期末综合自测卷 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 北师大版七年级下册数学期末卷，90分钟100分，通过整式运算、三角形全等、概率计算及销售建模等题，考查抽象能力、推理意识与模型观念，适配期末综合测评。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|整式乘除、三角形三边关系、概率事件判断|基础概念辨析，如第3题三角形内角和必然事件| |填空题|8/24|科学记数法、平行线角度求和、中线面积计算|核心性质应用，如第12题平行线间角度推理| |解答题|6/46|最短路线（轴对称）、销售建模（变量关系）、游戏公平性分析|综合能力考查，如22题等边三角形中EF+CF最小值，24题销售额与时长关系建模|

北师大版七年级下册数学期末综合自测卷 考试时长：90分钟 满分：100分 姓名：________ 班级：________ 学号：________ 得分：________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 每小题给出四个选项，只有一项符合题目要求。 1. 下列关于幂的运算与整式公式的计算，结果正确的是（） A. B. C. D. 2. 已知一个角的余角为35°，则这个角的补角度数为（） A. 55° B. 125° C. 145° D. 165° 3. 下列事件中，属于必然事件的是（） A. 任意掷一枚质地均匀的骰子，点数为6 B. 打开电视机，正在播放动画片 C. 三角形的内角和为180° D. 随机抽一张扑克牌，是红桃 4. 下列各组线段长度，能构成三角形的是（） A. 2cm、3cm、5cm B. 3cm、4cm、8cm C. 4cm、5cm、6cm D. 1cm、2cm、4cm 5. 下列平面图形的相关描述中，属于轴对称图形的是（） A. 任意不等边三角形 B. 平行四边形 C. 等腰三角形 D. 任意梯形 6. 在路程不变的行走过程中，关于行走速度和行走时间的变量关系，下列说法正确的是（） A. 速度是自变量，时间是因变量 B. 时间是自变量，速度是因变量 C. 路程是自变量，速度是因变量 D. 路程是因变量，时间是自变量 7. 同一平面内，两条平行线被第三条直线所截，若一组同旁内角的度数之比为2:3，则较小角的度数为（） A. 72° B. 108° C. 36° D. 54° 8. 已知，，则的值为（） A. 19 B. 25 C. 31 D. 9 9. 一个不透明的盒子中装有3个红球、2个白球和1个黑球，所有球除颜色外完全相同，随机摸出一个球，摸到白球的概率为（） A. B. C. D. 10. 下列关于三角形全等与轴对称的综合说法，正确的是（） A. 全等三角形一定关于某条直线轴对称 B. 关于某条直线轴对称的两个三角形一定全等 C. 等腰三角形的对称轴是底边 D. 两边对应相等的两个三角形一定全等 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 请将答案直接填写在对应横线上。 11. 某种微小颗粒物的直径为0.000042米，用科学记数法表示该数据为________ 12. 如图，a//b，M、N分别在a、b上，P为两平行线间一点，那么∠1+∠2+∠3=________ 13. 某小组做重复试验，累计试验100次，其中事件A发生35次，则事件A发生的频率为________。 14. 在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，则与∠C相邻的外角度数为________°。 15. 若是完全平方式，则m的值为________。 16. 已知点P在一条线段的垂直平分线上，点P到线段一个端点的距离为8cm，则点P到线段另一个端点的距离为________cm。 17. 已知一个长方形的长为x cm，宽比长少2cm，设长方形的面积为y cm²，则y与x的变量关系式为________。 18. 在△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABD的面积为12，则△ABC的面积为________。 三、解答题（本大题共6小题，共46分，解答应写出必要的文字说明、推理过程、演算步骤） 19.（6分）先化简，再求值：，其中，。 20.（7分）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1=∠2，∠D=∠3+50°，∠CBD=70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C的度数． 21.（7分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD． 22.（8分）如图，等边△ABC的边长为4，AD是BC边上的中线，F是AD边上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，当EF+CF取得最小值时，求∠ECF的度数 23.（8分）某不透明袋子中装有若干个除颜色外完全相同的小球，其中有4个黄球，其余为白球。现将球搅匀后，随机摸出一个球记下颜色后放回，重复试验200次，其中摸到黄球的次数为80次。 （1）估计摸到黄球的概率； （2）求袋子中白球的数量； （3）若在原有球的基础上放入2个红球，判断摸出红球和黄球的可能性是否相同，并说明游戏是否公平。 24.（10分）（10分）某水果店售卖草莓，售价固定，每日销售额随售卖时间变化而变化。设售卖时长为小时（自变量），销售额为元（因变量），部分售卖数据如下表： 售卖时长（小时） 1 2 3 4 销售额（元） 80 160 240 320 （1）根据表格数据，写出与的变量关系式； （2）分析销售额随售卖时长的变化趋势； （3）若当日草莓全部售完用时6.5小时，求当日总销售额； （4）若当日固定成本为150元，求售卖5小时后的纯利润。 双向细目表 题号 考查知识点 题型 分值 1 整式的乘除、乘法公式基础运算 选择题 3 2 相交线与平行线（余角、补角计算） 选择题 3 3 概率初步（事件分类判断） 选择题 3 4 三角形（三边关系判定） 选择题 3 5 图形的轴对称（轴对称图形识别） 选择题 3 6 变量之间的关系（自变量、因变量识别） 选择题 3 7 相交线与平行线（平行线性质、角度计算） 选择题 3 8 整式乘除（完全平方公式变形求值） 选择题 3 9 概率初步（等可能事件概率计算） 选择题 3 10 三角形全等、图形轴对称综合辨析 选择题 3 11 整式乘除（负整数指数幂、科学记数法） 填空题 3 12 平行线的性质与角度求和推理 填空题 3 13 概率初步（频率计算） 填空题 3 14 三角形（内角和定理、外角性质） 填空题 3 15 整式乘除（完全平方公式变形应用） 填空题 3 16 图形的轴对称（线段垂直平分线性质） 填空题 3 17 变量之间的关系（关系式书写） 填空题 3 18 三角形（中线性质、面积计算） 填空题 3 19 整式乘除、乘法公式综合化简求值 解答题 6 20 相交线、平行线的性质与角度推理计算 解答题 7 21 三角形性质、全等三角形判定证明 解答题 7 22 轴对称-最短路线问题、等边三角形的性质 解答题 8 23 频率与概率、游戏公平性分析 解答题 8 24 变量之间的关系综合应用（表格、关系式、实际建模） 解答题 10 参考答案及分步评分细则 （一）选择题答案及详细解析（每题3分，共30分） 1. 答案：B 解析：根据整式幂的运算公式逐一判断：A选项，同底数幂相乘，底数不变指数相加，，计算错误；B选项，积的乘方与幂的乘方，，计算正确；C选项，同底数幂相除，底数不变指数相减，，计算错误；D选项，完全平方公式展开，遗漏交叉项，计算错误。 2. 答案：B 解析：若一个角的余角为35°，则该角度数为；根据补角定义，该角的补角度数为。 3. 答案：C 解析：必然事件是一定发生的事件。A、B、D选项均为随机事件，可能发生也可能不发生；根据三角形内角和定理，三角形内角和恒为180°，是必然事件。 4. 答案：C 解析：三角形三边关系核心：任意两边之和大于第三边。A选项、B选项、D选项，均不满足三边关系；C选项、、，可以构成三角形。 5. 答案：C 解析：轴对称图形定义：沿一条直线折叠，直线两侧部分能完全重合的图形。任意不等边三角形、普通平行四边形、任意梯形均无对称轴，不是轴对称图形；等腰三角形沿底边上的高折叠可完全重合，属于轴对称图形。 6. 答案：B 解析：路程不变时，行走时间随行走速度的变化而变化。主动变化的量为自变量，被动变化的量为因变量，因此时间是自变量，速度是因变量，路程为常量。 7. 答案：A 解析：平行线性质：两直线平行，同旁内角互补，即两角和为180°。设两角分别为、，可得，解得，较小角为。 8. 答案：A 解析：完全平方公式变形：。代入，，得原式。 9. 答案：B 解析：等可能事件概率公式：。总球数：个，白球2个，因此摸到白球概率。 10. 答案：B 解析：A选项，全等三角形位置任意，不一定轴对称；B选项，轴对称的两个图形完全重合，对应三角形一定全等，说法正确；C选项，等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，不是底边（线段）；D选项，两边对应相等，缺少夹角相等条件，无法判定三角形全等。 （二）填空题答案及详细解析（每题3分，共24分） 11. 答案： 解析：绝对值小于1的数用科学记数法表示为（），n为原数左边第一个非零数字前的0的个数。0.000042左边第一个非零数字前有5个0，故表示为。 12. 答案： 解析：过 P 作直线 ， 13. 答案：0.35 解析：频率计算公式：。代入数据得：。 14. 答案：110 解析：根据三角形内角和定理，；三角形外角与相邻内角互补，因此∠C相邻外角。 解析：完全平方式形式为，对比，可得，即。 16. 答案：8 解析：线段垂直平分线性质：线段垂直平分线上的任意一点，到线段两个端点的距离相等。因此点P到另一端点的距离等于8cm。 17. 答案： 解析：长方形长为 cm，宽为 cm，长方形面积=长×宽，因此。 18. 答案：24 解析：三角形中线性质：三角形的中线将三角形分成两个面积相等的小三角形。AD是BC中线，。 （三）解答题详细解析及评分标准（共46分） 19.（6分） 解：原式（2分，完全平方、平方差公式展开正确） （3分，化简合并同类项正确） 将，代入得：原式（6分，代入求值正确） 评分细则：公式展开错误扣1-2分，合并同类项错误扣1分，代入计算错误扣1分，无步骤直接结果不得分。 20.（7分） 解：（1）证明：， （1分） ， （2分） （4分） （2） （5分） （6分） 。（7分） 21.（7分） 证明： 如图，连接 ， ，， 为 的中点， ，， ，， ， 在 和 中： ， 。 22.（8分） 解：过E作EM∥BC，交AD于N， ∵AC=4，AE=2， ∴EC=2=AE，（2分） ∴AM=BM=2， ∴AM=AE， ∵AD是BC边上的中线，△ABC是等边三角形， ∴AD⊥BC，（4分） ∵EM∥BC， ∴AD⊥EM， ∵AM=AE， ∴E和M关于AD对称，（6分） 连接CM交AD于F，连接EF， 则此时EF+CF的值最小， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ACB=60°，AC=BC， ∵AM=BM， ∴∠ECF= ∠ACB=30°，（8分） 23.（8分） 解：（1）摸到黄球的频率=，用频率估计概率，摸到黄球的概率为0.4（2分） （2）设袋子中总球数为x，，解得x=10，白球数量=10-4=6个（5分） （3）不公平（6分）；放入2个红球后，总球数12个，摸到红球概率=，摸到黄球概率=0.4=，两者概率不相等，因此游戏不公平（8分） 评分细则：概率计算错误每题扣1分，公平性判断无理由不得分。 24.（10分） 解：（1）观察表格数据可得：售卖时长每增加1小时，销售额固定增加80元，二者成正比例函数关系，因此与的变量关系式为：（2分） （2）在本次售卖区间内，销售额随售卖时长的增大而匀速增大（4分） （3）将代入关系式，得，即当日总销售额为520元（7分） （4）当时，销售额元，纯利润=销售额-固定成本，即元（10分） 评分细则：关系式错误扣2分，变化趋势描述不准确扣1分，计算错误每小问扣1分，无文字作答酌情扣分。 学科网（北京）股份有限公司 $