精品解析：2026年江西省新余市渝水区二模数学试题

2025－2026九年级下学期学业水平适应性考试数学试题卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 2. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. “笔、墨、纸、砚”被称为文房四宝，是中国独有的书法绘画工具，下图是一款砚台的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 5. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分，98分 B. 97分，98分 C. 98分，96分 D. 97分，96分 6. 如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2， 点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_______． 8. 年开年以来，新余市以“拉满弓”的奋斗姿态，将招商引资作为推动高质量发展的重要任务，据统计，年月，新余市新签约项目个，签约金额亿元．签约金额亿元用科学记数法表示为________． 9. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 10. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 12. 如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 16. 如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的上作点D，使得． （2）在图2中的上作点E，使得． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高5元/份，购买5份类材料和6份类材料共花费250元． （1）求、两类材料的单价； （2）仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 20. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 泡泡玛特的丑萌玩偶（如下左图所示）以其独特形象，深受大众喜爱．某校开展以“我最喜欢的款式”为主题的调查活动，围绕“精灵系列”、“糖果系列”、“森林系列＂以及＂隐藏款＂这四种款式中，你最喜欢哪一款（必选且只选一种）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取____名学生，调查的学生中，喜欢精灵系列的人数为____．扇形统计图中“森林系列”对应的扇形圆心角的度数为______； （2）如果该学校有1800名学生，估计最喜欢隐藏款的学生共有_____名： （3）玩偶的标志性尖耳可抽象为圆锥体，泡泡玛特公司计划为玩偶的尖耳设计圆锥形装饰帽．已知，尖耳底面半径长3厘米，高为4厘米，母线长5厘米．经测算，制作装饰帽所用材料是尖耳侧面积大小的倍，那么每个玩偶的装饰帽用料约为多少平方厘米？（π取3.14） 22. 我们把抛物线与称为“关联抛物线”， 例如：抛物线的“关联抛物线”为． （1）抛物线的“关联抛物线”为________________； （2）若抛物线，其顶点到轴距离为，且与它的“关联抛物线”形状相同，开口方向相反，求该抛物线的表达式； （3）若抛物线（，且）经过其“关联抛物线”的顶点， ①求该抛物线的对称轴； ②若时，的最大值为，则的值为______________． 六、解答题（本大题12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026九年级下学期学业水平适应性考试数学试题卷 考试时间：120分钟 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，错选、多选或未选均不得分． 1. 下列实数中，最小的是（ ） A. B. 1 C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用实数比较大小的基本规则：正数大于0和一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小即可得到答案． 【详解】解：∵正数大于0和一切负数， ∴排除正数1和0，只需比较两个负数和， ∵，，且， ∴， ∴， ∴最小的数是． 2. 下列城市地铁标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意． 3. “笔、墨、纸、砚”被称为文房四宝，是中国独有的书法绘画工具，下图是一款砚台的示意图，其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查简单几何体的三视图，理解视图的定义，掌握简单几何体的三视图的画法是正确解答的关键．画出这个砚台的俯视图即可． 【详解】解：这个砚台的俯视图为： 故选C． 4. 关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围为（ ） A. B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】结合一元二次方程的定义和根的判别式求解，一元二次方程要求二次项系数不为0，方程有实数根要求判别式，联立不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程， ∴二次项系数，得， ∵方程有实数根， ∴根的判别式，即 解得， 综上，k的取值范围是且． 5. 在光明中学组织的全校师生迎“五四”诗词大赛中，来自不同年级的25名参赛同学的得分情况如图所示．这些成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 96分，98分 B. 97分，98分 C. 98分，96分 D. 97分，96分 【答案】A 【解析】 【分析】利用众数和中位数的定义求解． 【详解】98出现了9次，出现次数最多，所以数据的众数为98分； 共有25个数，最中间的数为第13个数，是96，所以数据的中位数为96分． 故选A． 【点睛】本题考查了众数：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．也考查了中位数． 6. 如图，在中，，P是边上一动点（不与端点重合）．由旋转得到．下列说法：①的大小是变化的；②平分；③有最小值；④与成一次函数关系；⑤四边形的面积为定值．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得，，，则可证明，据此可判断①；根据等边对等角可得，据此可判断②；根据，且垂线段最短可判断③；根据可判断④；根据可判断⑤． 【详解】解：由旋转的性质可得，，， ∴， ∴， ∵是定角， ∴是定角，故①说法错误； ∵， ∴， ∴， ∴平分，故②正确； ∵，且垂线段最短， ∴当时，有最小值，即此时有最小值，故③正确； ∵， ∴， ∵的长是定值， ∴与成一次函数关系，故④正确； ∵， ∴四边形的面积为定值，故⑤正确； ∴正确的有4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 如图，数轴上A、B两点所表示的数分别是－4和2， 点C是线段AB的中点，则点C所表示的数是_______． 【答案】－1 【解析】 【分析】根据A、B两点所表示的数分别为−4和2，利用中点公式求出线段AB的中点所表示的数即可． 【详解】解：∵数轴上A，B两点所表示的数分别是−4和2， ∴线段AB的中点所表示的数＝（−4＋2）＝−1． 即点C所表示的数是−1． 故答案为−1 【点睛】本题考查的是数轴，熟知数轴上两点间的距离公式是解答此题的关键． 8. 年开年以来，新余市以“拉满弓”的奋斗姿态，将招商引资作为推动高质量发展的重要任务，据统计，年月，新余市新签约项目个，签约金额亿元．签约金额亿元用科学记数法表示为________． 【答案】 元 【解析】 【详解】解：亿元元元． 9. 已知多边形的内角和比它的外角和大，则多边形的边数为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设多边形的边数为，根据多边形内角和公式与任意多边形外角和为，结合题目条件列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得，， 解得， ∴这个多边形的边数为8． 10. 已知a和b是方程的两个解，则的值为________． 【答案】2028 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解和根与系数关系、代数式求值，先根据方程的解满足方程以及根与系数关系求得，，再代值求解即可． 【详解】解：∵a和b是方程的两个解， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：2028． 11. 《九章算术》中有一道关于古代驿站送倍的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，则规定时间为__________天， 【答案】11 【解析】 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用，找出等量关系是解题的关键．设规定时间为天，根据快马的速度是慢马的倍列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设规定时间为天，根据题意得： ， 整理得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解． 故答案为：11． 12. 如图，在长方形中，，．有一动点从点出发以的速度沿运动到点时停止．动点从点出发以的速度在线段上沿方向向点运动，，两点同时出发，当一点停止时另一个点同时停止运动，设运动的时间是．当________时，能使． 【答案】 或或 【解析】 【分析】分两种情况讨论：①当点在上时，利用直角三角形斜边大于直角边的性质判断无解；②当点在上时，用含的代数式表示和的长，根据列出绝对值方程求解，并检验的取值范围． 【详解】解：由题意得，点运动的总时间为，点运动的总时间为， 所以． 当时，点在上，点在上， 在中，． 因为，， 所以． 因为， 所以． 所以，即，不符合题意． 当时，点在上，点在上． 此时，两点都在线段上运动， 点运动的路程为，则，点运动的路程为，则． 因为， 所以． 所以． 由，得． 所以或． 即或． ①当时，或． 解得或． 因为， 所以舍去，符合题意． ②当时，或． 解得或． 因为， 所以和均符合题意． 综上所述，的值为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算、解不等式组 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别化简零指数幂、二次根式、特殊角三角函数值、负整数指数幂，再合并计算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再根据解集的确定法则得到不等式组的最终结果． 【小问1详解】 解：  【小问2详解】 解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：． 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的运算法则进行计算，再把代入，即可求出答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， 当时，原式． 15. 为庆祝建党100周年，某校开展“唱爱国歌曲，扬红船精神”大合唱活动．规律是：将编号为A，B，C的3张卡片（如图所示，卡片除编号和内容外，其他完全相同）背面朝上洗匀后放在桌面上，参加活动的班级从中随机抽取1张，按照卡片上的曲目演唱． （1）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，抽到C卡片的概率为 　　； （2）七年一班从3张卡片中随机抽取1张，记下曲目后放回洗匀，七年二班再从中随机抽取1张，请用列表或画树状图的方法，求这两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率． 【答案】（1）； （2）画树状图如下： 共有9种等可能的结果数，其中两个班恰好选择一首歌曲的有3种结果， 所以两个班级恰好抽到同一首歌曲的概率为＝． 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解即可； （2）根据题意先画树状图列出所有等可能结果数的，根据概率公式求解可得． 【详解】解：（1）小明随机抽取1张卡片，抽到卡片编号为C的概率为， 故答案为：； （2）略 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率与古典概率的求解方法，解题的关键是理解列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件． 16. 如图，这是的方格，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点A，B，C均在格点上，并画出了的外接圆，请仅用无刻度的直尺在给定的方格中按下列要求作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的上作点D，使得． （2）在图2中的上作点E，使得． 【答案】（1） 如图，点D即为所求， （2） 如图，点E即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理 ，锐角三角函数等知识，解题的关键是∶ （1）取格点D，连接即可； （2）取格点M，连接交于点即可． 【小问1详解】 解∶根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解∶根据勾股定理得，，，， ∴，，， ∴是直角三角形， ∴． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数在第一象限的图象交于和B两点，与x轴交于点C． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在x轴上，且的面积为5，求点P的坐标． 【答案】（1） （2）P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用点A在上求a，进而代入反比例函数求k即可； （2）设，求得C点的坐标，则，然后根据三角形面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】（1）把点代入，得， ∴ 把代入反比例函数， ∴； ∴反比例函数的表达式为； （2）∵一次函数的图象与x轴交于点C， ∴， 设， ∴， ∴， ∴或， ∴P的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，用待定系数法求出反比例函数的解析式等知识点，能用待定系数法求出反比例函数的解析式是解此题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. “端午临中夏，时清日复长”临近端午节时，新余市仙女湖景区为开展非遗手工体验活动，需采购两种材料：类夏布绣材料和类竹编材料．据了解，市场上类竹编材料的单价比类夏布绣材料高5元/份，购买5份类材料和6份类材料共花费250元． （1）求、两类材料的单价； （2）仙女湖景区计划采购两类材料共100份，且类数量不超过类的两倍，如何采购使总费用最低？最低费用是多少？ 【答案】（1） A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份 （2） 采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170元 【解析】 【分析】 （1）设A类材料单价，根据单价关系表示出B类单价，结合总花费条件列方程求解即可得到两类材料的单价； （2）设采购A类材料的数量，根据“A类数量不超过B类的两倍”得到自变量的取值范围，列出总费用的一次函数表达式，根据一次函数的增减性即可求出最低采购费用． 【小问1详解】 解：设A类材料的单价为元/份，则B类材料的单价为元/份， 根据题意得， 解得， 则， 答：A类材料单价为20元/份，B类材料单价为25元/份． 【小问2详解】 解：设采购A类材料份，总费用为元，则采购B类材料份， 根据题意得， 解得：， ∵为正整数， ∴的最大值为， 总费用， ∵，∴随的增大而减小， ∴当时，取得最小值，， 此时， 答：采购A类材料66份，B类材料34份时总费用最低，最低费用为2170元． 19. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小明同学安装的加热高锰酸钾制取氧气的化学实验装置，安装要求为试管口略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处．已知试管，试管倾斜角． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度； （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且（点，，在一条直线上），经测得：，求线段的长度．（参考数据：） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作于点，直接利用的余弦即可求出，从而得到的长度； （2）过点作于点，于点，过点作于点，先在中求出，，进而求出，，利用即可解决问题． 【小问1详解】 解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度为； 【小问2详解】 解：过点作于点，于点，过点作于点， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长度为． 20. 日晷仪也称日晷，是我国古代观测日影计时的仪器，主要是根据日影的位置，以指定当时的时辰或刻度．小明为了探究日晷的奥秘，在不同的时刻对日晷进行了观察．如图，日晷的平面是以点为圆心的圆，线段为日晷的底座，点为日晷与底座的接触点，与相切于点，点，，均在上，且为直径，，，为不同时刻晷针的影长，，的延长线分别与相交于点，，连接，，已知． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2） 【解析】 【分析】（1）由直径所得的圆周角为直角可得，，结合可得； （2）连接，由切线的性质可得，利用等腰三角形的性质和平行线的性质可得，从而证明，因此，代入数值计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵与相切于点， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 泡泡玛特的丑萌玩偶（如下左图所示）以其独特形象，深受大众喜爱．某校开展以“我最喜欢的款式”为主题的调查活动，围绕“精灵系列”、“糖果系列”、“森林系列＂以及＂隐藏款＂这四种款式中，你最喜欢哪一款（必选且只选一种）的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题： （1）在这次调查中，一共抽取____名学生，调查的学生中，喜欢精灵系列的人数为____．扇形统计图中“森林系列”对应的扇形圆心角的度数为______； （2）如果该学校有1800名学生，估计最喜欢隐藏款的学生共有_____名： （3）玩偶的标志性尖耳可抽象为圆锥体，泡泡玛特公司计划为玩偶的尖耳设计圆锥形装饰帽．已知，尖耳底面半径长3厘米，高为4厘米，母线长5厘米．经测算，制作装饰帽所用材料是尖耳侧面积大小的倍，那么每个玩偶的装饰帽用料约为多少平方厘米？（π取3.14） 【答案】（1）90，36， （2）240 （3）平方厘米 【解析】 【分析】（1）用喜欢糖果系列的人数除以喜欢糖果系列人数的百分比求出总人数，再求出喜欢精灵系列人数和森林系列对应的扇形圆心角的度数； （2）用1800乘以喜欢隐藏款的学生的比例即可求解； （3）先求出尖耳侧面积，再乘以即可求解． 【小问1详解】 解：（名）， 则本次调查共抽取了90名学生， 喜欢精灵系列的人数为：（名）， “森林系列”对应的扇形圆心角的度数为：； 【小问2详解】 解：（名）， 答：估计最喜欢隐藏款的学生共有名； 【小问3详解】 解：尖耳侧面积（平方厘米）， 装饰帽用料约：（平方厘米）． 答：每个玩偶的装饰帽用料约为62.8平方厘米． 22. 我们把抛物线与称为“关联抛物线”， 例如：抛物线的“关联抛物线”为． （1）抛物线的“关联抛物线”为________________； （2）若抛物线，其顶点到轴距离为，且与它的“关联抛物线”形状相同，开口方向相反，求该抛物线的表达式； （3）若抛物线（，且）经过其“关联抛物线”的顶点， ①求该抛物线的对称轴； ②若时，的最大值为，则的值为______________． 【答案】（1） （2） （3）①； ②或 【解析】 【分析】本题考查二次函数的解析式、顶点坐标及对称轴，解决本题的关键是根据“关联抛物线”的定义得到新抛物线的解析式． (1)根据“关联抛物线”的定义得到新抛物线的解析式； (2)根据“关联抛物线”的定义得到新抛物线的解析式，根据抛物线的顶点到轴的距离为，可得，根据抛物线与它的“关联抛物线”形状相同，开口方向相反，可得：，即可求出、的值； (3)①抛物线（，且）经过其“关联抛物线”的顶点，求出、的关系式，得到抛物线的解析式，再根据抛物线对称轴公式即可求出抛物线的对称轴； ②已知抛物线的解析式和对称轴，分抛物线开口向上和向下两种情况求出的值． 【小问1详解】 解：由题意可知，抛物线的“关联抛物线”为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由题意可知，抛物线的“关联抛物线”为， 抛物线的顶点坐标为， 抛物线，其顶点到轴距离为， ， ， 两条抛物线的形状相同，开口方向相反， ， 当时， 可得：， 解得：， 则(不符合题意，舍去)， 当时， 可得：， 解得：， 即， 抛物线的表达式为； 【小问3详解】 解：抛物线的“关联抛物线”为， ①的顶点坐标为， ， 整理得：， 解得：或， ， ， 抛物线的对称轴为； ②解：， 抛物线的解析式为， 当，即时， 抛物线开口向上， ，，， 当时，有最大值， 最大值为， ， ； 当，即时， 抛物线开口向下， 当时，有最大值， 最大值为， ， ； 综上所述，或. 六、解答题（本大题12分） 23. 【综合与实践】 【课本再现】 人教版九年级上册数学教材第60页有一例题：点是正方形中边上任意一点，以点为中心，把顺时针旋转，画出旋转后的图形．由作图过程可以得出．由此，老师进行了延伸拓展，与同学们一起探究． 【例题延伸】 （1）如图1，在正方形中，点E，F分别是边，上的动点，且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，使与重合，试求，，之间有什么数量关系？并说明理由； 【类比探究】 （2）如图2，在矩形中，已知，，点为边延长线上一点，连接，过点作于点，交于点． ①求的值； ②求的值； 【拓展应用】 （3）如图3，在（2）的条件下，平移线段，使它经过的中点，交于点，交于点，连接，若，请你求出的长． 【答案】 （1）．理由如下： 是绕点顺时针旋转得到的， ，，． 四边形是正方形， ，， ， ， ，D，G三点共线． ，， ， ， ， ． ， ， ． （2）①；②；（3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质以及旋转的性质证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）①证明，根据相似三角形的性质即可得出结论； ②根据相似三角形的性质以及已知条件可得，设，则，勾股定理可得出，进而根据余弦的定义，即可求解； （3）由平移的性质可得，．由，设，，勾股定理可得，根据的长得出，进而在中，，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：（1）略 （2）①， ． 在矩形中，，， ， ， ， ． ， ． ②，， ． 设，则， ， ． （3）由平移的性质可得，． 点为的中点， 垂直平分， ． ， 设，， ， ． ， ， 解得， ． ，设， ． 在中，， 解得或（舍去）， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $