精品解析：2026年山东省淄博市周村区二模数学试题

2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 2. 《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 3. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 4. 如图，点，，，在圆上，若四边形是菱形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 9. 如图，线段的长是8，过点作射线，点在射线上，以为边在下方作正方形，连接，，当的面积最小时，的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 10. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（ ） A. 增加 B. 增加 C. 增加1 D. 增加 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 12. 因式分解：=___． 13. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____． 14. 如图，四边形为正方形，点在边上，以为直径的圆与相切．若，则的长是________． 15. 如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 17. 七年级一班和二班两个班的同学到某公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过40人可以购买团体票．每班的学生人数都超过40人．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下． 团体票购票价格一览表 人数 优惠方案 40人以上 方案一 八折优惠（） 方案二 5人免票，其他人九折优惠 （1）一班有55名学生，他该选择哪个方案更省钱，说明理由； （2）二班无论选择哪种方案付的钱是一样多，求二班有多少人． 18. 大模型是具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术；B．计算机视觉；C．自然语言处理；D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为________人； （2）在扇形统计图中，A所对应的圆心角度数是________°． （3）估计该校七年级800名学生中，观看主题“D．专家系统”的有________人； （4）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 21. 如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 22. 【问题情境】在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转（），得到矩形，点，，的对应点分别为，，．连接． 【特例感知】 （1）如图1，当落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当落在边上时，求的长； 【深入探究】 （3）当点，，在同一直线上时，连接，请直接写出的面积． 23. 如图，抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，点是此抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线交于点，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是轴负半轴一点，，点在此抛物线上，其横坐标为1，连接，，若点，分别为线段，上的动点，且保持，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平模拟考试 数学试题 本试卷共8页．满分150分，考试时间120分钟．考试结束后，将试卷和答题卡交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将毕业学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定的位置上，并核对粘贴的条形码是否与本人信息一致． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能写在试卷上． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案．需要在答题卡上作图时，可用2B铅笔，但必须把所画线条加黑． 4．答案不能使用涂改液、胶带纸、修正带修改．不按以上要求作答的答案无效．不允许使用计算器． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，满分40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个是正确的．错选、不选或选出的答案超过一个，均记零分． 1. 点在数轴上的位置如图所示，若点，表示的数互为相反数，则点表示的数可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是相反数与数轴的相关知识，理解相反数的几何意义（互为相反数的两个数在数轴上对应的点到原点的距离相等，符号相反）是解题的关键．先根据数轴确定点表示的数的范围，再利用相反数的定义，得到点表示的数的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：由图得，点在之间，若点，表示的数互为相反数，则点应在之间，符合的选项为． 故选：． 2. 《全民阅读促进条例》于2026年2月1日起施行，其旨在促进全民阅读，推进书香社会建设，推动建设社会主义文化强国．一个正方体的展开图如图所示，则折叠成正方体后与写有“阅”的面相对的面上的字是（ ） A. 全 B. 条 C. 例 D. 民 【答案】C 【解析】 【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，或者在“Z”字形两端． 【详解】解：观察图形可知：“全”与“读”相对，“民”与“条”相对，“阅”与“例”相对， ∴与写有“阅”的面相对的面上的字是“例”． 3. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 4. 如图，点，，，在圆上，若四边形是菱形，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，根据圆周角定理可得，再由圆内接四边形对角互补可得，进而可得答案． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 5. 已知，是正整数，且满足，则与的关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握幂的运算法则是解题关键． 【详解】解：左式，右式， ∴， 故． 6. 若，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 7. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？意思是：现有几个人共买一件物品，每人出8钱多出3钱；每人出7钱，还差4钱，问：人数、物价各是多少？若设物价是x钱，根据题意列一元一次方程，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际优应用，设物价是x钱，根据每人出8钱多出3钱可知有人，根据每人出7钱，还差4钱可知有人，根据人数不变建立方程即可得到答案． 【详解】解：由题意得，， 故选：B． 8. 二次函数的自变量x与函数y的部分对应值如下表： x … 1 2 … y … c 0 m … 给出下面三个结论： ①；②；③关于x的方程的两个根分别为，．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的开口方向，对称轴，与x轴的交点，与y轴的交点，逐一判断各结论，即可得到结果． 【详解】解：， ∵， ∴二次函数图象与y轴正半轴相交， ∵当时，；当时，， ∴二次函数的对称轴为， ∵二次函数图象过点， ∴函数的大致图象为： ∴二次函数图象开口向下， ∴， 故结论①错误，不符合题意； ∵二次函数图象过点，开口向下， ∴当时，， ∴， 故结论②正确，符合题意； ∵二次函数的对称轴为，函数图象过点， ∴二次函数过x轴的另一个交点为， ∴的两个根分别为， 故结论③正确，符合题意， ∴正确的结论为②③， 故选：C． 9. 如图，线段的长是8，过点作射线，点在射线上，以为边在下方作正方形，连接，，当的面积最小时，的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用勾股定理表示正方形面积，通过构造全等三角形求出和的高，进而用表示出的面积，利用二次函数性质求最小值时的值，最后计算的面积． 【详解】解：设，在中，， ． 过点作交于点，过点作交的延长线于点． 四边形是正方形， ， ，， ． 在和中， ． ． 同理可证， ， ． 当时，最小．此时，． ． 故选A． 10. 如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点．点从点出发，沿轴向右以每秒个单位长度的速度运动，以点为顶点作等腰直角三角形，点在反比例函数的图象上，点在轴上且在点的右侧，．则在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会（ ） A. 增加 B. 增加 C. 增加1 D. 增加 【答案】D 【解析】 【分析】求出反比例函数的解析式为，设，则，运动时间为t秒，则，可求出，根据，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，轴 ∴，， ∴， ∴反比例函数的解析式为； 设，则，运动时间为t秒 ∵点B在反比例函数的图象上， ∴ ∴ ； ∵等腰直角三角形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴在点运动过程中，时间每增加1秒，四边形的面积都会增加a． 二、填空题：本题共5小题，满分20分．只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 若有意义，则的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，进行判断即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查分式有意义的条件．熟练掌握分式的分母不为0时，分式有意义，是解题的关键． 12. 因式分解：=___． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解因式，直至分解彻底. 【详解】解：原式. 13. 如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____． 【答案】72° 【解析】 【分析】首先根据正五边形的性质得到AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°，然后利用三角形内角和定理得∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°，最后利用三角形的外角的性质得到∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°． 【详解】∵五边形ABCDE为正五边形， ∴AB=BC=AE，∠ABC=∠BAE=108°， ∴∠BAC=∠BCA=∠ABE=∠AEB=（180°−108°）÷2=36°， ∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°， 故答案为72°． 【点睛】本题考查的是正多边形和圆，利用数形结合求解是解答此题的关键． 14. 如图，四边形为正方形，点在边上，以为直径的圆与相切．若，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】令切点为，连接相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，于是，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点为，连接相交于点， ∵与相切， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ， 即分别是的中点， 又 ∵是的中点， ， ， ， ， ， ， 即， 整理得， 即， 或， （舍去）或，即． 15. 如图，下列图形都是由同样大小的△按一定的规律组成，其中第1个图形一共有2个△，第2个图形一共有8个△，第3个图形一共有18个△，…按此规律，则第100个图形中△的个数为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过观察前三个图形中三角形个数的具体数值，分析数值与图形序号之间的倍数关系，归纳出第个图形中三角形个数的通项公式，最后代入进行计算即可． 【详解】解：观察图形可知： 第1个图形一共有2个△，； 第2个图形一共有8个△，； 第3个图形一共有18个△，；  ， 由此规律可得，第个图形中△的个数为； 当时，． 三、解答题：本大题共8小题，共90分．要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算与解不等式组： （1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号内运算的顺序计算即可； （2）先分别求出两个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到不等式组的解集． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：  解不等式①得：， 解不等式②得： ， 则原不等式组的解集为． 17. 七年级一班和二班两个班的同学到某公园开展社会大课堂活动，公园门票每人40元，超过40人可以购买团体票．每班的学生人数都超过40人．公园购票处张贴着团体优惠购票的方案表格如下． 团体票购票价格一览表 人数 优惠方案 40人以上 方案一 八折优惠（） 方案二 5人免票，其他人九折优惠 （1）一班有55名学生，他该选择哪个方案更省钱，说明理由； （2）二班无论选择哪种方案付的钱是一样多，求二班有多少人． 【答案】（1）选择方案一，理由见解析 （2）二班有45人 【解析】 【分析】本题考查了有理数的乘法运算以及一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别算出方案一和方案二的费用，再进行比较，即可作答． （2）先设二班有人，再列出方程，然后解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， 选择方案一； 【小问2详解】 解：设二班有人， 根据题意得， 解得：， 答：二班有45人． 18. 大模型是具有大规模参数和复杂计算结构的机器学习模型，这些模型通常由深度神经网络构建而成，拥有数十亿甚至数千亿个参数．现有四场网络直播，这四场直播分别以“A．机器人技术；B．计算机视觉；C．自然语言处理；D．专家系统”为主题，对这四类人工智能分别进行讲解，这四场直播同时开始．某校组织七年级学生进行了线上观看，为更好的了解学生观看情况，通过抽样调查方式对部分学生进行问卷调查，对调查所收集的数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为________人； （2）在扇形统计图中，A所对应的圆心角度数是________°． （3）估计该校七年级800名学生中，观看主题“D．专家系统”的有________人； （4）请用画树状图或者列表法，求班内甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率． 【答案】（1）200 （2） （3）160人 （4） 【解析】 【分析】（1）由两统计图中C的人数及其占比即可求得被调查的学生总人数； （2）A所占的百分比与周角的积即是圆心角； （3）D所占的百分比与全校七年级学生数的积即是； （4）画出树状图，可得所有可能出现的结果，及甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的可能结果，由概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：人， 学校此次被调查的学生总人数为200人； 【小问2详解】 解：， 因此A所对应的圆心角度数是； 【小问3详解】 解：（人）， 全校七年级800名学生中估计有160人观看主题； 【小问4详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知，可能出现的结果共有16种，其中甲、乙同学选择同一场直播的结果有4种，即， 所以甲、乙两位同学选择同一场直播进行观看的概率为． 19. 如图1是钢琴缓降器，图2和图3是钢琴缓降器两个位置的示意图．是缓降器的底板，压柄可以绕着点旋转，液压伸缩连接杆的端点分别固定在压柄与底板上，已知． （1）如图2，当压柄与底座垂直时，约为，求的长； （2）现将压柄从图2的位置旋转到与成角（即），如图3的所示，求此时液压伸缩连接杆的长．（结果保留根号） （参考数据：；） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】（1）根据正切即为对边与邻边的比可得答案； （2）过点作，垂足为，在中，根据三角函数解直角三角形求出的值，根据求出的长度，然后根据勾股定理可得的长度． 【小问1详解】 解：在中，， 答：此时的长约为5cm； 【小问2详解】 过点作，垂足为， 在中，， ， ∴， 在中，， 答：此时液压伸缩连接杆的长约为cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用以及勾股定理，熟练利用三角函数解直角三角形是解本题的关键． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式． （2）求的面积． （3）将线段沿某一方向进行平移后得到线段，使得点落在反比例函数的图象上，点落在轴上，直接写出平移后点的坐标． 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把点的纵横坐标代入，求出，得反比例函数解析式为；把点代入得，得；把和代入，求出、的值即可； （2）由可求出，，得，根据可求解； （3）由点平移后在对应点在轴上，点的纵坐标为0，则可得线段向下平移1个单位，则点的纵坐标为，把代入得，故可得平移后点的坐标． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把点的纵横坐标代入，得， ∴， ∴反比例函数解析式为； 把点代入得， ∴； 把和代入得：， 解得， ∴一次函数解析式为：； 【小问2详解】 解：对于，当时，； ∴ ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴ ； 【小问3详解】 解：设， ∵点平移后在对应点在轴上， ∴点的纵坐标为0， ∴线段向下平移1个单位， ∴点的纵坐标为， 把代入得， 平移后点的坐标为． 21. 如图，为直径，，与相切，切点分别为，，连接交于点，连接交于点，连接． （1）求证：； （2）作射线交，分别于点，，若，，求的半径． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由切线长定理可得，又，则，所以，然后通过圆周角定理得，则，再由平行线的判定方法即可求证； （）连接，由切线长定理可得，所以，然后通过圆周角定理得，所以，故有，再由垂径定理得，所以，证明，则，再证明，所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， 与相切，切点分别为， ， ， ， ， 为直径， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 与相切，切点分别为， ， ， 为直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，可得， 的半径为． 22. 【问题情境】在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转（），得到矩形，点，，的对应点分别为，，．连接． 【特例感知】 （1）如图1，当落在的延长线上时，连接，判断四边形的形状，并说明理由； （2）如图2，当落在边上时，求的长； 【深入探究】 （3）当点，，在同一直线上时，连接，请直接写出的面积． 【答案】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下：如图，连接 矩形， ，由旋转的性质可知，，，， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形与旋转可推出，，即可得解； （2）连接、，过点作交于点，由矩形与旋转证明出，得到，，再证明，从而推出，，则，再结合勾股定理求解即可； （3）①过点作延长线于点，与的交点为；②过点作延长线于点，过点作于点，在直角三角形中，利用锐角三角函数求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接、，过点作交于点， 在矩形中，，， ，，， 由旋转的性质可知，，，， 在中，， ， ， ，即， 又， ， ，， ， 又 ， ， ， ，， ， 在中，； 【小问3详解】 解：①如图，过点作延长线于点，与的交点为， ，，， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ②如图，过点作延长线于点，过点作于点， ，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ． 综上可知，当点在同一条直线上时，的面积为或． 23. 如图，抛物线（）与轴交于点，，与轴交于点． （1）求此抛物线的表达式； （2）如图1，点是此抛物线上第一象限内的一点，过点作轴的垂线交于点，当时，求点的坐标； （3）如图2，点是轴负半轴一点，，点在此抛物线上，其横坐标为1，连接，，若点，分别为线段，上的动点，且保持，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入函数表达式求解即可； （2）根据以及可得，结合的正切值求解即可； （3）添加辅助线，先求解点与点的坐标，再由勾股定理的逆定理得到，利用边角边的方法证明与全等，由此可得，即当点，点，点三点共线时，最小，由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（）与轴交于点． ∴，解得， ∴抛物线为， 即此抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵点是此抛物线上第一象限内的一点， 设点，其中， ∵，且， ∴， ∵抛物线与轴交于点，， ∴点，点， ∴，， 在中，， 记的延长线与轴的交点为点，如图， ∵轴，即， ∴， 在中，， 则有， 整理可得， 解得或（舍）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点作，并截取，连接， 过点作轴于点，过点作轴于点，如图， ∵点是轴负半轴一点，， ∴点，即， 在中，， ∵点在此抛物线上，其横坐标为1， ∴点的纵坐标为， ∴点， ∵轴，轴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴，， 在中，， 在中，， ∵在中，， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵，， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 即当点，点，点三点共线时，最小， ∵，， 又∵， 在中，， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $