解三角形与平面向量交汇问题-2025-2026学年高一数学人教A版必修第二册解三角形期末备考12

**基本信息** 以向量为工具系统整合解三角形定理推导与综合应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|6个教材典例|向量法证明余弦/正弦定理、角平分线定理|向量工具→三角形核心定理推导| |知识梳理|15题（7单2多3填3解）|投影向量计算、向量垂直判定、模长公式应用|向量与三角形边角关系综合应用|

永年二中高一数学必修二解三角形期末备考12 测试范围：解三角形与平面向量交汇问题 【回归教材】 【人教A版必修二第6.3.5节例12】用向量方法证明两角差的余弦公式：； 【答案】证明见解析 【分析】利用单位向量的数量积的两种表示方法（坐标形式和几何形式）建立等式证明， 【详解】如图（1）、（2），在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，．它们的终边与单位圆的交点分别为．则，由向量数量积的坐标形式可得，设的夹角为，则， 所以，另一方面，由图（1）可知，；由图（2）可知，，于是．所以，也有， 所以，对于任意角有：． 【人教A版必修二第6.4.3.1节】用向量方法证明余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 【答案】证明见解析 【分析】利用向量的减法模长公式和点积的几何意义推导. 【详解】证明：如图，在中，设，，， 由三角形法则有，所以 又，所以． 同理可得，．故余弦定理得证． 【人教A版必修二第6.4.3.1节】用向量法证明正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）； 【答案】证明见解析 【分析】法1：过点A作与垂直的单位向量，结合三角函数的诱导公式和数量积的定义可得；法2：过点B作边上的高，由向量的线性运算结合数量积的定义和诱导公式可得. 【详解】证明：法1：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角，过点A作与垂直的单位向量，则，，，． 因为，所以，即， 即．即，所以． 同理可证，所以． 法2：当是钝角三角形时，不妨设A为钝角．如图，过点B作边上的高， 则，即， 即，即， 即，所以．同理可证，所以． 【人教B版2019年数学必修四P6页例6】在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；. 【详解】法一：设，如图，设,又AD为∠BAC的角平分线，则 所以，设， ，所以. 法二、如图,设,,则由题意可知,.在△ABD和△ADC中,分别应用正弦定理,可得,, 两式相除即可得. 法三、利用等面积法证明：设，BC边上的高为h. 由，又，故； 【人教B版数学必修四第9.1.2节例5】在中，求证：。 证明：法一：在中，有,所以， 所以,即。 法二：在中，∵，， ∴ ，∴. 【人教B版2019年数学必修四P20页第6题】在中，已知， （1）求；（2）若，求的面积。 【答案】（1）  （2） 【详解】（1）.又，解得. 又，是锐角，. （2）由（1）知.，， 则的面积. 【苏教版数学必修二第11章复习题第5题】已知向量，，满足，且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，求，． 【答案】， 【分析】首先根据得到三个向量首尾相接后，构成一个三角形.设，，，根据平面向量夹角概念得到，，，再利用正弦定理求解即可. 【详解】因为，所以三个向量首尾相接后，构成一个三角形.设，，，如图所示： 又因为与的夹角为135°，与的夹角为120°，，所以，，，，所以，解得，.即，. 【苏教版数学必修二习题11.2第8题】在中，，，，，求证：为正三角形． 【答案】证明见解析. 【分析】利用平面向量的数量积、正弦定理和差角的正弦公式化简得到，同理，即得证. 【详解】证明：由题得，所以, 所以，所以.同理,所以.所以为正三角形. 【知识梳理】 一、单选题 1．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由正弦定理得，即，解得，又因为，则，，由题意知，所以向量在向量上的投影向量为. 2．在中，内角A，B，C的对边分别为，向量，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，且，，根据正弦定理，， ， ，，，，． 3．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得，即，由，所以， 因为，则，所以， 而，则，且，所以，则得. 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据平行条件结合正弦定理得出，再根据即可求出. 【详解】由题意得，结合正弦定理得，因，则，则，若，则，与上式矛盾，故，则，因，则，因为AC边上的中线，则，则 ，则.故选：C 5．在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰（非等边）三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】D 【详解】由，得，故．由倍角公式，化简得，又由可得，由余弦定理，代入，化简得，即，故是等边三角形． 6．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为锐角，的面积为S，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由结合面积公式计算可得，则，由，结合正弦定理可得，再利用余弦定理结合边化角及完全平方公式计算即可得. 【详解】因为，即，所以，因为，所以，所以，又，根据正弦定理可得，所以， 由余弦定理得，所以，所以由正弦定理得， ，所以.故选：C. 7．如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合平面向量的线性运算和数量积化简，求的范围可得的范围. 【详解】由 因为，所以是正三角形，在中，， ， 在上，，，则取值范围是。 二、多选题 8．在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 【答案】ABC 【分析】根据投影向量的定义可得，结合已知有，进而得，应用余弦定理、向量数量积的定义及其运算律依次判断各项的正误. 【详解】由题设，则，即，又且， 则，故，又，则，故， ，，则，B对，边上的高为，A对，，D错， 边上的中线为，C对.故选：ABC 9．已知向量，则（   ） A． B．四边形的面积为10 C．外接圆的半径为 D． 【答案】ACD 【分析】求出，利用坐标法计算模，即可判断A，以为坐标原点，建立平面直角坐标系，利用割补法判断B，求出，利用正弦定理判断C，利用坐标法计算夹角余弦值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A正确； 对于B： 因为，如图以为坐标原点，建立平面直角坐标系，则，，， 过点作轴的垂线，设垂足为点，过点作轴的垂线，设垂足为点，则四边形的面积为=，故B错误；对于C：因为， 在直角三角形中，易得，设外接圆的半径为，由正弦定理，解得，故外接圆的半径为，故C正确； 对于D：因为，，，故D正确.故选：ACD． 三、填空题 10．记的内角的对边分别为，已知，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则______． 【答案】/ 【分析】由余弦定理及已知可求得，又由在和上的投影向量的模相等，知为的平分线，由角平分线定理即可得出结果. 【详解】由余弦定理知，得，又因为，所以，因为向量在向量和上的投影向量的模相等，所以为的平分线，故． 11．在三角形中，角的对边分别是.，，且，则三角形的面积是______. 【答案】 【分析】根据同角关系可得，，根据数量积即可求解，根据面积公式即可求解. 【详解】由可知：为锐角，由同角关系可得，，由可得，所以。 12．如图，在三角形中，已知，，，，分别为，中点，，相交于，则的值为______. 【答案】 【分析】首先由已知，，，求出，得到为直角，利用中线性质以及数量积公式得到所求． 【详解】因为，，，所以，所以，所以，又，分别为，中点，，相交于，所以为的重心， 所以， 所以 。 四、解答题 13．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 【答案】(1)1；(2)；(3) 【分析】（1）利用平面向量数量积的定义列方程求解即可； （2）根据向量共线的性质求出以及，再利用余弦定理求解即可； （3）利用余弦定理求出，再利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】（1）因为所以， ，即； （2），且，， ，； （3），. 14．在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 【答案】(1)；(2)6 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件结合辅助角公式求解角； (2)通过面积公式求出的值，再结合余弦定理和完全平方公式求出，进而得到周长. 【详解】（1）由，根据向量平行的坐标条件，得， 化简得.利用辅助角公式，将左边整理为， 因此，因为锐角三角形，故，则. 所以，解得. （2）由(1)知，结合面积公式，代入，得， 再由余弦定理，代入、，得， 由完全平方公式，，故(边长为正，取正值). 因此，的周长为. 15．已知中，内角的对边分别为、、，点为边上一点，满足. (1)求证：； (2)若为内角A的角平分线，满足，求. 【答案】(1)证明见详解；(2) 【分析】（1）记的中点为，利用向量运算证明即可；（2）先根据向量关系得，再由角平分线定理可得，分别在使用余弦定理可得，再在中利用余弦定理求，然后由平方关系可得. 【详解】（1）记的中点为，可得，因为，则， 可知为的垂直平分线，所以. （2）记，因为，且点在线段内，可知， 又因为为内角A的平分线，则，即，在中，分别由余弦定理得，联立可得，在中，由余弦定理得， 且，所以. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永年二中高一数学必修二解三角形期末备考12 测试范围：解三角形与平面向量交汇问题 【回归教材】 【人教A版必修二第6.3.5节例12】用向量方法证明两角差的余弦公式：； 【人教A版必修二第6.4.3.1节】用向量方法证明余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍． 【人教A版必修二第6.4.3.1节】用向量法证明正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等．（仅证明钝角三角形的情形，设A为钝角）； 【人教B版2019年数学必修四P6页例6】在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证；. 【人教B版数学必修四第9.1.2节例5】在中，求证：。 【人教B版2019年数学必修四P20页第6题】在中，已知， （1）求；（2）若，求的面积。 【苏教版数学必修二第11章复习题第5题】已知向量，，满足，且与的夹角为135°，与的夹角为120°，，求，． 【苏教版数学必修二习题11.2第8题】在中，，，，，求证：为正三角形． 【知识梳理】 一、单选题 1．在中，，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 2．在中，内角A，B，C的对边分别为，向量，且，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．已知为的三个内角的对边，向量.若，且，则角B的大小为（    ） A． B． C． D． 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，，若，，则AC边上的中线BD为（ ） A． B．3 C． D． 5．在中，角，，的对边分别为，，满足，，分别是与，同向的单位向量，，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰（非等边）三角形或直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 6．在三角形中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为锐角，的面积为S，且满足，，则（   ） A． B． C． D． 7．如图，在四边形中，为中点，且，若点在线段（端点除外）上运动，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 8．在中，，向量在向量上的投影向量为，则（    ） A．边上的高为 B． C．边上的中线为 D． 9．已知向量，则（   ） A． B．四边形的面积为10 C．外接圆的半径为 D． 三、填空题 10．记的内角的对边分别为，已知，且，点在边上，向量在向量和上的投影向量的模相等，则______． 11．在三角形中，角的对边分别是.，，且，则三角形的面积是______. 12．如图，在三角形中，已知，，，，分别为，中点，，相交于，则的值为______. 四、解答题 13．如图，在四边形中，，且． (1)求的长； (2)求的长； (3)求． 14．在锐角中，内角的对边分别为．已知向量，，且． (1)求角的大小； (2)若，且的面积为，求的周长． 15．已知中，内角的对边分别为、、，点为边上一点，满足. (1)求证：； (2)若为内角A的角平分线，满足，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $