精品解析：河南开封市通许县第一初级中学等校2025-2026学年下学期 第三次学情检测 数学

河南开封市通许县第一初级中学等校2025-2026学年下学期第三次学情检测数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】平面直角坐标系中，各象限内点的坐标符号特征为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 【详解】解：∵点的横坐标，纵坐标，符号符合第二象限的特征， ∴点在第二象限． 2. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式值为0的条件，分式的值为0时，分子为0，但分母不为0，两个条件缺一不可．据此进行解答即可． 【详解】解：由题意可知，，且， ， 故选：D． 3. 如图，的对角线交于点O，E为的中点．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分得出为中点，结合为中点，判定为的中位线，根据中位线定理求解即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，  ，  为的中点，  是的中位线，  ，  ，  ． 4. 如图，四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当平分时，它是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、菱形和矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，故A正确； 当时， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 故B正确； 当时， 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 不一定是矩形， 故C错误； 当平分时，， ∵平行四边形中，， ∴， ∴， ∴， 根据一组邻边相等的平行四边形是菱形， 可得平行四边形是菱形， 故D正确． 5. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线间的距离，根据平行线间的距离处处相等，得到随着点P的移动，点到的距离不变，即可得出的面积不变，判断即可． 【详解】解：∵直线，点P在直线m上移动， ∴点与直线的距离保持不变， ∵A，B是直线n上的两个定点， ∴点到的距离不变， ∴的面积不变，故D正确； 的大小，线段的长度，的周长都随着点的移动而变化； 故选D． 6. 若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用反比例函数的性质解答即可． 本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的增减性是解题的关键． 【详解】解：反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大， ． 解得， 故选：B． 7. 如图，在中，分别是的中线和高．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先利用勾股定理求出斜边的长，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，再利用等面积法求出斜边上的高的长，最后计算比值即可． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：，  是的中线， ∴， ∵是的高， ， 即， 解得，  ． 8. 如图，在矩形中，，交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形内角和求出，再根据矩形对角线相等且互相平分得到，再结合等边对等角计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是利用矩形得到． 9. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若四边形的周长为，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分、对边平行的性质证明三角形全等，得出与相等，求出长度；再结合四边形的周长进行线段等量代换，算出邻边与的和，最后借助平行四边形周长公式求出它的周长． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴，且，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∵四边形的周长为，即 ∵， ∴， ∴， ∴平行四边形周长． 10. 如图，在菱形中，．若图中两个正六边形的边长均为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正六边形的内角性质和菱形的角度性质，判断出阴影部分是由两个全等的菱形组成，且边长与正六边形边长相等，利用等边三角形面积公式求解即可． 【详解】解：∵正六边形的每个内角为，边长为 2， ∵四边形是菱形，， ∴， ， 由图可知，阴影部分由上下两个全等的四边形组成 在顶点处，阴影四边形的一个角等于且其两组邻边分别落在菱形的边和正六边形的边上，长度均为2， ∴ 阴影部分是两个边长为2，内角为的菱形，连接阴影菱形的短对角线，将其分割为两个边长为 2的等边三角形， 又等边三角形的高为， ∴ 一个等边三角形的面积为， ∴一个阴影菱形的面积为， ∴阴影部分的总面积为 ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 【答案】①③（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定，根据平行四边形的判定方法两组对角相等的四边形是平行四边形． 【详解】解：四边形是平行四边形的条件可以是①③， 理由：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 故答案为：①③（答案不唯一）． 12. 将直线向下平移6个单位长度后，正好经过点，则k的值为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】直线向下平移6个单位长度后得到新解析式为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数的平移，图象过点求解析式，熟练掌握平移规律是解题的关键． 【详解】解：直线向下平移6个单位长度后得到新解析式为， 把代入解析式得， 解得． 故答案为：6． 13. 如图，矩形的对角线交于点．若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形的性质：矩形对角线相等且互相平分，可得，确定是等腰三角形，借助等边对等角得到的度数，再利用三角形外角等于不相邻两个内角和的定理，将两个底角相加，计算得出的度数． 【详解】解：∵矩形的对角线交于点， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∵是的外角， ∴． 14. 如图，在和中，，且，则的度数为_______． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，三角形内角和定理，等边对等角，根据平行四边形对边平行和平行线的性质求出的度数，再根据周角的定义求出的度数，据此根据等边对等角和三角形内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵四边形和四边形都是平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为；． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，分两种情况进行讨论：当时，当，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， 当时，如图所示： ∵， ∴点在上， 根据折叠可知：，， 设，则， ∴， ， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， 即； 当，如图所示： 根据折叠可知：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上分析可知：或2． 故答案为：或2， 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用负整数指数幂、零指数幂、有理数乘方的运算法则，先分别计算各部分，再合并得到结果； （2）先对平方差型的分母因式分解，通分计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到化简结果． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解：     ． 17. 如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 【答案】20 【解析】 【分析】先由三角形中位线定理得到，再由直角三角形斜边中线的性质求解即可． 【详解】解：∵为的中点，为的中点，， ∴ ∵为的中点， ∴． 18. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连接．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）根据矩形的性质，得到，，进而得到，即可得出结论； （2）根据矩形的性质，得到，平行四边形的性质，得到，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：四边形为矩形， 根据矩形的性质，，， ， ， 等量代换， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 四边形为矩形， ， 四边形是平行四边形， ， 等量代换． 19. 如图，线段、相交于点O，连接，于点E． （1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为F，连接．（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 【答案】（1）见解析 （2）四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键： （1）先根据垂线的尺规作图方法作出点F，再连接、即可； （2）先证明，得到，再证明，进而证明，得到，即可证明四边形是平行四边形． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形AODF为矩形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用全等三角形的判定定理即可； （2）先证明四边形AODF为平行四边形，再结合∠AOD=90°，即可得出结论． 【小问1详解】 证明：∵E是AD的中点， ∴AE=DE， ∵DF∥AC， ∴∠OAD=∠ADF， ∵∠AEO=∠DEF， ∴△AOE≌△DFE（ASA）； 【小问2详解】 解：四边形AODF为矩形． 理由：∵△AOE≌△DFE， ∴AO=DF， ∵DF∥AC， ∴四边形AODF为平行四边形， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD， 即∠AOD=90°， ∴平行四边形AODF为矩形． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键． 21. 下面是学习分式方程的应用时，老师在黑板上板书的问题和甲、乙两名同学根据问题所列出的方程． 问题：为奖励科技创新大赛获奖学生，学校计划购买A，B两种型号的智能机器人套件．已知A型号套件比B型号套件的单价少120元，且用7200元购买A型号套件的数量与用9600元购买B型号套件的数量相等．求A，B两种型号智能机器人套件的单价． 甲：． 乙：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． （2）请你从以上两个方程中，任选一个解方程并回答老师提出的问题． 【答案】（1）A型号智能机器人套件的单价；购买A（或B）型号智能机器人套件的数量 （2）选择甲同学，A型号智能机器人套件的单价为360元，B型号智能机器人套件的单价为480元 【解析】 【分析】（1）根据题意，得甲同学所列方程中的x表示A型号智能机器人套件的单价，乙同学所列方程中的y表示购买A（或B）型号智能机器人套件的数量解得即可． （2）根据解分式方程的基本步骤解答即可． 本题考查了分式方程的应用，解分式方程，熟练掌握解方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：甲：．乙：． 故A型号智能机器人套件的单价；购买A（或B）型号智能机器人套件的数量， 故答案为：A型号智能机器人套件的单价；购买A（或B）型号智能机器人套件的数量． 【小问2详解】 解：选择甲同学所列的方程， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ． 答：A型号智能机器人套件的单价为360元，B型号智能机器人套件的单价为480元． 选择乙同学所列的方程， 解得， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ，． 答：A型号智能机器人套件的单价为360元，B型号智能机器人套件的单价为480元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式． （2）若P为x轴上的一动点，且，求点P的坐标． （3）观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为，该反比例函数的表达式为 （2）点P的坐标为或 （3）x的取值范围为或 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、求函数解析式、运用图像求不等式的解集的等知识点，掌握两函数图像的交点坐标必满足两函数解析式成为解题的关键． （1）先根据两函数图像的交点情况确定a、b的值，进而确定A、B的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，求出点C的坐标，根据，即可解答． 直接根据函数图像即可解答． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于两点． ∴，， ∴， ∴A点坐标为，点B点坐标为． ∴， ∴反比例函数． 【小问2详解】 设点P的坐标为，直线与x轴交点为C，如图 当时，， 解得， ∴， ∵A点坐标为，点B点坐标为． ∴ 解得或， 点P的坐标为或． 【小问3详解】 如图：∵一次函数的图像与反比例函数的图像相交于A，B两点． ∴当时，x的取值范围或． 23. 综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． （1）如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． （2）在（1）的条件下，若，求的大小． （3）当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）四边形是菱形，理由见解析 （2） （3）①；② 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理得到四边形是菱形； （2）根据菱形的性质得到，求得，根据平行线的性质得到； （3）①由为的中点，得到，求得，根据勾股定理得到结论； ②根据垂直的定义得到，，求得，根据全等三角形的性质得到，，求得，得到，求得，连接，根据等腰直角三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， 理由：，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 四边形是菱形， ， ， ， ； 【小问3详解】 ①∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 为的中点， ， ， ， ， ， ， ； ②， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 连接， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 又∵， ∴ ， ， ， ， ． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南开封市通许县第一初级中学等校2025-2026学年下学期第三次学情检测数学 注意事项： 1．满分120分，答题时间100分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的） 1. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若分式的值为0，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，的对角线交于点O，E为的中点．若，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，四边形是平行四边形，下列结论不正确的是（ ） A. B. 当时，它是菱形 C. 当时，它是矩形 D. 当平分时，它是菱形 5. 如图，点P在直线m上移动，A，B是直线n上的两个定点，直线．对于下列各值，不会随点P的移动而变化的是（ ） A. 的大小 B. 线段的长度 C. 的周长 D. 的面积 6. 若反比例函数的图象在其所在的每个象限内，y随x的增大而增大，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，分别是的中线和高．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，，交于点，于点，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，过平行四边形对角线的交点，交于点，交于点．若四边形的周长为，则平行四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形中，．若图中两个正六边形的边长均为2，则阴影部分的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 在下列四个关系：①，②，③，④中，选出两个关系作为条件，可以推出四边形是平行四边形的条件可以是________．（写出一种即可，填序号） 12. 将直线向下平移6个单位长度后，正好经过点，则k的值为_____． 13. 如图，矩形的对角线交于点．若，则的度数为_______． 14. 如图，在和中，，且，则的度数为_______． 15. 已知矩形纸片，，，点P在边上，连接，将沿所在的直线折叠，点B的对应点为，把纸片展平，连接，，当为直角三角形时，线段的长为______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图，在中，为的中点，为的中点，为的中点．若，求的长． 18. 如图，四边形为矩形，对角线，交于点，延长至点，使得，连接．求证： （1）四边形是平行四边形； （2）． 19. 如图，线段、相交于点O，连接，于点E． （1）尺规作图：过点C作的垂线，垂足为F，连接．（不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的字母） （2）若，，请判断四边形的形状，并说明理由．（若前问未完成，可画草图完成此问） 20. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E是AD的中点，连接OE，过点D作DF∥AC交OE的延长线于点F，连接AF． （1）求证：≌； （2）判定四边形AODF的形状并说明理由． 21. 下面是学习分式方程的应用时，老师在黑板上板书的问题和甲、乙两名同学根据问题所列出的方程． 问题：为奖励科技创新大赛获奖学生，学校计划购买A，B两种型号的智能机器人套件．已知A型号套件比B型号套件的单价少120元，且用7200元购买A型号套件的数量与用9600元购买B型号套件的数量相等．求A，B两种型号智能机器人套件的单价． 甲：． 乙：． 根据以上信息，解答下列问题． （1）甲同学所列方程中的x表示________，乙同学所列方程中的y表示________． （2）请你从以上两个方程中，任选一个解方程并回答老师提出的问题． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求A，B两点的坐标及反比例函数的表达式． （2）若P为x轴上的一动点，且，求点P的坐标． （3）观察图象，直接写出当时，x的取值范围． 23. 综合与探究 如图，在四边形中，，，连接． （1）如图1，若，判断四边形的形状，并说明理由． （2）在（1）的条件下，若，求的大小． （3）当时，过点作于点，为上的一动点，连接． ①如图，若为的中点，，，，求的长． ②如图，过点作于点，交于点，过点作．若，，直接写出与之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $