专项素养巩固训练卷(一)勾股定理及其逆定理的四种常见应用 易错题培优卷 2025-2026学年 北师大版八年级数学上册

专项素养巩固训练卷(一)勾股定理及其逆定理的四种常见应用 类型一勾股定理在折叠中的应用 1.如图,在Rt△ACB中,BC=3,AB=5,∠BCA=90°,在AC 上取一点E,连接BE,将△ABE 沿BE翻折得到△A'BE,使点A'落在直线BC上,则AE 的长为 ( ) A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 2.如图,Rt△ABC中,AC=6,BC=12,∠C=90°，将△ABC折叠后点A 恰好落在BC边上的点 D 处，折痕为MN, 则线段CN的长为 ( ) A.2 B.3 C. D. 3.如图,长方形ABCD中,AB=4,BC=3,P为AD上一点,将△ABP沿BP 翻折得到△EBP,PE与CD 相交于点O,且OE=OD,BE与CD 交于点 G,则线段AP 的长为 . 4.如图,在直角三角形纸片ABC中,∠A=90°,折叠纸片使得点 A 落在 BC 边上的点 D 处,折痕是 BE(如图①)，将纸片复原，再次折叠纸片，使得点 B 落在边 AC上的点E处,折痕是MN(如图②).若AB=6,AC=8,则CN的长为 . 5.如图，折叠长方形ABCD(长方形四个角都是直角，对边相等)，使点 D 落在BC边的点 F 处.已知AB=cm,BC=10cm,,求 EC 的长. 6.如图,在长方形ABCD 中,AB=4,AD=5,E为BC上的点.将 沿AE折叠，使点 B 落在长方形内的点 F 处，连接DF，已知DF=3. (1)求证: 为直角三角形. (2)求线段 BE 的长. 类型二勾股定理在求最短路径中的应用 7.某校“灯谜节”的奖品是一个底面为等边三角形的直三棱柱灯笼(如图)，在灯笼的侧面上，从顶点A 到顶点A'缠绕一圈彩带.已知此灯笼的高为50cm ，底面边长为40cm，则这圈彩带的长度至少为 ( ) A.50cm B.120 cm C.130 cm D. 150 cm 8.如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm 的点 M 处有一只小蜘蛛最短路径(即AM=2cm),它要爬行到钢管内表面距离右侧管 问题口 5cm 的点 N 处觅食(BN=5cm),已知钢管底面周长为18cm，高为15cm，则小蜘蛛需要爬行的最短路程是(空心钢管壁厚度忽略不计) ( ) A.5cm B.4cm C. 10cm D.15 cm 9.如图，长方体的底面是边长为6的正方形，高AA'=4,若棱CC'的中点 P 处有一只蚂蚁，要沿着长方体的外表面爬到顶点.A'处，则它需要爬行的最短路程是 ( ) A.10 B. 12 C.13 D.14 10.如图所示，小河的同一侧有A，B两个村庄，它们到小河所在的直线的距离分别为 千米， 千米， 24千米，要在小河边上 之间修建一座小型发电站 P，使它到A，B两个村庄的距离之和最短. (1)请在图中画出P 的位置. (2)求(1)中所作点 P到A,B 的距离之和. B 类型三勾股定理在实际问题中的应用 11.《九章算术》是我国古代数学代表作，现有一根据书中内容改编的题目：今有开门去阔(门槛)一尺，不合四寸.问门广几何?其大意：如图，推开双门(大小相同)，双门间隙(CD=4寸,点C,点 D 与门槛AB 的距离CE=DF=1尺(1尺=10寸),求AB 的长. 学科网（北京）股份有限公司 12.2.3米、宽为2米的长方形和半径为1 米的半圆形组成.货车司机小王开着一辆高为3.0米，宽为1.6米的装满货物的卡车，能否进入如图所示的工厂大门?请说明你的理由. 13.阅读下列材料，回答问题.社区公园里新安装了一架秋千，小白对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量秋千的高度，他设计如下的测量方案： 步骤一：测得秋千静止时的底端E 与地面的距离BE=0.8m;步骤二：如图，小白握住秋千的底端往后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度(CD=1.1m,，再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离.BC=1.5m. (1)若设秋千的高度.AB=xm,则 (用含x的代数式表示). (2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度AB. 类型四 勾股定理及其逆定理在实际问题中的综合应用 14.如图，某社区有一块四边形空地ABCD，AB=15m,CD=8m,AD=17m..从点A 修了一条垂直于 BC的小路AE(垂足为 E)，E恰好是BC的中点，且.AE=12m. (1)求边BC的长. (2)连接AC,判断 的形状. (3)求这块空地的面积. 15.全民健身手牵手，社区运动心连心.为提升社区居民的幸福感，某小区准备将辖区内的一块平地(如图所示的四边形ABCD)进行改建，将四边形ABCD 全部铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.经测量，四边形 ABCD 中, 米，BC=7米，CD=15米，AD=20米. (1)连接AC,求AC的长度. (2)已知运动型塑胶地板每平方米 200 元，若在四边形ABCD 地面上全部铺设运动型塑胶地板，求购买运动型塑胶地板所需的费用. 16.台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力.如图①所示，有一台风中心沿AB 方向移动，以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，已知点 C 为一海港，且点C与直线AB上的两点A,B的距离分别为AC=300 km,BC=400km,且AB=500 km. (1)求 的度数. (2)海港 C受台风影响吗?为什么? (3)如图②所示，若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点 E,F 处时,海港 C 刚好受到影响,即 CE=CF=250 km，则台风影响该海港持续的时间有多长? 参考答案 1. C 在 Rt△ACB中,由勾股定理得 16=4²,∴AC=4.设AE=x,则CE=4-x，由折叠的性质得A'B=AB=5,A'E=AE=x,∴CA'=BA'-BC=5-3=2,易知△A'CE为直角三角形，. 故选C. 设CN=x,∵AC=6,∴AN=AC-CN=6-x.由折叠的性质得AN=DN,∵DN=6-x.∵∠C=90°,∴ CN²+CD²=DN²,即 解得 故选 C. 3.答案 2.4 解析 ∵四边形ABCD 是长方形， ∴∠D=∠A=∠C=90°,AD=BC=3,CD=AB=4,根据题意得 △ABP≌△EBP,∴EP=AP,∠E=∠A=90°,BE=AB=4, 在△ODP 和△OEG中 ∴△ODP≌△OEG(ASA),∴OP=OG,PD=GE,∴OD+OG=OP+OE,即DG=EP,设AP=EP=x,则PD=GE=3-x,DG=x,∵CG=4-x,BG=4-(3-x)=1+x,根据勾股定理得 BC²+ 即 解得x=2.4,∴AP=2.4. 4.答案25/4 解析 ∵AB=6,AC=8,∠A=90°, .由折叠可知AB=BD=6,AE=DE,∠BDE=∠A=90°,∠ABE=∠CBE, 由折叠可知BM=ME,BN=EN, ∴∠NBE=∠NEB,∴∠ABE=∠NEB, ∵EN∥AB,∴∠CEN=∠A=90°, 5.解析 由题意可知，AD=BC=10cm,AB=CD=8cm,设EC的长为x cm,则DE=(8-x) cm. 由折叠可知AF=AD=10cm,DE=EF=(8-x) cm,在Rt△ABF中，根据勾股定理，得 ∴BF=6cm,∴ FC=BC-BF=10-6=4cm. 在 Rt△EFC中，根据勾股定理，得 解得x=3. ∴EC的长为3cm. 6.解析 (1)证明：由折叠可知/AB=AF=4,在△ADF中,AD=5,DF=3,且 是直角三角形. (2)由(1)知∠AFD=90°,根据折叠可知∠AFE=∠B=90°,∴∠DFE=180°,∴D,F,E三点在同一条直线上,设BE=x,则EF=x,CE=5-x,∴DE=3+x,在Rt△DCE中,DC=AB=4,根据勾股定理，得 解得x=2,∴BE的长为2. 7. C将三棱柱的侧面沿AA'展开，其展开图如图， 则 ∴AA'=130cm,∴这圈彩带的长度至少为130cm.故选 C. 8. D如图，画出钢管的侧面展开图，作点M关于AD的对称点M₁,连接 M₁N,作 NC⊥AM 于 C,∵钢管底面周长为18 cm, ∴NC=9cm,由题意得CM₁=15-5+2=12(cm),∴M₁N²= ∴小蜘蛛需要爬行的最短路程为15 cm.故选 D. 9. A分情况讨论：①如图1，在直角三角形A'C'P中，由勾股定理得 ②如图2，在直角三角形A'D'P中，由勾股定理得 ③如图3,易知A'P=10. ∵100<148,∴需要爬行的最短路程为10,故选 A. 10.解析 (1)如图,作点A 关于MN的对称点C,连接BC交MN于点 P,连接PA,此时PA+PB 的值最小,最小值为 BC的长.故P点即为所求. (2)如图,作CD⊥BB₁交BB₁的延长线于 D,在 Rt△BCD中, ∴BC=25千米,∴P到A,B的距离之和为25千米. 11.解析 设AE=BF=x寸,则AC=(x+2)寸, 解得x=24,则AB=24+24+4=52(寸),∴AB的长为52寸. 12.解析 不能进入.理由:∵AB=1米,∠ACB=90°,∴当AC= 米时， ∴BC=0.6米.∵ BB'=BC+CB'=0.6+2.3=2.9米<3.0米,∴不能进入. 13.解析 (1)(x-0.8). (2)如图,过点D作DF⊥AB于F,则四边形BCDF是长方形， ∴DF=BC=1.5m,BF=CD=1.1m, ∴AF=AB-BF=(x-1.1)m,在 Rt△ADF中, 解得x=4.7, ∴秋千的高度AB为4.7 m. 14.解析 (1)∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°.在 Rt△ABE中, ∵AB=15m,AE=12m, ∵E是BC的中点,∴BC=2BE=18m. (2)如图,∵AE⊥BC,E是BC的中点,∴AC=AB=15m. ∴△ADC是直角三角形. ∴这块空地的面积为 15.解析 (1)在 Rt△ABC中,由勾股定理得 ∴AC=25米. 为直角三角形,∠D=90°, (平方米)， ∴购买运动型塑胶地板的费用为234×200=46800(元). 答：购买运动型塑胶地板所需的费用为46800元. 16.解析 即 ∴ △ABC 是直角三角形,∴∠ACB=90°. (2)海港C受台风影响.理由如下： 过点C作CD⊥AB(图略)于点 D, 则 ∴CD=240km,∵以台风中心为圆心周围250km以内为受影响区域，∴海港C受台风影响. (3)过点 C 作CD⊥AB,垂足为 D,如图,在 Rt△CED 中, 70²,∴ ED=70 km,∵ CE=CF,CD⊥AB,∴ EF=2ED=140 km,∵台风的速度为20千米/小时,∴海港 C 受台风影响的时间会持续140÷20=7 小时. $