精品解析：2026年广东省广州市番禺区九年级数学二模试卷

2026年九年级数学学科综合测试题 注意事项： 1．本试卷共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟．考生应将答案全部（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效； 2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等（涂）写在答题卡上； 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（ ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A. 北京 B. 广州 C. 哈尔滨 D. 拉萨 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，相距的两个城镇，之间有一个半径为的圆形湖泊，它的圆心落在连线的中点处．现要修建一条由线段，，线段三部分组成的公路，其中，分别与相切于点，，则这段公路的总长度为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 12. 若点在反比例函数的图象上，则_______（填“”，“”或“”）． 13. 如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______． 14. 关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 15. 如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 16. 如图，在中，，，，点为平面内一动点，满足，分别连接，．延长至点，连接，使．当时，____________；当线段的长度取得最小值时，____________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 19. 先化简，再求值：，其中为方程的解． 20. 已知曲线：过点． （1）求的值； （2）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 21. 如图，在中，于点，为的中点． （1）尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是矩形． 22. 依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（）四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．研究表明，各阶段的合理占比范围如下：浅睡眠期占比的取值范围为，深睡眠期占比的取值范围为，占比的取值范围为，清醒期占比越低越好．其中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳；是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段的合理占比． （1）图1是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠的占比情况：________（选填“过低”，“合适”或“过高”）； ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围？ （2）该同学最近一周深睡眠与的占比情况如图2所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比； ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况； （3）结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议． 23. 如图，以的一边为直径作⊙，⊙与边的交点恰好为边的中点． （1）求证：； （2）过点作，交于点， ①求证：为⊙的切线； ②连接交于点，若，求的值． 24. 如图，菱形中，，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．点是边上任意一点（点不与点，重合）． （1）求证：； （2）如图，连接交于点，连接，过点作，交于点．求的值； （3）如图，点在边上，且满足，连接．过点作，交直线于点，连接．当点在边上运动时，求线段的取值范围． 25. 已知是抛物线上两个不同的点． （1）当，且抛物线关于轴对称时， ①若，两点都在轴上，求线段的长； ②若直线经过平面直角坐标系的原点，求的值； （2）当且时，若点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级数学学科综合测试题 注意事项： 1．本试卷共6页，25小题，满分120分，考试用时120分钟．考生应将答案全部（涂）写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效； 2．答题前考生务必将自己的姓名、准考证号等（涂）写在答题卡上； 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列图形不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、C、D选项对应的图形均为轴对称图形，只有B选项对应的图形不是轴对称图形 ． 2. 下表记录了年月日我国四个城市的平均气温，其中，平均气温最低的城市是（ ） 城市 北京 广州 哈尔滨 拉萨 气温/ A. 北京 B. 广州 C. 哈尔滨 D. 拉萨 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查有理数大小比较，利用有理数大小比较规则：负数小于正数，两个负数比较，绝对值大的反而小，比较四个城市的气温即可得出结果． 【详解】解：∵，，， ∴， 又∵负数小于正数， ∴， ∴哈尔滨的平均气温最低． 3. 在中，，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据定义得到与、的关系，代入已知条件即可求出的长． 【详解】解：∵在中，，根据锐角余弦的定义，得， 又∵，， ∴， ∴ ． 4. 下列计算一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查幂的运算法则与二次根式的性质，根据对应法则逐一验证选项即可得到结果． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项不符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项符合题意． 5. 如图，是的高，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由可求解，再根据平行四边形的性质可解． 【详解】解：∵是的高，且， ∴， 在中，， ∴ ． 6. 某校开展“文明之星”评选活动，已知每位学生最多可获得个文明徽章．现从参赛学生中随机抽取人，统计他们获得的徽章个数，将结果绘制成条形图（如图所示），则这位学生所获徽章个数的众数和中位数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是将数据排序后位于中间的一位或者两位的平均数，进行求解即可. 【详解】解：由图可知，所获徽章个数为7个的人数最多，故众数为7； 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为7和8， ∴中位数为. 7. 如图，正五边形中，边，的延长线交于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正多边形的外角公式求出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴． 8. 在忽略空气阻力的条件下，物体从高空下落的时间（单位：）与下落高度（单位：）近似满足公式，其中重力加速度取．若一物体从距地面的高度自由落下（忽略空气阻力），则下列关于该物体下落时间（单位：）的估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先把代入公式求出t值，再估算其大小即可求解． 【详解】解：把代入公式，得 ， ∵， ∴， 即． 9. 如图，相距的两个城镇，之间有一个半径为的圆形湖泊，它的圆心落在连线的中点处．现要修建一条由线段，，线段三部分组成的公路，其中，分别与相切于点，，则这段公路的总长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据切线的性质以及已知条件，可得，进而得出，再勾股定理求得，，进而根据弧长公式求得的长，即可求解． 【详解】解：∵，为的中点 ∴ 又∵，分别与相切于点，，且的半径为 ∴， ∴, ∴， 同理 ∴ ∴ ∴的长为 ∴这段公路的总长度为． 10. 抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（ ） A. 第一、二象限 B. 第二、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一次函数的象限性质，以及二次函数与一次函数的交点问题，联立方程得到一元二次方程，利用根与系数的关系得到a与k同号，再分情况讨论直线经过的象限，即可得到结论． 【详解】解：抛物线与直线交于，两点， 联立得， 整理得， 由一元二次方程根与系数的关系得， ∵，∴，即与同号， 当时，，直线经过第一、二、三象限； 当时，，直线经过第二、三、四象限； 综上，直线一定经过第二、三象限． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．） 11. 写出一个使分式有意义的的值，可以是______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义分母的值不等于，求出的取值范围，进而写出符合条件的一个的值即可，掌握分式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：要使分式有意义，则， ∴， ∴的值可以是， 故答案为：． 12. 若点在反比例函数的图象上，则_______（填“”，“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的增减性．由反比例函数可得在同一象限内y随x的增大而减小，然后根据点，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数，， ∴在同一象限内y随x的增大而减小， ∴点，都在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，是的中线，，分别是，的中点，连接，已知，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角形中位线的性质得 ，进而根据三角形中线的性质即可求解． 【详解】解：∵，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴ ， ∵是的中线， ∴． 14. 关于的方程的两个根分别为，，若，则___________． 【答案】10 【解析】 【分析】先根据已知的两根之积求出参数的值，再代入两根之和的表达式计算即可． 【详解】解：∵ ，其中 ，，， ∴ ，， ∵ ，即 ， ∴， ∴ ． 15. 如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【解析】 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 16. 如图，在中，，，，点为平面内一动点，满足，分别连接，．延长至点，连接，使．当时，____________；当线段的长度取得最小值时，____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①证明，根据相似三角形的性质得出，即可得出的长； ②延长至，在上截取，使得，连接，证明得出点在平行于的直线上运动，进而求得，根据，得出，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∵， ∴； ∴当时， ∵ ∴， ∵ ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， 如图，延长至，使，在上截取，使得，连接， ∴是的直径， ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴点在平行于的直线上运动， ∴当线段的长度取得最小值时，则，如图所示， 此时，四边形是矩形， ∴， 在中，． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】观察可得最简公分母是，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【详解】解：方程两边同乘以，得 解得 检验：将代入知， 所以是原方程的根． 【点睛】本题考查解分式方程，注意分式方程的结果要检验． 18. 如图，在中，点为边上一点，连接，已知，，．求证：． 【答案】 证明：，， ． ，， ． ∴． ． ． 【解析】 【分析】根据边成比例以及对应角相等证明相似即可． 【详解】略 19. 先化简，再求值：，其中为方程的解． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 为方程的解， ∴． ∴原式 ． 20. 已知曲线：过点． （1）求的值； （2）在甲、乙两个不透明的布袋里，都装有个大小、材质完全相同的小球，其中甲袋中的小球上分别标有数字，，；乙袋中的小球上分别标有数字，，．现从甲袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，再从乙袋中任意摸出一个小球，记其标有的数字为，以此确定点的坐标为．求点在曲线上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意列树状图，得出共有9种等可能的结果，进而得出在的结果数，结合概率公式，即可求解． 【小问1详解】 解：过点， ． ∴． 【小问2详解】 根据题意列树状图如下： ： 共有种等可能的结果， 其中满足点在曲线：上的情况有种， 分别为和． 点在曲线上的概率为． 21. 如图，在中，于点，为的中点． （1）尺规作图：作点关于点的对称点，连接，（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求证：四边形是矩形． 【答案】（1）如图所示： （2）证明：点与点关于点对称， ∴点，，三点共线， 点为的中点， ∴ ∴四边形是平行四边形 ， ∴ ∴是矩形． 【解析】 【分析】（1）作射线，截取，连接，即可求解； （2）根据作图可得，根据已知可得，则四边形是平行四边形，结合，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 依据现代睡眠医学理论，人的完整睡眠周期由清醒期、浅睡眠期、深睡眠期和快速眼动睡眠期（）四个阶段构成，各阶段的占比直接决定睡眠质量，且深刻影响青少年生长发育、学习效率等关键需求的达成．研究表明，各阶段的合理占比范围如下：浅睡眠期占比的取值范围为，深睡眠期占比的取值范围为，占比的取值范围为，清醒期占比越低越好．其中，浅睡眠是连接清醒与深睡眠的“桥梁”，无实质修复功能，占比过高将导致睡眠“不实”；深睡眠是身体修复的“黄金期”，能够分泌生长激素，增强免疫力，缓解躯体疲劳；是大脑修复的“关键期”，能够巩固陈述性记忆，调节情绪，促进大脑发育．由此说明，睡眠质量的核心，并非单纯取决于睡眠总时长，也取决于各阶段的合理占比． （1）图1是某同学晚上用智能手表监测到的睡眠数据， ①请判断该同学本次睡眠的占比情况：________（选填“过低”，“合适”或“过高”）； ②根据以上信息，求该同学本次睡眠的深睡眠时间至少需要增加多少分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围？ （2）该同学最近一周深睡眠与的占比情况如图2所示， ①计算深睡眠的周平均睡眠时间占比； ②根据图中数据，分析该同学这两项核心阶段的睡眠情况； （3）结合自身情况提出一条提高青少年睡眠质量的建议． 【答案】（1）①过低；②至少增加25分钟． （2）①深睡眠的周平均睡眠时间占比为； ②深睡眠的周平均睡眠时间占比为，未达到最低标准，一周中仅星期一和星期五达标，表现为深睡眠不足，不利于有效缓解躯体疲劳；从折线图可以看出该同学占比比较稳定，方差较小，一周中有6天在合理范围内，说明该同学睡眠质量较好． （3）养成良好的作息习惯，保证22：30前入睡，6：30起床；睡前应让大脑充分放松，可以适当听听有助于睡眠的轻音乐，避免睡前大量刷题、玩游戏等活动；白天增加运动，加强体育锻炼．（答案不唯一，有理即可） 【解析】 【分析】（1）①用快速眼动睡眠的时间求出总睡眠时间，进行判断即可；②设深睡眠增加分钟能使其深睡眠的占比达到合理范围，列出不等式进行求解即可； （2）利用平均数的计算公式进行计算即可；②根据折线图结合题干中给定的数据，进行分析即可； （3）根据分析给出合理建议即可. 【小问1详解】 解：①1小时52分钟112分钟，9小时分钟， ， 故同学本次睡眠的占比情况过低； ②设深睡眠增加分钟能使其深睡眠的占比达到合理范围，由题意得: 1小时23分分钟，9小时分钟． ． 解得． 答：该同学本次睡眠的深睡眠时间至少增加25分钟，才能使其深睡眠的占比达到合理范围． 【小问2详解】 解：①． 答：深睡眠的周平均睡眠时间占比为18.2%． ②略 【小问3详解】 略 23. 如图，以的一边为直径作⊙，⊙与边的交点恰好为边的中点． （1）求证：； （2）过点作，交于点， ①求证：为⊙的切线； ②连接交于点，若，求的值． 【答案】（1）证明：∵为的直径， ∴，即． ∵为中点， ∴垂直平分， ∴． （2）①证明：如图，连接， 由（1）得，则． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵为半径， ∴为的切线． ②． 【解析】 【分析】（1）由圆周角定理可得，可证垂直平分，进而可证； （2）①连接，证明，可得，进而得出，可证为⊙的切线； ②设，则，由勾股定理求出，可得，，再证明即可求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①略； ②解：∵在中，， ， ∴设，则， ∴． ∵在中，， ， ， ， ， ． ， ， ． 24. 如图，菱形中，，，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．点是边上任意一点（点不与点，重合）． （1）求证：； （2）如图，连接交于点，连接，过点作，交于点．求的值； （3）如图，点在边上，且满足，连接．过点作，交直线于点，连接．当点在边上运动时，求线段的取值范围． 【答案】（1）证明：四边形是菱形， ， ，， 为中点， ， ， （2）； （3）． 【解析】 【分析】由四边形是菱形，则，所以，，又为中点，所以，然后通过“”即可证明； 连接交于点，由知，所以，然后证明，所以，再证明，通过相似三角形的性质即可求解； 连接交于点，证明，所以，证明为等边三角形，所以，则有，又，可得点在以为直径的上运动，其中，因为点是边上任意一点（点不与点，重合），所以当点位于点处时，点于点重合，当点位于点处时，点满足，即位于图中的处，则有点的运动轨迹为图中的，根据，则当，，三点共线时，取得最大值，连接交于点，则，所以，求得，，则，所以，又当时，取得最小值，作交于点，求得，，所以，从而可得． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：如图，连接交于点， 由， ， 在菱形中，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， ， ， ， 在菱形中，，， 为等边三角形， ， ， ， ， 如图，点在以为直径的上运动， 其中， 点是边上任意一点（点不与点，重合）， 当点位于点处时，点于点重合； 当点位于点处时，点满足，即位于图中的处， 点的运动轨迹为图中的， ， 当，，三点共线时，取得最大值， 如图，连接交于点，则， ， ，， ， ， 当时，取得最小值， 如图，作交于点， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 点是边上任意一点（点不与点，重合）， ， ， 线段的取值范围． 25. 已知是抛物线上两个不同的点． （1）当，且抛物线关于轴对称时， ①若，两点都在轴上，求线段的长； ②若直线经过平面直角坐标系的原点，求的值； （2）当且时，若点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，证明：． 【答案】（1）①；②的值为． （2）证明：∵且， ∴． ∴对称轴为直线． ∵点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数， ∴， ∴ ． ． 其中， ，即 ． ∵， ∴ ， ． ，即． 【解析】 【分析】（1）①由，且抛物线关于轴对称，可得，然后令，求出即可求解； ②分在轴上和不在轴上两种情况求解即可； （2）先求出对称轴为直线，由点，在抛物线对称轴的左侧，其中且，均为整数，得出，将变形为分析即可． 【小问1详解】 解：①，抛物线关于轴对称， ． ∴． ，两点都在轴上， 当时，． 解得． ∴． ②∵直线经过平面直角坐标系的原点， ∴分情况讨论如下： 若在轴上，则． ． 若不在轴上，设直线为． ∵时，． ，． ∴，异号，不妨设． ∴， ∴（负值舍去）． ∵， ∴ ＝4． 综上，的值为． 【小问2详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $