精品解析：山东泰安市岱岳区2026年九年级中考第三次学情自测数学试题

九年级数学练习题（三） 一、选择题，共10小题，40分． 1. 在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（ ） A. B. C. D. 2. 在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 3. 在“十四五”时期，生成式人工智能加速融入生产生活，成为推动我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达万人，其中“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，点为线段延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 实验室的试管架上有三支没有标签的试管，试管内分别盛有氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液．小明同学将酚酞溶液随机滴入两个试管中，则试管中溶液同时变红的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. D. 3 9. 如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）． A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 接通电源后，第时水温不低于 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 10. 如图，等腰中，，，点，是线段上的动点，且，则线段的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 二、填空题，共5小题，20分． 11. 若分式的值为0，则x的值是_____． 12. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 13. 满足的所有的整数的和为_______． 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的横坐标为_______． 三、解答题，共8小题，90分． 16. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 18. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 19. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案：毫升；方案：毫升；方案：毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 数据应用 （1）在表1中，_______，_______． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （2）结合图1，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 20. 研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数．的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … （1）列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 21. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车按逆时针方向，每秒钟转，筒车与水面分别交于A，B．，筒车的轴心O 距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P刚浮出水面时开始计算时间． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽 所在直线是的切线，且与直线交于点M．，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据，） 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求a的值； ②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； （2）点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围． 23. 在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题（三） 一、选择题，共10小题，40分． 1. 在数轴上表示下列四个数：，，，，则距离原点最远的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比较四个实数的绝对值的大小即可. 【详解】解：∵，即， ∴， ∵， ∴，，，中，距离原点最远的数是. 2. 在下列各瓷器图片中，若不考虑瓷器花纹等因素，主视图和左视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：对于选项A：“壶嘴”和“把手”部分，在两个方向上看是不同的，故A不符合题意； 对于选项B ：鼎的“足”和“耳”的部分，在两个方向上看是不同的，故B不符合题意； 对于选项C：“把手”部分，在两个方向上看是不同的，故C不符合题意； 对于选项D：主视图和左视图相同，故D符合题意； 3. 在“十四五”时期，生成式人工智能加速融入生产生活，成为推动我国经济社会数字化、智能化转型的重要引擎．《中国互联网络发展状况统计报告》显示：截至2025年12月，我国生成式人工智能用户达万人，其中“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别根据同底数幂相乘，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，合并同类项，只把系数相加减，字母与字母的次数不变，对各选项计算后利用排除法求解． 【详解】解：A、a2•a3=a5，正确； B、应为（a2）3=a6，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、应为a5+a5=2a5，故本选项错误． 故选：A． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，同底数幂的除法，合并同类项的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键． 5. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图是一块玻璃的，两面，且，现有一束光线从空气射向玻璃时发生折射，光线变成，点为线段延长线上一点．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据邻补角定义求出的度数，然后根据平行线的性质求解即可． 【详解】解∶如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又， ∴． 6. 实验室的试管架上有三支没有标签的试管，试管内分别盛有氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液．小明同学将酚酞溶液随机滴入两个试管中，则试管中溶液同时变红的概率是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及试管中溶液同时变红的结果数(酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色)，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：氢氧化钠、盐酸、氢氧化钾三种溶液分别表示为：、、， 列表如下： 、、溶液中，、是碱性溶液，酚酞试剂遇到碱溶液会变成红色 共有6种等可能的结果，其中试管中溶液同时变红的结果有：，，共2种， ∴试管中溶液同时变红的概率为． 7. 我国古代数学名著《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺．问木条长多少尺？设木条长x尺，绳子长y尺，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意列出方程组即可． 【详解】解：设木条长尺，绳子长尺． ∵用整根绳子量木条，绳子剩余尺，说明绳子长度比木条长多尺， ∴可得方程， ∵将绳子对折后量木条，木条剩余1尺，说明木条长度比对折后的绳子长度多1尺，对折后绳子长度为 ， ∴可得方程 ． ∴可列方程组． 8. 如图，在边长为6的正六边形中，以点为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为（ ） A. 1 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为，则：， ∴． 9. 如图所示的是某新款茶吧机，开机加热时每分钟上升，加热到，停止加热，水温开始下降，此时水温（单位：）与通电时间（单位：）成反比例关系．当水温降至时，茶吧机再自动加热，若水温在时接通电源，水温与通电时间之间的关系如图所示，则下列说法错误的是（ ）． A. 水温从加热到，需要 B. 水温下降过程中，与的函数关系式是 C. 接通电源后，第时水温不低于 D. 在一个加热周期内水温不低于的时间为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的图象以及实际应用，结合实际背景，求出函数解析式，逐个验证选项即可． 【详解】解：对于A：∵加热时每分钟上升， ∴水温从加热到，需要，故A正确； 对于B：由题意可知，反比例函数的图象过点， 设反比例函数的解析式为， 将点代入，得， ， 解得， ∴水温下降过程中，与的函数关系式是，故B正确； 对于C：将代入，解得， ∴该茶吧机每为一个周期，循环加热， ∵， ∴第时的水温等同于第时的水温， 将代入，得，即此时水温为， ∵， ∴C错误； 对于D：从加热到需要， 将代入，解得， ∴一个加热周期内，水温不低于的时间为，故D正确． 故选：C． 10. 如图，等腰中，，，点，是线段上的动点，且，则线段的最小值为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于点，证明得出，当在上时，取得最小值，最小值为的长，进而勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， 过点作，且，过点作于点， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴当在上时，取得最小值， ∵ ∴ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴，即的最小值 二、填空题，共5小题，20分． 11. 若分式的值为0，则x的值是_____． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据分子等于零且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：由分式的值为0，得 x+1＝0且x﹣1≠0． 解得x＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：①分子的值为0，②分母的值不为0，这两个条件缺一不可． 12. 木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 【答案】 ##60度 【解析】 【分析】根据成轴对称的两个对应点与对称轴上点的连线和对称轴的夹角相等这一性质，所以直线是和的角平分线，可分别求出和的度数，利用，代入上述两个角的度数即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵和关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 13. 满足的所有的整数的和为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先求解给定的一元一次不等式，得到的取值范围，找出范围内所有整数，计算整数的和即可． 【详解】解： 不等式各边同时减去得：， 不等式各边同时除以得：， 则满足条件的整数解为：，0，1， 整数和为：． 14. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由16元降为9元，则两次降价平均每次的降价率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每次降价的百分率为，根据原价经过两次降价后零售价为9元，找出等量关系列出一元二次方程，求解后舍去不符合实际意义的解，即可得到结果． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：或 由于降价率大于且小于， 则两次降价平均每次的降价率是． 15. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点，以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，再以，为邻边作平行四边形，平行四边形的对角线相交于点，依次类推，则平行四边形的顶点的横坐标为_______． 【答案】 【解析】 【分析】注意得到规律：的坐标为，)是解题的关键．首先分别求得、、等几个点的坐标，即可得到规律，从而求得的横坐标． 【详解】解：∵正方形的顶点的坐标为，它的两条对角线相交于点， ∴的坐标为， ∵四边形是平行四边形， ∴的坐标为，即， ∵是平行四边形对角线的交点， ∴的坐标为， 同理，的坐标为，即， 的坐标为， 的坐标为，即， ∴的坐标为， ∴的横坐标为． 三、解答题，共8小题，90分． 16. 计算或化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别化简各部分，再合并计算； （2）先对括号内通分计算，再将除法转化为乘法，因式分解后约分得到结果． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图1，在中，，．以点为圆心，适当长度为半径画弧，分别交，于点和点；分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点；作射线交于点． （1）判断的形状并说明理由； （2）如图2，在（1）的条件下，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和点，作直线分别交，于点和点，已知，．求的长． 【答案】（1） 解：为等腰三角形，理由如下： ，， ， 由作法得平分， ， ， ，即为等腰三角形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得为的平分线，计算角度可得为等腰三角形； （2）根据题意可得为的垂直平分线，可得，则可得，利用勾股定理列方程即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， 由作法可得为的垂直平分线， ， ， ， ， 设，则， 则， ， 解得．即 18. 济南市钢城区素有“中国蜜桃之乡”的美誉，蜜桃果肉饱满、口感香甜．某水果店购进一批数量相等的A、B两种蜜桃，其中购买A蜜桃用了480元，购买B蜜桃用了720元．已知每千克A蜜桃的进价比B蜜桃便宜4元． （1）求每千克A蜜桃、B蜜桃的进价各是多少元? （2）若该水果店再次购进A、B两种蜜桃共100千克，且总费用不超过1100元．A蜜桃每千克售价12元，B蜜桃每千克售价18元．请设计进货方案，使得售完后利润最大，并求出最大利润． 【答案】（1）每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元 （2）再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元 【解析】 【分析】（1）设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元，根据购进两种蜜桃的数量相等，列出分式方程进行求解即可； （2）设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克，根据且总费用不超过1100元，列出不等式求出的取值范围，设总利润为w元，列出一次函数解析式，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每千克A蜜桃为x元，则每千克B蜜桃为元， 由题意得 解得 经检验是所列方程的根，且符合题意． ∴ 答：每千克A蜜桃8元，则每千克B蜜桃为12元． 【小问2详解】 解：设购进A蜜桃m千克，则购进B蜜桃千克， 由题意得， 解得． 设总利润为w元， 由题意得 ∵， ∴w随m增大而减小． ∴当时，，此时． ∴再次购进A蜜桃25千克，B蜜桃75千克，售完后获最大利润550元． 19. 某种饮品由浓缩咖啡、牛奶和糖浆三种成分调制而成，不同的配比会带来不同的口味．为了解不同配比对口味的影响，某咖啡店进行了“糖浆加入量对口味影响”的试验：保持浓缩咖啡毫升和牛奶毫升不变，分三个方案改变糖浆的加入量（方案：毫升；方案：毫升；方案：毫升），并从位品尝嘉宾中随机抽取位嘉宾对每种方案的甜度和整体口感评分（以至的整数评分，分值越高对应甜度越高或整体口感越好）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图表． 数据应用 （1）在表1中，_______，_______． 请根据整体口感评分，说明三个方案中哪个方案最受欢迎． （2）结合图1，估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数． （3）补全图2，并简单分析糖浆的加入量对饮品口味的影响． （4）调查显示，嘉宾对饮品的甜度和整体口感的关注度占比为，现按照这个占比计算三种方案的综合得分，得分大于分的方案即可推出，请结合数据分析，推断该店将会推出哪种方案． 【答案】（1）； ∵从整体口感平均数的角度，，方案评分较高，从整体口感中位数的角度，，方案评分较高， ∴方案最受欢迎； （2）估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数是人 （3） 补全图2如下： 由图可知：随着糖浆的加入量的增多，饮品甜度不断增加，整体口感得分先增加后降低 （4）该店将会推出方案 【解析】 【分析】（1）根据平均数、中位数的计算方法求解即可；从平均数及中位数的角度选择即可； （2）由图可知：位嘉宾中最喜欢方案的人数是人，用样本估计总体即可； （3）根据的值补全统计图，并进行分析即可； （4）分别算出三个方案的综合得分即可得出结论. 【小问1详解】 解：； ∵方案整体口感评分从小到大排列为：， ∴； 说明略； 【小问2详解】 解：由图可知：位嘉宾中最喜欢方案的人数是人， ∴人， 答：估计位嘉宾在三个方案中最喜爱方案的人数是人； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：∵方案：， 方案：， 方案：， ∴该店将会推出方案． 20. 研究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，探究函数．的图象与性质． … 0 1 2 3 4 … … … （1）列表，写出表中的值：_______．描点、连线，在所给的平面直角坐标系中补全该函数的图象． （2）观察函数图象，回答下列问题： ①函数有最_______值，是_______； ②当自变量的取值范围是_______时，函数的值随自变量的增大而增大． （3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式的解集是_______． 【答案】（1）， （2）①小，；② （3）或 【解析】 【分析】（1）把代入，计算即可； （2）观察图象，直接得出结果； （3）从图象中找出函数的图象在函数的图象上面的部分，再找出这部分图象对应的自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：当时，； 【小问2详解】 解：观察图象可得， ①函数有最小值，最小值是； ②当时，函数的值随自变量的增大而增大． 【小问3详解】 解：观察图象可得，函数的图象在函数的图象上面，对应的自变量的取值范围是：或， ∴不等式的解集是或． 21. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，如图所示，筒车按逆时针方向，每秒钟转，筒车与水面分别交于A，B．，筒车的轴心O 距离水面的高度长为，筒车上均匀分布着若干个盛水筒，若以某个盛水筒 P刚浮出水面时开始计算时间． （1）求筒车的半径； （2）若接水槽 所在直线是的切线，且与直线交于点M．，求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上？（参考数据，） 【答案】（1）筒车的半径为； （2）盛水筒从最高点开始，至少经过6秒恰好在直线上． 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂径定理可得，再根据勾股定理即可求出的长，即的半径． （2）延长交于点H，则H为最高点．由P点在上，与相切，可得点P是切点．在中，求出，则可得．在中，求出，则可得，从而可得，进而可求得盛水筒P从最高点开始到恰好在直线上经过的时间． 【小问1详解】 解：如图，连接，设的半径为r． ，， ， 在中，， ∴筒车的半径为． 【小问2详解】 解：如图，延长交于点H，则H为最高点． ∵点P在上，且与相切， ∴当P在上，点P是切点，连接，则． 在中，， ． 在中，， ， ． ∴需要的时间为（秒）． 22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线． （1）若点在抛物线上， ①求a的值； ②过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点，且点E为线段PF的中点，求t的值； （2）点，是抛物线上的两点，且．若抛物线在点B，C之间的部分（含点B，C）上存在两点，（点M，N不重合），使得，求a的取值范围． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①待定系数法求出函数解析式即可；②设，中点得到点坐标，对称性得到关于的方程，求出的值，代入函数解析式，进行求解即可. （2）求出抛物线的对称轴，分和两种情况进行讨论求解即可. 【小问1详解】 解：①把点代入，得， ∴； ②由（1）可知：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵过点且与y轴垂直的直线交抛物线于E，F两点， ∴两点关于对称轴对称，纵坐标均为， 设， ∵点E为线段的中点， ∴， 又两点关于对称轴对称， ∴，解得， ∴； 【小问2详解】 解：， 对称轴为直线； （ⅰ）当时，， 点在对称轴左侧，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， ， 点也在对称轴左侧，如图答图①， ， ， ， 此时，在点，之间（含点，）的抛物线上不存在两点，，使得；（在对称轴同侧的两点不可能存在纵坐标相等的情况） （ⅱ）当时，， 点在对称轴右侧，抛物线开口向下， 当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ，点在对称轴左侧，点的对称点在对称轴右侧，如答图②，（关于抛物线对称轴对称的两点到对称轴的距离相等，且纵坐标相等） ， ， ， 此时，在点，之间的抛物线上存在关于对称轴对称的两点，，使得； 综上所述，的取值范围为． 23. 在直角三角形纸片中，，， 【数学活动】 将三角形纸片进行以下操作：第一步：折叠三角形纸片使点与点重合，然后展开铺平，得到折痕；第二步：然后将绕点顺时针方向旋转得到．点，的对应点分别是点，，直线与边交于点（点不与点重合），与边交于点． 【数学思考】 如图1，按照如上操作 （1）折痕的长为______； （2）在绕点旋转的过程中，试判断与的数量关系；并证明你的结论； 【数学探究】 如图2， （3）①当直线经过点时，的长为______； ②如图3，当直线时，求的长； 【问题延伸】 （4）在绕点旋转的过程中，连接，请求出的最小值． 【答案】（1）；（2），证明见解析；（3）， ；（4）1 【解析】 【分析】（）证明，得到，即可求解； （）．连接，证明即可求证； （）由旋转和等腰三角形的性质得，设，由勾股定理可得 ，求出即可求解； 过作于，交于，则四边形是矩形，得，利用三角形面积可得，进而得到，证明，得到，即可求解； （）连接，则，当三点共线时，，此时的值最小，最小，由直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：（1）由折叠的性质得，，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），证明如下： 如图，连接， 由旋转的性质得，，， 在和中， ， ∴， ∴； （3）由旋转的性质得，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， 故答案为：； 如图，过作于，交于，则四边形是矩形， ∴， ∵ ，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得； （4）如图，连接，则， 当、、三点共线时，，此时的值最小，最小， ∵，， ∴， ∵， ∴的最小值． 【点睛】本题考查了旋转的性质、折叠的性质、三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线性质以及最小值等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $