精品解析：2026年广东省河源市紫金县敬梓中学二模数学试题

2026年广东省初中学业水平考试 数学 信息卷（一） 本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事顶： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为与相差与相差与相差，与相差，所以质量最接近标准质量的是． 2. 把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 【答案】D 【解析】 【分析】展开图中有两个相同的三角形，是几何体的底面；三个长方形，连接在三角形的边上，是侧面；据此分析判断几何体的形状即可． 【详解】解：根据展开图，可知该几何体有两个平行的三角形面，且侧面是三个长方形，所以这个几何体是三棱柱． 3. /新情境/ 据《广东省2023年预算执行情况和2024年预算草案的报告》显示，2023年，广东全省一般公共预算收入1.39万亿元，连续35年稳居全国首位，同比增长，其中税收占比，贡献中央税收收入稳居全国第一．数据1.39万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示绝对值大于1的数，要求形式为，其中，n为正整数． 【详解】解：由1.39万亿， 则． 4. 某数学小组利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找出图1中的基本图形旋转，旋转若干次后，得到图2的图案，即可求解． 【详解】解：将图1中的基本图形旋转，旋转若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角为． 5. 如图，，平分．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行的性质推出，，再根据，可以求出的值，然后根据平分，可推出，即可求解． 【详解】∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 6. 某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先判断文具套装对应红色区域的区域个数，再用文具套装的概率即可求解 【详解】根据题意，得指针停在红色区域可获得文具套装，且红色区域一共有个扇形．故小华获得文具套装的概率为． 7. /规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知图形，得到后一个图形比前一个图形多8根小木棒，列出代数式即可． 【详解】解：第1个图案中小木棒的根数为； 第2个图案中小木棒的根数为； 第3个图案中小木棒的根数为 依此规律，第个图案中小木棒的根数为． 8. /跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（ ） A. 该函数图像满足的表达式为 B. 当振动弦长为时，振动频率为 C. 当振动弦长时，振动频率 D. 该函数图像与坐标轴有一个交点 【答案】B 【解析】 【分析】首先结合图像确定该反比例函数的解析式，然后结合反比例函数的图像与性质，逐一分析判断即可． 【详解】解：设弦的振动频率与振动弦长的函数关系为， 由图可知，该函数图像经过点，即， 解得， ∴该函数图像满足的表达式为，故选项A错误，不符合题意； 当振动弦长为时，振动频率，B选项正确，符合题意； ∵， ∴该函数图像在第一象限内，随的增大而减小， 当振动弦长时，振动频率， 故选项C错误，不符合题意； 该反比例函数的图像只会与坐标轴无限接近，不会与坐标轴相交， 故D选项错误，不符合题意． 9. 春节前夕，某社区需清理主干道两侧的道路，两个环卫队合作完成此项工作．已知乙队单独清理所需的天数比甲队单独清理所需的天数少天．若两队合作，仅需天半即可完成清理任务．设甲队单独清理需要天，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据工作总量工作效率工作时间，先分别求出甲、乙的工作效率和工作时间，再根据两队合作，仅需天半即可完成清理任务列出分式方程． 【详解】∵甲队单独清理需要天， ∴甲队每天清理效率为， ∵乙队单独清理所需的天数比甲队单独清理所需的天数少天， ∴乙队单独清理需要天， ∴乙队每天清理效率为， ∵两队合作，仅需天半即可完成清理任务， ∴，即． 10. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外侧作，且，连接为上一点，连接并延长，交于点．若为的三等分点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作于点，延长交于点，由等腰三角形的性质求出的长，由，得，从而求出的长，进而求出的长，再由得到的长，最后由勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，过点作于点，延长交于点， ∴， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 为的三等分点， ， 10， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，． 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法即可完成因式分解． 【详解】解：原式 故答案为： 【点睛】本题考查提公因式法分解因式．掌握相关法则即可． 12. 若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，由此即可求解． 【详解】解：∵，面积比为， ∴对应高的比是，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质，掌握面积比等于相似比的平方是解题的关键． 13. 若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求解即可． 【详解】解：∵正多边形中心角的度数， ∴该正多边形的边数． 14. 计算的结果是_________． 【答案】 【解析】 【详解】 ． 15. 已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】先推导出抛物线开口向下，对称轴为直线满足，不妨设，对称轴为，设抛物线的解析式为，进而求出，即可解答． 【详解】解：当时，随的增大而增大， 抛物线开口向下，对称轴为直线满足． 不妨设，对称轴为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． 满足上述条件的二次函数的表达式为（答案不唯一）． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 【答案】小明的解法中第二步开始出现错误，错误的原因是方程两边同时除以时，没有考虑的情况， 正确的解答过程： 第一步：， 第二步：， 第三步：，即， 第四步：或， 第五步：，． 【解析】 【分析】由方程两边都除以，没有考虑的情况，这会导致漏解，从而得到错误的步骤及原因，然后把方程移项化为，再利用因式分解的方法解方程即可． 【详解】略 17. 如图，以为直径作是上一点，连接． （1）实践与操作：用尺规过点作，且点位于的延长线上．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：是的切线． 【答案】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）证明：如图，连接， 则是的半径． ， ． ， ， 即． 是的切线． 【解析】 【分析】（1）以点A为圆心，为半径作弧，与的延长线的交点即为点； （2）连接，先推导出，得到，即，则是的切线，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式． （2）今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得到抛物线的顶点坐标为，设该抛物线的表达式为，将点B的坐标代入即可求出解析式； （2）代入（1）的解析式，求出x的值，由此解答； 【小问1详解】 解：根据题意，得，拱顶（点）的坐标为， 设该抛物线的表达式为， 把代入，得， 解得， ∴该抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：把代入，得， 解得或， ∴两个灯笼悬挂点之间的水平距离为． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，为斜边上的中线，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形．现有以下命题： 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 【答案】法一：命题、命题为真命题， 证明：命题：如解图，连接． ∵，， ∴， ∵与均为等边三角形， ∴， ∴，即， ∵为斜边上的中线， ∴为的中点， ∴， ∴，即； 命题：如解图，连接． ∵，， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形为菱形， ∴． 法二：可选命题、命题或命题、命题， 命题为真命题， 证明：如解图，连接． ∵，， ∴，， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵为斜边上的中线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴． 【解析】 【分析】命题，连接，先根据，，推出，再证明，推出，然后根据为斜边上的中线，推出，即可证明； 命题，连接，先根据，，推出，再根据为斜边上的中线，推出，结合等边三角形的性质推出，可证明四边形为菱形，即可求证； 命题，连接，先根据，，推出，，结合等边三角形的性质推出，即，再根据为斜边上的中线，推出，即，然后证明四边形是平行四边形，即可求证． 【详解】略 20. 为丰富课余生活，学校计划开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、游泳五个体育社团．为合理分配资源，随机抽取部分学生进行意向调查（调查问卷如下），并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 体育社团参加意向调查问卷 请选择一个你最想参加的社团，在）内打“√”，谢谢合作！ A．篮球社团 B．足球社团 C．乒乓球社团 D．羽毛球社团 E．游泳社团 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“游泳社团”的扇形圆心角的度数为 ． （2）学校对有意向参加“篮球社团”的学生进行了现场测试（满分100分），并将测试成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 3 3 4 2 1 则这组数据的中位数是 分，众数是 分． （3）基于上述调查数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 【答案】（1）如图所示： （2）； （3）答案不唯一，合理即可．如提炼信息：学生对篮球和羽毛球这两项运动很热衷． 建议：增加篮球和羽毛球场地，让学生得到充分的体育锻炼 【解析】 【分析】（1）根据“部分=总数×部分所占的百分率”，扇形的圆心角度数=×扇形所占的百分率，据此求解即可； （2）由小到大排序后，第位的成绩就是中位数，出现次数最多的数就是众数，据此求解； （3）可以从部分占比多少上提炼信息并给出建议，也可以从中位数和众数的角度提炼信息并给出建议． 【小问1详解】 解：抽取学生数量：（人）， B组学生数量：（人）， C组学生数量：（人）， 表示“游泳社团”的扇形圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：有意向参加“篮球社团”的学生有人，由小到大排序后，第位的成绩就是中位数， 观察表格可得，第位的成绩是分， ∴这组数据的中位数是分， ∵有位学生的成绩是分，出现的次数最多， ∴这组数据的众数是分； 【小问3详解】 略 21. 综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 （1）请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 （2）请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 【答案】（1）该校旗杆的高度为 （2）解：设计方案：测量示意图如解图． 某时刻，该校旗杆的影子长为，在旗杆影子的一端处垂直于地面放置一根长度为的测量标杆，并测得此时测量标杆的影子长为， ∵， ∴， ， ∴． ，即． 【解析】 【分析】（1）解：推导出，得到，代值求解即可； （2）画出测量示意图，得到某时刻，该校旗杆的影子长为，在旗杆影子的一端处垂直于地面放置一根长度为的测量标杆，并测得此时测量标杆的影子长为，进而推导出，得到，即，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意，得． 又， ． ． ， ． 答：该校旗杆的高度为． 【小问2详解】 略 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点． （1）如图1，若，则四边形的形状为___________． （2）当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 【答案】（1）菱形 （2） ①；理由如下： ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴，， 由折叠，可知，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②或 【解析】 【分析】（1）证明为等边三角形即可得到结论； （2）①证明四边形为平行四边形，由折叠，可知，，推出，进而求解； ②过点作于点，过点作交的延长线于点，分类讨论当点在线段的延长线上和当点在线段上时，设，则，结合求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即为等边三角形， ∴， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：①略 ②如图，过点作于点，过点作交的延长线于点， ∵， ∴， 同理， ∴， 则四边形为矩形， ∴； 当点在线段的延长线上时，如图3， 由①知， 在和中， ∴， ∴， 设，则， ∴． 由折叠，得， ∴， 由勾股定理，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 当点在线段上时，如图4， 同理可证，， ∴， 设，则，，，， 同理有， ∴， 解得（负值舍去）， ∴； 综上所述，的长为或． 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴、轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点． （1）如图1，若． ①点的坐标是 ； ②当为线段的中点时，连接．探究是否为直角三角形，并证明． （2）如图2，连接，过点作，交于点，连接．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 【答案】（1）①；②是直角三角形． 证明：∵四边形是矩形，点分别在轴、轴上， ． 为线段的中点， ． ． ． 把代入，得． 解得． ∴反比例函数的表达式为． 点的横坐标为4． 当时， ． ． ． ． 是直角三角形． （2）点分别为线段的黄金分割点． 证明：∵四边形是矩形， ． 设，则． ． 四边形为矩形． ． ． ． 又 ． ． ． 解得（负值已舍去） ． 点分别为线段的黄金分割点． 【解析】 【分析】（1）①根据矩形的性质分别求出，可得答案； ②先根据已知条件求出点，再求出反比例函数的表达式为，再求出点，可得，然后根据勾股定理逆定理说明即可； （2）根据矩形的性质设，则，进而得出，由四边形为矩形可得，然后说明 ，可得，将数值代入求出，最后根据解答即可． 【小问1详解】 解：①∵四边形是矩形，且， ∴， ∴点； ②略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东省初中学业水平考试 数学 信息卷（一） 本试卷共8页，23小题，满分120分，考试用时120分钟． 注意事顶： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号．将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 某品牌挂面每袋的标准质量为，质检员随机抽取了4袋挂面进行称重，得到以下数据：．这4袋挂面中，质量最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 把如图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，则这个几何体是（ ） A. 四棱锥 B. 四棱柱 C. 三棱锥 D. 三棱柱 3. /新情境/ 据《广东省2023年预算执行情况和2024年预算草案的报告》显示，2023年，广东全省一般公共预算收入1.39万亿元，连续35年稳居全国首位，同比增长，其中税收占比，贡献中央税收收入稳居全国第一．数据1.39万亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 某数学小组利用计算机中的画图软件，把图1中的基本图形旋转一定角度若干次后，得到图2的图案，该数学小组设定的旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，，平分．若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 6. 某班设立了一个可以自由转动的积分抽奖转盘（如图），转盘被等分成个扇形．根据学生平时表现，可获得积分，每积累个积分，就可以获得一次转动转盘的机会．转动转盘，转盘停止后，若指针正好对准红色、黄色、蓝色区域（指针停在分界线上，重新转动），则可以分别获得文具套装、书签、减压小玩具、小华决定用个积分换取转动一次转盘，他获得文具套装的概率为（ ）． A. B. C. D. 7. /规律探索/ 如图是一组有规律的图案，它由若干个长度相同的小木棒拼接而成．第1个图案中有10根小木棒，第2个图案中有18根小木棒，第3个图案中有26根小木棒，第4个图案中有34根小木棒……依此规律，第个图案中小木棒的根数（用含的代数式表示）为（ ） A. B. C. D. 8. /跨学科/在二胡演奏中，当弦的张力、线密度等条件不变时，弦的振动频率（单位：）与振动弦长（单位：）近似成反比例函数关系，其图像如图所示．根据图像，下列结论正确的是（ ） A. 该函数图像满足的表达式为 B. 当振动弦长为时，振动频率为 C. 当振动弦长时，振动频率 D. 该函数图像与坐标轴有一个交点 9. 春节前夕，某社区需清理主干道两侧的道路，两个环卫队合作完成此项工作．已知乙队单独清理所需的天数比甲队单独清理所需的天数少天．若两队合作，仅需天半即可完成清理任务．设甲队单独清理需要天，则下列方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，以为边在矩形外侧作，且，连接为上一点，连接并延长，交于点．若为的三等分点，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：_____________． 12. 若，它们的面积比为，则它们的对应高的比为 _____． 13. 若一个正多边形中心角的度数为，则这个正多边形的边数是_________． 14. 计算的结果是_________． 15. 已知二次函数满足条件：①图象过原点；②当时，的值随值的增大而增大．请你写出一个满足上述条件的二次函数的表达式：_________． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 在解方程时，小明的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 小明的解法中第几步开始出现错误？错误的原因是什么？请你写出这道题的正确解答过程． 17. 如图，以为直径作是上一点，连接． （1）实践与操作：用尺规过点作，且点位于的延长线上．（保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，若，求证：是的切线． 18. 某古镇有一座抛物线形的石拱桥，其示意图如图，桥洞的水面宽度为，拱顶（点）与水面的距离为．以水面的中点为原点，所在的直线为轴，过点且垂直于轴的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求该抛物线的表达式． （2）今年元宵节，古镇居民计划在桥洞两侧对称地悬挂两个灯笼，以增添节日气氛．灯笼悬挂点距离水面．请你计算这两个灯笼悬挂点之间的水平距离．（结果保留根号） 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 如图，在中，，，为斜边上的中线，分别以，为边向外作等边三角形和等边三角形．现有以下命题： 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 命题：若连接，则． 任选两个命题，先判断真假，再证明或举反例． 20. 为丰富课余生活，学校计划开设篮球、足球、乒乓球、羽毛球、游泳五个体育社团．为合理分配资源，随机抽取部分学生进行意向调查（调查问卷如下），并将调查结果绘制成条形统计图和扇形统计图（均不完整）． 体育社团参加意向调查问卷 请选择一个你最想参加的社团，在）内打“√”，谢谢合作！ A．篮球社团 B．足球社团 C．乒乓球社团 D．羽毛球社团 E．游泳社团 请根据统计图提供的信息，解答下列问题． （1）将条形统计图补充完整；在扇形统计图中，表示“游泳社团”的扇形圆心角的度数为 ． （2）学校对有意向参加“篮球社团”的学生进行了现场测试（满分100分），并将测试成绩统计如下： 成绩/分 83 87 90 92 95 97 人数 2 3 3 4 2 1 则这组数据的中位数是 分，众数是 分． （3）基于上述调查数据，提炼出一条信息，并向学校提出相应的建议． 21. 综合与实践 【活动主题】 测量学校旗杆的高度． 【测量工具】 测量标杆（尖头端可插入地面用以固定，长度可拼接）、平面镜、皮尺． 【方案设计】 某综合与实践小组利用平面镜与皮尺测量学校旗杆的高度．如图，该小组在地面上点处放置平面镜，当小组成员站在点处时，刚好能从平面镜中看到旗杆顶端的像．测得该小组成员的眼睛距离地面的高度，到平面镜的水平距离，平面镜到旗杆底部的距离，点均在同一竖直平面内，且点在同一直线上． 【问题解决】 （1）请你利用以上数据计算该校旗杆的高度． 【评价反思】 （2）请你设计其他方案计算旗杆的高度．要求：选用【测量工具】中的工具，简要说明设计方案，画出测量示意图，测量数据用等小写字母表示． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22小题13分，第23小题14分，共27分． 22. 李老师在数学活动课上展示了一道与折叠有关的探究题，请你解答． 如图，在中，，将沿翻折得到，点的对应点为点． （1）如图1，若，则四边形的形状为___________． （2）当与不平行时，过点作的平行线，交射线于点，过点作的平行线，交射线于点． ①猜想线段与的数量关系，并仅就图2的情形说明理由． ②若，请直接写出线段的长． 23. 在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点分别在轴、轴上，反比例函数的图象分别与矩形的边相交于点． （1）如图1，若． ①点的坐标是 ； ②当为线段的中点时，连接．探究是否为直角三角形，并证明． （2）如图2，连接，过点作，交于点，连接．当时，探究点是否分别为线段的黄金分割点，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $