精品解析：广东省河源市源城区2025-2026年第二学期 九年级中考二模数学卷

2025－2026学年第二学期九年级第二次模拟考试 数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．） 1. 质检员抽查 4袋面粉的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数．下面最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据越接近标准质量，说明偏差量的绝对值越小，只需计算各选项偏差的绝对值，比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，，，，且， ∴的偏差绝对值最小，即最接近标准质量． 2. 2026年 1月 26 日，广东省十四届人大五次会议在广州开幕，政府工作报告指出，2025 年广东货物进出口总额95000亿元，增长，贡献了全国的增量．将数据95000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：亿． 3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查数轴、绝对值的意义及有理数的运算，熟练掌握数轴、绝对值的意义及有理数的运算是解题的关键． 由数轴易得，且，然后求解即可． 【详解】解：由数轴可得：，且， 则，，， 则，， 则B、C、D选项错误，A选项正确， 故选：A 4. 若，则（ ） A. 7 B. 10 C. 16 D. 25 【答案】D 【解析】 【详解】解：，， ． 5. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的人数相同，竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一个合适的小组参加年级的比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 90 90 方差 4 4.3 4 4.6 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵甲和乙的平均数为，高于丙和丁的平均数， ∴先排除丙、丁， 又∵甲的方差小于乙的方差， ∴甲的成绩比乙更稳定， 因此应选甲组． 6. 如图，▱中，，，平分交于点 E，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到，利用平行线的性质及角平分线定义证得，得到，求出即可． 【详解】解：▱中，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 如图，图（1）由5个相同的小正方形组成，从图（2）标有序号的6个位置中任选一处再添加1个相同的小正方形，所得图形能折叠成正方体的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正方形的表面展开图找到能折叠成正方体的位置，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：从图（2）标有序号的6个位置中任选一处再添加 1个相同的小正方形，共有6种等可能的选择结果，其中能折叠成正方体的有①④，共2种结果， 则所求概率为． 8. 已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A. 16 B. 11 C. 9 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系求出，，验证三边满足三角形三边关系后，即可计算出周长． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∵a，b，4分别是三角形三边的长， ∴，且， ∴三边满足三角形三边关系，能构成三角形， ∴ 三角形的周长为． 9. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的求解问题，等腰三角形的性质和判定，利用平行四边形的性质求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 由平行四边形的性质及角平分线的定义得，从而得的长，由三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵E是的中点，， ∴， 故选：B． 10. 如图，点E为矩形的边的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A运动，已知，，则的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别当点P在上时和当点P在上时，利用矩形的性质得出y关于点P所走路径长x的函数关系式即可求解． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， 当点P在上时， 当点P在上时，如图，连接 ， ∵点E是的中点， ∴． ∵点P所走路径长为x， ∴ 综上：当点P在上时，，当点P在上时，，只有A选项符合题意． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：___________ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 12. 已知点和点关于y轴对称，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等，先求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点和点关于轴对称， ，， 解得，， ． 13. 若实数a，b满足 ，则 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】先对原等式移项整理，利用完全平方公式配方，再根据平方的非负性求出和的值，代入计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ． 14. 