2026年四川省成都市中考数学预测：B卷 25题-几何压轴题预测

**基本信息** 该专项聚焦成都中考几何综合压轴，通过真题再现与预测题构建“操作-探究-延伸”递进体系，提炼小问关联解题法，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |真题再现|2道（2024-2025年）|强调从（1）问找准方向，（2）（3）问结合前问思路|以旋转、全等为基础，逐步拓展至动态几何问题| |预测题|14道|突出递进式探究，注重图形变换中不变关系转化|串联相似、矩形/正方形性质，构建静态到动态的几何逻辑链|

2026年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合压轴预测 一、中考真题再现 1、（成都2024年中考真题26题12分）数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，． 【初步感知】 （1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值． 【深入探究】 （2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长． 【拓展延伸】 （3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由． 2、（成都2025年中考真题25题10分）如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点关于直线AE的对称点F落在□ABCD内，射线AF交射线DC于点G，交射线BC于点，射线EF交CD边于点Q． 【特例感知】 （1）如图1，当CE=BE时，点在BC延长线上，求证：△EFP≌ECQ； 【问题探究】 （2）在（1）的条件下，若CG=3，GQ=5，求DQ的长； 【拓展延伸】 （3）如图2，当CE=2BE时，点在BC边上，若，求的值．（用含的代数式表示） 二、中考压轴预测 预测分析：2021年至2024年几何压轴题一直是B卷26题，2025年有重新把几何压轴调整回B卷25题，预测2026年成都中考B卷25题固定题型考察“平面几何综合”，纵观近3年成都中考B26的考点，不难发现除2022年以矩形入题（但实际还是相似三角形）以外后两年都是以直角三角形入题，题目都是以探究的形式展开，对于这类题目一定要从（1）小问就开始要找准方向，找准解题的侧重点。在思考第（2）（3）小问时要结合第（1）小问来思考解题；本题考察得比较全面，需要有扎实的平面几何功底。 1、在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是的矩形，例如我们的课本封面、打印纸，我们称这样的矩形为标准矩形． 【操作判断】 如图，已知矩形是一个标准矩形，其中，，分别是，的中点，连接． (1)矩形 标准矩形填“是”或“不是”． 【深入探究】 将矩形绕点顺时针旋转得到矩形， (2)如图，当恰好经过点时，旋转角的度数是 ，线段的长是 ． (3)如图，当矩形在平面内绕点旋转时，连接，，直线与线段交于点，猜想与的数量关系，并证明． 【拓展应用】 (4)在矩形旋转过程中，当，，三点共线时，请直接写出线段的长． 2、如图，四边形为矩形，，，分别为、边上的中点．以，为边构造矩形． (1)线段与的数量关系是_______，直线与直线的位置关系是_______． (2)将图1所在的矩形绕点顺时针旋转，连接，，直线、交于点．则（1）中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由． (3)将图1的矩形绕点旋转，连接，，直线、交于点．若，则在矩形旋转的过程中，求的最小值． 3、图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形． (1)【操作发现】 当裁剪线恰好经过顶点时，如图2，求的长； (2)【思考操作】 要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形． ①小星想出了一个作法：先作出的平分线交于点，如图3，再过点沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； ②试对与相等进行说理，并求出裁剪线的长． (3)【拓展延伸】 在（2）的情形中，小红说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请画出图形并求出的长． 4、如图1，在中，，点D、E分别在边上，，连接，点M、N、P分别是的中点，连接．    (1)则与的关系是________； (2)将绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由； (3)若，在将图1中的绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条直线上时，直接写出的长度． 5、在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题．研究发现：通过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化．如图，在中，，，点，分别为，上的动点（不含端点）． (1)如图，若，将绕点顺时针旋转得到，判断和的数量关系并说明理由； (2)如图，在第（）问的条件下，作于点，交于点，连接，．试猜想四边形的形状，并说明理由； (3)如图，若，，连接，，求出的最小值． 6、已知点在正方形的对角线上，正方形与正方形有公共点． (1)如图1，当点在上，在上，求的值为多少； (2)将正方形绕点逆时针方向旋转，如图2，求：的值为多少； (3)，，将正方形绕逆时针方向旋转，当，，三点共线时，请直接写出的长度． 7、在矩形中，点，分别是，边上的动点，且，连接，将矩形沿折叠，点分别落在点，点处，直线与直线相交于点． (1)如图1，当点在线段上时，与相等的角有 和 ； (2)如图2，当点在线段的延长线上时，连接，交于点，连接．求证：； (3)，当时，请直接写出的长． 8、综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动．如图1，将矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，．点在边或边上运动，将沿直线折叠，点的对应点为，连接，与交于点． 请完成以下闯关任务： (1)第一关·初试锋芒 如图2，当点在边上且点恰好落在边上时，完成基础探究： ①直接写出：________，________； ②此时与的位置关系是________． (2)第二关·解锁规律 ①当点为边上任意一点时，与在（1）中的位置关系还存在吗？请说明理由． ②如图3，取的中点，连接，当点从点运动到点时，求点的运动路径长．（参考数据：，，） (3)第三关·终极挑战 当到的距离为时，直接写出所有满足条件的点的坐标． 9、友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转， 这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质． 已知矩形，将矩形绕点C旋转到矩形，，． 【尝试发现】 （1） 如图1，连接，在旋转过程中，探究______ 【类比探究】 （2） 如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使落在矩形对角线上， 矩形对角线与相交于点，交于K，延长交于点H，求的长． 【联系拓广】 （3） 将友好矩形中的绕点C旋转到的过程中， 当构成直角三角形时，求出的长． 10、如图1，在中，为边上的中线，交于点，此时我们称点为、的“垂对称点”．特别的，当点也为中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中，，是的中线，，垂足为，像这样的三角形均为“中垂三角形”．设，，． (1)【特例探究】如图1，，，为、的“垂对称点”，，则________； 如图2，为“中垂三角形”，当，时，则___，____，____； (2)【拓展应用】如图4，在平行四边形中，点、F、G分别是、、的中点，，，，求的长度． (3)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点，，点在轴上，点在轴上，与轴交于点．当时，求证：为线段的黄金分割点． 11、如图①，直线同侧有两点，，点在直线上，若，则称点为，在直线上的投射点． (1)如图②，在中，，为斜边的中点，为的中点．求证：点为，在直线上的投射点； (2)如图③，在正方形网格中，已知点，，三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在上画出点，在上画出点，满足且点为，在上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在中，，，在，边上是否分别存在点，，使点为，在上的投射点，点为，在上的投射点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 12、已知中，，，，中，，． (1)如图1，，连接交于点F． ①求线段的长； ②求证：平分； (2)如图2，，连接交于点F，点P在线段上（不与A、C重合），连接并延长交于点Q，在上取一点G，连接，且． ①若，求线段的长； ②当点P在上运动时，线段的最大值为______． 13、【基础巩固】 (1) 如图1，在中，D为上一点，连结，E为上一点，连结， 若， 求证：． 【尝试应用】 (2) 如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点， 连结，若，求的长． 【拓展提升】 (3) 如图3，在菱形中，对角线交于点O，E为中点，F为上一点， 连结，若，，求菱形的边长． 14、如图，正方形中，、分别为边、上的点，且，连接、相交于点，为延长线上一点，连接交、于点、，且． (1)求证：； (2)若，求的值； (3)如图2，若，求的长． 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $2026年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合压轴预测 一、中考真题再现 1、(成都2024年中考真题26题12分)数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置， 固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质.己知三角形纸片ABC和 ADE中，AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°. 【初步感知】 (1)如图1，连接BD,CE,在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究D的值。 CE 【深入探究】 (2)如图2，在纸片ADE绕点A旋转过程中，当点D恰好落在△ABC的中线BM的延长线上时，延长 ED交AC于点F,求CF的长. 【拓展延伸】 (3)在纸片ADE绕点A旋转过程中，试探究C,D,E三点能否构成直角三角形.若能，直接写出所 有直角三角形CDE的面积；若不能，请说明理由. E M B▣ 图1 图2 备用困 12的值为：2)CP-93)直角三角形CDE的面积分别为4.1612， 3 48 13 解析：(1)：AB=AD=3,BC=DE=4,∠ABC=∠ADE=90°，△ADE≌aABC(SAS), AC=AE=VAB2+BC2=VAD2+DE2=5,∠DAE=∠BAC, ∠DAE-∠DAC=∠8AC-∠DAC即∠CAE=∠BAD,:4B-AC 1;；△CAEn△BAD, AD AE BD AB 3 CE-AC-3 E A (2)连接CE,延长BM交CE于点Q,根据(I)得aCAE∽aBAD, ∠ABD=∠ACE,:申线BM:BM=4M=CW-4C- D C .∠MBC=∠MCB,:∠ABD+∠MBC=90°，∴.∠ACE+∠MCB=90°即∠BCE=90°， 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 1/37 ∠BAM=∠QCM .AB II CO,∠BAM=∠QCM,∠ABM=∠CQM, ∠ABM=∠CQM,△BAM≌△CM(AAS), AM=CM ∴.BM=QM,∴.四边形ABCQ是平行四边形，：∠ABC=90°；∴矩形ABCQ, AB=CQ=3,BC=AQ=4,∠AQC=90°，∴PQ‖CN,EQ=VAE2-AQ2=3, ∠EPQ=∠APD EP-Eg=3l,P0=CN,设P0=x,CN=2x,则AP=4-x,:E0P=∠ADP=90°， PN OC 3 2 EO=AD=3 △EQP≌AADP(AAS,.AP=EP=4-x, Ep2=PQ2+E02,(4-x)2=x2+32, 解程- AP=4-x=25, 8 ,CN=2x= POll CN,AC=5, △APFACNF, AP AF CN CF AP+CN AF+CF CN CF 25.7 + :8,4=5 1CF' 4 解得CF=70 39 A P M F 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 2/37 (3)如图，当AD与AC重合时，此时DE⊥AC,，此时△CDE是直角三角形， E CD DE4C-AD)DE 如图，当AD在CA的延长线上时，此时DE1AC,此时aCDE是直角三角形， 故Sac=CDDE=AC+AD)xDE=×8x4=16: 2 如图，当DE⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， 过点A作A01EC于点Q,:AB=4C=5,:E0=QC=EC, 2 :AQ⊥EC,DE⊥EC,DE⊥AD,四边形ADEQ是矩形， .4D-F-0cCEx2 1 2 如图，当DC⊥EC时，此时△CDE是直角三角形， 过点A作AQ⊥EC于点Q,交DE于点N, E0=QC=2EC=x,N№MCD, Q EN_E2-1, DN OC DN-EN=DE=2.ON=IDC, 2 :∠AND=∠ENQ,∠ADN=∠EQN=90°， E ∴.∠DAN=∠QEN, .tan∠DAW=tan∠QEW, ON DN 2 D3ON- 3 B DC-3CE=2xED-DC+EC 4r) 4=(2+3 236 13 解得r=3 13 故m=ECDC=×2x×4x4-4×3648 2 3 31313 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 3/37 2、(成都2025年中考真题25题10分)如图，在□ABCD中，点E在BC边上，点关于直线AE的对称 点F落在口ABCD内，射线AF交射线DC于点G,交射线BC于点，射线EF交CD边于点Q. 【特例感知】 (1)如图1，当CE=BE时，点在BC延长线上，求证：△EFP≌ECQ: 【问题探究】 (2)在(1)的条件下，若CG=3,GQ=5,求DQ的长： 【拓展延伸】 (3)如图2，当CE=2BE时，点在BC边上，若 Co 1 术C的值.（用含的代数式表示） D D B E 2n+1 图1 图2 (1)见解析；(2)4；(3) 6n+6 解：(1)由折叠的性质得：∠B=∠AFE,BE=FE,:四边形ABCD是平行四边形， .AB∥CD,.B=PCG,.∠AFE=PCG,:∠AFE=∠QFG,∠PCG=∠QFG, :∠FGQ=∠CGP,.∠CQE=∠P,CE=BE,BE=EF;.EF=EC, 又：∠CEQ=∠FEP,△EFP≌aECQ(AAS): (2):△EFP≌△ECQ,EQ=EP,:EF=EC,.FQ=CP,:∠FGQ=∠CGP,∠CQE=∠P, :△FQG2aCPG,FG=CG=3,GQ=GP=5,由折叠的性质得：AF=AB, :四边形BD是平行四边形，：AB/CD,B=CD,△CGP-BAP,:CC-PC AB AP :、3 J ABAB+3+5'解得：B=12, CD=12, :..DO=CD-CG-OG=4; 0 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 4/37 (3)解：如图，延长AD,EQ交于点M,设CQ=a,BE=b 87E=2B证：D0=am,BC-2b.4B=cp-a+AD=为 c :折叠，AF=AB=(n+I)a；:AD∥BC,即DM∥EC；△DQM∽aCOE DM-D即DM_am=n:DM=2bm E0=c0即2b=a :四边形ABCD是平行四边形，.∠B=∠ADQ 又：折叠，∠AFE=B :∠AFQ+∠AFE=180°；.∠AFQ+∠ADQ=180°；∠DAF+∠DOF=180° :∠EQC+∠DQF=180° .∠EQC=∠DAF AD∥BC :DAF=FPE .∠EQC=∠FPE 又：∠FEP=∠CEQ ∴△FEP∽ACEQ 是蜀品阳 PF :AB∥CD .△AMFAPEF EP AF AM PF EP (n+1a .(3+2nb1。 解得：P=3+20b 2n+2 :.CP=EC-EP=2b-3+2nb=(2n+1)b 2n+2 2n+2 又：PC∥AD;∴.△GPCOAGAD 2n+1)b CG CP :2n+2 2n+1 :DG AD 3b 6n+6. 二、中考压轴预测 预测分析：2021年至2024年几何压轴题一直是B卷26题，2025年有重新把几何压轴调整回B卷25题， 预测2026年成都中考B卷25题固定题型考察“平面几何综合”，纵观近3年成都中考B26的考点，不 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 5/37 难发现除2022年以矩形入题（但实际还是相似三角形）以外后两年都是以直角三角形入题，题目都是 以探究的形式展开，对于这类题目一定要从(1)小问就开始要找准方向，找准解题的侧重点。在思考 第(2)(3)小问时要结合第(1)小问来思考解题；本题考察得比较全面，需要有扎实的平面几何功底。 1、在现实生活中，我们经常会看到许多长与宽之比是√2：1的矩形，例如我们的课本封面、A4打印纸， 我们称这样的矩形为标准矩形， 【操作判断】 如图1，己知矩形ABCD是一个标准矩形，其中AB=√2BC=2,M，N分别是AB,CD的中点，连接 MN. M M 图1 图2 图3 (I)矩形BCNM标准矩形（填“是”或“不是”）. 【深入探究】 将矩形BCNM绕点B顺时针旋转得到矩形BCWM', (②)如图2，当MN'恰好经过点C时，旋转角∠MBM'的度数是-，线段CN的长是_ (3)如图3，当矩形BCWM'在平面内绕点B旋转时，连接CC',NN',直线CC'与线段NN'交于点E, 猜想NE与NE的数量关系，并证明. 【拓展应用】 (4)在矩形BCWM'旋转过程中，当A,M',N'三点共线时，请直接写出线段CE的长 答案：()是；(2)45，V2-1:(③)NE=NE,证明见解析；（④5,2或5+互 2 2 【详解】(1)解：AB=√2BC=2,.BC=√2， :M、N分别是AB,CD的中点，BM=CN=1, .BC2 BM=1 :矩形BCNM是标准矩形. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 6/37 (2)解：当MN'恰好经过点C时， :RtABCM'中，BC=√2，BM'=1, cos∠CBM'= BM'2 BC 2 ∠CBM'=45°，BM'=CM'=1, :∠ABC=90°， .∠MBM'=90°-45°=45°， CW'=MW'-CM'=√2-1. (3)解：如图，分别过点N,N'作直线CC'的垂线，垂足分别为F,G, 由旋转的性质，可知N'C'=NC,BC'=BC,∠BCN'=∠BCN=90°， ∠BC'C+∠CC'N'=∠BCC'+∠NCF=90°， .BC'=BC, LBCC'=∠BC'C, ∠NCF=∠CC'W', M 在aNFC与△N'GC'中， M B [∠NFC=∠N'GC'=90° ∠NCF=∠CC'N' NC=N'C .△NFC≌△N'GC'(AAS), :NF =N'G :∠NFE=∠N'GE=90°，∠NEF=∠N'EG, ∴.△NEF≌△N'EG(AAS), :NE =N'E (4)解：①如图，当点M'在线段AN'上时，∠AMB=90°， :AB=2,BM'=1,∠AMB=90°， E sin∠BAM'=BM'_1 D AB 2' .∠BAM'=30°， ∠ABM'=60°， 连接BN,BN',则BN=BN', M :∠MBN'=∠MBN, ∠ABM'=∠NBN'=60°， 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 7/37 △BNN'是等边三角形， ∴NW'=BN=VW2)2+12=√5， 由(3)可知，EN'=W= 2 :∠NBC=∠N'BC',∠NBC+∠N'BC=∠NBN'=60°， :∠NBC+LN'BC'=∠CBC'=60°， BC=BC', :△BCC'是等边三角形， 过点N'作N'G⊥EC'于G, D ∠BC'N'=90°， ∠GC'W'=30°， GC'=CN∠Gcw=5 GN'=CN'xsin ZGCN'= B 在Rta EN'G中，EG=VW'E2-N'G .CE=C'E-C'C=EG+GC'-C'C= +52-5-迈 M' 2 2 2 ②如图，当点M'在线段AN'的延长线上时，连接BN,BN',过点N作NF⊥EC于点F, 同理可得aBNN'是等边三角形， CE-CF+EF-2+ 222 综上所述，线段CE的长为5，巨或5+2」 2 2 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 8/37 2、如图，四边形ABCD为矩形， CD3,E,F分别为BC、CD边上的中点.以EC,CF为边构造 BC 4 矩形GECF. A G E E E 图1 图2 备用图 (I)线段BE与DF的数量关系是 ,直线BE与直线DF的位置关系是 (②2)将图1所在的矩形GECF绕C点顺时针旋转a(0≤a≤90)，连接BE,DF,直线BE、DF交于M点. 则(1)中的结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由. (3)将图1的矩形GECF绕C点旋转a(0≤a≤360)，连接BE,DF,直线BE、DF交于M点.若 BC=8,则在矩形GECF旋转的过程中，求DM的最小值， 等案：08船-分BE1DP:②成立，程由见解新：国35-4 D解：之%，E,F分别为BC、CD边上的中点，：BEBC,DF=D )行=，四边形ABCD为矩形，∠C=90,芯BE L DF (2)解：成立，：E,F分别为BC,CD边中点，CE=,CF-,CE-CF BC=2'CD=2 BC=CD :矩形GECF绕C顺时针旋转O,LBCE=LDCF=a,;△BEC∽△DFC; 5=%=LBC=∠CDP4四边形BCD为矩形，：六∠BCD=90°一 记BM与CD交点为O,在△BOC和DOM中，；：∠EBC=∠CDF,∠BOC=LDOM, .LDMB=LBCD=90°，；.BE⊥DF. (3)解：由(2)LDMB=90°，在RtADMB中，DM=BD·sin∠DBE, M(G) ,∠DBE最小时，DM最小，；由题意，EC=4, E .点E在以点C为圆心，4为半径的圆上 如图，当BE与OC相切时，LEBC最大，∠DBE最小， 即CE⊥BE时，DM最小.；此时CF⊥DF,点M与点G重合， CD-6,CF=1CD=3,::.DF=CD-CF-35. 2 :DM=DF-GF=33-4. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 9/37 3、图1是一张三角形纸片ABC,∠ABC=90°，AB=6,BC=8,沿垂直于斜边AC的方向裁剪一刀（裁 剪线为MN),会分得两个图形. M Bh C B(N) 图1 图2 图3 备用图 (1)【操作发现】 当裁剪线MN恰好经过顶点B时，如图2，求MN的长； (②)【思考操作】 要使经过沿MN裁剪的三角形纸片ABC，,分得的其中一个图形为轴对称图形. ①小星想出了一个作法：先作出∠C的平分线CN交AB于点N,如图3，再过点N沿垂直于AC的方向 裁剪，得到的四边形BCMN一定是轴对称图形.在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点N作出AC的 垂线MN,垂足为点M(保留作图痕迹，不写作法)： ②试对CB与CM相等进行说理，并求出裁剪线MN的长. (3)【拓展延伸】 在(2)的情形中，小红说：“裁剪线MW还应有另一个不同的值.”请画出图形并求出MW的长. 答案：L48:(20见解折：②见解析，MN的长为：⊙)图见解析，MV=3 (1):∠B=90°，AB=6,BC=8, :AC=AB2+BC2=10, S.xc=AB.BC-1AC-MN, 2 2 .AB.BC=AC·MN, .6×8=10MN, MN=4.8; (2)①尺规作图如图所示. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 10/37 ②：CN平分∠ACB,NB⊥BC,NM⊥AC, :NB NM 又CN=CN, .RtaBCNRtAMCN(HL), :CB=CM 设MN=BN=x,则AN=BA-BN=6-x,BC=CM=8, AM=2, 在RtA AMN中，由勾股定理，得x2+2=(6-x), 解得x=3' 8 则裁剪线MN的长为；： 8 (3)如图，四边形ABNM是轴对称图形， :△ABN与△AMN关于AN成轴对称， R■ ∴.AB=AM=6,BN=MN,∠ABN=∠AMN=∠NMC=90°， .CM=AC-AM=10-6=4, 设MN=BN=x,则CN=BC-BN=8-x, 在RtACMN中，由勾股定理，得x2+42=(8-x), 解得x=3, MN=3. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 11/37 4、如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点D、E分别在AC、BC边上，DC=EC,连接 DE、AE、BD,点M、N、P分别是AE,BD,AB的中点，连接PM,PN,MN. A A A M D D N C 公 B B C E B 图1 图2 备用图 (I)则PM与PN的关系是 (②)将△DEC绕点C逆时针旋转到如图2的位置，判断(1)中的结论是否仍然成立，如果成立，请写出 证明过程，若不成立，请说明理由： (3)若CB=3,CE=V2,在将图1中的△DEC绕点C逆时针旋转一周的过程中，当B、E、D三点在一条 直线上时，直接写出MN的长度. 答案：(1)PM=PN,PM⊥PN;(2)见解析；(3)见解析 (1)解：：点M、N、P分别是AE,BD,AB的中点， PM∥BC,PN∥AD, LACB=90°， .∠MPN=90°， .DC=EC,AC=BC, AC-DC=BC-CE,即AD=BE, :点M、N、P分别是AE,BD,AB的中点， PM=号8E,PN=4D, ,PM与PN的关系是PM=PN,PM⊥PN: 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 12/37 (2)解：成立； 连接AD,延长BE交AD于点H,如图， M H B .∠ACB=90°=∠DCE, .∠DCA+LACE=90°=∠BCE+∠ACE, .∠DCA=∠BCE, DC=EC,AC=BC, ∴△DCAD△ECB(SAS), .AD=BE,∠HAC=∠HBC, :点M、N、P分别是AE,BD,AB的中点， :PM=IBE,PN=TAD, 2 2 .PM PN ∠ACB=90°，AC=BC, .∠CAB=45°， :∠AHB=18O°-（∠HAB+∠ABH) =180°-(45°+∠HAC+∠ABH), =∠180°-(45°+∠HBC+∠ABH) =180°-90°=90°， ∠MPN=∠AHB=90°， .PM⊥PN, .(1)中的结论仍然成立： 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 13/37 (3)解：①作CG⊥BD, A M D G N E C B :∠DCE=90°，DC=EC,CE=√2 .:.CG=GE=DG=1, 当B、E、D三点在一条直线上时，在RtaBCG中， :CB=3,CE=√2 BG=BC2-CG2=7 :BE BG-GE=7-1, 由2)可得：PM-号BE,pM=AN, .MN =BE w5 ②作CG⊥BD, :∠DCE=90°，DC=EC,CE=V2 ..CG=GE=DG=1, 当B、E、D三点在一条直线上时，在RtABCG中， CB =3,CE =2 M BG=BC2-CG2=7, B :BE=BG+GE=7+1, G D wE=9+ 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 14/37 5、在数学综合实践活动中，同学们以特殊三角形为载体，探究动点背景下的几何问题.研究发现：通 过构造全等三角形或相似三角形，可实现线段与角的转化.如图，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90° ,点M,N分别为AC,AB上的动点（不含端点）. N B 图1 图2 图3 (I)如图1，若AN=CM,将MA绕点M顺时针旋转90°得到MD,判断MN和CD的数量关系并说明理由； (②)如图2，在第(1)问的条件下，作AE⊥MN于点E,交BC于点F,连接AD,CD.试猜想四边形 AFCD的形状，并说明理由； (3)如图3，若AB=AC=6,AN=3CM,连接BM,CN,求出BM+CN的最小值. 答案：(1)MN=DC,理由见解析； (2)四边形AFCD为平行四边形，理由见解析； )BM+CN的最小值为10. 详细解析：(1)解：MW=DC,理由， :MA绕点M顺时针旋转90°得到MD,∠BAC=90°， .MA=MD,∠DMC=∠MAN=90°， 又：AN=MC, :.△ANM≌aMCD(SAS), .MN =DC (2)解：四边形AFCD为平行四边形，理由如下： :AB=AC,∠BAC=90°， LACB=45°， :MA绕点M顺时针旋转90°得到MD, .∠MAD=45°， .∠MAD=∠ACB, AD∥CF, ,△ANM≌△MCD, .∠ANM=∠DCM, .AE⊥MN, 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 15/37 .∠ANM+∠NAE=90°， :∠NAE+∠MAE=90°， ∴.∠ANM=∠MAE, ∴.∠DCM=∠MAE, .DC∥AF, ∴四边形AFCD为平行四边形： (3)解：如图，过点C作LMCP=90°，使CP=2,连接PM,BP,延长BC,过点P作PQ⊥BC于 点2， .CP_MC 1 ACAN3′∠MCP=∠NMC=90, .△CPANAC, MP-号C, aBM+写CN=BM+hMP≥BP, :当点B、M、P三点共线时，BM+CN的值最小，最小值为BP的值， 由题意可得，BQ=72,PQ=√2， 在RtaPB0中，BP=V(7N②+V2=10, :.BM+二CN的最小值为10 3 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 16/37 6、己知点E在正方形ABCD的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A, D C D c E G G A B B F y 图1 图2 2CE (I)如图1，当点G在AD上，F在AB上，求 √2DG 的值为多少： 2)将正方形4FG绕A点逆时针方向旋转a(0°<a<90),如图2，求：C三的值为多少： DG (③)AB=8N2,AG=5AD,将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转a0°<a<360),当C,G,E三点 2 共线时，请直接写出DG的长度 答案：(1)2；(2)√2；(3)4V6-4V2或4V6+42 (I)解：：正方形AFEG与正方形ABCD有公共点A,点G在AD上，F在AB上， GE∥DC AG AE DG EC EC AE DG AG :四边形AFEG是正方形 :AE=√2AG 2CE√2CE-2AE=2×2=2 √2DG-DG AG （2)解：如图，连接AE, D :正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转u(0°<<90)， ∠DAG=∠CAE ~AG=AD。1 AEAC√2 G .△GAD∽△EAC CE _AC=2, DG AD 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 17/37 (3)解：①如图， D :4B=8v2,4G= AD, 2 AD-AB-82.AG= ×8V2=8,AC=√2AB=16, G G,E,C三点共线， Rt△AGC中，GC=VAC2-AG=V162-82=8V5, .CE=GC-GE=83-8, 的 由(2)可知aGAD∽△EAC, cE_4C=2, DG DA DG= DA-CE 82x85-8=46-2)=46-45 AC 16 ②如图： D 由(2)知△4DG-△4CE, .DG=AD CE AC2 .DG-CE, :四边形ABCD是正方形， B ...AD=BC=82,AC=AB2+BC2=16, G AG-AD. 至 2 :4G-24D8, E :四边形AFEG是正方形， ∴.∠AGE=90°，GE=AG-8, :C,G,E三点共线. .∠AGC=90° ∴CG-AC2-AG2=V162-82=8√5， ∴.CE=CG+EG=8W3+8, :DG-5cE=46+42. 2 综上，当C,G,E三点共线时，DG的长度为4V6-4V2或4√6+42. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 18/37 7、在矩形ABCD中，点M,N分别是AD,BC边上的动点，且AM=CN,连接MN,将矩形ABCD沿 MN折叠，点C,D分别落在点C,点D处，直线MD'与直线BC相交于点P, M D B 图1 图2C 备用图 (1)如图1，当点P在线段CB上时，与∠PMN相等的角有_和-： (2)如图2，当点P在线段CB的延长线上时，连接AC,交MN于点O,连接OP.求证：OP⊥MN; (3)AB=6,BC=8,当MN=2√10时，请直接写出BP的长. 答案：(1)∠PNM,∠DMN (2)证明见解析 (3)BP=5或13 解析：(1)证明：：四边形ABCD是矩形， AD∥BC, .∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, ∴.∠PMN=∠PNM=∠DMN. (2)证明：四边形ABCD是矩形， AD∥BC, ∴∠MAO=∠NCO,∠DMN=∠PNM, 由翻折的性质得：∠DMN=∠PMN, .∠PMN=LPNM, .PM PN :AM=CN,∠AOM=∠CON, :.△AMO≌ACNO(AAS), .0M=0N,A0=C0, .OP⊥MN; 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 19/37 (3)解：如图，过M作MH⊥BC于H, M D A :矩形ABCD, .∠ABC=∠BAD=90°=∠MHB=∠MHN, D :四边形ABHM是矩形， .AB=MH =6, :MN=2√10， :HN =MN2-MH2=2, 设PH=x,结合(2)可得：PM=PN=x+2, (x+22=x2+62, 解得：x=8, .PM=10,PH=8, 过O作OK⊥BC于K,则OK∥AB,而AO=CO, .△COK∽△CAB, CO_CK_1 CA CB2' :.CK =BK =4, 同理：HK=NK=1, .BH=4-1=3, .BP=8-3=5, 如图，过M作MH⊥BC于H,过O作OK⊥BC于K, D' D 同理可得：CP=5, :BP=BC+CP=13, 综上：BP=5或13. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 20/37 8、综合与实践： 数学活动课上，老师开展了闯关比赛活动.如图1，将矩形纸片ABCD放置在平面直角坐标系中，点B为 坐标原点，AB=6,AD=I0.点E在边CD或边BC上运动，将ADE沿直线AE折叠，点D的对应点 为D,连接DD',AE与DD'交于点O M B D'C B 图1 图2 图3 请完成以下闯关任务： (1)第一关初试锋芒 如图2，当点E在边DC上且点D恰好落在边BC上时，完成基础探究： ①直接写出：BD'= ,DE= ②此时AE与DD'的位置关系是 (2)第二关·解锁规律 ①当点E为边DC上任意一点时，AE与DD'在(1)中的位置关系还存在吗？请说明理由. ②如图3，取AD的中点M,连接MO,当点E从点D运动到点C时，求点O的运动路径长.（参考数据： tan31°=0.6，sin37°=0.6，c0s53°=0.6) (3)第三关·终极挑战 当D到BC的距离为2时，直接写出所有满足条件的点E的坐标. 答案：（①）08， 3:②垂直 10 (②①存在，理由见解析：②31π 18 (3)点E的坐标为10,5V21-19或(10，)或(3,0)或15-321,0 详解(1)解：①，四边形ABCD是矩形， DC=AB=6,BC=AD=10,∠ABC=∠DCB=90°， 由折叠可知，AD'=AD=10,D'E=DE, 在RIAABD'中，BD'=√AD2-AB2=V102-6=8, CD'=BC-BD'=10-8=2, 设D'E=DE=x,则EC=DC-DE=6-x, 在Rt△CED'中，CD2+EC2=D'E2, 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 21/37 即22+(6-x刘=，解得x=10 即69 ②由折叠可知，AE是DD'的对称轴，即AE垂直平分DD', AE⊥DD'; (2)解：①存在，AE⊥DD'仍然成立； 理由：由折叠可知，点D与点D关于直线AE对称， 根据轴对称的性质，对称轴垂直平分对应点的连线， :AE垂直平分DD, AE⊥DD'; ②由①知，AE⊥DD', ∠A0D=90°， :M是AD的中点， w0w-05, .∠MA0=∠M0A, M0=5,是定值， :点0的运动轨迹为以M为圆心，半径为5的一段圆弧， 当点E在点D时，点O与点D重合；当点E运动到点C时，如图所示， A ○ CE 此时tan∠MA0=DC=6 =0.6, AD 10 LMA0=31°， ∴.∠DM0=∠MA0+∠MOA=2∠MA0=62°， :点0的运动路径长为62xx5_31x。 18018 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 22/37 (3)解：当点E在边DC上，D在BC上方时，如图所示，过点D作HN∥BC交AB于H,交DC于N ,作D'K⊥BC于K,则四边形BHD'K、CKD'N、BHNC是矩形， A 当D到BC的距离为2时，即D'K=2, :BH NC D'K =2, ∴.AH=AB-BH=6-2=4, B .HD=VAD2-AH2=V10-42=221, .D'N HN-HD'=BC-HD'=10-221, 设D'E=DE=x,则EN=DC-NC-DE=6-2-x=4-x, 在R1△END'中，DN2+EN2=D'E2, 即(10-2V21+(4-x2=x2,解得x=25-521, 即DE=25-5√21， ∴EC=DC-DE=6-25-5V21=5V2I-19, E10,5V2i-19: 当点E在边DC上，D到BC下方时，如图所示，过点D作HN∥BC交AB于H,交DC于N,作 D'K⊥BC于K,则四边形BHD'K、CKD'N、BHNC是矩形， 当D到BC的距离为2时，即D'K=2, :BH NC D'K =2, B .AH=AB+BH=6+2=8, H .HD=VAD2-AH2=V102-82=6, D'N=HN-HD'=BC-HD'=10-6=4, 设D'E=DE=x,则EN=DC+NC-DE=6+2-x=8-x, 在Rt△END'中，D'N2+EW2=D'E2, 即42+(8-x2=x2,解得x=5, 即DE=5, .EC=DC-DE=6-5=1, E(10,1; 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 23/37 当点E在边BC上，如图所示，过点D作DN∥x轴交y轴于H,作D'K⊥x轴于K,过点E作 EN⊥D'N于N,则四边形BHD'K、BHNE、END'K是矩形， 如图，当点D在第三象限时， 当D到BC的距离为2时，即D'K=2, E :BH =NE D'K=2, .AH=AB+BH=6+2=8, .HD'=VAD2-AH=V102-82=6, 设EC=x,则HN=BE=BC-EC=10-x, :D'W=HD'+HN=6+10-x=16-x,DE2=DE2=EC2+DC2=x2+62=x2+36, 在Rt△END'中，D'N2+NE2=D'E2, 即(16-x)2+22=x2+36,解得x=7, .BE=10-x=10-7=3, D H E(3,0): 如图，当点D在第二象限时， 当D到BC的距离为2时，即D'K=2, :BH NE D'K =2, .AH=AB-BH=6-2=4, .HD=VAD2-AH2=V102-42=2√21， 设EC=x,则HN=BE=BC-EC=10-x, .D'N=HD'+HN=2V21+10-x,D'E2=DE2=EC2+DC2=x2+62=x2+36, 在Rt△END'中，D'W2+NE2=D'E2, 即(221+10-x+22=x2+36, 解得x=3V21-5, .BE=10-x=15-3V21, :E15-321,0; 综上，满足条件的点E的坐标为10,5V21-19或(10,1或(3,0)或15-3W21,0. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 24/37 9、友好图形的定义如下：两个完全重合放置的图形，固定一个顶点，将其中一个图形绕这个顶点旋转， 这样的图形称为友好图形，下面我们来探究友好图形旋转的性质. 已知矩形ABCD,将矩形ABCD绕点C旋转到矩形CEFG,AB=6,BC=8. 图1 图2 G 【尝试发现】 (1）如图1，连接DE,BG,在旋转过程中，探究DE BG 【类比探究】 (2)如图2，在矩形绕点C旋转的过程中，使CE落在矩形对角线BD上， 矩形对角线AC与BD相交于点O,EF交BC于K,延长FE交AC于点，求AH的长. 【联系拓广】 (3)将友好矩形ABCD中的△ADC绕点C旋转到△CEF的过程中， 当△AEF构成直角三角形时，求出AF的长. 【答案】1)子：（②）9：(3)45成8w5或12成24而 3 13 (1)解：：将矩形ABCD绕点C旋转到矩形CEFG, .∠DCB=∠ECG=90°，AB=CD=6, .DCE=90°-∠ECB=∠BCG, CE=CD,CB=CG, :ZCED ZCDE ZCGB=ZCBG, .CED∽CGB, DE CD 3 BG CB 4 3 故答案为：4 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 25/37 (2)如图，连接CF, H B 图2 G 根据旋转可得CE=CD,BD=CF, ∠CED=LCDE, :四边形ABCD是矩形， BD=CF=BC+CD=10.OD=CO=IBD=5, .∠0DC=LDC0, LDEC=LDCO=∠EDC, :∠ODC=∠CDE, :ODC CDE, DEDC DC OD DE=36 :0E=DE-0D=5 11 LECF ZBDC,ZDEC ZBDC, ∠DEC=∠ECF, ..OE CF, HOE∽HCF, HO OE HO 11 HcCF,即 0+550 解得H0=55 ,经检验是原方程的解。 六4H=0A-0H=140 9 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 26/37 (3)①如图，点E在AC上时，LAEF=90°， D ·CE=CD=6,EF=AD=8, E :AE=AC-CE=4, .AF=√AE2+EF2=4V5; ②如图，点E在AC延长线上时，∠AEF=90°， O ,此时AE=AC+CE=16, :.AF=AE2+EF2=85: ③如图，当∠AFE=90°时，过点C作CM⊥AF于点M, ,LAFE=∠CEF=LCMF=90°， :四边形CEFM为矩形， ∴.CM=EF=8,FM=CE=6, 根据勾股定理可得AM=√AC2-CM2=6, :AF=AM+FM=12; ④如图，当∠EAF=90°时，过点C作CN⊥AF交AF,EF于点N,P, CA=CF,CN⊥AF,AN=NF, A D LEAF=∠PNF=90°，∠AFE=∠NFP,AFE∽NFP, 紧架时PEF4p4c 2 在RtACEP中，CP=VCE2+EP2=2V13, ∠PNF=∠PEC=90,∠NPF=∠EPC,NPF EPC,PE-PN CP=PE PN=PF.PE=4×4_83 CP213=13 CN-CP+PN=3413 13 FN=CP-CNT-1213 13 ·AF=2FN=243 13 24v13 综上所述，AF的长为4V5或85或12或13， 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 27/37 1O、如图1，在ABC中，AF为BC边上的中线，BE⊥AF交AC于点E,此时我们称点E为B、C的“垂 对称点”.特别的，当点E也为AC中点时，我们称这样的三角形为“中垂三角形”，例如，图2、图3中， AF,BE是ABC的中线，AF⊥BE,垂足为P,像ABC这样的三角形均为“中垂三角形.设BC=a, AC=b,AB=c. 图1 图2 图3 图4 图5 (I)【特例探究】如图1，∠ABC=90°，AB=BC,E为B、C的“垂对称点”，c=4,则CE= 如图2，ABC为“中垂三角形”，当∠ABE=45°，c=2√2时，则EF=，a=，b=; (②)【拓展应用】如图4，在平行四边形ABCD中，点E、F、G分别是AD、BC、CD的中点， BE⊥EG,AD=2V5,AB=3,求AF的长度. (3)【知识迁移】如图5，在平面直角坐标系中，点C(2,2),∠C=45°，点A在x轴上，点B在y轴上， CB与x轴交于点Q.当CP=OB时，求证：O为线段PB的黄金分割点. 答案：0：万：25：25：日4：证明见架折 H 【详解】(I)如图所示，过点C作CH‖AB,交BE的延长线于点H, A AB∥CH,∠ABC=90°，.∠HCB=180°-∠ABC=90°， .∠HBC+∠HBA=90°，∠HBC+∠BHC=90°，.∠HBA=∠BHC, :LHCB=LABC=90°，AB=BC,LHBA=∠BHC,△ABF≌△BCH,:CH=BF=AB. AB∥CH,CHE△ABE,CR-=即AE=2CE,在Rt△ABC中，AB=BC=C=4, AC=A+BC4AC-AE+CE=2CE+CE-3CE-4:CE-4 3 如图所示，连接EF,根据题意可得：AF、BE是ABC的中线，AF⊥BE,AB=C=2√2； AF⊥BE,∠ABE=45°， .∠BAF=∠ABE=45°， .AP=BP, D 在RtAAPB中，AB=VAP2+PB2=√2AP=2V2, B 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 28/37 故AP=BP=2,:AF、BE是ABC的中线，.AE=CE,BF=CF,EF是ABC的中位线， EF∥AB,EF=4B=5,∠PFE=UPEF=∠8AF=LABE=45, 故PE=PF,在Rt△EFP中，EF=VEP2+FP2=√2EP=√2，：PE=PF=1, 在RtoPEA中，AE=VEP2+AP2=2+22=√5，在RtoFPB中，BF=√FP2+BP2=V2+22=√5， 故AC=2AE=2V5,BC=2BF=2V5,即EF=√2，a=2V5,b=2V5. A E (2)如图所示，连接AC,EF交于点H,AC与BE交于点0， :点E、G分别是AD、CD的中点，：EG是△ACD的中位线， EG∥AC,:BE⊥EG,·BE⊥AC, :四边形ABCD是平行四边形，·AD∥BC,AD=BC=2V5,·∠EAH=∠FCH, 点E,F分别是4D,BC的中点，AE-4D,BFBC,E=BF=CF=4D=5, :AE∥BF,.四边形ABFE是平行四边形，AQ=QF,EF=AB=3, :∠EAH=LFCH,LAHE=∠FHC,AE=CF,△AEH≌△CFH,EH=FH, .EQ,AH分别是△AFE的中线，由(2)的结论得：AF2+EF2=5AE2, AF2=5AE2-EF2=5N5-32=16,AF=4. (3)如图所示，过点C作CH⊥y轴于点H,连接OC, 即∠CH0=90°， H 根据题意可得CH=OH=2,∴.∠HOC=LHC0=45°. 在△0BC中，∠H0C=∠0BC+∠BC0=45°， A 又：∠ACB=∠AC0+∠BC0=45°， .∠PCO=∠PBC, B :∠OPC=∠CPB,∠PC0=∠PBC, .△0PC∞△CPB, PC"BP OP PC 又：PC=0B, s8585 点O为线段PB的黄金分割点. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 29/37 11、如图①，直线P9同侧有两点M,N,点T在直线P9上，若∠MTP=∠NTQ,则称点T为M,N在 直线PQ上的投射点. N C M D B C 图① 图② 图③ 图④ (I)如图②，在Rt△ABC中，∠B=60°，D为斜边AB的中点，E为AC的中点.求证：点D为C,E在 直线AB上的投射点； (②)如图③，在正方形网格中，己知点A,B,C三点均在格点上，请仅用没有刻度的直尺在BC上画出 点Q,在AC上画出点P,满足CQ=2BQ且点Q为A,P在BC上的投射点；（保留画图痕迹） (3)如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC,在AB,BC边上是否分别存在点D,E,使点D为 ?上的投射点，点F为A,D在BC上的投射点？若存在，求出的值：若不 理由、 答案：四见解折：（②见解折，(）存在，D- CD 2 (1)证明：：在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点， c0-号8=8n, ·∠B=∠BCD=60°， ,∠BDC=180°-∠B-∠BCD=180°-60°-60°=60°. D,E分别为AB,AC的中点， DE∥AC, LADE=∠B=60°， ∠ADE=LBDC, :点D为C,E在直线AB上的投射点. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 30/37 (2)解：如图③， 作法：1、在格点上取点G,点H,连接HG交BC于点Q,则CQ=2BQ;(理由：：BG CH, ABQGAH0C,· BO BG 1 C0cH2,·C0=2Bg.) 2、作点A关于BC的对称点，连接AQ并延长交AC于点P,即点P就是所求作的点，（理由：由对 称得，∠AQB=∠AQB,又：∠AQB=∠PQC,:∠AQB=∠PQC,即点Q为A,P在BC上的投射点.) (3)解：存在， 如图， H 图③ 作点C关于AB的对称点C,连接BC',AC',则四边形ACBC'为正方形， 作点A关于BC的对称点，连接AC'交AB于点D,交BC于点E, .C',D,E,A在同一直线上，CA'=CA=CA=CB=BC,CD=CD,∠CBE=∠A'CE=90°， AC'∥BC, 又：∠C'EB=∠A'EC, .△C'BE≌△A'CE(AAS), :BE=CE, E-Bcc4. :AC'∥BC, △BDE△ADC', ED BE 1 CD-CA-2 ED 1 CD-2 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 31/37 12、已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,Rt△BDE中，∠BDE=90°，BD=3. D D B 图1 图2 (I)如图1，BE⊥AB,连接AE交BC于点F. ①求线段DE的长； ②求证：AE平分∠BAC; (②)如图2，BE⊥AB,连接AE交BC于点F,点P在线段AC上（不与A、C重合），连接PF并延长交 DE于点Q,在AB上取一点G,连接PG,且LGPQ=LBAC. ①若DQ=2,求线段AG的长； ②当点P在AC上运动时，线段AG的最大值为 ,②363 答案：(1)04：②证明见详解：(202， 809 1)解：①：BE⊥AB,∠ABE=90°， 又：∠C=∠BDE=90°，∠CAB+∠ABC=∠ABC+LDBE=90°， C18=D9860C,80,S2.母f产DE-4i ②证明：如图，过点E作EH⊥AC交AC延长线于点H, :∠DCH=∠H=LCDE=90°，.四边形CDEH是矩形， .CD=HE=BC-BD=5,CH DE =4,..AH=AC+CH=6+4=10, A 在Rt△BDE中，BE=√BD2+DE2=5,.CD=HE=BE=5, 在Rt△ACB中，AB=√AC2+BC2=I0,AH=AB, AH=AB 在△AHE和△ABE中， {HE=BE,:△AHE≌△ABE(SSS), D B AE=AE R .∠CAE=∠BAE, 即AE平分∠BAC· H包- E 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 32/37 2)解：：LC∠BDC=90P,∠HFC=∠EFD,&△ACFn△EDP,ED AC-6,DE=4.CD=BC-BD-8-3=5,CF=CD-DF-5-DF.DF .65-DF ,即DF=2, CF=5-DF=3,LPFC-L80FD,LC=∠EDF=90,APCF△0DP,DODE即PC3 22 .PC=3,..AP AC-PC=3,..ZCPF=ZPFC =ZDFQ=ZDOF=45, A M 如图，过点P作PM⊥AG交AG于点M, :AMP=∠C=90°，∠PAM=LBAC,△AMPn△ACB, D 3,PM=12 智兴瓷品兴兴w D B .ZGPO=ZBAC GPO=ZBAC =a ,LAGP+LBAC=LCPG=LCPF+LGPQ,即LAGP+a=45°+a,∠AGP= H aPMG是等腰直角三角形，PM=MG=号，六AG=AM+MG-?是：2头 一十 555 ZGPO=ZBAC ZAGP+ZBAC=ZGPC =ZGPQ+ZCPF ,:ZAGP=ZCPF, 又：LACB=LABE=90°，∴LBAC+LABC=LABC+LEBC=90°，.LBAC=LEBC, 如图，延长AC至点N,作∠EBC=∠CNF, ∠FCN=∠BDE=90°， ∴.△FCN∽△EDB, FCCN EDDB,即3CV 43 :CN=4' 9 N .AN=AC+CN=6+ 933 44 在R△CFN中，NF=VCN2+CF2=I5 :点P在AC上运动，设AP=x(0<x<6),CP=AC-AP=6-x,则PN=CP+CN=6-x+9=3 44x, PNF=∠EBC=LBAC,LAGP=PP,△GAP△PNP,A9= AG x 33= 15, 4-x4 80 当x，4 8 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 33/37 13、【基础巩固】 (1)如图1，在ABC中，D为BC上一点，连结AD,E为AD上一点，连结CE, 若∠BAD=∠ACE,CD=CE，,求证：△ABD∽△CAE. 【尝试应用】 (2)如图2，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为OC上一点， 连结BE,∠CBE=∠DCO,BE=DO,若BD=12,OE=5,求AC的长. 【拓展提升】 (3)如图3，在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O,E为BC中点，F为DC上一点， 连综O6R∠HB0=∠CF,若-，4C=6,求菱形4BcD的a长 D B B 图1 图2 图3 【答案】(1)见解析；(2)18；(3)2√15 (1)证明：：CD=CE,.∠CDE=∠CED,.180°-∠CDE=180°-∠CED,∴.∠ADB=∠CEA, ∠BAD=∠ACE,∴△ABDACAE, (2)解：：四边形ABCD是平行四边形，：B0=D0=BD=x12=6,:.BE=D0=B0=6, 2 ∠BEO=∠BOE,180°-∠BEO=180°-∠BOE,.∠BEC=∠COD, :∠CBE=∠DC0,aBEC∽COD,:C0_D0 BE CE' 设0c=,则C6=0c-0E=-5言5=9.=-4（舍.00=94C=20C=18 设0C=x,则CE=0C-0E=x-5, “6x-5心4=9=-4（舍去），0C=9 x6 .AC=2OC=18; 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 34/37 (3)解：如图， 延长AG,BC,交于点G, .DF5 FC-31 :设DF=51,FC=31,则CD=8t, ,四边形ABCD是菱形， ∴，AB=AD=BC=CD=8t,AD∥BC, B A0=4C=x6=3,4C⊥BD, 21 21 ∴.ACGF∽△DAF, CG CF AD DF 即CG3 8t-5 cG-24 在RtaB0C中， E为BC的中点， .OE-CE-BC-41. ∴.∠C0E=∠ACE, ∴.∠AOE=LACG, ,∠AEO=∠CAF, ∴.△AOE∽△GCA, 0E=04 CA CG' 413 即6241 5 4s, 4 。(舍去)， AB=AD=BC=CD=81=215, 即菱形ABCD的边长为2√15 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 35/37 14、如图1，正方形ABCD中，E、F分别为边BC、CD上的点，且BE=CF,连接BF、AE相交于点 G,P为BC延长线上一点，连接AP交BF、CF于点M、N,且EM⊥AP. D M G 入 B E E 图1 图2 (1)求证：∠AGB=90°； (2)若AE=EP,求 的版， (3)如图2，若BE=EC=2,求CP的长. 答案：a见解折：)5：6号 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， ∴.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°， AB=BC 在△ABE和BCF中， ∠ABE=∠BCF,.△ABE≌△BCF(SAS),∠CBF=LBAE, BE=CF :∠CBF+LABG=90°，∠BAE+LABG=90°，即LAGB=90° (2)解：：AE=EP,EM⊥AP,∠P=∠EAM,M为AP的中点， :∠ABP=90°，AM=BM=PM，∠P=∠MBP=∠BAE=∠EAM， ∠P+∠EAP+∠BAE=3∠P=90°，.∠P=30°， AD∥BP,∠DAN=∠P=∠BAE=30°， ∠ABE=∠ADN=90° 在△ABE和△ADN中， AB=AD ,△ABE≌△ADN(ASA),.BE=DN, ∠BAE=∠DAN ·BC-BE=CD-DN,即CN=EC, CPCP EC CN =tan60°=V5. 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 36/37 (3)解：：EM⊥AP,∠AGB=90°， ∴.∠AGM=∠AME=90°， 又：∠MAG=∠EAM, .△MAG∽△EAM, :4M、AG AE AM .AM2=AG·AE, 同理可得，AB=AG·AE, :AM AB, .∠ABM=∠AMB, :CD∥AB, ∠ABM=∠MFN, .∠FMN=∠MFN, .MN FN 设MN=FN=X, BE EC=2,BE=CF, :AN AM MN AB+M N =4+x,DN DF FN =2+x, 在R△ADN中，AN2=AD2+DN2,即(4+x=42+(x+2), 解得：x=1, :.CN =CD-DF-FN=4-2-1=1,DN=DF+FN =2+1=3, .MN =CN =1, :AD∥BC, .△ADN∽△PCN, 只兴即后 43 'CP1' :CP-3 4 2025年四川省成都市中考数学B卷25题-几何综合题压轴预测 37/37