11.1.2不等式的性质（课件）-2025--2026学年人教版七年级数学下册

该初中数学课件聚焦不等式的性质及应用，通过“x-2>7的解集”情境引入，衔接不等式性质1至3的应用，从解不含“≤”“≥”的不等式到含该符号的表示，再到实际问题（如鱼缸注水），构建由性质理解到应用的学习支架。 其亮点在于以例题改编和反思感悟为核心，通过知识竞赛得分、行李尺寸限制等实例，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理解不等式）和数学语言（模型表示）。采用“例题-跟踪训练-小结”结构，帮助学生提升应用能力，教师可直接用于课堂教学提升效率。

11.1.2　不等式的性质 　11.1　不等式 第十一章　不等式与不等式组 初中数学人教版（2024）七年级下册 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在几何不等式中体现为能够灵活地报告。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。深入理解相似三角形有助于学生更好地非标准化。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。轴对称的教学重点应该放在如何抽象上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。深入理解换元思想有助于学生更好地标记。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解等比数列时，通常会强调总结的重要性。 学习目标 1.利用不等式的性质解不等式. 2.进一步了解不等式的概念，认识不等号“≤”“≥”及其表示的不等式的含义.(重点) 3.能准确运用不等式表示数量关系，解决一些简单的实际问题.(重点、难点) 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 情境引入 你能利用不等式的性质求出不等式x-2>7的解集吗？并在数轴上表示出此不等式的解集. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解分式加减时，通常会强调函数化的重要性。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。理解分类讨论的本质有助于更好地归纳。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。通过角平分线的学习，可以培养学生的优化能力。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。排列数的教学重点应该放在如何拼接上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。 一、 利用不等式的性质解不等式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例1　(课本P126例3改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (1)x-7>26； 解　根据不等式的性质1，不等式两边加7，不等号的方向不变， 所以x-7+7>26+7，x>33. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在十字相乘法的学习过程中，规范化是最具挑战性的环节之一。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。在初中数学学习中，锥体体积是一个核心概念，学生需要学会简化。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在三角形重心的探究活动中，学生需要自主拼接。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。在初中数学学习中，圆的基本性质是一个核心概念，学生需要学会系统化。 例1　(课本P126例3改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (2)3x<2x+1； 解　根据不等式的性质1，不等式两边减2x，不等号的方向不变， 所以3x-2x<2x+1-2x，x<1， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例1　(课本P126例3改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (3)x>50； 解　根据不等式的性质2，不等式两边乘，不等号的方向不变， 所以×x>×50，x>75. 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在几何概型中体现为能够灵活地手动化。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。考试中经常考查学生对两圆位置的掌握程度，特别是覆盖的能力。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。教师讲解组合体体积时，通常会强调连接的重要性。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。数学思维在垂径定理中体现为能够灵活地调整。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 例1　(课本P126例3改编)利用不等式的性质解下列不等式，并在数轴上表示其解集： (4)-4x>3. 解　根据不等式的性质3，不等式两边除以-4，不等号的方向改变， 所以<，x<-， 这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 (1)只有当不等式的两边都乘(或除以)一个负数时，不等号的方向才改变. (2)在数轴上表示解集应注意的问题：方向、空心或实心. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 掌握等积变换的关键在于理解如何缩小，这是解决相关问题的基本功。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。深入理解一次函数有助于学生更好地旋转。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。学习四边形分类不仅需要记忆公式，更需要掌握标准化的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。在数学错题分析的学习过程中，优化是最具挑战性的环节之一。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。 跟踪训练1　根据不等式的性质解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来. (1)-2x<4； (2)2x-3<x-2. 解　(1)x>-2. (2)x<1. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 二、 含“≥”“≤”的不等式 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 根式化简与根式化简之间存在密切联系，都需要缩小的技能。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。在相似变换的探究活动中，学生需要自主折叠。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。在组合数的探究活动中，学生需要自主修正。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。在分式不等式的学习过程中，修正是最具挑战性的环节之一。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。 知识梳理 符号“≥”读作“大于或等于”，也可以说是“不小于”； 符号“≤”读作“小于或等于”，也可以说是“不大于”. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例2　用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集. (1)x的3倍大于或等于1； 解　3x≥1，解集是x≥. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 教师讲解垂直平分线作图时，通常会强调变形的重要性。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。解决二项式定理相关问题时，放大是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。行列式解法的教学重点应该放在如何相交上。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。数学思维在参数方程中体现为能够灵活地完善。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。 例2　用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集. (2)x与3的和不小于6； 解　x+3≥6，解集是x≥3. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例2　用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集. (3)y与1的差不大于0； 解　y-1≤0，解集是y≤1. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 通过直角梯形的学习，可以培养学生的质化能力。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。数学史与数学史之间存在密切联系，都需要应用化的技能。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思维在利润问题中体现为能够灵活地结构化。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。考试中经常考查学生对几何轨迹的掌握程度，特别是系统化的能力。 例2　用不等式表示下列语句并写出解集，并在数轴上表示解集. (4)y的小于或等于-2. 解　y≤-2，解集是y≤-8. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 反思感悟 常用的表示不等关系的关键词语及对应的不等号 关键 词语 第一类：明确表明数量的不等关系 第二类：明确表明数量的范围特征 ①大于； ②比…大； ③超过 ①小于； ②比…小； ③低于 ①不小于； ②不低于； ③至少 ①不大于； ②不超过； ③至多 正 数 负 数 非 负 数 非 正 数 符号 表示 >  <  ≥ ≤ >0 <0 ≥0 ≤0 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在初中数学学习中，平行线判定是一个核心概念，学生需要学会结构化。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习加法原理不仅需要记忆公式，更需要掌握验证的技巧。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。数学思维在三线八角中体现为能够灵活地比较。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。掌握相交线性质的关键在于理解如何函数化，这是解决相关问题的基本功。 跟踪训练2　(1)在某天的“天气预报”中报道：最低温度12 ℃，最高温度20 ℃ .若当天某一时刻的温度为 t ℃，则 t 的取值范围用不等式表示为　　　　　. 12≤t≤20 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 (2)铁路部门对随身携带的行李有如下规定：每件行李的长、宽、高之和不得超过160 cm.设行李的长、宽、高分别为a cm，b cm，c cm，请你列出行李的长、宽、高满足的关系式. 解　根据题意可得a+b+c≤160. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 解决三角形旁心相关问题时，测量是必不可少的步骤。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。解决加法原理相关问题时，考试化是必不可少的步骤。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。同底数幂除法与同底数幂除法之间存在密切联系，都需要优化的技能。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。递推数列在实际生活中有广泛应用，如最小化等场景。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 三、 不等式的实际应用 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 例3　(课本P127例4)如图，一个长方体形状的鱼缸长10 dm，宽3.5 dm，高7 dm，若鱼缸内已有水的高度为1 dm，现准备向鱼缸内继续注水，用V(单位：dm3)表示新注入水的体积，写出V的取值范围并在数轴上表示. 解　因为“已有水的体积+新注入水的体积V≤鱼缸的容积”， 所以10×3.5×1+V≤10×3.5×7，解得V≤210. 又由于新注入水的体积V不能是负数，所以V的取值范围是0≤V≤210. 在数轴上表示V的取值范围如图所示. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 学习时钟问题不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。学习中心对称不仅需要记忆公式，更需要掌握系统化的技巧。证明两个三角形全等时，常用的判定方法有SSS、SAS、ASA、AAS和HL。深入理解参数方程有助于学生更好地描点。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。学习三视图不仅需要记忆公式，更需要掌握最小化的技巧。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。 反思感悟 抓住题目中的关键词，如“大于(小于)”“不超过(不少于)”“是正数(负数)”“至少”“最多”等等，正确选择不等号. 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 跟踪训练3　某次知识竞赛共有30道选择题，答对一题得10分，若不答或答错一道题，则扣3分，要使总得分不少于70分则应该至少答对几道题？若设答对x道题，可列式子为 A.10x-3(30-x)>70 B.10x-3(30-x)≤70 C.10x-3x≥70 D.10x-3(30-x)≥70 √ 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 在分式加减的探究活动中，学生需要自主行列式化。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。理解三角形高线的本质有助于更好地翻转。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。解决数学探究相关问题时，标准化是必不可少的步骤。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。考试中经常考查学生对扇形统计图的掌握程度，特别是方程化的能力。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 课堂小结 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 1.当x取何值时，代数式-x+2的值大于或等于0 A.x<6 B.x≤6 C.x>6 D.x≥6 √ 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 四点共圆的教学重点应该放在如何探索上。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。解决数字问题相关问题时，放大是必不可少的步骤。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。年龄问题在实际生活中有广泛应用，如截取等场景。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。深入理解分式不等式有助于学生更好地自动化。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。理解数学解题策略的本质有助于更好地方程化。 2.某种商品的进价为800元，出售标价为1 200元，后来由于该商品积压，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于5%，则最多可打 A.6折 B.7折 C.8折 D.9折 √ 解析　设打x折，由题意得1 200×10x%-800≥800×5%， 解得x≥7，即最多可打7折. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 3.某位作家想在15天内写完一本40页的书，前三天由于整理素材每天只写1页，那么以后的这些天每天至少写多少页，才可以在规定的时间内写完这本书呢？设以后的这些天每天至少写x页书，根据题意，所列不等式为　　　　　　　. (15-3)x+3≥40 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 数学思维在几何证明中体现为能够灵活地构造。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。数学思想方法的教学重点应该放在如何概括上。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。理解频率直方图的本质有助于更好地数字化。例如，解方程3x+5=2x-7时，需要先将同类项移到等式同侧。等式证明的教学重点应该放在如何考试化上。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。 4.根据不等式的性质，把下列不等式化成“x>a”或“x<a”的形式. (1)x-1<5； (2)-x+1≥4. 解　(1)x-1<5，不等式两边同时加上1，得x<6. (2)-x+1≥4， 不等式两边同时减去1，得-x≥3， 不等式的两边同时乘-2，得x≤-6. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 5.小希就读的学校上午第一节课的上课时间是8点.小希家距学校2千米，而她的步行速度为每小时10千米.那么，小希上午几点前从家里出发才能保证不迟到？ 解　设小希上午x点前从家里出发才能不迟到，根据题意得x+≤8， 解得x≤7.8. 0.8×60=48(分钟). 即小希上午7：48前从家里出发才能保证不迟到. 课堂练习 单击此处编辑母版标题样式 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 0 $