专题04勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 (19大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年沪科版八年级数学下册

专题04勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰勾股定理、逆定理的应用场景，区分两类定理在实际问题、几何问题中的用法。 2.掌握利用定理求解线段长度、判断三角形形状的相关知识点，熟记特殊直角三角形边长关系。 3.理解折叠、最短路径、网格、生活实际问题中隐含的直角模型，明确解题理论依据。 1.能从实际情境、复杂图形中抽象出直角三角形，实现图文转化。 2.熟练运用勾股定理列算式、方程求解边长、距离、高度等线段量。 3.会用逆定理判定直角，完成几何说理与简单证明，提升逻辑推理能力。 4.灵活运用转化、方程、分类讨论思想，解决综合性题型。 1.扎实完成选择、填空类基础应用题，做到审题准确、计算零失误。 2.规范解答题书写格式，步骤完整、逻辑清晰，规范几何语言表述。 3.突破最短路径、图形折叠、动点、生活应用题等高频重难点题型。 4.能综合结合三角形、四边形等知识解题，应对期末中档及压轴考题。 题型01.梯子滑落高度计算(高频) 题型02.求旗杆高度(高频) 题型03.小鸟飞行距离问题(高频) 题型04.求大树折断前的高度问题(高频) 题型05.解决水杯中筷子问题(高频) 题型06.解决航海问题 题型07.求河宽问题(高频) 题型08 求台阶地毯长度问题 题型09.汽车超速判断问题 题型10.台风影响判断(选练) 题型11.等距选址计算 题型12.求最短路径问题(高频) 题型13.由三边长判断直角三角形 题型14.网格中判断直角三角形 题型15.找两点构成直角三角形的点 题型16.勾股数问题 题型17.利用勾股定理的逆定理求解 题型18.勾股定理逆定理的实际应用 题型19.勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01:核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点04:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点05:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点06:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点07:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） (一)基本应用：直角三角形边长计算 适用场景：已知直角三角形两边，求第三边；已知一边及边角关系，求其余边长。 核心公式Rt △ABC， ∠C=90 a2+b2=c2 变形：c=​​；b= 解题要求：分清直角边、斜边，无图题注意分类讨论。 (二)特殊直角三角形应用（必考） 三角形类型 内角度数 三边比值 核心结论 & 应用 等腰直角三角形 90、45、45 1:1: 已知直角边求斜边，折叠、几何计算常用 含30直角三角形 90、60、30 1::2 30角对的直角边=斜边求高、边长高频, (三)网格中的应用 1.解题方法：利用网格横线、竖线互相垂直，直接构造直角三角形。 2.常考题型： 求网格内任意两点间线段长度； 求三角形周长、面积； 结合逆定理判断三角形形状。 3.解题步骤：数出水平、竖直方向线段长 → 套用勾股定理计算。 (四).图形折叠问题（期末大题重点） 1.折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，图形全等。 2.解题思路： ① 标出折叠后相等的线段； ② 设未知线段长为x； ③ 在图中找到现成直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 3.常见考法：矩形折叠、直角三角形折叠，求折痕长、线段长、重叠部分边长。 (五）最短路径问题 1. 平面内最短路径 依据：两点之间，线段最短。 方法：作对称点或直接构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 立体图形表面最短路径（圆柱、长方体） 核心思想：立体转平面，将立体图形侧面展开为平面图形。 解题步骤： ① 展开立体图形，画出平面展开图； ② 确定起点、终点位置，连接两点形成线段； ③ 构造直角三角形，用勾股定理计算最短距离。 知识点08:两大定理综合应用（期末中档 / 压轴题） 1. 组合图形问题（四边形、多边形） 解题思路：通过作高、连对角线，把四边形、多边形分割成多个直角三角形，交替使用勾股定理与逆定理解题。 2. 动点问题 特点：点在线段、射线上运动，线段长度动态变化。 方法：找准运动过程中不变的直角、不变边长，设动点产生的未知线段，列方程求解。 3. 证明平方关系式 题型：证明 a2+b2=c2、线段平方和 / 平方差等式。 思路：构造直角三角形，多次运用勾股定理进行等量代换。 知识点09:高频易错点（课堂重点强调） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接使用勾股定理； 2.逆定理使用错误：不找最长边，随意代入公式判断； 3.边长混淆：分不清直角边与斜边，公式代换计算出错； 4.审题失误：实际应用题不画图，理解错线段对应关系； 5.折叠问题：找不到全等对应边，无法列出方程； 6.立体最短路径：展开图绘制错误，直角三角形构造失误； 7.概念混淆：把小数、分数当成勾股数。 题型01.梯子滑落高度计算 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 【答案】 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据梯子的长度不变求出的长，根据即可求出结果． 【详解】解：在，，， 根据勾股定理得：， ， ， ， ， ． 2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，运用勾股定理求解是解题的关键． 由题意得，，，，，则，，先在中求出，再在中求出，即可由求解． 【详解】解：由题意，得，，，， ∴，， 在中，由勾股定理，得 ， 在中，由勾股定理，得 ， ∴， 即消防车需要从点处向点处移动的距离为． 故选：A． 3．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)21米 (2)6米 【分析】（1）在中，由勾股定理得；再加上消防车自身高度，即可得处到地面的距离； （2）先根据题意求出竖直高度，在中，由勾股定理得水平距离；则可得到消防车靠近的距离． 【详解】（1）解：根据题意可得，米，米，米， ∴在中，（米）， （米）， 答：B处与地面的距离是21米； （2）解：由题意得米． 米，（米）， （米）， （米）， 答：消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为6米． 题型02.求旗杆高度 4．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，米，米，，由勾股定理得：，解方程即可求出所求． 【详解】解：由题意得：米，米，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 则旗杆的长为米． 故答案为：． 5．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 【答案】A 【分析】设墙面高度为米，根据题意表示出绳子长度即斜边的长，在中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设墙面高度为米， 绳子紧贴墙面到点还多出米， 绳子的总长度为米， 绳子拉直后末端刚好接触地面， 斜边的长度等于绳子的总长度， 即， 在中，，， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 墙面的高度为米． 6．国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 【答案】(1)学校旗杆的高度为 (2)五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于 【分析】（1）设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为，再结合勾股定理计算即可得出结果； （2）根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设学校旗杆的高度为，则绳子的长度为， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴学校旗杆的高度为； （2）解：96厘米米， 米， ， ， 故五星红旗升起的平均速度不小于，且不大于． 题型03.小鸟飞行距离问题 7．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 【答案】A 【详解】解：根据题意得，点与点之间的距离是（米）． 8．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 9．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 过作于，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：如图，过作于， 则四边形是长方形， ，， ， 在中，， ， 答：至少需要的彩旗带． 题型04.求大树折断前的高度问题 10．《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 【答案】 【详解】解：设折断处离地面的高度是尺，则该直角三角形的斜边长为尺，由勾股定理可得： ， 解得：， 即折断处离地面的高度是尺． 11．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，， ∴这棵树在折断前的高度． 12．如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 【答案】(1)旗杆距地面3米处折断 (2)在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险 【分析】（1）设长为米，则长为米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意知，， 设长为米，则长为， 根据勾股定理得， 解得． 答：旗杆距地面3米处折断； （2）解：如图，设旗杆再次折断时，旗杆顶新的着地点为， 连接． （米）， （米）． （米）． 即距离旗杆底部周围6米的范围内有被砸伤的风险． 在距离旗杆底部5米处有被砸伤的风险． 题型05.解决水杯中筷子问题 13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是_____尺． 【答案】13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 14．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，能够使用勾股定理进行计算是解题的关键． 根据勾股定理求解即可． 【详解】解：由题可知，，，则， 在中，． 15．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 【答案】12尺 【分析】设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：水池的深度为12尺． 题型06.解决航海问题 16．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理在实际生活中的应用．根据两艘轮船的航行路线夹角为，构成直角三角形，再通过勾股定理计算两船距离即可解答． 【详解】解：东南方向与西南方向的夹角为， 两艘轮船的航行路线构成直角三角形， 第一艘轮船小时行驶的路程为（海里），第二艘轮船小时行驶的路程为（海里）， 根据勾股定理，两艘轮船的距离为（海里）， 故选：． 17．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是____________m． 【答案】1200 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理在直角三角形中的应用是解题的关键． 设航行时间为秒，用表示与的长度，在中用勾股定理列方程求，再计算乙航行的距离． 【详解】解：∵甲、乙两客轮同时从港口出发，航行时间相同，设为秒 ∴甲客轮航行的距离米，乙客轮航行的距离米 ∵，且两地的直线距离米 ∴在中，根据勾股定理，有 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴秒。 ∴乙客轮航行的距离是 故答案为： 1200． 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 题型07.求河宽问题 19．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，掌握先根据速度、时间求斜边长度，再利用勾股定理求直角边是解题的关键． 先根据舟艇的速度与行驶时间计算出的长度，再结合礁石到河岸的距离垂直于河岸确定是直角三角形，最后用勾股定理的变形公式计算的长度． 【详解】解：∵舟艇速度为，用时， ∴ ∵是礁石到河岸的距离， ∴，即是直角三角形 由勾股定理得： ． 故选：C． 20．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 21．如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 【答案】需要天才能把隧道凿通 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用；先根据三角形的内角和定理判断是直角三角形，再根据勾股定理求得的长，从而可以求得结果. 【详解】解：∵，， ∴， ∴是直角三角形， ∵，， ∴， ∵天， 答：需要天才能把隧道凿通． 题型08 求台阶地毯长度问题 22．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 【答案】 【分析】地毯的竖直的线段加起来等于，水平的线段相加正好等于，即地毯的总长度至少为． 【详解】解：如图， 在中，， ∴， ∴， ∴． 23．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 【答案】C 【分析】将台阶表面展开为长方形，利用勾股定理计算对角线长度即可． 【详解】将台阶面展开得到一个长方形， ∵ 每一级的长、宽、高分别为、、，且共有三级， ∴ 展开后长方形的长为，宽为， 根据勾股定理，蚂蚁爬行的最短路程为：． 24．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型09.汽车超速判断问题 25．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 【答案】/8米 【分析】设有效测温距离为的长，连接、，推理出，过点作于，易知，然后在分别求出、的长，进而可得的长． 【详解】解：设有效测温距离为的长，连接、，过点作于， ∵测温仪的有效测温距离为， ∴， 又测温仪与直线的距离为， 在中，据勾股定理得： ， 同理得， ∴， 即学生沿直线行走时测温的区域长度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． 26．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 【答案】是 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据勾股定理计算出的长度，进而计算出小汽车的速度，即可判断． 【详解】解：由题意知，，，， ， 小汽车从C到B用了， 小汽车的速度为， ， 小汽车是超速， 故答案为：是． 27．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型10.台风影响判断 28．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 29．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．若A城到的距离为，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】遭受台风影响的时间是小时 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用和等腰三角形的性质，设上点，，使千米，作，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间． 【详解】解：设上点，，使千米， 是等腰三角形， 作， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，160千米，由勾股定理得，（千米）， 则千米， 遭受台风影响的时间是：（小时）． 30．号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港受台风影响，理由见解析 (2)台风影响该海港持续的时间为小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出；利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （2）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：海港受台风影响，理由如下： ，，又， ， 是直角三角形，， 过点作于， ，即， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （2）如图，当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为小时． 题型11.等距选址计算 31．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理的内容是解题的关键． 直接由勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意可得，小明向正东方向走了 故选：B． 32．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 33．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 题型12.求最短路径问题 34．如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 【答案】 【分析】将立体侧面展为平面，依据两点之间线段最短，构造直角三角形，再利用勾股定理求出线段长度即可． 【详解】解：∵求圆柱表面蚂蚁爬行最短路程，需把圆柱侧面沿母线展开成长方形． ∵ 底面周长为， ∴ 展开后两点水平相距长为底面周长的一半，即为． ∵ 圆柱高为， ∴ 两点连线与两条线段构成直角三角形，两直角边长分别为、． 由勾股定理可得 ． 35．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分三种情况，结合勾股定理计算，并比较大小即可得出结果． 【详解】解：分三种情况： 如图①，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图②，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； 如图③，蚂蚁爬行的最短路线为， 此时； ∵， ∴一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是． 36．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 【答案】10 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，把长方体的侧面展开，然后求出其对角线的长度，即可求得最短路程． 【详解】解：由题意，得蚂蚁爬行的最短路径为，如图所示． 因为， 则， 所以，即蚂蚁爬行的最短距离为10． 题型13.由三边长判断直角三角形 37．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 【答案】B 【分析】利用勾股定理逆定理判断，若三角形三边中，较短两边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，逐项计算验证即可． 【详解】解：A选项，最长边为，， 不能构成三角形，更不能构成直角三角形，不符合题意； B选项，最长边为，，，即， 能构成直角三角形，符合题意； C选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意； D选项，最长边为， ， 不能构成直角三角形，不符合题意． 38．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，即，符合勾股定理逆定理，∴是直角三角形，故不符合题意； B、∵，∴，∴是直角三角形，故不符合题意； C、∵，∴，∵，∴，即，∴是直角三角形，故不符合题意； D、由可设，∵， ∴，解得：，∴，∴不是直角三角形，故符合题意． 39．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，掌握通过验证三角形三边的平方关系判断直角三角形是解题的关键． 将五根小棒分成两组，分别验证每组三边是否满足较短两边的平方和等于最长边的平方，以此判断能否构成直角三角形． 【详解】解：A、分组为、、和、、， ，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； B、分组为、、和15、20、24，，不满足勾股定理逆定理，不是直角三角形，不符合题意； C、分组为7、24、25 和、、，，满足逆定理，是直角三角形；，满足逆定理，是直角三角形，符合题意； D、分组为、、和、、，，，不满足逆定理，不符合题意． 故选：C． 题型14.网格中判断直角三角形 40．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A． 41．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，可得，然后利用平行线的性质可得，，从而利用等量代换可得，即可解答． 【详解】解：如图：连接CE， 由图可得：，，， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故选：B． 42．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 题型15.找两点构成直角三角形的点 43．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； . 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 44．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】解：如图所示，符合要求的点C的位置如图所示． 则符合要求的点C共有6个 45．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 【答案】(2，0)或（5，0） 【分析】先求出A，再求出，解得，则点B（2，3），分类讨论直角顶点，当点C为直角顶点时，当点B为直角顶点时，根据△ABC为等腰直角三角形即可求出点C坐标． 【详解】与轴交于点， ∴y=0，x=-1， ∴A(-1，0)， 直线与直线交于点， ， 解得， ∴B（2，3）， 当点C为直角顶点时， ∴BC⊥AC， ∴BC∥y轴， B、C横坐标相同，C（2，0）， 当点B为直角顶点时， ∴BC⊥AB， ，k=1， ∴∠BAC=45°， ∴△ABC为等腰直角三角形， ∴AB=， AC==6， AO=1， CO=AC-AO=5， C（5，0）， C点坐标为（2，0）或（5，0）． 故答案为：（2，0）或（5，0）． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，掌握直角三角形的顶点分两种情况讨论解决问题是关键． 题型16.勾股数问题 46．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 【答案】B 【分析】根据勾股数的定义，满足两较小数的平方和等于最大数的平方的三个正整数是勾股数，逐一验证各选项即可得到答案． 【详解】解：A、，是勾股数，不符合要求； B、，，，不满足条件，不是勾股数，符合要求； C、，是勾股数，不符合要求； D、，是勾股数，不符合要求． 47．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 【答案】 5 【分析】设正方形，，的边长分别为，，，根据勾股定理可知，结合正方形面积公式即可求解． 【详解】解：设正方形，，的边长分别为，，． 由题意得：，． 由勾股定理得：， ∴正方形的面积是5． 48．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股数的定义，三个正整数，两个较小数的平方和等于较大数的平方，这三个正整数构成一组勾股数，进行判定即可． 【详解】解：A、，，均为分数，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意； B、最大数为15，，，，故该选项不符合题意； C、最大数为，，满足平方和关系，故该选项符合题意； D、，，，不符合勾股数必须为正整数的要求，故该选项不符合题意． 49．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 【答案】(1)8，10；24，25 (2)勾股数为5、12、13或12、35、37 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题． （2）①根据题干中法则（Ⅰ）解决此题． ②根据题干给出的法则（Ⅰ）和（Ⅱ）进行分类讨论求解． 【详解】（1）解：依题意，6，8，10；7，24，25； （2）解：根据法则（Ⅰ），∵是大于1的奇数， ∴， 则或． 或（不是奇数，舍去）． ． ． 勾股数为5、12、13． 根据法则（Ⅱ）， 则或或， 或（舍去）或（舍去）． 则，， 勾股数为12、35、37． 综上所述，勾股数为5、12、13或12、35、37． 题型17.利用勾股定理的逆定理求解 50．在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：若一个三角形三边长为，且满足，则该三角形是直角三角形，边长为的边所对的角为直角．根据勾股定理逆定理即可求解． 【详解】解：∵在中，满足， 根据勾股定理逆定理，两条较短边的平方和等于最长边的平方，最长边所对的角是直角， ∴是斜边，斜边所对的角是， 因此． 51．已知，，，，，连接，则的度数为______． 【答案】 【分析】先使用勾股定理计算出，再根据勾股定理的逆定理判断出． 【详解】解：在中，， ∵， ∴． 52．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 53．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 【答案】见解析 【分析】在直角中，利用勾股定理计算出，再根据可判定，因此． 【详解】证明：在中，由勾股定理得， ∴， ∵ ∴ ∴是以为斜边的直角三角形，， ∴， ∴． 题型18.勾股定理逆定理的实际应用 54．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 55．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理与三角形面积公式，解题关键是先判定直角三角形，再利用面积法求点到直线的最短距离．先通过勾股定理的逆定理判断的形状，再利用三角形面积公式求出点到 （公路）的最短距离（即高）． 【详解】解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，． 点到公路的最短距离是中边上的高，根据三角形面积公式： 解得：． 故选：C． 56．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 【答案】(1)是；理由见解析 (2)原来的路线的长为 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理先证明是直角三角形，得出，根据垂线段最短，即可得出结论； （2）设，则，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：是；理由如下： 在中， ∵，， ， 是直角三角形， ， ∵垂线段最短， ∴是从村庄P到l的最近路线； （2）解：设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 答：原来的路线的长为． 题型19.勾股定理逆定理的拓展问题 57．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理即可求证； （2）根据即可求解． 【详解】（1）证明：由题可知，，． ∵， 即， ∴是直角三角形，且， ∴． （2）解：∵，，，， ∴． 答：修建的桥梁CD的长为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是掌握如果三角形的两边平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形． 58．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 59． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04勾股定理及其逆定理的应用期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.明晰勾股定理、逆定理的应用场景，区分两类定理在实际问题、几何问题中的用法。 2.掌握利用定理求解线段长度、判断三角形形状的相关知识点，熟记特殊直角三角形边长关系。 3.理解折叠、最短路径、网格、生活实际问题中隐含的直角模型，明确解题理论依据。 1.能从实际情境、复杂图形中抽象出直角三角形，实现图文转化。 2.熟练运用勾股定理列算式、方程求解边长、距离、高度等线段量。 3.会用逆定理判定直角，完成几何说理与简单证明，提升逻辑推理能力。 4.灵活运用转化、方程、分类讨论思想，解决综合性题型。 1.扎实完成选择、填空类基础应用题，做到审题准确、计算零失误。 2.规范解答题书写格式，步骤完整、逻辑清晰，规范几何语言表述。 3.突破最短路径、图形折叠、动点、生活应用题等高频重难点题型。 4.能综合结合三角形、四边形等知识解题，应对期末中档及压轴考题。 题型01.梯子滑落高度计算(高频) 题型02.求旗杆高度(高频) 题型03.小鸟飞行距离问题(高频) 题型04.求大树折断前的高度问题(高频) 题型05.解决水杯中筷子问题(高频) 题型06.解决航海问题 题型07.求河宽问题(高频) 题型08 求台阶地毯长度问题 题型09.汽车超速判断问题 题型10.台风影响判断(选练) 题型11.等距选址计算 题型12.求最短路径问题(高频) 题型13.由三边长判断直角三角形 题型14.网格中判断直角三角形 题型15.找两点构成直角三角形的点 题型16.勾股数问题 题型17.利用勾股定理的逆定理求解 题型18.勾股定理逆定理的实际应用 题型19.勾股定理逆定理的拓展问题 知识点01:核心公式 勾股定理的基本表达式为：在直角三角形中，设两条直角边为 a、b，斜边为 c，则a2+b2=c2 变形公式：c=,,b=​ 知识点02:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点03:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点04:勾股定理定理与逆定理 互逆命题 & 互逆定理 原命题（勾股定理）：直角三角形 ➬ 两直角边平方和 = 斜边平方（由角定边） 逆命题（勾股逆定理）：三边满足平方关系 ➫直角三角形（由边定角） 二者互为互逆定理，均为真命题。 知识点05:勾股数（逆定理配套知识点） 1.定义：满足 a2+b2=c2 的三个正整数，称为勾股数。 2.基本特征： 必须是正整数，小数、分数、无理数都不是勾股数； 若 (a,b,c 是勾股数，正整数倍 ka、kb、kc 也一定是勾股数。 3.常用基础勾股数（必背）： (3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 知识点06:纯几何题型：解题通用步骤（通用模板） 所有利用逆定理判定三角形形状、证明垂直的题目，严格遵循以下 4 步： 步骤 详细操作 关键要求 步骤 1 找出三角形三条边，确定最长边，记作 c 核心！必须以最长边作为公式中的 c 步骤 2 分别计算：两条短边的平方和 a2+b2、最长边的平方 c2 分开计算，不要合并出错 步骤 3 比较两个计算结果的大小 分三种情况判断三角形类型 步骤 4 下结论：判定形状 / 证明夹角为直角、两线垂直 书写规范，对应几何语言 知识点07:分题型精讲（理论 + 应用，附等量关系、例题思路） (一)基本应用：直角三角形边长计算 适用场景：已知直角三角形两边，求第三边；已知一边及边角关系，求其余边长。 核心公式Rt △ABC， ∠C=90 a2+b2=c2 变形：c=​​；b= 解题要求：分清直角边、斜边，无图题注意分类讨论。 (二)特殊直角三角形应用（必考） 三角形类型 内角度数 三边比值 核心结论 & 应用 等腰直角三角形 90、45、45 1:1: 已知直角边求斜边，折叠、几何计算常用 含30直角三角形 90、60、30 1::2 30角对的直角边=斜边求高、边长高频, (三)网格中的应用 1.解题方法：利用网格横线、竖线互相垂直，直接构造直角三角形。 2.常考题型： 求网格内任意两点间线段长度； 求三角形周长、面积； 结合逆定理判断三角形形状。 3.解题步骤：数出水平、竖直方向线段长 → 套用勾股定理计算。 (四).图形折叠问题（期末大题重点） 1.折叠核心性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，图形全等。 2.解题思路： ① 标出折叠后相等的线段； ② 设未知线段长为x； ③ 在图中找到现成直角三角形，利用勾股定理列方程求解。 3.常见考法：矩形折叠、直角三角形折叠，求折痕长、线段长、重叠部分边长。 (五）最短路径问题 1. 平面内最短路径 依据：两点之间，线段最短。 方法：作对称点或直接构造直角三角形，用勾股定理求线段长。 2. 立体图形表面最短路径（圆柱、长方体） 核心思想：立体转平面，将立体图形侧面展开为平面图形。 解题步骤： ① 展开立体图形，画出平面展开图； ② 确定起点、终点位置，连接两点形成线段； ③ 构造直角三角形，用勾股定理计算最短距离。 知识点08:两大定理综合应用（期末中档 / 压轴题） 1. 组合图形问题（四边形、多边形） 解题思路：通过作高、连对角线，把四边形、多边形分割成多个直角三角形，交替使用勾股定理与逆定理解题。 2. 动点问题 特点：点在线段、射线上运动，线段长度动态变化。 方法：找准运动过程中不变的直角、不变边长，设动点产生的未知线段，列方程求解。 3. 证明平方关系式 题型：证明 a2+b2=c2、线段平方和 / 平方差等式。 思路：构造直角三角形，多次运用勾股定理进行等量代换。 知识点09:高频易错点（课堂重点强调） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接使用勾股定理； 2.逆定理使用错误：不找最长边，随意代入公式判断； 3.边长混淆：分不清直角边与斜边，公式代换计算出错； 4.审题失误：实际应用题不画图，理解错线段对应关系； 5.折叠问题：找不到全等对应边，无法列出方程； 6.立体最短路径：展开图绘制错误，直角三角形构造失误； 7.概念混淆：把小数、分数当成勾股数。 题型01.梯子滑落高度计算 1．如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于时，如果梯子顶端下滑（即），那么梯子的底端向右滑动___________． 2．如图，已知消防云梯最长只能伸长到，消防车高，救援时云梯伸长至最长，在完成从高的A处救援后，还要完成比A处高的点C处的救援，则消防车需要从点B处向点D处移动的距离为（   ）． A．8 B．7 C．4 D．3 3．云梯消防车是常见的消防器械，云梯最多能伸长到30米，消防车高3米．如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为24米． (1)求B处与地面的距离； (2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方6米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，则消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型02.求旗杆高度 4．如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），聪明的小红发现：先测出垂到地面的绳子长，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离n，利用所学知识就能求出旗杆的长，若米，米，则旗杆的长为 ___________ 米． 5．如图，小外同学想测量墙面的高度，用卷尺发现长度不够，于是想到用课堂上学到的知识解决，他找到一根没有弹性的绳子，把绳子的一端挂到点，拉直紧贴墙面到点，发现绳子还多出0.5米：然后把绳子拉直，当绳子末端刚好接触地面时，量出米，则墙面的高度为（    ）米 A．6 B．5.5 C．5.2 D．5 6．国旗是一个国家的象征和标志，每周一次的校园升旗仪式让我们感受到祖国的伟大，心中充满了自豪和敬仰．某校“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动．他们制订了测量方案，测量结果如表（不完整）． 课题 测量学校旗杆的高度 成员 组长：×××组员：×××，×××，××× 工具 皮尺等 测量示意图 说明：线段表示学校旗杆，垂直地面于点B，如图1，并多出了一段，用皮尺测出的长度，第二次将绳子拉直，绳子末端落在地面的点D处 测量数据 测量项目 数值 图1中的长度 2米 图2中的长度 6米 … … … (1)根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出学校旗杆的高度； (2)该校礼仪队要求旗手在不少于45秒且不超过50秒的时间内将五星红旗从旗杆底部B处升至顶部A处，已知五星红旗沿着旗杆滑动的这一边长度为96厘米，求五星红旗升起的平均速度取值范围（计算结果精确到）． 题型03.小鸟飞行距离问题 7．南昌市“盛世华彩，豫章欢歌”烟花晚会在赣江水域震撼上演．5000架无人机通过高精度集群控制技术呈现闪耀五星、千里江山图、梦想之翼等九幕动态画面．在彩排期间，小杨在平地上操控无人机，从点处起飞，先垂直爬升3米，后水平飞行4米到达点处，如图所示，则点与点之间的距离是（    ） A．5米 B．米 C．6米 D．7米 8．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 9．如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的处向围墙上的处拉彩旗．已知墙和教学楼的水平距离米，教学楼高米，围墙高米，问至少需要多长的彩旗带？ 题型04.求大树折断前的高度问题 10．《九章算术》中有这样一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折高者几何？意思是：如图，一根竹子，原高1丈（1丈尺），风将其折断后，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，则折断处离地面的高度是______尺． 11．如图，一棵树在离地面处断裂，树的顶部落在离底部处，则这棵树折断前有（    ） A． B． C． D． 12．如图，一根直立的旗杆高8米，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离为4米． (1)求旗杆在距地面多高处折断； (2)工人在修复的过程中发现在折断点的下方1.25米的点处有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？ 题型05.解决水杯中筷子问题 13．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是_____尺． 14．“今有方池一丈，葭（jiǎ）生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问：水深几何？”这是我国数学史上“葭生池中”的问题．如图，，，，则是（    ） A．8 B．4 C．5 D．3 15．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇生长在的中点O处，高出水面的部分尺．将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度（1丈等于10尺）． 题型06.解决航海问题 16．一艘轮船以海里／小时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以海里／小时的速度向西南方向航行，离开港口小时，两艘轮船的距离是（   ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 17．如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口，甲客轮航行的速度是，乙客轮航行的速度是，一段时间后，甲到达地，乙到达地．若，两地的直线距离为1500m，且，则乙客轮航行的距离是____________m． 18．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 题型07.求河宽问题 19．如图，某地一游客因赶海涨潮被困在礁石上，消防救援人员利用舟艇接近被困人员，返回岸边时，受水流影响，实际上岸地点比原设定地点偏移了（）．已知舟艇以的速度，用时回到岸边点处，则礁石到河岸的距离为（   ） A． B． C． D． 20．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 21．如图，某工程队为修通铁路需凿通隧道，测得，，，，若每天开凿隧道，需要几天才能把隧道凿通？ 题型08 求台阶地毯长度问题 22．如图，在高为，坡角为的楼梯上铺地毯，地毯的长度至少应为______（结果保留根号）． 23．如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为、、，和是这个台阶上两个相对的端点，点处有一只蚂蚁，想到点处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点的最短路程是（   ） A．20 B．24 C．25 D．35 24．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型09.汽车超速判断问题 25．为加强疫情防控，云南某中学在校门口区域进行入校体温检测．如图，入校学生要求沿着直线单向单排通过校门口，测温仪C与直线的距离为，已知测温仪的有效测温距离为，则学生沿直线行走时测温的区域长度为______ 26．县城某一路段规定汽车行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在该路段上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪A的正前方的C处，过了后，小车到达B处，此时测得A、B间距离为，，这辆小汽车是否超速？_____（填“是”或者“否”） 27．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 题型10.台风影响判断 28．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 29．我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的B处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域．若A城到的距离为，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 30．号台风“烟花”风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)海港受台风影响吗？为什么？ (2)若台风中心的移动速度为千米/时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型11.等距选址计算 31．小明从家出发向正北方向走了60m，接着向正东方向走到离家100m远的地方，小明向正东方向走了（    ） A．60m B．80m C．100m D．160m 32．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 33．如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 题型12.求最短路径问题 34．如图，蚂蚁在所示的圆柱表面爬行，从点A爬到点B．若圆柱的高与底面周长均为，则蚂蚁爬行的最短路程为______cm． 35．如图，长方体的长，宽，高，点 M 在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 M ，需要爬行的最短距离是（     ） A． B． C． D． 36．如图，六块完全相同的长方体砖整齐地摆放在一起，其中．若一只蚂蚁要从点A处爬到点B处，则蚂蚁爬行的最短距离为多少？ 题型13.由三边长判断直角三角形 37．下列各组数中，能构成直角三角形的是（     ） A．1，1，1 B．1，2， C．3，4，6 D．2，3，4 38．的三边分别是a，b，c．下列条件中，不能判定是直角三角形的（      ） A． B． C． D． 39．五根小棒，其长度（单位：）分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型14.网格中判断直角三角形 40．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 41．如图，在的正方形网格中标出了和，则的度数为（　　） A． B． C． D． 42．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A．B． C． D． 题型15.找两点构成直角三角形的点 43．如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 44．如图，在由的小正方形组成的网格中，A，B两点在格点（网格线的交点）上，若点C在格点上，且是直角三角形，则符合要求的点C共有（   ） A．2个 B．4个 C．5个 D．6个 45．如图，已知直线与轴交于点与直线交于点，点为轴上的一点，若为直角三角形，则点的坐标为__________． 题型16.勾股数问题 46．下列各组数中，不是勾股数的一组是（    ） A．7，24，25 B．4，5，6 C．5，12，13 D．8，15，17 47．如图是一株美丽的勾股树，图中所有四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形，的面积分别为，，则正方形的面积是________． 48．我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．下列各组数中，是“勾股数”的是（   ） A． B．13，14，15 C． D． 49．同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等． (1)请你写出另外两组勾股数：6，___________，___________；7，___________，___________； (2)清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下： （Ⅰ）如果是大于1的奇数，那么是一组勾股数 （Ⅱ）如果是大于2的偶数，那么是一组勾股数 在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（Ⅰ）（Ⅱ），求出符合要求的所有勾股数； 题型17.利用勾股定理的逆定理求解 50．在中，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定 51．已知，，，，，连接，则的度数为______． 52．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 53．如图，在四边形中，，，，．连接，若，求证：． 题型18.勾股定理逆定理的实际应用 54．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 55．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路，经测量，，．现需修建一条小路从学校到公路，则这条小路的最短距离为（   ） A． B． C． D． 56．如图，在一条东西走向的公路l的一侧有一村庄P ，村庄P与公路l原来由两条笔直小路，相连接，其中，由于某种原因， 由村庄P到A的小路无法通行，现为方便村民运输农产品与出行，新建了一条公路（A， C， B在同一条直线上） ，测得， ，． (1)问是否为从村庄P到公路l的最近路线？请通过计算加以说明： (2)求原来的路线的长． 题型19.勾股定理逆定理的拓展问题 57．如图，在笔直的公路旁有一条河流，为方便运输货物，现要从公路上的D处建一座桥梁到达C处，已知点C与公路上的停靠站A的直线距离为，与公路上另一停靠站B的直线距离为，公路AB的长度为，且． (1)求证：； (2)求修建的桥梁的长． 58．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 59． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $