2026年山东省济南市东南片区中考二模数学试题

绝密★启用前 2026年九年级学业水平模拟测试（二） 数学试题 (2026.5) 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。) 1.下列四个数中，最小的数为() A.3 B. C.V3 D.-3 2.下列几何体中，左视图是三角形的为() B. D 3.人工智能模型的参数量越大，理解能力越强：Deepseek-3模型参数可达6710亿个，其中 数据“6710亿”用科学记数法表示为() A.6.71×1012 B.0.671×1012 C.6.71×1011 D.6.71×103 4.己知b,下列不等式一定成立的是() A.+1≥b+1 B.1-a21-b C.3az3b D.--b 5.围棋是中华民族发明的博弈活动。下列用棋子摆放的图形中，既是轴对称图形，又是中心 对称图形的是() A. B C D. 6.下列运算正确的是() A.2+21=4m B.(n2)3=m C.6÷2=m3 D.m2.3=m 九年级数学试题第1页共8页 7.若关于x的方程x2+x-6=0有一个根为2，则另一个根为() A.1 B.-3 C.3 D.-1 8.“舜耕历山”是济南标志性历史文化符号。某学校开展大舜文化主题活动，制作了正面印 有“孝、亲、仁、善”四张卡片，卡片除文字外完全相同。将卡片背面朝上洗匀后，从中 随机抽取两张，则这两张卡片恰好是“仁”和“善”的概率是() A月 B c 9.如图，在△ABC中，AB=8,BC=6,CA=5,∠ABC的平分线BP与AC相交于点D。在 线段AD上取一点K,以点C为圆心，CK长为半径作弧，与射线BP相交于点M和点N, 再分别以点M和点N为圆心，大于，N的长为半径作弧，两弧相交于点Q,作射线CQ, 与AB相交于点E,连接DE。则△DAE的周长为( A.7 B.8 B C.9 Q D.10 第9题图 10.定义：在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(a,b),点Q的坐标为(c,d)。若 c=ka,d=-kb,其中k为常数，且k≠0，则称点Q是点P的“k级变换点”。例如， 点(-4,6)是点(2,3)的“-2级变换点”。则下列结论中，正确的个数是() ①函数y=-的图象上存在点(1,2)的“-3级变换点”： ②点A是函数y=x-2的图象上一点，A'是点A的“1级变换点”，则OA的最小值为√2： ③点A(1,士2)与其“2级变换点”B分别在直线山，h上，在1，b上分别取点 (,1),(,y2),若by1-l=2,则=8 ④关于x的二次函数y=x2-4x-5n（x>0)的图象上恰有两个点，这两个点的“1级 变换点”都在直线y=-x+5上，则n的取值范围为0<1且时名。 A.4 B.3 C.2 D.1 九年级数学试题第2页共8页 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。） 11.分解因式：9m2= 12.正方形地板由9块边长均相等的小正方形组成，米粒随机地撒在如图所示的正方形地板 上，那么米粒最终停留在黑色区域的概率是 第12题图 第13题图 13.如图AC是正五边形ABCDE的对角线，过点B作直线1∥AC,则∠1的大小是 度。 14.甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的 人原地休息。己知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y(米)与甲出 发的时间（分）之间的关系如图所示，则乙比甲早到 分钟。 B Ay/米 240H 0 4 16 t/分 第14题图 第15题图 15.如图，在矩形ABCD中，AB=3,BC=4,点F在边AD上，点E在边CD上。连接EF, 将矩形沿EF翻折，点A,B,C的对应点分别为A',B',C,线段B'C恰好经过点D。 若EF∥AC,则AF的长等于 。 三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 16.(7分)计算：（π-1）+9tan30°-V27+-3引-()1。 2(x-1)-1<5 17.(7分)解不等式组 +1>-1，并写出它的所有正整数解。 32 九年级数学试题第3页共8页 18.(7分)如图，点E,F分别在菱形ABCD的边BC,CD上，且CE=CF。 求证：∠BAF=∠DAE。 E 第18题图 19.(9分)在科技飞速发展的当下，智能机器人成为了热门研究领域。某科研团队研发了A, B,C三款智能机器人。为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现， 该团队对它们进行了全面测试。在图象识别能力测试中，A,B,C三款机器人的得分（满 分为100分)分别为87分、85分、90分。运动能力测试由10位专业测试员根据一系列 动作任务进行打分（满分为10分）。现对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析， 以评估哪款机器人的综合性能更优。 【数据收集与整理】 A、B两款机器人运动能力得分的折线统计图 C款机器人运动能力得分 得分/分， 的扇形统计图 ●A 10 O—OB 9 6分 10分 20% 30% 40% 9分 8分 6 10% 012345678910测试员编号 A,B,C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 测试员打分的众数 运动能力测试成绩 方差 A 9和10 85 1.85 B 8.5 8 87 8 n 83 2.01 (1)填空：= (2)通过比较方差，判断测试员对 (填“A”,“B”或“C”)款机器人运动能 力测试表现评价的一致性程度更高； (3)若按图象识别能力测试成绩占40%，运动能力测试成绩占60%计算综合成绩，请你 通过计算判断A,B这两款机器人中综合成绩高的是哪一款？ 九年级数学试题第4页共8页 20.(8分)“泉城济南，好客山东”成为山东旅游极具影响力的宣传口号，济南某仿古景观 城楼成为市民休闲打卡地。某中学数学兴趣小组利用无人机测量该城楼CD的高度，测量 方案如图：在坡底A处测得楼顶C的仰角为45°，沿坡比为5：12的斜坡AB前行13米 到达平台B处，在B处测得楼顶C的仰角为58°。 (参考数据：tan58≈1.60，sin58≈0.85，cos58≈0.53) (1)求坡项B到地面的距离： (2)计算城楼CD的高度（结果精确到0.1米）。 B 第20题图 21.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,以BC为直径的⊙O交AB边于点D,点E在AC 上，连接CD,DE,∠ADE=∠BCD。 (1)证明：DE是⊙O的切线： (2)若⊙O的直径为5，BD=3,求AC的长。 0 第21题图 九年级数学试题第5页共8页 22.(10分)依据《济南市深化体教融合促进青少年健康发展实施方案》要求，我市推进校 园足球、排球普及工程。某中学计划采购一批足球与排球。已知足球单价是排球单价的 1.5倍，用960元购买足球的数量比用360元购买排球的数量多7个。 (1)求足球和排球的单价各是多少元？ 2 (2)该校计划购买足球和排球共50个，其中排球α个，足球数量不少于排球数量的 3 设购买总费用为m元，求m与α的函数关系式，并求出最少购买费用。 23.（10分)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=x的图象与反比例函数=长的图象 交于A,B两点，过点A作直线AC⊥AB交x轴于点C(4,0),直线BC交反比例函数 y=长图象于另一点D。 (1)求k值和直线BC的函数表达式： (2)连接AD,求△ABD的面积： (3)若点P是反比例函数y=华上一点，点P的横坐标为m,当∠BDP∠ABC时，请直 接写出的值。 y D D 备用图 九年级数学试题第6页共8页 24.(12分)已知矩形ABCD,点E为直线BD上的一个动点（点E不与点B重合），连接 AE,以AE为一边构造矩形AEFG(A,E,F,G按逆时针方向排列)，连接DG, 若42=始-m(m为常数)，请完成下列问题： AB AE (1)如图1，当m=1时，线段BE与线段DG的数量关系为：位置关系为 (2)如图2，当m=2时，请猜想线段BE与线段DG的数量关系与位置关系，并说明理由： (3)如图3，在(2)的条件下，连接BG,取线段BG的中点M,连接CM,若AB=V5, 求线段CM的最小值。 G G D D E E B B B 图1 图2 图3 九年级数学试题第7页共8页 25.(12分)如图，二次函数y=x2+bx-1经过点(-2，-1)，点P是第一象限内抛物线上一 点，其横坐标为m,连接PO并延长至点Q,使OQ=2PO,过点P作x轴的垂线，过点 Q作y轴的垂线，这两条垂线交于点M。 (1)求二次函数的表达式及顶点坐标： (2)当△PQM的边MQ经过此抛物线的最低点时，求点Q的坐标： (3)当此抛物线在△PQM内部的点的纵坐标y随x的增大而增大时，求的取值范围。 备用图 九年级数学试题第8页共8页 2026年九年级学业水平模拟测试（二）参考答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D A C B C D B A A C 11. 12. 13. 14. 6 15. 16. 原式=1+33+32 ……………………5分 = 2 ……………………7分 17. 解：解不等式①得 x ……………………2分 解不等式②得 x5 ……………………4分 ∴不等式组的解集为x …………………6分 ∴正整数解是1，2 ，3 ……………………7分 18. 证明：∵四边形ABCD是菱形 ∴AB＝AD,B=D ,BC＝CD ……………………3分 ∵CE＝CF ∴BC﹣CE＝CD﹣CF 即BE＝DF ……………………5分 在△ABE和△ADF中 ， ∴△ABE≌△ADF（SAS） ……………………6分 ∴∠BAF＝∠DAE ……………………7分 19. 解：（1）m=9， ……………………2分 n=8； ……………………4分 （2）B； ……………………6分 （3）∵A款机器人的综合成绩为87×40%+85×60%＝85.8（分）， B款机器人的综合成绩为85×40%+87×60%＝86.2（分）， ……………………8分 ∵86.2＞85.8， ∴综合成绩最高的是B款机器人． ……………………9分 20. 解：（1）过点B作BF⊥AE，垂足为F， ……………………1分 ∵斜坡AB的坡比为5：12， ∴， ……………………2分 ∴设BF＝5x米，则AF＝12x米， 在Rt△ABF中，AB13x（米）， ∵AB＝13米， ∴13x＝13， 解得：x＝1， ∴BF＝5米，AF＝12米， ……………………3分 （2） 由题意可知，四边形BFED为矩形 ∴BF＝DE＝5米，BD＝EF， ……………………4分 设BD＝EF＝y米， ∵AF＝12米， ∴AE＝AF+EF＝（12+y）米， 在Rt△AEC中，∠CAE＝45°， ∴CE＝AE•tan45°＝（12+y）米， ……………………5分 在Rt△CBD中，∠CBD＝58°， ∴CD＝BD•tan58°≈1.6y（米）， ……………………6分 ∵CD+DE＝CE， ∴1.6y+5＝12+y， 解得：y， ……………………7分 ∴CD＝1.6y≈18.7（米）， 答：（1）坡顶B到地面的距离为5米；（2）城楼CD的高度约为18.7米． ………8分 21. （1）证明：连接OD，则OD＝OB， ∴∠ODB＝∠B， ……………………1分 ∵BC是⊙O的直径， ∴∠BDC＝90°， ……………………2分 ∵∠ADE＝∠BCD， ∴∠ADE+∠ODB＝∠BCD+∠B＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣（∠ADE+∠ODB）＝90°， ……………………3分 ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． ……………………4分 （2）解：∵⊙O的直径为5， ∴BC＝5， ∵BD＝3， ∴CD4， ……………………5分 ∵AB＝AC， ∴AD＝AB﹣BD＝AC﹣3， ……………………6分 ∵∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD2+CD2＝AC2， ∴（AC﹣3）2+42＝AC2， ……………………7分 解得AC， ∴AC的长是． ……………………8分 22. 解：（1）设排球的单价为x元，则足球的单价为元． ………………1分 依题意得：， ……………………3分 解得：x＝40， ……………………4分 经检验，x＝40是原方程的根， ……………………5分 ∴， 答：足球的单价是60元，排球的单价是40元． ……………………6分 （2）设计划购买排球a 个，则购买足球的数量为（50﹣a） 个。 ∵足球数量不少于排球数量的， ∴， 解得：a≤30， ……………………7分 依题意得：W＝40a+60（50﹣a）＝﹣20a+3000， ∴W与a的函数关系式为：W＝﹣20a+3000； ……………………8分 对于W＝﹣20a+3000，W随a的增大而减小， ∴当a为最大时，W为最小， 又∵a≤30，且a为正整数， ∴a的最大值为30， ……………………9分 即当a＝30时，W为最小，此时W＝﹣20×30+3000＝2400（元）， 答：购买最少费用为2400元． ……………………10分 23. 解（1）∵A点在一次函数y＝x上 ∴∠AOC=45° 又∵AC⊥AB ∴△ABC为等腰直角三角形 ∵C（4，0） ∴A（2，2） ……………………1分 ∵A点在反比例函数y 图象 ∴k=22=4 ……………………2分 ∴反比例函数为y ∵一次函数y＝x与反比例函数y交于A，B两点，A（2，2） ∴B（-2，-2） 设BC解析式为 y=mx+n (m),代入B（-2，-2），C（4，0） 得 ……………………3分 解得 ∴BC解析式为y= ……………………4分 （2） ∵BC解析式为y= ∴设D（t,） 又∵点D在反比例函数y 上 ∴t ·（）=4 ……………………5分 解得（舍） ∴D（6, ） ……………………6分 过点A作y轴平行线，交BD于点E 则E（2，） ∴= = = ……………………7分 （3） m= ……………………8分 或m= ……………………10分 24.解：（1）BE＝DG； BE⊥DG ； ……………………4分 （2），BE⊥DG，理由如下： ……………………5分 由题意知：四边形ABCD和四边形AEFG为矩形 ， ∴∠BAD＝∠EAG＝90°， 即∠BAE+∠EAD＝∠EAD+∠DAG ， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵2， ∴△BAE∽△DAG， ……………………7分 ∴，∠ABE＝∠ADG， ∴，∠ADG+∠ADB＝∠ABE+∠ADB＝90°， ∴∠BDG＝90°， ∴BE⊥DG； ……………………8分 （3） 由（2）知∠BDG＝90° ∴△BDG为直角三角形， ∵M是线段BG的中点， ∴， ∴点的轨迹为线段BD 的中垂线， ……………………9分 取BD的中点M’ ，作直线M’ 交BC于点H，过点C作CN⊥M’ ，垂足为N， ∴当点运动到与点N重合时，线段CM长度取得最小值， ∵在矩形ABCD 中 ，AB ， ∴，cos∠CBD= ， ∴ ， 在直角三角形BM’ H中 ∵ ，cos∠CBD= ， ∴ ， ……………………10分 ∴ ， 又∵CN⊥M’ ，BD⊥M’ ， ∴∠M’ N=∠NM’ =90°， ∴CN∥BD， ∴∠CN=∠， ∴cos∠CN= ， ……………………11分 在直角三角形CNH中 ∵cos∠CN ， ， ∴ ， 即线段CM的最小值为。 ……………………12分 25. 解：（1）将（2，﹣1）代入y＝x2﹣bx﹣1得， ﹣1＝4﹣2b﹣1， ……………………1分 解得b＝2， ……………………2分 ∴抛物线的解析式为y＝x2+2x﹣1； ……………………3分 顶点坐标为（1，2）， ……………………4分 （2）因为QM经过最低点，即经过顶点， 如图∵ON∥QM ∴， 根据顶点纵坐标可得，MN＝2， ∵P（m, ） 则，即， ……………………6分 解得， ∵ ∴， ……………………7分 ∴； ……………………8分 （3）①当PQ经过顶点G时，过点G作GF⊥y轴， PE⊥y轴 由∠PEO＝∠GFO＝90°，∠POE＝∠GOF得，△POE∽△GOF， ∴，， 解得m＝1，或m＝﹣1（舍去）， ……………………9分 ∴当点P向右运动时，满足题意， ∴m≥1； ……………………10分 ②如图所示， ∵， ∴Q，代入抛物线解析式得， 2（m2+2m1）＝（2m）24m1， 解得，或， 此时，当P点向下一直移动，直至到x轴时（注意：P点在第一象限，），都符合题意， 当=0时，有x2+2x1＝0， 解得，x2＝1， ……………………11分 ∴1m， 综上：m≥1或1m ……………………12分 学科网（北京）股份有限公司 $