湖南省衡阳市常宁市2025-2026学年八年级数学下册期中质量检测试题卷（华师大版八年级下册）

**基本信息** 2026年常宁市八年级期中数学卷以原创现实情境题和梯度化探究设计为特色，融合本地旅游文化与核心素养考查，如塔山购物费用优化、几何旋转轨迹探究等题，体现数学应用与思维进阶。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|分式识别、科学记数法（2026高考人数）、象限判断、平行四边形性质、一次函数性质|结合时代数据（第2题），基础概念与图像辨析并重| |填空题|6/18|自变量取值、坐标对称、一次函数求值（过点P(1,2)）、两直线交点与方程组|原创函数应用（第13题），几何与代数结合（第15题）| |解答题|8/72|分式方程、化简求值、平行四边形证明、一次函数性质、塔山购物费用最省（第22题）、旋转轨迹探究（第23题）、等腰直角三角形综合证明（第24题）|现实情境建模（第22题）、分层探究（第23题三问）、逻辑推理与创新意识（第24题）|

2026年上期常宁市八年级下册期中质量检测数学试题双向细目表 本表旨在清晰呈现本次八年级期中数学检测的命题结构、考查重点及难度分布，为教学评价与复习备考提供科学依据。 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 选择题 3 分式的定义 0.85 2 选择题 3 科学记数法 0.80 3 选择题 3 平面直角坐标系（象限判定） 0.85 4 选择题 3 平行四边形的性质 0.75 5 选择题 3 一次函数的图象与性质 0.70 6 选择题 3 分式方程的应用（工程问题） 0.65 7 选择题 3 分式方程的解（含增根讨论） 0.55 8 选择题 3 反比例函数的性质（函数值比较） 0.60 9 选择题 3 一次函数与反比例函数图象共存问题 0.50 10 选择题 3 函数图象的实际应用（行程问题） 0.45 11 填空题 3 分式有意义的条件 0.85 12 填空题 3 坐标与图形（关于x轴对称） 0.80 13 填空题 3 一次函数解析式与求值 0.75 14 填空题 3 一次函数的定义 0.65 15 填空题 3 一次函数与二元一次方程组的关系 0.70 16 填空题 3 平行四边形性质与分类讨论 0.40 17 解答题 6 实数的混合运算（零指数、负指数） 0.75 18 解答题 6 解分式方程（含增根） 0.65 19 解答题 8 分式的化简求值 0.60 20 解答题 8 平行四边形的判定与性质证明 0.65 21 解答题 10 一次函数解析式与图象性质综合 0.55 22 解答题 10 分式方程与一次函数的实际应用（最优化） 0.50 23 解答题 12 K型全等模型”（一线三直角）以及一次函数的应用 0.45 24 解答题 12 几何变换与动点问题 0.35 命题分析与说明 1.难度分布结构： 容易题（难度系数 0.70）：主要集中在选择题前5题及填空题前3题，考查基础概念与简单运算，预估占比约30%。 中档题（0.50 ＜ 难度系数 ＜ 0.70）：涵盖大部分解答题及选择题中后段，侧重知识点的综合运用与逻辑推理，预估占比约50%。 难题（难度系数 ＜ 0.50）：集中在第10题、16题及第23、24题的压轴小问，考查数学建模、分类讨论及几何构造能力，预估占比约20%。 2.核心素养导向： 试卷注重考查运算能力（第17、19题）与几何直观（第4、20题）。 第22、24题特别强调数学建模与应用意识，要求学生能从实际情境中抽象出数学模型。 3.区分度设计： 第24题作为压轴题，设置了层层递进的设问，本题聚焦于几何变换中的“手拉手模型”（共顶点旋转全等），是历年中考和期中期末考试的绝对高频考点。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期常宁市八年级期中质量检测数学试题卷参考答案及解析 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1.C 分式的定义 分式的定义是形如（ B 中含有字母且）。 A项 中 π 是常数；B、D项是整式；C项 分母含字母，是分式。 2.B 科学记数法 将 69.1万=691000， 表示为,6.91×105的形式. 3.B 平面直角坐标系 点 （-3，2） 横坐标为负，纵坐标为正，位于第二象限。 4.D 平行四边形性质 平行四边形对边平行，故（A正确），平行四边形对角相等（B正确），对角线互相平分（C正确），但对角线不一定平分内角（D不一定成立）。 5.D 一次函数性质 A： k=<0，y随x增大而减小； B：图象经过一、二、四象限； C：向下平移3个单位应为 y=x−1； D：令 y=0，解得 x=4，交点为 （4，0）。 6.D 分式方程应用 设乙每小时加工 x 个，则甲每小时加工 x+20 个。 甲加工200个时间 = 乙加工160个时间，即 。 7.B 分式方程的解 解方程 得 x=。 解为负数： <0⇒a<1； 且分母 x+1≠0⇒x≠−1⇒a≠−1。 8.D 反比例函数性质 ， k<0，图象在二、四象限。 计算： y1=4,y2=−12,y3=−3。 故 y2<y3<y1。 9.A 函数图象综合 m>0 时，一次函数过一、二、三象限，反比例函数过一、三象限； m<0 时，一次函数过一、二、四象限，反比例函数过二、四象限。 只有A选项符合逻辑。 10.A 这次比赛的全程是500米。从图中可以看出，无论是甲队还是乙队，最终达到的路程都是500米，这表明比赛的全程确实是500米。因此，结论①正确。乙队先到达终点。从图中时间轴（横坐标）可以看出，乙队到达500米的时间点早于甲队，这意味着乙队确实先到达了终点。因此，结论②正确。比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快。从图中可以看出，在0到1.1分钟这段时间内，甲队的图线位于乙队之上，这表明在这段时间内，甲队的路程比乙队多，即甲队的速度比乙队快。因此，结论③错误。乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟。根据图示，乙队在1.1分钟时的路程为200米，到1.9分钟时达到500米，即在0.8分钟内行进了300米。因此，乙队在这段时间内的平均速度为300米/0.8分钟=375米/分钟。虽然题目中提到的是“相遇时”的速度，但根据图示，我们可以合理推断乙队在这段时间内的速度是恒定的，因此结论④正确。在1.8分钟时，乙队追上了甲队。为了验证这一点，我们需要计算甲队和乙队在1.8分钟时的路程。甲队的总时间为2分钟，总路程为500米，因此平均速度为250米/分钟。1.8分钟时，甲队的路程为250米/分钟 * 1.8分钟 = 450米。乙队在1.1分钟时的路程为200米，从1.1分钟到1.9分钟的平均速度为375米/分钟，因此从1.1分钟到1.8分钟的路程为375米/分钟 * (1.8-1.1)分钟 = 262.5米。因此，1.8分钟时乙队的总路程为200米 + 262.5米 = 462.5米。这表明在1.8分钟时，乙队的路程确实超过了甲队，但题目中说“追上了甲队”可能更准确地描述为“超过了甲队”。不过，根据题目要求，我们可以说结论⑤不完全正确，因为“追上”通常意味着两队在同一时间点处于同一位置，而实际上乙队已经超过了甲队。综上所述，正确的结论是 ①②④ 二、填空题（每小题3分，共计18分） 11. 答案： 解析： 分式有意义，分母 ，故 。 12. 答案： 解析： 关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。 13. 答案： 解析： 代入点P求k： 。函数为 。当 时， 。 14. 答案： 解析： 一次函数要求次数为1，即 ，解得 。又因为系数 ，所以 ，故 。 15. 答案： 解析： 交点坐标即为方程组的解。点A在 上，代入 得 。 16. 答案： 解析： ， ， 。 三、解答题（17、18每题6分,19、20题8分，21、22每题9分，23题12分，24题14分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17. (6分) 计算 解： 解析： 零指数幂为1，负指数幂 ，绝对值为2，算术平方根为3。 18. (6分) 解分式方程 解：原方程可化为： 两边同乘 得： 解得： 检验： 当 时，分母 ，故 是增根，原方程无解。 19. (8分) 化简求值 解： (注意：x不能取1和3，否则分母为0) 从1, 2, 3中选，只能选 x=2。当 时，原式 。 20. (8分) 演绎推理 方法一：证明： 四边形ABCD是平行四边形 且 ， 且 。 ，即 。 又 四边形EBFD是平行四边形（一组对边平行且相等）。 。 方法二：证明： ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴， 在 ∵， ∴ ∴DE=BF 21. (10分) 一次函数综合 解：(1) 正比例函数过原点 ： 。 (2) 平行于 ，则斜率相等： 。 (3) 不经过第四象限,则必经过一、三象限，需满足： ,解得： 。 22. (10分) 应用题 解：(1) 设溪水石斑鱼干每袋 元，则塔山山岚茶每袋 元。 解得 。 经检验， 是原方程的解。 答：溪水石斑鱼干20元/袋，塔山山岚茶25元/袋。 (2) 设购进塔山山岚茶 袋，则溪水石斑鱼干 袋。 由题意： ，故 。 总费用 。 ，W随n增大而增大。 当 时，W最小。 元。 23. (12分) K型全等模型”（一线三直角）以及一次函数的应用 解：1. 基础探究 答案： 点 的坐标为 。 解析： 过点 作 轴于点 。 因为 ，所以 。 在 中，，故 。 又因为 ，， 所以 (AAS)。 当 时，，。 由全等可知：，。 所以点 的横坐标为 ，即 。 2. 规律发现 答案： 点 的运动轨迹是一条固定的直线，解析式为 。 解析： 设点 的坐标为 ，其中 且 。 同第 1 问的证法，过 作 轴垂线，易 证 。 则 ，。 所以点 的横坐标为 ，纵坐标为 。即 。 设点 的坐标为 ，则： 消去参数 ，得 ，即 。 故点 始终在直线 上运动。 3. 最值挑战 答案： 线段 长度的最小值为 。 解析： 由第 2 问可知，点 在直线 （即 ）上运动。 求 的最小值，即求定点 到直线 的距离。 注意： 此处需验证垂足是否在点 的有效运动范围内。 直线 与 轴交点为 ，与 轴交点为 。 点 在 轴上，垂足坐标计算如下： 过 作 的垂线，斜率为 ，方程为 。 联立 ，解得 。 垂足 对应的 点横坐标 ，且 ，符合题意。 故最小值即为该距离：。 24. (12分) 几何变换中的“手拉手模型” 解：1. 证明推理 答案： 证明见解析。 解析： 因为 ，， 所以 ，即 。 在 和 中： 所以 (SAS)。 因此 。 在等腰直角 中，， 所以 。 故 。 即 。 因为点 在 上，所以 。 2. 数量关系 答案： 。 解析： 由第 1 问知 ，故 。 又由第 1 问知 ，即 为直角三角形（）。 在 中，由勾股定理得： 将 代入上式，得： 结论： 。 3. 拓展延伸 答案： 。 解析： 已知 ，则 。 由第 2 问知 ，且 。 在 中，。 若 为等腰三角形，则只能是 （因为 是斜边，必大于直角边）。 所以 。 又因为 ， 所以 ，解得 。 说明： 题目限定“边 上”，故 在线段 内部，不考虑延长线情况。在 中，，等腰直角三角形只能是 。故答案唯一：。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上期湖南省常宁市八年级期中质量检测数学试题卷 提示： 1.本学科试题共三道大题，满分120分，时量120分钟。 2.本学科试题的作答一律答在答题卡上，选择题用2B铅笔按涂写要求将你认为正确的选项涂黑；非选择题用黑色墨水签字笔作答，作答不能超出黑色矩形边框。直接在问卷上作答无效。 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共计30分） 1．下列式子是分式的是（　　） A. B. C. D. (原创)2．2026年湖南省高考报名人数为69.1万，较去年略有减少，这个数用科学记数法表示为（　　） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，点（-3，2） 所在的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，在▱ABCD中，下列结论中不一定成立的是（　　） A. B． C．AO = CO D． 5．对于一次函数，下列结论正确的是（　　） A．y随x的增大而增大 第4题图 B．函数的图象不经过第四象限 C．将函数的图象向下平移3个单位长度得到函数的图象 D．函数的图象与x轴的交点坐标是（4，0） 6．甲、乙两人加工同一种零件，甲比乙每小时多加工20个这种零件，甲加工200个这种零件所用的时间与乙加工160个这种零件所用的时间相等，甲、乙两人每小时各加工多少个这种零件？设乙每小时加工这种零件x个，可列方程为（　　） A． B． C． D． 7．若关于x的分式方程 的解是负数，则a的取值范围为（　　） A． B．且 C．且 D． 8．若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系为（　　） A． B． C． D． 9．在同一平面直角坐标系中，函数y＝mx+m与y＝（m≠0）的图象可能是（　　） A． B． C． D． 10．在市举办的“划龙舟，庆端午”比赛中，甲、乙两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，根据图象得到下列结论，你认为正确的结论是（　　） ①这次比赛的全程是500米 ②乙队先到达终点 ③比赛中两队从出发到1.1分钟时间段，乙队的速度比甲队的速度快 ④乙与甲相遇时乙的速度是375米/分钟 ⑤在1.8分钟时，乙队追上了甲队 A．①③④ B．①②⑤ C．①②④ D．①②③④⑤ 二．填空题（每小题3分，共计18分） 11．函数 中，自变量的取值范围是__________． 12．在平面直角坐标系中，点A(1，-3)关于x轴对称的点的坐标为__________． （原创）13．直线y＝kx+1经过点P（1，2），当x=-5时，y的值是________． 14．已知函数 为一次函数，则m等于__________. 15． 如图，在平面直角坐标系中，直线：与直线：交于点，则关于，的方程组的解为____________． 第15题图 第16题图 16.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=6，，的平分线BF，CE分别与边AD交于点F，E，且EF=2，则BC的长为________． 三、解答题（17、18每题6分,19、20题8分，21、22每题9分，23题12分，24题14分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．（6分）计算： 18．（6分）解分式方程：． 19．（8分）先化简，再从，，三个数中选择一个合适的数代入求值． 20． （8分）如图，已知点分别在平行四边形的边上，且. 求证：． 21．（10分）已知一次函数y＝（k﹣2）x + 2k﹣6． （1）若这个函数是正比例函数，求k的值．（3分） （2）若函数的图象平行于直线y＝﹣2x﹣3，求k的值；（3分） （3）若这个函数图象不经过第四象限，求k的取值范围．（4分） （原创）22．（10分）“最美常宁、最美塔山”，随着常宁旅游的发展，众多外地旅客来常宁塔山游玩，塔山有很多独特的美食，如溪水石斑鱼干、塔山山岚茶等，某商场计划购进一批溪水石斑鱼干和塔山山岚茶，已知一袋塔山山岚茶的价格比一袋溪水石斑鱼干的价格多5元，且用250元钱购进塔山山岚茶的袋数与用200元钱购进溪水石斑鱼干的袋数相等． （1）求溪水石斑鱼干、塔山山岚茶每袋各多少元？ （2）因塔山山岚茶更受人欢迎，为了满足客户需求，若商店要购进两种商品溪水石斑鱼干、塔山山岚茶共100袋，且塔山山岚茶袋数不少于溪水石斑鱼干袋数的两倍，假设购买塔山山岚茶为n袋，总费用为W元，怎样进货才能使所花的总费用W最少？并求出W的最小值． （原创）23．（12分）在平面直角坐标系中，已知点 ，点 。点 是 轴正半轴上的一个动点（不与点 重合）。将线段 绕点 顺时针旋转 得到线段 ，连接 。 【基础探究】：①请在平面直角坐标系中描绘点A和点B的位置； ②当点 的坐标为 时，求点 的坐标； 【规律发现】：随着点 的运动，判断点 的运动轨迹是否为一条固定的直线？若是，请求出该直线的解析式；若不是，请说明理由； 【拓展延伸】：在点 运动的过程中，求线段 长度的最小值。 （原创）24．(12分)已知 中，，。点 是边 上的一个动点（不与端点 重合）。以 为一边，在 的右侧作等腰直角 ，使得 ，且 。连接 。 1.证明推理：求证：无论点 在 上如何运动，始终有 ； 2.数量关系：探究并写出线段 、、 之间的数量关系，并给出严谨的证明； 3.拓展延伸：若 ，当 为等腰三角形时，请直接写出此时 的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $2026年上期衡阳市常宁市八年级期中质量检测数学答题卡 班级 贴条形码区域 选 姓名 择 考号 学校 题 ←本大题共10个小 12 45 6 7 0 10 [A][A][A][A][A] [A][A][A][A][A] 题，每小题3分，共 B]B][B][B][B] [B][B][B][B][B] Ic][c]Ic]Ic]Ic] [c][c][CI][C[c] 30分) D][D]D]D]D] DDDD]D可 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11、 12、 13、 14、 15、 16、 三、解答题（本大题共7小题，共72分） 17、(6分) 18、(6分) 19.(8分) 20.（8分) D C B 21.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效 22.(10分) 23.(12分) 个 3 24.（12分) E D