精品解析：广东深圳市南山实验教育集团麒麟中学2025－2026学年初三年级下学期考前学业质量监测数学试卷

2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号、考场和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“我”字所在面的对面的汉字是（　） A. 国 B. 的 C. 中 D. 梦 2. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则a，b，，这四个数中最小的数是（ ） A. a B. b C. D. 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 4. 有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 一副三角板如图所示放置，斜边平行，即，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则的长度为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 7. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 请你写一个小于的整数：_____． 10. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是________． 11. 如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则图中的长度为_________．（结果保留）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点的坐标为，轴，垂足为．若反比例函数的图象经过点，，则__________． 13. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的边长为a，正方形的边长为b．若，则的值是________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 15. 先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的数代入求值． 16. 为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b （1）填空：________，________，________（填写“、或”）； （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 17. 首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 18. 如图，已知内接于，．弦于点E，连接，交圆于点H，交于点F． （1）求证：． （2）连接．若，求的值． （3）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过O作的垂线交于点G． 19. 综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． （2）【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 20. 定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“内接垂中三角形”． （1）如图1，是平行四边形的内接垂中三角形，，若平分，，则________°． （2）如图2，在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点F，连接，若，，求证：是矩形的内接垂中三角形． （3）在中，，，以为内接垂中三角形的平行四边形的一组邻边的长记为m，n，其中，请画出草图并求出对应的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年初三年级第三次学业质量监测 数学 说明：1．答题前，请将姓名、准考证号、考场和座位号用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．全卷共6页，共20题．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题时，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 由下面正方体的平面展开图可知，原正方体“我”字所在面的对面的汉字是（　） A. 国 B. 的 C. 中 D. 梦 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方体的展开图形，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】相对的面的中间要相隔一个面，“我”字所在的面的对面的汉字是“国”， 故选：A． 2. 实数a，b在数轴上对应的点如图所示，则a，b，，这四个数中最小的数是（ ） A. a B. b C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将，表示在同一个数轴上，再根据数轴比较大小即可． 【详解】解：将，表示在同一个数轴上如图， 由数轴可得 ∴最小的数为． 3. 下列各式运算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项概念与幂的基本运算，掌握幂的运算法则即可求解，计算各选项结果后判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，因此A不符合要求． 选项B：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加． ∵ ， ∴ 结果为，因此B符合要求． 选项C：根据幂的乘方法则，幂的乘方，底数不变，指数相乘． ∵ ， ∴ 结果不为，因此C不符合要求． 选项D：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减． ∵ ， ∴ 结果不为，因此D不符合要求． 4. 有4个外观完全相同的密封试剂瓶，分别装有稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液．小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，则抽到的是酸性溶液的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查简单概率的计算：概率所求情况数与总情况数之比．由题意可得稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液，再根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：稀硫酸、稀盐酸、氯化钠、氢氧化钠四种溶液中，有稀硫酸、稀盐酸两种酸性溶液， 则小星从这4个试剂瓶中任意抽取1个，抽到的是酸性溶液的概率是：， 故选：C． 5. 一副三角板如图所示放置，斜边平行，即，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行线的性质得到，由即可得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 【点睛】此题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 6. 如图，将沿着点B到点C的方向平移到的位置，已知，，，则的长度为（ ） A. 9 B. 8 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质，结合相似三角形的判定和性质，进行求解即可. 【详解】解：∵平移， ∴，，， ∴，， ∴，即， ∴. 7. 某玩具厂共有300名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架20个或车轮40个，且1个车架与4个车轮可配成一套，设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每天安排多x名工人生产车架，y名工人生产车轮，根据共有300名工人及1个车架与4个车轮配成一套，可得出方程组． 【详解】解：设有x个工人生产车架，y个工人生产车轮， 由题意得，， 故选C． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，设出未知数，注意得出结果后要结合实际解答． 8. 五一假期期间，小明一家自驾出游，在一段长下坡高速公路上，汽车突然刹车失灵，情况十分危急，幸好路边设有紧急避险车道（如图），这是一条由粗糙碎石铺成的上坡路段，专门为失控车辆设计的安全避险坡道．已知汽车在进入避险车道上的速度与路程的关系式为，并且避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为，则刚进入避险车道时的速度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵避险车道坡比（斜坡竖直高度：水平宽度）为，汽车停止时的位置距离刚进入避险车道时的水平距离为， ∴竖直高度为， ∴路程为， ∵汽车在避险车道上的速度与路程的关系式为， ∴刚进入避险车道时的速度是． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 请你写一个小于的整数：_____． 【答案】0（答案不唯一） 【解析】 【分析】先估算出的取值范围，再找出范围中小于的整数，任写一个符合要求的即可． 【详解】解：，，且， ，即， 则写一个小于的整数：0． 10. 已知是关于x、y的方程的解，则代数式的值是________． 【答案】19 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程，得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：是方程的解， 代入方程得，整理得， ． 11. 如图，在矩形中，，以为圆心，长为半径画弧交边于点，连结，则图中的长度为_________．（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】先推导出，得到，则，得，再根据弧长公式求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ， 由题意，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长度为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，是等边三角形，点的坐标为，轴，垂足为．若反比例函数的图象经过点，，则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等边三角形的性质得，过C作于H，则，，利用勾股定理求得，利用坐标与图形性质得到，，代入中求解即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， 设， 过C作于H，则，， ∴， ∵点的坐标为，轴， ∴，， ∵反比例函数的图象经过点，， ∴， 解得,则． 13. 如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点E，F，记正方形的边长为a，正方形的边长为b．若，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过A作交延长线于点G，得到，，推出，，设，则，，根据全等三角形的性质，推出，勾股定理求出，即可得出结果. 【详解】解：如图，过A作交延长线于点G， ∵， ∴，， ∴，， ∵，正方形， ∴，， ∴， 设，则，， 由题意，， 又∵， ∴， ∴，， ∴. 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 15. 先化简，再求值：，再从，，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】， 【解析】 【分析】先按照分式的混合运算，对原式进行化简，根据分式有意义的条件，确定的值，代入计算即可． 【详解】解： ， ∵，，， ∴，，， 当时， ． 16. 为了解A，B两款品质相近的无人机满电运行的最长时间，分别抽样调查了两款无人机各10架，记录它们运行的最长时间（单位：），并进行数据整理． 平均数/ 中位数/ 众数/min 方差/ 无人机A 70 69.5 72 无人机B 72 a b （1）填空：________，________，________（填写“、或”）； （2）根据以上信息，你认为哪款无人机运行时间更有优势？请说明理由； （3）如果A款无人机再实验1次，运行最长时间为，那么A款无人机最长运行时间的方差将________（填“变大”，“变小”或“不变”）． 【答案】（1）71，69， （2）B款无人机运行时间更有优势，理由： ∵B款无人机运行时间的平均时间大于A款无人机， ∴B款无人机运行时间更有优势（答案不唯一，合理均可）． （3）变小 【解析】 【分析】（1）根据方差，中位数，众数的定义求解即可； （2）运用平均数或其他统计量进行比较即可； （3）根据方差的计算方法判断即可． 【小问1详解】 解：A款无人机数据方差， B款数据为68、69、69、69、70、72、72、74、77、80， 所以其中位数为，出现次数最多的数据为69，故； 方差． ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：新增数据70与A款无人机的平均数相等，故加入后会减小数据的方差． 17. 首届“粤超”足球联赛的火爆，掀起了全省中小学生热爱足球的热潮，带动了足球的畅销． （1）某商店计划购进A，B两种品牌的足球，已知A品牌的单件进价比B品牌的单件进价高20元，且用6000元购进的A品牌足球与用4800元购进的B品牌足球的数量相同，分别求两种品牌足球的单件进价； （2）经调研发现，A品牌足球的销售量m与单件售价a满足关系，请你选择其中一种销售方案为老板制定销售价格： 方案一：利润最大 方案二：固定利润率 该店销售A品牌足球的利润最大，单件售价a为多少元，最大利润为多少？ 尽量优惠顾客，该店销售A品牌足球获得固定利润率，单件售价a为多少元，及进货量． 【答案】（1）A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元 （2）选方案一，当单件售价元时，最大利润为5000元；方案二，，进货量为40 【解析】 【分析】（1）设B品牌足球的单件进价为x元，根据题意列出分式方程进行求解即可； （2）方案一，设销售A品牌足球的利润为W元，列出二次函数关系式，求最值即可；方案二，根据题意列出方程进行求解即可. 【小问1详解】 解：设B品牌足球的单件进价为x元， ，解得， 经检验，是原方程的解． ∴． 答：A品牌足球的单件进价为100元，B品牌足球的单件进价为80元． 【小问2详解】 解：方案一：A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， 设销售A品牌足球的利润为W元， 则， 因为二次项系数小于0，所以抛物线图象开口向下，当元时，W取得最大值． 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润最大，且最大利润为5000元． 方案二：由题意，， 解得， ∵A品牌足球的销售量m与单件售价a成一次函数的关系，满足， ∴， 答：当单件售价元时，该店销售A品牌足球的利润率为，应进货40个． 18. 如图，已知内接于，．弦于点E，连接，交圆于点H，交于点F． （1）求证：． （2）连接．若，求的值． （3）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规，过O作的垂线交于点G． 【答案】（1）证明：如图，连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴∠， 又∵， ∴， （2） （3）如图：即为所求． 【解析】 【分析】（1）如图，连接．由垂直的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角、三角形内角和定理可得，再利用等边对等角、三角形内角和定理可得即可证明结论； （2）设，易得、、．再利用勾股定理可得，然后证明，利用相似三角形的性质即可解答； （3）以O为圆心、以任意长为半径画弧，交于I、J两点，分别以I、J为圆心，以大于为半径画弧，两弧的交于点K，连接交于点G，即可完成作图． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：如图：连接．设， ∵， ∴在中，，即，解得：， ∴． ∴，． ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【小问3详解】 略． 19. 综合实践与探究——新能源汽车刹车性能研究 【设计实验方案】 某探究小组围绕新能源汽车水平路面刹车过程中，速度、路程随刹车时间的变化规律开展探究． 设计实验：让新能源汽车在平直水平路面匀速行驶至A点时启动刹车，从汽车到达A点开始，用测速仪、计时器测量并记录汽车刹车后的运动时间、瞬时速度、刹车路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 … 瞬时速度 12 10 8 6 4 2 … 刹车路程 0 44 80 108 128 140 … 【数学建模探究】 （1）【猜想和验证】根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想： ①v与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），v与t的函数关系式为________． ②y与t之间的关系可以近似地用________函数表示．（填：“一次”、“二次”或“反比例”），y与t之间的函数关系式为________． （2）【拓展与运用】 ①若某段水平测试路面的长度为，通过计算判断这辆新能源汽车在刹车过程中是否会超出该路面范围？ ②当新能源汽车到达水平路面A点时，前方B点处有另一辆电动车以的速度在匀速向前直线运动，若新能源汽车不能追尾电动车，那么的最小值是多少？ 【答案】（1）解：描点、连线，图象如图所示： ①一次；；②二次； （2）①不会超出该路面范围；② 【解析】 【分析】（1）①描点、连线，观察图象，可以发现v与t之间的函数图象可以近似地看为一条直线，为一次函数，由待定系数法求解即可； ②描点、连线，观察图象，可以发现y与t之间的函数图象可以近似地看为一条抛物线，为二次函数，由待定系数法求解即可； （2）①计算出新能源汽车行走的最大距离与比较大小即可； ②根据题意，刹车距离需要大于的距离加上以的速度行驶的电车行驶的距离，结合二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：①v与t之间的关系可以近似地用一次函数表示， 设， 将点与点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴v与t的函数关系式为． ②y与t之间的关系可以近似地用二次函数， 设， 将点，点，点代入函数关系式中， 可得，解得， ∴， ∴y与t之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：①不会超出该路面范围， ∵当新能源汽车完全停车时， ∴，即， ∴新能源汽车行走的最大距离为， ∵， ∴不会超过路面范围； ②∵，设， 由题意，得：， ∴， ∴当时，d最大为； ∴最小为． 20. 定义：平行四边形一组邻边的两个中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接所得的三角形如果是直角三角形，则称这个三角形为这个平行四边形的“内接垂中三角形”． （1）如图1，是平行四边形的内接垂中三角形，，若平分，，则________°． （2）如图2，在矩形中，E是边的中点，将沿所在直线折叠，得到，延长交于点F，连接，若，，求证：是矩形的内接垂中三角形． （3）在中，，，以为内接垂中三角形的平行四边形的一组邻边的长记为m，n，其中，请画出草图并求出对应的值． 【答案】（1）43 （2）证明：∵在矩形中， ∴， ， ∵将沿所在直线折叠，得到， ∴，，，， ∴， ∵E是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； ∴，， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∵， ∴F为的中点， ∴是矩形的内接垂中三角形． （3），或，或， 【解析】 【分析】（1）由直角三角形两锐角互余以及角平分线的定义可得，如图：过F作交于G，易得，进而可得，再利用平行四边形的性质和平行线的性质求解即可； （2）由矩形的性质、折叠的性质以及中点的定义可得，再证明可得，再证明，利用相似三角形的性质可得，再根据“内接垂中三角形”的定义即可证明结论； （3）分四种情况，分别利用平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质求解即可． 【小问1详解】 解∶∵，， ∴， ∵平分， ∴， 如图：过F作交于G， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 证明：略． 【小问3详解】 解：如图1，是平行四边形的“内接垂中三角形”， 如图：作，交的延长线于点H，作于G，则， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， 由上知，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴； 如图2， 设，，则，， 由上知，， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴，， ∴； 如图3， 如图：作于Q，作于H，作，交的延长线于点G， 设，，， 则，， 由上可知，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 综上所述：或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $