ω+=2kπ+(k∈Z)， 解得ω=6k+(k∈Z)， 又-=≤T， 即≥，所以ω≤6， 又ω>0，所以ω=. 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系，可以列出关于ω的不等式(组)，进而求出ω的值或取值范围. 思维升华 跟踪训练3　(2025·海口模拟)已知函数f(x)=2cos-1(ω>0)在 上的最小值为-3，则ω的最小值为 A. B. C. D. √ 解析　由x∈，ω>0， 可得2ωx-∈， 令t=2ωx-∈， 由题意可知y=cos t在上可取到-1， 结合余弦函数的性质可知需满足-≥π， 解得ω≥，所以ω的最小值为. 例4　(2025·广州期末)将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在上没有零点，则ω的取值范围是 A. B.∪ C.∪ D.(0，1) 题型四　三角函数的零点与ω的关系 √ 解析　将函数f(x)=sin x的图象先向右平移个单位长度，可得y=sin 的图象， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的(ω>0)，纵坐标不变， 可得g(x)=sin的图象，因为ω>0，最小正周期T=， 函数g(x)在上没有零点， 则-≤=， 所以0<ω≤1，因为<x<， 解析　所以-<ωx-<-， 又g(x)在上没有零点， 所以k∈Z， 解得2k+≤ω≤+，k∈Z， 又因为0<ω≤1，所以当k=0时，≤ω≤， 当k=-1时，-≤ω≤， 所以0<ω≤或≤ω≤. 三角函数两个相邻零点之间的“水平间隔”为，根据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值. 思维升华 跟踪训练4　(2025·北京)设函数f(x)=sin ωx+cos ωx(ω>0)，若f(x+π)=f(x)恒成立，且f(x)在上存在零点，则ω的最小值为 A.8 B.6 C.4 D.3 √ 解析　函数f(x)=sin ωx+cos ωx=sin(ω>0)， 设函数f(x)的最小正周期为T，由f(x+π)=f(x)可得kT=π(k∈N*)， 所以T==(k∈N*)，即ω=2k(k∈N*)； 又函数f(x)在上存在零点，且当x∈时，ωx+∈， 所以+≥π，即ω≥3， 综上，ω的最小值为4. 课时精练 一、单项选择题 1.(2025·呼和浩特模拟)已知函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴，则ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　x∈[0，π]，ω>0，则ωx-∈， 函数f(x)=sin(ω>0)在区间[0，π]上有且仅有两条对称轴， 则≤ωπ-<，故ω的取值范围是. 2.若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增，则ω的取值范围是 A.(0，2] B.(0，4] C.(0，6] D.(0，8] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 √ 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当x∈时，ωx+∈， 若函数f(x)=sin(ω>0)在区间上单调递增， 则k∈Z， 解得ω≤2+12k，ω≤8-24k，k∈Z， 又ω>0，当k=0时，可得0<ω≤2. 3.(2026·安康模拟)已知函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]，则a的取值范围为 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当x∈[0，a]时，2x+∈， 由函数f(x)=2cos在区间[0，a]上的值域为[-2，]， 故函数y=cos x在区间上的值域为， 则有2a+∈， 即a的取值范围为. 4.(2022·全国甲卷)设函数f(x)=sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由题意可得ω>0，因为x∈(0，π)， 所以ωx+∈. 又y=sin x，x∈的图象如图所示， 要使函数f(x)在区间(0，π)上恰有三个极值点，两个零点， 则<πω+≤3π，得<ω≤. 5.(2025·江门模拟)若函数f(x)=sin(ω>0)在区间内没有零点，则正数ω的取值范围是 A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　∵x∈，ω>0， ∴ωx+∈， 又f(x)在内没有零点， ∴其中k∈Z，解得 又ω>0，解得0<ω≤. 6.(2026·苏州模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，且f(x)在上单调，则ω的最大值为 A.11 B.9 C.7 D.5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　由f=0，直线x=为f(x)图象的一条对称轴，得×=，n∈N，则ω=2n+1(n∈N)， 由f(x)在上单调，得-=≤，解得ω≤12， 当ω=11时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<，得φ=-，此时f(x)=sin， 当x∈时，11x-∈， 即f(x)在上不单调，不满足题意； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当ω=9时，-+φ=kπ，k∈Z，由|φ|<， 得φ=，此时f(x)=sin， 当x∈时，9x+∈， 此时f(x)在上单调递减，符合题意， 所以ω的最大值为9. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、多项选择题 7.(2025·天津模拟)已知函数f(x)=2cos(ω>0)在(0，π)上有且仅有2个极小值点，且在上不单调，则ω的取值不可能是 A. B. C.4 D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当x∈(0，π)时，ωx+∈， 所以3π<ωπ+≤5π， 解得<ω≤， 又当x∈时，ωx+∈， 所以+>π，解得ω>， 综上，<ω≤，故选AB. 8.设函数f(x)=sin(ω>0)，已知f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点，下列结论正确的是 A.f(x)在(0，2π)上有且仅有3个极大值点 B.f(x)在(0，2π)上有且仅有2个极小值点 C.f(x)在上单调递增 D.ω的取值范围是 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当x∈[0，2π]时，ωx+∈， ∵f(x)在[0，2π]上有且仅有5个零点， ∴5π≤2πω+<6π， ∴≤ω<，故D正确； 当ωx+=，，时取得极大值，A正确； 极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，B不正确； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　当x∈时，ωx+∈， 若f(x)在上单调递增， 则≤，即ω≤3， ∵≤ω<，故C正确. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 三、填空题 9.(2023·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)=cos ωx-1(ω>0)在区间[0，2π]上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是　　　　.  [2，3) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　因为0≤x≤2π， 所以0≤ωx≤2ωπ， 令f(x)=cos ωx-1=0， 则cos ωx=1有3个根， 令t=ωx，则cos t=1有3个根，其中t∈[0，2ωπ]， 结合余弦函数y=cos t的图象性质可得4π≤2ωπ<6π， 故2≤ω<3. 10.(2025·安康模拟)已知函数f(x)=cos(ω>0)在区间上无 极值，则ω的最大值为　　　　.  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 解析　方法一　当x∈，ω>0时， 2ωx-∈， 因为f(x)在区间上无极值， 所以f(x)在区间上单调， 则k∈Z，解得≤ω≤，k∈Z， 又ω>0，则0<ω≤或≤ω≤，故ω的最大值为. 解析　方法二　f(x)的最小正周期T==. 因为f(x)在区间上无极值， 所以T≥，解得0<ω≤1. 由2ωx-=kπ(k∈Z)，得f(x)图象的对称轴方程为x=(k∈Z). 由题意知f(x)的图象在区间上没有对称轴，得k∈Z， 解得≤ω≤(k∈Z).结合0<ω≤1，得ω的最大值为. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 $