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移2 个单位长度，则平移后的直线的解析式为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将直线沿轴向左平移2个单位长度后，所得直线的解析式为 ， 即． 15. 广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成．图（1）是一款广式彩色玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图（2）标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若，则图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为___________． 【答案】 【解析】 【分析】观察图（1）可知，一个正方形由四个五边形组成，且具体数据标注如图（2），根据题意列出方程组求出、的值，正方形的边长由五边形的斜边对应关系可得，即正方形边长为斜边长，则求出单个正方形的面积，再利用割补法求出四个五边形的面积，据此求解即可． 【详解】解：数据标注如图所示： 由等腰三角形的性质可知，， 由题意得：， 解得：， ， 小正方形玻璃的边长为， 其中一块浅蓝色玻璃的面积为， 四块白色玻璃的面积为， 图（1）图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成， 图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（ ） A.代入消元法 B.加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 【答案】（1）A （2）三 （3）解：． 由①，得，③ 把③代入②，得 ， 去括号，得， 解得， 将代入③，得， 所以原方程组的解为； 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）由解答过程可知在去括号时出现错误，题中所给过程中去括号时没有变号，进而问题可求解； （3）根据代入消元法可进行求解方程． 【小问1详解】 解：由题意可知这种求解二元一次方程组的方法叫做代入消元法； 【小问2详解】 由题中所给过程可知：在第三步开始出现错误，这步正确的格式为； 【小问3详解】 略 17. 老师在黑板上写了一道练习题，却被值日生不小心擦掉了一部分，保留的部分如下：化简（擦掉部分用X表示） （1）若，请求出化简结果； （2）若化简后的结果为，求X． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入所给式子，利用完全平方公式、平方差公式及分式除法运算法则进行求解即可； （2）根据题意求出的表达式，利用完全平方公式和分式除法运算法则进行化简其表达式，进而求出的值． 【小问1详解】 解：当时， ； 【小问2详解】 解：根据题意得：， ， ． 18. 如图，为的半径． （1）尺规作图过点A作的切线，使得点P在点A 的左侧且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的半径． 【答案】（1）如图即为所求作； （2） 【解析】 【分析】（1）延长，并在射线上截取以点为中点的线段，作该线段的垂直平分线，在该垂直平分线上截取； （2）根据圆的切线的性质得出直角，然后利用勾股定理列出方程求解． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ∵与相切， ∴， 假设的半径为，则， 由勾股定理得， 即， 解得（负值已舍）， ∴⊙O的半径为 ． 19. 某校为了解初中学生每天参加体育活动时间的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行整理，分为四组：A；B；C；D（t为时间，单位：h）．并绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 活动项目 乒乓球 篮球 排球 跳绳 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与这次问卷调查的学生人数为 ． （2）估计该校名初中学生中每天参加体育活动时间不低于h的学生人数． （3）对以上体育活动时间分析后，学校拟增设课间体育活动项目，“你希望增设的活动项目调查问卷”情况如下表（由于部分原因导致两个数据缺失），根据调查结果，向学校提出相应的建议． 【答案】（1） （2） 估计该校 名初中学生中每天参加体育活动时间不低于 h的学生人数为 人． （3）在希望增设的活动项目中，乒乓球占比，跳绳占比，篮球和排球共占比， 乒乓球占比最高，故建议学校增设乒乓球活动． 【解析】 【分析】（1）因为扇形统计图中B组占比，条形统计图中B组人数为，所以用B组人数除以对应百分比即可得到参与调查的总人数； （2）先算出D组的人数，用总人数减去A、B、C组的人数即可得到；再计算C、D两组人数和占总人数的比例，用该比例乘以该校总人数即可得到估计值； （3）先计算篮球和排球的百分比之和，再根据各项目的百分比大小，对应提出增设项目的建议． 【小问1详解】 （人）， 故参与这次问卷调查的学生人数为 150． 【小问2详解】 （人）， 答：估计该校 名初中学生中每天参加体育活动时间不低于 h的学生人数为 人． 【小问3详解】 略 20. 某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 【答案】（1）这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元 （2）厂商补贴最多是600元 【解析】 【分析】（1）先计算出两件商品的原价总和，再结合降价规则列出二元一次方程组求解即可得到各自原价； （2）根据价格要求列出一元一次不等式，求解即可得到厂商补贴的最大金额． 【小问1详解】 解：设这台电视机原价为元，平板电脑原价为元 由题意得， 解得 答：这台电视机的原价为3500元，平板电脑的原价为2800元； 【小问2详解】 解：设厂商补贴为元 由题意，国补后再减去厂商补贴的价格不低于2970元， 列不等式得   解得   答：厂商补贴最多是600元． 21. 综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上． 问题解决 （1）求点C 的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 【答案】（1）点C的坐标为 （2） （3）1.8米 【解析】 【分析】（1）先由轴，确定C 的纵坐标为5，再代入可求出点C的横坐标，即可得出点C的坐标； （2）根据抛物线的形状与相同，可设抛物线的解析式为 ，再代入，求解即可； （3）对于，令，得，解得或 (舍去)，进而可求出． 【小问1详解】 解：∵轴，， ∴点 C 的纵坐标为5； 由题意知抛物线 经过点C， ∴令 解得或 (舍去)， ∴点C的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的形状与相同， ∴可设抛物线的解析式为 ， 由题意知，抛物线经过点 C，E， ∴将，分别代入 ，得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：令， 解得或 (舍去). ∵，，且喷头 E 喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置， ∴（米）． 22. 【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，它能够解决一些看起来复杂的问题．例如求的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下： 设 将等式①的左右两边同时乘以5，得 ②①，得，故， 【解决问题】 （1）填空： （2）令，求的值（用含的代数式表示）． （3）寒假期间，老师布置了一项“15天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1天基础积分为2，之后每天的基础积分是前一天的2倍；阅读第k天的积分倍数为k，当天积分基础积分×倍数，总积分为每天积分之和．按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分？（已知 【答案】（1） （2） （3）917506积分 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法求解即可． （2）先利用“错位相减法”求解，然后将代入，再进行异分母分式减法即可． （3）先得出知完成所有打卡任务一共可以获得的积分，利用两次“错位相减法”求解即可． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：设， 将等式①的左右两边同时乘以 得， ①②，得 ， 故， ， 【小问3详解】 解：由题意可知完成所有打卡任务一共可以获得的积分 将等式③的左右两边同时乘以2， 得 ③④，得 将等式⑤的左右两边同时乘以2， 得 ⑤⑥，得 ∴完成所有打卡任务一共可以获得917506积分． 23. 在学习三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“孪生三角形”进行研究．定义：顶角互补的两个等腰三角形叫作“孪生三角形”． （1）观察思考 如图（1）和中，． ①和 “孪生三角形”；（填“是”或“不是”） ②连接，判断的数量及位置关系并证明． （2）性质探究 如图（2），是“孪生三角形”，的中点，连接，通过探究发现，请你写出证明过程． （3）拓展应用 如图（3）绕点 旋转，当点在一条直线上时，求的长． 【答案】（1）①是； ②，，理由如下： 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， 记交于点O， 则， ∴； （2）证明：如图，延长到点F，使，连接， ∵M是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵和是“孪生三角形”，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）的长为或． 【解析】 【分析】（1）①根据“孪生三角形”的定义即可判断； ②，得到，，可推出； （2）延长到点F，使，连接，根据三角形中位线定理求得，再证明，即可得到； （3）设的中点为H，连接，延长到点N，使，连接，分两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：①和是“孪生三角形”； ②，，理由略； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∵，∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， 如图，设的中点为H，连接，延长到点N，使，连接， ∵H是的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 当D，E，C三点共线时，设的中点为G，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点 C 在线段的延长线上时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点C 在线段的延长线上时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年第二学期九年级第二次模拟考试 数学试卷 一、选择题（本大题共 10小题，每小题 3分，共 30分．） 1. 质检员抽查 4袋面粉的质量，其中超过标准质量的部分记为正数，不足标准质量的部分记为负数．下面最接近标准质量的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年 1月 26 日，广东省十四届人大五次会议在广州开幕，政府工作报告指出，2025 年广东货物进出口总额95000亿元，增长，贡献了全国的增量．将数据95000亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 实数在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 7 B. 10 C. 16 D. 25 5. 甲、乙、丙、丁四个小组的同学参加了班里组织的中华古诗词知识竞赛，四个小组的人数相同，竞赛成绩情况如下表，若要从中选择一个合适的小组参加年级的比赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 95 95 90 90 方差 4 4.3 4 4.6 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 6. 如图，▱中，，，平分交于点 E，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，图（1）由5个相同的小正方形组成，从图（2）标有序号的6个位置中任选一处再添加1个相同的小正方形，所得图形能折叠成正方体的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知a，b，4分别是三角形三边的长，且a，b是一元二次方程的两个根，则该三角形的周长等于（ ） A. 16 B. 11 C. 9 D. 7 9. 如图，的对角线，相交于点O，的平分线与边相交于点P，E是的中点，若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3 10. 如图，点E为矩形的边的中点，点P从点C出发，沿路径C→D→A运动，已知，，则的面积y关于点P所走路径长x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 计算：___________ 12. 已知点和点关于y轴对称，则___________． 13. 若实数a，b满足 ，则 ___________ 14. 在平面直角坐标系中，将直线沿x轴向左平移2 个单位长度，则平移后的直线的解析式为___________． 15. 广式彩色玻璃窗由中式传统木窗棂镶嵌彩色玻璃而成．图（1）是一款广式彩色玻璃窗，其图案由36个相同的五边形和9个相同的正方形组成，五边形部分镶嵌白色玻璃，正方形部分镶嵌浅蓝色玻璃，图（2）标注了其中一块五边形玻璃的尺寸，若，则图（1）需要用到的白色玻璃与浅蓝色玻璃的面积比为___________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．） 16. 以下是某同学解方程组 的部分运算过程． 解：由①，得③…第一步 把③代入②，得…第二步 去括号，得…第三步 解得．…第四步 （1）这种解二元一次方程组的方法叫作（ ） A.代入消元法 B.加减消元法 （2）上面的运算过程从第 步开始出现了错误． （3）请写出解该方程组的正确过程． 17. 老师在黑板上写了一道练习题，却被值日生不小心擦掉了一部分，保留的部分如下：化简（擦掉部分用X表示） （1）若，请求出化简结果； （2）若化简后的结果为，求X． 18. 如图，为的半径． （1）尺规作图过点A作的切线，使得点P在点A 的左侧且；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法） （2）在（1）的条件下，连接，若，求的半径． 19. 某校为了解初中学生每天参加体育活动时间的情况，随机抽取部分学生进行问卷调查，并对所得数据进行整理，分为四组：A；B；C；D（t为时间，单位：h）．并绘制如下不完整的条形统计图和扇形统计图： 活动项目 乒乓球 篮球 排球 跳绳 百分比 根据以上信息，解答下列问题： （1）参与这次问卷调查的学生人数为 ． （2）估计该校名初中学生中每天参加体育活动时间不低于h的学生人数． （3）对以上体育活动时间分析后，学校拟增设课间体育活动项目，“你希望增设的活动项目调查问卷”情况如下表（由于部分原因导致两个数据缺失），根据调查结果，向学校提出相应的建议． 20. 某商场的国补活动中，家电国补为（即降价，后同），数码产品国补为，运动器材不仅有的国补，还有一定金额的厂商补贴． （1）王女士在该商场购买了一台电视机和一台平板电脑，一共付款5320元，比原价便宜了980元，试求出这台电视机和平板电脑的原价； （2）王女士想在该商场再购置一台原价为4200元的跑步机，店员预估国补、厂商补贴后的价格不低于2970元，求厂商补贴最多是多少元． 21. 综合与实践 主题 喷泉设计 背景 数学兴趣小组要设计一个类似图（1）的环形喷泉，喷头喷出的水柱形状为抛物线，且上面喷头喷出的水柱会落入下面的喷头处． 素材1 如图（2）是喷头A所在纵截面的示意图，建立平面直角坐标系，点A，B在y轴上，通过调节，喷头A 喷出的水柱形状为抛物线 素材2 平台的高为5米（即米），轴，喷头A喷出的水柱落入喷头C 处，喷头C 喷出的水柱所在抛物线的形状与相同． 素材3 喷头C喷出的水柱落入喷头E处，平台的高为2米（即米），点F在x轴上，米，喷头 E喷出的水柱形状为抛物线，水最终落入圆柱形接水装置（纵截面为矩形）中，接水装置高米，底面直径米，在x轴上． 问题解决 （1）求点C 的坐标． （2）求抛物线的解析式． （3）要使喷头E喷出的水柱恰好从的中点处落入接水装置，求接水装置离的水平距离． 22. 【阅读材料】“错位相减法”是一种用于求解规律排列的数的和的巧妙方法，它能够解决一些看起来复杂的问题．例如求的和可以用“错位相减法”求解，解题过程如下： 设 将等式①的左右两边同时乘以5，得 ②①，得，故， 【解决问题】 （1）填空： （2）令，求的值（用含的代数式表示）． （3）寒假期间，老师布置了一项“15天阅读打卡挑战”，积分规则如下：阅读第1天基础积分为2，之后每天的基础积分是前一天的2倍；阅读第k天的积分倍数为k，当天积分基础积分×倍数，总积分为每天积分之和．按照这个规则，完成所有打卡任务一共可以获得多少积分？（已知 23. 在学习三角形的过程中，我们积累了一定的研究经验，请运用已有经验，对“孪生三角形”进行研究．定义：顶角互补的两个等腰三角形叫作“孪生三角形”． （1）观察思考 如图（1）和中，． ①和 “孪生三角形”；（填“是”或“不是”） ②连接，判断的数量及位置关系并证明． （2）性质探究 如图（2），是“孪生三角形”，的中点，连接，通过探究发现，请你写出证明过程． （3）拓展应用 如图（3）绕点 旋转，当点在一条直线上时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $