精品解析：湖南花垣县华鑫教育集团2025-2026学年下学期期中联考试题卷八年级数学A卷

2026春华鑫教育集团初中部期中联考试题卷A八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. ​ 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（ ） A. 12尺 B. 12.5尺 C. 14.5尺 D. 15尺 6. 下列命题正确的是（　　） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 7. 一个边形的内角和为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 8. 顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（    ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 10. 如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②④ 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 12. 已知，则整数n的值为________． 13. 某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 14. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 15. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 16. 如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是_____________． 17. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 18. 观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 21. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 22. 如图，在中，是内一点，连接，且．已知． （1）求的周长； （2）求图中阴影部分的面积． 23. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 24. 阅读材料：像，，…，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以消除分母中的根号，如：，请你解决以下问题： （1）的有理化因式是________（写出一个即可），________； （2）化简：． 25. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值. 小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）. （1）请回答：BC+DE的值为　　； （2）参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD. 26. 【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026春华鑫教育集团初中部期中联考试题卷A八年级数学 一、选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 下列生活实物图形中，不是运用三角形的稳定性的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性和四边形的不稳定性，根据三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性解答即可． 【详解】解：由题意得，A、B、C三个选项中的图形都运用了三角形的稳定性，D选项中的图形具有伸缩功能，不运用三角形的稳定性， 故选：D． 2. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. ​ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式，根据二次根式的定义（形如（）的式子是二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负），逐一分析选项即可得出答案． 【详解】解：A、的被开方数，式子无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； B、的根指数为3，不是二次根式，故本选项不符合题意； C、中的取值范围不确定，当时式子无意义，不一定是二次根式，故本选项不符合题意； D、的根指数为2，被开方数，符合二次根式的定义，一定是二次根式，故本选项符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 根据相关运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与不是同类二次根式，不能合并，故该选项不合题意； B：，故该选项符合题意； C：，故该选项不合题意； D：，故该选项不合题意． 故选：B． 4. 下列几组数，是勾股数的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】根据勾股数的定义和勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】解：、∵， ∴能构成直角三角形，但边不是整数，不是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； 、∵， ∴能构成直角三角形，且边是整数，是勾股数，故此选项符合题意． 5. 在《直指算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板二尺离地，送行九尺与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语衣嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”大意为：有一架秋千，当它静止时，踏板离地2尺，将它往前推送9尺（水平距离）时．秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺．如图，如果秋千的绳索始终拉得很直，绳索的长为（ ） A. 12尺 B. 12.5尺 C. 14.5尺 D. 15尺 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用．将题中条件转化为数学符号语言，可得四边形为长方形，推出，再设，在利用勾股定理列方程求解． 【详解】解：如图，由题意知：，，，，，． 由题意得四边形为长方形， ， 又， ． 设，则． 在中，由勾股定理得， ． 解得尺， 绳索的长度为15尺． 故选：D． 6. 下列命题正确的是（　　） A. 四个角相等的四边形是正方形 B. 对角线互相平分且垂直的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 对角线互相平分且相等的四边形是菱形 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是矩形，菱形的判定，根据矩形与菱形的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：四个角相等的四边形是矩形，故A不符合题意； 对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，故B不符合题意； 四条边相等的四边形是菱形，正确，故C符合题意； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故D不符合题意； 故选C． 7. 一个边形的内角和为，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和定理，利用边形内角和公式列一元一次方程即可求解． 【详解】解：∵边形的内角和公式为，已知该多边形内角和为， ∴列方程得， 方程两边同时除以得， 解得． 8. 顺次连接一个正方形的各边中点得到一个四边形，则这个四边形是（    ） A. 梯形 B. 菱形 C. 矩形 D. 正方形 【答案】D 【解析】 【分析】先连接正方形对角线，借助中位线证对边平行得平行四边形，再利用对角线相等推出四边相等，判定菱形，最后由对角线垂直，证菱形有直角，得到正方形． 【详解】解：设原正方形为，，，，分别是，，，的中点，连接，，如图： ∵，，，分别是，，，的中点， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵在正方形中，， ∴， ∴四边形是菱形， 在正方形中， ∵，，， ∴，即， ∴菱形是正方形． 【点睛】巧用三角形中位线，结合正方形对角线相等且垂直的性质，逐步判定特殊四边形． 9. 如图，在中，对角线，相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，，，则图中阴影部分的面积是（ ） A. 4 B. 6 C. 3 D. 1.5 【答案】B 【解析】 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、勾股定理的逆定理、全等三角形的判定与性质等知识，推导出，并且证明是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，进而推出，则有，再利用勾股定理逆定理推出，计算得到，最后利用图形面积的等量代换即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 ， 故选：B． 10. 如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②③④ C. ①③④ D. ①②④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【详解】解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：D． 二、填空题（共8小题，满分32分，每小题3分） 11. 若代数式有意义，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件作答即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且 即且， 解得：且， ∴． 故答案为：． 12. 已知，则整数n的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据，对进行估值即可解答． 【详解】解： ∵，即， ∴， ∵， ∴． 13. 某房梁如图所示，立柱，E，F分别是斜梁，的中点．若，则的长为_______m． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．根据，得出为直角三角形，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形， ∵E是斜梁的中点， ∴． 故答案为：4． 14. 如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13 15. 如图，已知菱形中，对角线与交于点，，，则该菱形的面积是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，解答本题的关键是掌握菱形面积等于对角线乘积的一半．根据菱形面积等于对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：根据菱形面积等于对角线乘积的一半可得：． 故答案为：． 16. 如图，的对角线、相交于点O，且，，则的周长是_____________． 【答案】14 【解析】 【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再由已知求出AO+BO的长，进而得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=CO，BO=DO，AB=CD=6， ∵AC+BD=16， ∴AO+BO=8， ∴△ABO的周长=AO+OB+AB=8+6=14． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算等知识；正确得出AO+BO的值是解题关键． 17. 如图，已知在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据半圆面积公式结合勾股定理，知等于以斜边为直径的半圆面积． 【详解】解： ． 18. 观察下列各式： ， ，……．请运用以上的方法化简________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了复合二次根式的化简，完全平方公式的应用；按照题中提供的方法进行化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 三、解答题（共8小题，满分66分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）10 【解析】 【分析】（1）先根据二次根式性质进行化简，然后按照二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据平方差公式和二次根式除法运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解：． 20. 如图，实数a、b在数轴上的位置，化简． 【答案】 【解析】 【分析】根据数轴可得，，则，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：由图可知，，，则， 原式 ． 21. 李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． （1）电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） （2）除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，则整个电视背景墙需要花费多少元？（结果化为最简二次根式） 【答案】（1）电视背景墙的周长为 （2）整个电视背景墙需要花费元 【解析】 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【小问1详解】 解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． 【小问2详解】 解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）． 答：整个电视背景墙需要花费元． 22. 如图，在中，是内一点，连接，且．已知． （1）求的周长； （2）求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）30 （2）24 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）根据勾股定理得出，再求出结果即可； （2）先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，，再根据求出结果即可． 【小问1详解】 解：， ， 的周长为． 【小问2详解】 解：由（1）知， ， ， 是直角三角形，， ． 23. 如图，平行四边形中，对角线，于点E，于点F， （1）求证：四边形是矩形． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：，， ， 在和中， ， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ∴四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的证明，矩形的判定与性质，三角形内角和定理，通过比值换算，求出角的度数，再通过三角形内角和计算是解题的关键． （1）要证明平行四边形是矩形，证明求得即可． （2）首先根据矩形的性质和得到，，则，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：四边形是矩形， ，， ， 在直角三角形中，， ． 24. 阅读材料：像，，…，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以消除分母中的根号，如：，请你解决以下问题： （1）的有理化因式是________（写出一个即可），________； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）先对各项分母有理化，然后合并即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴的有理化因式是，． 【小问2详解】 解：原式 ． 25. 阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE//BC，分别交AB，AC于点D，E，已知CD⊥BE，CD=3，BE=5，求BC+DE的值. 小明发现，过点E作EF//DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）. （1）请回答：BC+DE的值为　　； （2）参考小明思考的问题的方法，解决问题：如图3，□ABCD中，E是BC的中点，AE=9，BD=12，AD=10，求证：AE⊥BD. 【答案】（1） （2）过程见详解 【解析】 【分析】（1）由，，可得四边形DEFC是平行四边形，据此得DE=CF，DC=EF，继而得到，根据CD⊥BE得EF⊥BE，则有，得解； （2）过D点作，交BC的延长线于F点，在平行四边形ABCD中，有，，则有四边形AEFD是平行四边形，继而得到AD=EF=10，AE=DF=9，根据AD=BC=10，E点是BC中点，得BC=EF，，则在中，有，则是直角三角形，得到，即可得BD⊥DF，即推出AE⊥BD． 【小问1详解】 按小明作的辅助线进行解答， ∵，， ∴四边形DEFC是平行四边形， ∴DE=CF，DC=EF， 又∵CD⊥BE， ∴EF⊥BE， ∴在中，有， 已知CD=3，BE=5， 则有， 又∵， ∴． 【小问2详解】 过D点作，交BC的延长线于F点， 又∵在平行四边形ABCD中，有，， ∴四边形AEFD是平行四边形， ∴AD=EF=10，AE=DF=9， 又∵AD=BC=10，E点是BC中点， ∴BC=EF， ∴CF=BE=EC， ∴ ∴在中，BD =12， 有， 则是直角三角形，且， ∴BD⊥DF， 即AE⊥BD． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质、勾股定理等知识，按上一问的提示准确作出辅助线构建平行四边形是解答本题的关键． 26. 【问题情境】 （1）同学们我们曾经研究过这样的问题：已知正方形，点E在的延长线上，以为一边构造正方形，如图1所示，则和的数量关系为 ，位置关系为 ． 【继续探究】 （2）若正方形的边长为4，点E是边上的一个动点，以为一边在的右侧作正方形，如图2所示． ①请判断线段与有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由； ②连接，若，求线段长．爱动脑筋的小丽同学是这样做的：过点G作，你能按照她的思路做下去吗？请写出你的求解过程． 【拓展提升】 （3）在（2）的条件下，点E在边上运动时，则的最小值为 ． 【答案】（1）；；（2）①；，理由见解析；②，过程见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）延长交于J．证明，即可； （2）①延长，交的延长线于点H，证明，即可；②过点G作，证明，可得，再由勾股定理，即可求解； （3）作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则，根据题意可得点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4，从而得到，在中，根据勾股定理可得的长，由（2）得：，从而得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：（1）如图1中，延长交于J． ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：；． （2）①结论：；．理由： 如图，延长，交的延长线于点H， ∵四边形是正方形，四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②如图3，过点G作， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）如图4中，作点D关于直线的对称点T，连接，设交直线于点M，则， 由（2）得：可知，，， ∴， ∴点G的运动轨迹是直线，直线与直线之间的距离为4， 即， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 由（2）得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为∶． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称最短问题等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最值问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $