精品解析：山东临沂市兰陵县2025—2026学年度下学期阶段质量调研 九年级 数学 （二）

2025—2026学年度下学期阶段质量调研 九年级数学（二） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 数轴上点、点表示的有理数分别为、，点在线段上，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 3 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 根据2026年春节假期的最新数据，琅琊古城的人流量非常大，已成为现象级的网红景区，自2024年开放以来，琅琊古城累计接待游客万人次，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（　　） A. 50° B. 60° C. 65° D. 80° 7. 氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（ ） 反应一： 反应二： 反应三： 反应四： A. B. C. D. 8. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于( ) A. 18 B. 22 C. 24 D. 46 10. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________________． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，垂直于，则___． 14. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是_____________（只填写序号）． 15. 《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在，，1，2，3这五个数中选择一个你认为最合适的数代入求值． 17. 为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）随机抽取的学生数量为________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为_______度； （4）这次比赛成绩的中位数会落在_______分数段； （5）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？ 18. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 19. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标． 22. 解决问题 （1）如图1，在与中，，，连接，，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求的值． 23. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，如果抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期阶段质量调研 九年级数学（二） 第Ⅰ卷（选择题，共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题目要求） 1. 数轴上点、点表示的有理数分别为、，点在线段上，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. 0 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上点的位置关系是解题关键．根据数轴上点P的位置在和之间，再由选项中的数据可得点P表示的数． 【详解】解：因为点表示的有理数为，点表示的有理数为，点在线段上， 所以点表示的数大于等于且小于等于， 只有选项B符合要求． 故选：B． 2. 剪纸是中国优秀的传统文化．下列剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两边的部分互相重合，那么这个图形是轴对称图形，即可判断，掌握轴对称图形的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，该选项符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 、不是轴对称图形，该选项不符合题意； 故选：． 3. 根据2026年春节假期的最新数据，琅琊古城的人流量非常大，已成为现象级的网红景区，自2024年开放以来，琅琊古城累计接待游客万人次，将万用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将带“万”单位的数化为普通整数，再根据科学记数法的定义改写，科学记数法的形式为，要求满足，为整数； 【详解】解：万； 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握同底数幂的运算法则，单项式乘法法则以及幂的乘方与积的乘方法则． 分别对每个选项根据相应运算法则进行计算判断． 【详解】A、同底数幂相加，只有当指数和底数都相同才能合并，与底数相同但指数不同，不能直接相加，所以，该选项错误； B、，该选项错误； C、，该选项正确； D、，该选项错误． 故选：C． 5. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 6. 如图，OC是∠AOB的平分线，直线l∥OB．若∠1＝50°，则∠2的大小为（　　） A. 50° B. 60° C. 65° D. 80° 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质可求∠AOB，再根据角平分线的定义求得∠BOC，再根据平行线的性质可求∠2． 【详解】∵l∥OB， ∴∠AOB+∠1=180° ∴∠AOB＝180°﹣∠1＝130°， ∵OC是∠AOB的平分线， ∴∠BOC＝65°， ∴∠2＝∠BOC＝65°． 故选：C． 【点睛】考查了角平分线，平行线的性质，关键是熟悉两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补的知识点． 7. 氧化还原反应是化学学科的核心内容之一，对推动科技进步具有重要意义．氧化还原反应分为氧化反应和还原反应，这两种反应同时进行，通常一种物质化合价升高代表其发生了氧化反应，化合价降低代表其发生了还原反应．从以下四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是（ ） 反应一： 反应二： 反应三： 反应四： A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件发生的概率，根据化学方程式可知反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应，从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种，所以从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是． 【详解】解：反应一中元素的化合价降低了， 反应一中元素发生了还原反应， 反应二中元素的化合价有升高的也有降低的， 反应二中元素既有氧化反应又有还原反应， 反应三中元素的化合价升高了， 反应三中元素发生了氧化反应， 反应四中元素的化合价升高了， 反应四中元素发生了氧化反应， 反应三和反应四中的元素只发生的氧化反应， 画树状图如下： 从树状图中可以看出共有中等可能出现的情况，其中反应三和反应四同时出现的只有种， 从四个化学反应式中任意选出两个，元素只发生了氧化反应的概率是． 故选：D ． 8. 随着全球经济发展，环境保护受到国家的重视．李老师购置了电动汽车，这样他驾车上班比乘公交车所需的时间少用了12分钟，李老师家到学校的距离为8千米．已知电动汽车的平均速度是公交车的2倍，若设乘公交车平均每小时走千米，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据电动汽车与公交车平均速度间的关系，可得出电动汽车的平均速度是千米小时，利用时间路程速度，结合张老师驾车上班比乘公交车所需的时间少用了 12 分钟，即可列出关于的分式方程． 【详解】解：∵电动汽车的平均速度是公交车的2倍，且乘公交车平均每小时走千米， ∴电动汽车的平均速度是千米／小时． 根据题意得：， 即． 故选：D． 9. 如图，点F是ABCD的边AD上的三等分点，BF交AC于点E，如果△AEF的面积为2，那么四边形CDFE的面积等于( ) A. 18 B. 22 C. 24 D. 46 【答案】B 【解析】 【分析】连接FC，先证明△AEF∽△BEC，得出AE∶EC=1∶3，所以S△EFC=3S△AEF，在根据点F是□ABCD的边AD上的三等分点得出S△FCD=2S△AFC，四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC，再代入△AEF的面积为2即可求出四边形CDFE的面积. 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠EAF=∠ACB,∠AFE=∠FBC； ∵∠AEF=∠BEC， ∴△AEF∽△BEC， ∴==， ∵△AEF与△EFC高相等， ∴S△EFC=3S△AEF， ∵点F是□ABCD的边AD上的三等分点， ∴S△FCD=2S△AFC， ∵△AEF的面积为2， ∴四边形CDFE的面积=S△FCD+ S△EFC=16+6=22. 故选B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用与三角形的面积，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用与三角形的面积的相关知识点. 10. 小轩从如图所示的二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①abc＜0；②a＋b＋c＜0；③4ac﹣b2＞0；④ab；⑤b＋2c＞0．你认为其中正确信息的个数有（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数图象分别求出a，b，c的符号，进而得出x＝1或−1时y的符号，进而判断得出答案． 【详解】解：∵图象开口向下， ∴a＜0， ∵对称轴x＝＝， ∴3b＝2a，则a＝b， ∴b＜0， ∵图象与x轴交于y轴正半轴， ∴c＞0， ∴abc＞0，故选项①错误；选项④正确； ②由图象可得出：当x＝1时，y＜0， ∴a＋b＋c＜0，故选项②正确； ③抛物线与x轴有两个交点，则b2−4ac＞0，则4ac−b2＜0， 故选项③错误； ⑤当x＝−1时，y＝a−b＋c＞0， ∴b−b＋c＞0， ∴b＋2c＞0，故选项⑤正确； 故正确的有3个． 故选：B． 【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 分解因式：2x2﹣8=_______ 【答案】2（x+2）（x﹣2） 【解析】 【分析】先提公因式，再运用平方差公式． 【详解】2x2﹣8， =2（x2﹣4）， =2（x+2）（x﹣2）． 【点睛】考核知识点：因式分解.掌握基本方法是关键． 12. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数是非负数，根据二次根式有意义的条件可得：，解不等式可得的取值范围． 【详解】解：代数式在实数范围内有意义， ， 解得：． 故答案为： ． 13. 如图，在菱形中，对角线与交于点，且，，垂直于，则___． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，AO=CO=8，BO=DO=6，由勾股定理可求BC=10，由三角形的面积公式可求DH的长，即可求sin∠DCH的值． 【详解】∵四边形是菱形， ∴， ，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角函数定义，求DH的长度是本题的关键． 14. 小明利用学习函数获得的经验研究函数的性质，得到如下结论： ①当时，x越小，函数值越小； ②当时，x越大，函数值越小； ③当时，x越小，函数值越大； ④当时，x越大，函数值越大． 其中正确的是_____________（只填写序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】列表，描点、连线，画出图象，根据图象回答即可． 【详解】解：列表， x 1 2 y 3 3 5 描点、连线，图象如下， 根据图象知： ①当时，x越小，函数值越大，错误； ②当时，x越大，函数值越小，正确； ③当时，x越小，函数值越大，正确； ④当时，x越大，函数值越大，正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查二次函数、反比例函数与不等式等知识，解题的关键是理解题意，学会画出函数图象，利用图象解决问题，属于中考常考题型． 15. 《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值”，按照秦九韶算法，可先将多项式进行改写：按改写后的方式计算，它一共做了3次乘法，3次加法，与直接计算相比节省了乘法的次数，使计算量减少，计算当时，多项式的值为1008．请参考上述方法，将多项式改写为：__________，当时，这个多项式的值为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题干给出的秦九韶算法的改写规则，对目标多项式进行变形，再将代入变形后的代数式计算． 【详解】解：由秦九韶算法的改写方法可得： ， 当时，． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 16. 计算 （1）计算：． （2）先化简，再求值：，请在，，1，2，3这五个数中选择一个你认为最合适的数代入求值． 【答案】（1） （2）化简结果为，当时，原式的值为。 【解析】 【分析】（1）根据绝对值定义、乘方运算，特殊角的三角函数值，再进行合并计算即可； （2）先根据分式混合运算法则对式子进行化简，接着把符合题目条件的值代入到化简后的式子中进行计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 且， 取． 当时，原式． 17. 为了让学生紧跟信息时代步伐，提升信息技术素养，某校组织了一次全校2000名学生参加的“知识竞赛”，赛后发现所有参赛学生的成绩均不低于50分．为了更好地了解本次大赛的成绩分布情况，随机抽取了其中部分学生的成绩作为样本进行整理，得到下列不完整的统计图表： 成绩/分 频数 频率 10 0.05 20 0.10 30 0.30 80 0.40 请根据所给信息，解答下列问题： （1）随机抽取的学生数量为________，________，________； （2）请补全频数分布直方图； （3）若将成绩按上述分段方式画扇形统计图，则分数段对应的扇形的圆心角为_______度； （4）这次比赛成绩的中位数会落在_______分数段； （5）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优良”等，则该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有多少人？ 【答案】（1），， （2）解：补全频数分布直方图如图： （3） （4） （5） 【解析】 【分析】（1）计算公式：频率频数总数； （2）根据（1）中计算的的值，补全频数分布直方图即可； （3）乘以分数段对应的频率即可； （4）根据中位数的定义计算即可得出结果； （5）利用样本成绩在80分以上（包括80分）的频率乘以学校总人数计算即可． 【小问1详解】 解：随机抽取的学生数量为， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：分数段对应的扇形的圆心角为； 【小问4详解】 解：样本容量是，根据频数分布直方图可知，从小到大排列后，第个和个数据都在这个范围； 【小问5详解】 解：该校参加这次比赛的2000名学生中成绩“优良”等约有人． 18. 图1是某越野车的侧面示意图，折线段表示车后盖，已知，，，该车的高度．如图2，打开后备箱，车后盖落在处，与水平面的夹角． （1）求打开后备箱后，车后盖最高点到地面的距离； （2）若小琳爸爸的身高为，他从打开的车后盖处经过，有没有碰头的危险?请说明理由． （结果精确到，参考数据：，，，） 【答案】（1）车后盖最高点到地面的距离为 （2）没有危险,详见解析 【解析】 【分析】（1）作，垂足为点，先求出的长，再求出的长即可； （2）过作，垂足为点，先求得，再得到，再求得，从而得出到地面的距离为，最后比较即可． 【小问1详解】 如图，作，垂足为点 在中 ∵， ∴ ∴ ∵平行线间的距离处处相等 ∴ 答：车后盖最高点到地面的距离为． 【小问2详解】 没有危险，理由如下： 过作，垂足为点 ∵， ∴ ∵ ∴ 在中， ∴． ∵平行线间的距离处处相等 ∴到地面的距离为． ∵ ∴没有危险． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键． 19. 如图，直线l与相切于点A，是的直径，点C，D在l上，且位于点A两侧，连接，分别与交于点E，F，连接． （1）求证：； （2）若的半径，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用切线和直径的性质求得，再利用等角的余角相等即可证明； （2）先求得，，证明和是等腰直角三角形，求得的长，再证明，据此求解即可． 【小问1详解】 证明：∵直线l与相切于点A， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵直线l与相切于点A， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，切线的性质，勾股定理等知识点的应用，掌握切线的性质定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20. 某校开设智能机器人编程的校本课程，购买了A，B两种型号的机器人模型．A型机器人模型单价比B型机器人模型单价多200元，用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同． （1）求A型，B型机器人模型的单价分别是多少元? （2）学校准备再次购买A型和B型机器人模型共40台，购买B型机器人模型不超过A型机器人模型的3倍，且商家给出了两种型号机器人模型均打八折的优惠．问购买A型和B型机器人模型各多少台时花费最少?最少花费是多少元? 【答案】（1）A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元 （2）购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元 【解析】 【分析】（1）设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元，根据：用2000元购买A型机器人模型和用1200元购买B型机器人模型的数量相同即可列出关于x的分式方程，解方程并检验后即可求解； （2）设购买A型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元，根据题意可求出m的范围和W关于m的函数关系式，再结合一次函数的性质即可求出最小值 【小问1详解】 解：设A型编程机器人模型单价是元，B型编程机器人模型单价是元． 根据题意，得 解这个方程，得 经检验，是原方程的根． 答：A型编程机器人模型单价是500元，B型编程机器人模型单价是300元． 【小问2详解】 设购买A型编程机器人模型台，购买B型编程机器人模型台，购买A型和B型编程机器人模型共花费元， 由题意得：，解得． ∴ 即， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最小值11200，此时； 答：购买A型机器人模型10台和B型机器人模型30台时花费最少，最少花费是11200元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用和一次函数的性质，正确理解题意、找准相等与不等关系、得出分式方程与不等式是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数（）的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D两点． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，当的周长最小时，求出点P的坐标． 【答案】（1）一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 （2）点的坐标为 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象交点问题，待定系数法求函数的解析式，轴对称-最短路径问题，正确地求出函数的解析式是解题的关键． （1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，求得，解方程组即可得到结论； （2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接交y轴于P，则此时，的周长最小，根据轴对称的性质得到，得到直线的解析式为，当时，，于是得到点P的坐标为． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点，， ， ， 反比例函数的表达式为， 把代入得， ， ， ， 把，代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于， 此时，的周长最小， 点， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点的坐标为． 22. 解决问题 （1）如图1，在与中，，，连接，，求和的数量关系； （2）如图2，在与中，，，边和交于点，点在边上，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得和均为等腰直角三角形，则，再证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （2）连接，证明，得出，，再证明，得出，过点作于点，则，设，则，，由勾股定理求出，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵在与中，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接，如图： ∵在与中，，， ∴和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ∴设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 已知抛物线． （1）当时，求的值； （2）点是抛物线上一点，若，且时，求的值； （3）当时，把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线，如果抛物线与x轴的一个交点的坐标为，且，请求出的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是求解抛物线与x轴的交点坐标，抛物线的性质，求解抛物线的解析式，抛物线的平移，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）依据题意，由，结合，从而可以判断得解； （2）依据题意，，又，从而当时，函数有最大值为，又此时点是抛物线上一点，时，都有，进而，故可以得解； （3）依据题意，当时，抛物线为，从而表示出为，抛物线与轴的一个交点的坐标为，且，从而若当时，，结合二次函数的性质，，又抛物线与轴有交点，故，进而可以得解． 【小问1详解】 解：由题意，， 又， ， ， 或． 【小问2详解】 解：由题意，， ， ∴当时，函数有最大值为， 又此时点是抛物线上一点，时，都有， ， ． 【小问3详解】 解：由题意，当时，抛物线为， ∴把抛物线向下平移个单位长度得到新抛物线为， ∵抛物线与轴的一个交点的坐标为，且， 又若当时，， ， ∵开口向下， ， 又 ∵抛物线与轴有交点， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $