高频考点07图形的变化（专项训练，5大考点23命题点+中考预测）（浙江专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以“考向-知识-方法-训练”四维架构系统突破图形变化专题，融合动态几何思想与模型化解题策略，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |尺规作图与格点作图|6典例+3预测|无刻度直尺作图逻辑推理；格点垂直判定|从基本作图到网格几何，衔接全等与勾股定理| |图形的位置变化|14典例+4预测|变换不变量锁定；手拉手/半角模型通法|平移/旋转/轴对称性质→动态压轴模型构建| |比例与相似三角形|23典例+8预测|动态相似分类讨论；A/X型比例线段模型|比例性质→相似判定→动态综合应用| |三角函数与解三角形|15典例+3预测|作高法化斜为直；双Rt△公共边方程法|三角函数定义→解直角三角形→实际应用建模|

高频考点07 图形的变化 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+18道中考预测题，） 考点一 尺规作图与格点作图 命题点1尺规作图 命题点2格点作图 中考预测题3道 考点二 图形的位置变化 命题点1平移与平移的性质 命题点2轴对称与轴对称性质 命题点3轴对称与中心对称的图形识别 命题点4中心对称的性质 命题点5旋转与旋转的性质 中考预测题4道 考点三 比例与比例的应用 命题点1比例的性质 命题点2成比例线段 命题点3黄金分割 命题点4平行线所截的等比例线段 中考预测题2道 考点四 相似三角形 命题点1相似图形 命题点2相似图形的性质 命题点3相似三角形的性质 命题点4相似三角形的判定 命题点5相似三角形的应用 命题点6相似三角形的综合题 命题点7位似图形 中考预测题6道 考点五 三角函数与解三角形 命题点1正弦，余弦与正切的概念 命题点2特殊角的三角函数 命题点3三角函数综合题 命题点4解直角三角形 命题点5解直角三角形的应用 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 尺规作图与格点作图 1. 尺规作图：考查五种基本作图（作线段、角、角平分线、垂直平分线、垂线）的实际延展。 2. 格点作图：在正方形网格中，考查利用无刻度直尺画平行线、垂线、等腰三角形、相似三角形，或寻找格点使某图形面积固定。 属于必考的常规基础/中档题，通常以选择题、填空题形式出现。网格作图多结合全等、相似或勾股定理。近年命题更偏向于通过“无刻度直尺作图”的作图步骤，来考查背后深层次的几何逻辑推理。 图形的位置变化 1. 基础变换性质：考查对应点、对应线段、对应角在平移、旋转、轴对称前后的位置与数量不变性。 2. 变换压轴模型：核心考查轴对称最值（将军饮马、费马点模型）和旋转变换压轴（半角模型、手拉手模型、费马点模型等）。 属于中档到高难度压轴题的热门载体，在选择、填空或大题压轴均可出现。尤其是“旋转变换”，几乎是浙江各地市几何压轴大题（如杭州、温州卷最后一问）的御用背景，极其考验动态几何中的分类讨论思想。 比例与比例的应用 1. 比例线段性质：考查比例尺、比例中项、合分比定理的直接应用。 2. 平行线分线段成比例定理：重点考查“A字型”、“X字型”及梯形模型中平行线截线段成比例的计算。 3. 黄金分割：结合实际情境或代数方程考查黄金比的计算。 分值相对较小（3分左右），多为基础或中档的选择填空题。但它是几何计算的基础工具，通常不单独出大题，而是深度嵌入到相似三角形、圆、二次函数等综合大题的线段推导流程中。 相似三角形 1. 相似判定与性质：考查对应角相等、对应边成比例；相似三角形面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比。 2. 相似核心模型：高频考查“A字型”、“X字型”、“母子相似（双垂直模型）”以及“手拉手旋转相似”。 3. 动态相似：在动点运动过程中，探究某两个三角形相似的临界条件并求对应时间或线段长。 几何板块的重中之重，分值通常在8-10分。百分之百在解答题大题或填空压轴题中出现。浙江中考极擅长考查“动态相似”，当三角形对应角不确定时，必须分类讨论字母的对应顺序，属于区分度极高的压轴题。 三角函数与解三角形 1. 三角函数定义：考查正弦、余弦、正切的几何定义以及特殊角（30°、45°、60°）三角函数值的记忆与混合运算。 2. 解直角三角形应用：重点考查仰角、俯角、坡度坡角、方位角情境。多以无人机测距、航海导航、建筑测高为实际生活背景。 3. 解斜三角形：考查通过作辅助线高线，将非直角三角形转化为直角三角形求解。 属于中档常规得分题，分值在6-8分。通常在客观题考查基础计算，在解答题中以“实际应用题”独立设题。近年命题常结合社会热点或大国重器工程设置情境，题干信息长、已知角度多，考查学生的图表阅读和建模能力。 考点一 尺规作图与格点作图 《解题指南》 易错提醒： 【尺规作图痕迹的擦除或不规范】 题目明确要求“保留作图痕迹”。部分同学在画完图后把辅助弧线擦掉，或者作图痕迹过于潦草无法辨认，导致直接被扣除作图分。此外，未用铅笔或黑色水笔加粗终点图形也是常见扣分点。 【忽视格点基本正方形的对角线垂直】 在正方形网格中求垂直直线时，很多同学凭直觉连线，忽视了“只有等腰直角三角形的对角线或者纵横格子比互为倒数反号”才能严格证明垂直，导致选错格点位置。 命题点01 尺规作图 【典例1】．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，． (1)尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若，求的长． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 命题点02 格点作图 【典例1】．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图中，画射线交于点D，平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使． 中考预测题 1.在如图所示的方格中，请按下列要求作图（每个小正方形的顶点叫格点，不要求写作法）．    (1)在图1中，请在格点上找一点D，使得； (2)在图2中，请在格点上找一点H，使得． 2.如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 3.如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，连接，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，当时，求菱形的周长． 考点二 平移旋转与对称 《解题指南》 解题技巧： 【平移与旋转的不变量锁定】 图形变换无论怎么动，对应线段相等、对应角相等、图形面积不变。平移的特征是“对应点连线平行且相等”；旋转的特征是“**任意一对对应点与旋转中心的连线均构成等腰三角形**，且顶角等于旋转角”。在旋转动态大题中，连接对应点与旋转中心，是构造全等三角形的关键辅助线。 【共顶点旋转：手拉手模型与半角模型通法】 浙江中考几何压轴题极其偏爱共顶点特殊图形（如共顶点的正方形、等腰Rt△）。只要看到这类图形： ① 手拉手模型：立刻锁定连结外侧顶点构成的三角形，直接证明全等（相似），完成线段和角度的转化。 ② 旋转代换法：若条件极其分散，尝试将图形绕着公共顶点旋转 90°（或 60°），将离散的动点路径或平方和关系（如勾股定理）集中到一个Rt△中直接求解。 命题点01 平移与平移的性质 【典例1】．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【典例5】．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 命题点02 轴对称与轴对称性质 【典例1】．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川雅安·中考真题）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【典例3】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【典例4】．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 命题点03 轴对称与中心对称的图形辨别 【典例1】．（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·江苏徐州·中考真题）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   命题点04 中心对称的性质 【典例1】．（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 【典例3】．（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 命题点05 旋转与旋转的性质 【典例1】．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）如图，矩形中对角线交于点，，点绕点顺时针旋转得点，连结分别交于点，若，则的值为___________． 【典例3】．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【典例4】．（2025·浙江丽水·二模）如图，在5×5的方格纸中，三个顶点在格点上．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． (1)在边上找一点，使得； (2)将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 中考预测题 1.下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 4.如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 考点三 比例及比例的应用 《解题指南》 易错提醒： 【平行线分线段成比例的字母对应错位】 在“A字型”或“X字型”平行线截线模型中，部分同学列比例式时上下颠倒或字母张冠李戴。例如在 X 字型中错把对应线段写成同一直线上的连续段，导致交叉相乘方程列错。 【误把相似图形的面积比直接等同于比例尺（相似比）】 常常在填空题中，已知两地图或相似图形比例尺（线段比）为 1:2000，求面积比时直接套用 1:2000。切记：**面积比等于相似比的平方**，必须平方后才能使用。 命题点01 比例的性质 【典例1】．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【典例2】．（2025·浙江舟山·三模）当时，则________． 命题点02 成比例线段 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为________． 【典例3】．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为________． 命题点03 黄金分割 【典例1】．（2022·浙江温州·模拟预测）乐器古筝示意图如图所示，弦的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若分米，则玛子离较远的端点A的距离为（   ） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【典例2】．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【典例3】．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【典例4】．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 命题点04 平行线所截的等比例线段 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【典例2】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A．3 B．4 C．4．5 D．6 【典例3】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例5】．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 中考预测题 1.若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 2.黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“安”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“安”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长更接近的整数是___________． 考点四 相似三角形 《解题指南》 易错提醒： 【动态相似三角形对应字母未固定导致的漏解（极高频失分点）】 浙江中考大题最后一问若出现“探究是否存在点 P，使得 ΔABC 与 ΔPQR 相似”，此时**顶点的对应顺序完全是不确定的**。很多同学默认 A 对应 P、B 对应 Q，只算出一个时间 t 或者是线段长。实际上必须分对应角讨论，通常存在两种情况， 【相似性质中边角不对应错误】 在利用“相似三角形对应边成比例”列方程时，错把非对应角所对的边组合在一起，导致代数式推导偏离轨道。 命题点01 相似图形 【典例1】．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2026·浙江杭州·模拟预测）下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【典例3】．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【典例4】．（2026·河南周口·一模）我国传统建筑中常用榫卯结构，构件之间通过凹凸结合连接，体现了几何图形的全等变换．下列变换中，不属于全等变换的是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似放大 【典例5】．（2025·浙江·模拟预测）把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 命题点02 相似图形的性质 【典例1】．（2026·江苏连云港·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【典例3】．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【典例4】．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 命题点03 相似三角形的性质 【典例1】．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【典例2】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【典例3】．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【典例4】．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 命题点04 相似三角形的判定 【典例1】．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【典例2】．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 【典例3】．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【典例4】．（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 【典例5】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 命题点05 相似三角形的应用 【典例1】．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【典例3】．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【典例4】．（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 命题点06 相似三角形的综合题 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结与交于M，射线交于点N，交于点Q，交于点K，连接，若已知的值，那么下列图形中可知其面积的是（　　） A． B．四边形 C． D． 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【典例3】．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点E，点F在上，，． (1)求证：； (2)若点D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）已知菱形，，，点E为射线上的一个动点，连结， (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，点F为上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连结，（i）的大小是否为定值？如果是定值，请求出定值，否则说明理由，（ⅱ）求的最小值． 【典例5】．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 命题点07 位似图型 【典例1】．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【典例2】．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）如图，在直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为则点的对应点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【典例5】．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【典例6】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 中考预测题 1.下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 2.正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（    ）    A． B． C． D． 3.如图，与是位似图形，点是位似中心，若 ，且的面积为2，则的面积为_____ 4.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 5.如图，，，，则的长是__________． 6.如图，在中，，为的中点，以为直径作交 于点，过点作，垂足为．记的面积为，四边形的面积为． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的值． 考点五 三角函数与解三角形 《解题指南》 解题技巧： 【非直角三角形的通用破局大招：“作高法”】 中考中的解三角形应用题或几何计算，给出的三角形往往是锐角或钝角三角形。通法是：**选择不破坏已知特殊角（如 30°、45°、60°）和已知钝角的顶点，向对边作高线**，强行将其切分成两个共高的直角三角形，化斜为直。 【实际解三角形应用题：“双RtΔ公共边方程法”】 面对无人机测距、大国重器测高等双直角三角形复合情境题，其核心通法为： ① 设未知数：通常设两RtΔ的公共直角边（或高线）为 x； ② 代数表示：利用特殊角的三角函数值，把底边上的各段线段全部用含 x 的代数式表示出来； ③ 列方程求解：利用底边总长等于各线段之和（或差）列出方程 解出 x 从而破局。该方法思路极其程序化，能确保学生在考场稳拿满分。 命题点01 正弦、余弦与正切的概念 【典例1】．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【典例2】．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例3】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【典例4】．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则_____．（用含k的代数式表示） 【典例6】．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为______． 命题点02 特殊角的三角函数 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【典例2】．（2025·浙江台州·三模）计算：． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算： (1)； (2) 【典例4】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 命题点03 三角函数综合题 【典例1】．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【典例2】．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【典例3】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 【典例4】．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为________． 命题点04 解直角三角形 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【典例2】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，点O为的中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是（     ） A． B． C．1 D． 【典例3】．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【典例4】．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为_________． 命题点05 解直角三角形的应用 【典例1】．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【典例2】．（2025·浙江·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 【典例3】．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【典例5】．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．    中考预测题 1.如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为___． 2.计算 3.榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 好题速递 1.（25-26七年级下·北京·期中）在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 2.（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 3.（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，点在边上，于，为的中点，连接，若，则（    ）． A． B． C． D． 4.（2026·江苏苏州·一模）如图，在△中，，，，将△绕边的中点旋转后得△，若直角顶点恰好落在边上，交于点，交于点，则阴影部分四边形的面积是__________．（结果保留根号） 5.（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 6.（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，． (1)尺规作图：过点C作，交线段于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)若，，求的长． 7.（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 8.（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形．    (1)若点在线段上，且平分，与交于点，延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，点是射线上一点，平分交于点，平分交于点，交延长线于点． （ⅰ）当点与点重合时，求的值； （ⅱ）当点在射线上时，如图3，连接，直接写出与的位置关系及的值． 9.（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 中考闯关 1.如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论： ①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则（   ） A． B． C． D． 3.在菱形中，分别为边上的点，且，连结，过B作垂直于，垂足为，则___________． 4.下图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点P，使． (2)请在图2中的边上找一点P，画射线，使． 5.如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点的坐标分别为，将等腰直角三角形沿轴向左平移个单位，使点平移到点． (1)在图中画出平移后得到的； (2)写出的顶点坐标． 6.如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到． (1)当点E恰好落在延长线上时，求的度数； (2)在（1）的条件下连结交于点D．若，，求的长． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在图中找到D点，连接，使（D为格点）； (2)连接，则线段的长为________； (3)若E为的中点，求的值． 8.已知内接于，且，为的直径，连接交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，记的面积为S，若，求四边形的面积（用含S的代数式表示）． 9.春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高频考点07 图形的变化 内容概览 01命题探源·考向解密（分析近3年中考考向与命题特征） 02根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等） 03高频考点·妙法指津（5大命题点+18道中考预测题，） 考点一 尺规作图与格点作图 命题点1尺规作图 命题点2格点作图 中考预测题3道 考点二 图形的位置变化 命题点1平移与平移的性质 命题点2轴对称与轴对称性质 命题点3轴对称与中心对称的图形识别 命题点4中心对称的性质 命题点5旋转与旋转的性质 中考预测题4道 考点三 比例与比例的应用 命题点1比例的性质 命题点2成比例线段 命题点3黄金分割 命题点4平行线所截的等比例线段 中考预测题2道 考点四 相似三角形 命题点1相似图形 命题点2相似图形的性质 命题点3相似三角形的性质 命题点4相似三角形的判定 命题点5相似三角形的应用 命题点6相似三角形的综合题 命题点7位似图形 中考预测题6道 考点五 三角函数与解三角形 命题点1正弦，余弦与正切的概念 命题点2特殊角的三角函数 命题点3三角函数综合题 命题点4解直角三角形 命题点5解直角三角形的应用 中考预测题3道 04好题速递·分层闯关（精选9道最新名校模拟试题+9道中考闯关题） 考点 考向 命题特征 尺规作图与格点作图 1. 尺规作图：考查五种基本作图（作线段、角、角平分线、垂直平分线、垂线）的实际延展。 2. 格点作图：在正方形网格中，考查利用无刻度直尺画平行线、垂线、等腰三角形、相似三角形，或寻找格点使某图形面积固定。 属于必考的常规基础/中档题，通常以选择题、填空题形式出现。网格作图多结合全等、相似或勾股定理。近年命题更偏向于通过“无刻度直尺作图”的作图步骤，来考查背后深层次的几何逻辑推理。 图形的位置变化 1. 基础变换性质：考查对应点、对应线段、对应角在平移、旋转、轴对称前后的位置与数量不变性。 2. 变换压轴模型：核心考查轴对称最值（将军饮马、费马点模型）和旋转变换压轴（半角模型、手拉手模型、费马点模型等）。 属于中档到高难度压轴题的热门载体，在选择、填空或大题压轴均可出现。尤其是“旋转变换”，几乎是浙江各地市几何压轴大题（如杭州、温州卷最后一问）的御用背景，极其考验动态几何中的分类讨论思想。 比例与比例的应用 1. 比例线段性质：考查比例尺、比例中项、合分比定理的直接应用。 2. 平行线分线段成比例定理：重点考查“A字型”、“X字型”及梯形模型中平行线截线段成比例的计算。 3. 黄金分割：结合实际情境或代数方程考查黄金比的计算。 分值相对较小（3分左右），多为基础或中档的选择填空题。但它是几何计算的基础工具，通常不单独出大题，而是深度嵌入到相似三角形、圆、二次函数等综合大题的线段推导流程中。 相似三角形 1. 相似判定与性质：考查对应角相等、对应边成比例；相似三角形面积比等于相似比的平方、周长比等于相似比。 2. 相似核心模型：高频考查“A字型”、“X字型”、“母子相似（双垂直模型）”以及“手拉手旋转相似”。 3. 动态相似：在动点运动过程中，探究某两个三角形相似的临界条件并求对应时间或线段长。 几何板块的重中之重，分值通常在8-10分。百分之百在解答题大题或填空压轴题中出现。浙江中考极擅长考查“动态相似”，当三角形对应角不确定时，必须分类讨论字母的对应顺序，属于区分度极高的压轴题。 三角函数与解三角形 1. 三角函数定义：考查正弦、余弦、正切的几何定义以及特殊角（30°、45°、60°）三角函数值的记忆与混合运算。 2. 解直角三角形应用：重点考查仰角、俯角、坡度坡角、方位角情境。多以无人机测距、航海导航、建筑测高为实际生活背景。 3. 解斜三角形：考查通过作辅助线高线，将非直角三角形转化为直角三角形求解。 属于中档常规得分题，分值在6-8分。通常在客观题考查基础计算，在解答题中以“实际应用题”独立设题。近年命题常结合社会热点或大国重器工程设置情境，题干信息长、已知角度多，考查学生的图表阅读和建模能力。 考点一 尺规作图与格点作图 《解题指南》 易错提醒： 【尺规作图痕迹的擦除或不规范】 题目明确要求“保留作图痕迹”。部分同学在画完图后把辅助弧线擦掉，或者作图痕迹过于潦草无法辨认，导致直接被扣除作图分。此外，未用铅笔或黑色水笔加粗终点图形也是常见扣分点。 【忽视格点基本正方形的对角线垂直】 在正方形网格中求垂直直线时，很多同学凭直觉连线，忽视了“只有等腰直角三角形的对角线或者纵横格子比互为倒数反号”才能严格证明垂直，导致选错格点位置。 命题点01 尺规作图 【典例1】．（2023·浙江湖州·中考真题）如图，已知，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点P，连接，过点P作直线，交OB于点E，过点P作直线，交于点F．若，，则四边形的面积是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过P作于M，再判定四边形为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【详解】解：过P作于M，    由作图得：平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为平行四边形，， ∴， ∴， 设， 在中，， 即：， 解得：， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 【典例2】．（2025·浙江杭州·二模）如图，在中，以点为圆心，适当长度为半径作弧，与交于点，，分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点．以点为圆心，长为半径作弧，与交于点，连结，交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法和性质，等线段的作法和性质，等边对等角，三角形的内角和定理等内容．根据三角形的内角和定理和角平分线的性质得出，，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知平分，， ， ， ， 故选：B． 【典例3】．（2025·江苏南京·中考真题）尺规作图：如图，点在直线外，过点作与直线平行的直线． 【答案】见解析 【分析】本题考查作图复杂作图，平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用同位角相等，两直线平行作出图形即可． 【详解】解：如图，直线即为所求． 作，利用同位角相等，两直线平行可知． 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，在中，，． (1)尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题． （1）根据要求作出图形； （2）利用平行线分线段成比例定理求解． 【详解】（1）解：图形如图所示： 作法：①以点为圆心，小于线段长度为半径画弧，交于，交于； ②以点为圆心，线段长为半径画弧，交于； ③以点为圆心，线段长为半径画弧，交②中的弧于，作射线经过点K，即为所求； ④由作图步骤可知，，易证≌，则； （2）解：如图： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例6】．（2025·陕西·中考真题）如图，在中，．请利用尺规作图法求作一点，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作已知线段的垂直平分线，作已知直线的平行线，掌握尺规作图的步骤是解题的关键． 根据垂直平分线的判定定理可知点P在的垂直平分线上，先作出的垂直平分线，再过点C作，则两条直线的交点即为所求． 【详解】解：如图，点即为所求． 命题点02 格点作图 【典例1】．（2023·浙江绍兴·中考真题）如图是的网格，每个小正方形的边长均为1，半圆上的点均落在格点上．请按下列要求完成作图：要求一：仅用无刻度的直尺，且不能用直尺中的直角；要求二：保留作图痕迹． (1)在图中作出弧的中点D． (2)连结，作出的角平分线． (3)在上作出点P，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连与网格线交于一格点，以O为端点，作射线与圆弧交于点D， （2）作射线，则即是的角平分线， （3）连结并延长，交的延长线于点与交于点F，连结并延长交于点P，则． 本题考查了无刻度直尺作图，垂径定理，圆周角定理，角平分线的性质定理，解题的关键是：熟练掌握无刻度直尺作图，与相关定理的结合． 【详解】（1）解：由格点可知为中点，根据垂径定理可得，点D为弧的中点，点D即为所求， （2）解：∵点D为弧的中点， 根据圆周角定理，可得，即为所求， （3）解：∵为直径， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，作图如下： ． 【典例2】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，的三个顶点均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． (1)在方格纸中，画出（点在格点上），满足，且的面积是5； (2)在的边上画出点，使线段的长是3个单位长度（保留作图痕迹，体现作图过程），连接，并直接写出的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析， 【分析】（1）作，边上的高为，，，则； （2）取格点和，使，，连接交边于点，利用相似三角形的判定和性质求得；作，证明，求得，，，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：点如图所示： 作，则， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了格点作图，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务，每个任务的画线不得超过三条． (1)在图中，画射线交于点D，平分的面积； (2)在（1）的基础上，在射线上画点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据中线平分三角形的面积，利用矩形的对角线交点为中点的思路解答即可； （2）利用三角形全等构造垂直，再利用平行四边形构造中位线定理，利用线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质可证明． 本题考查了无刻度直尺作图，熟练掌握矩形的性质，中线的性质，平行四边形的判定和性质，中位线定理，线段垂直平分线，等腰三角形的性质解答是关键． 【详解】（1）解：根据中线平分三角形的面积，利用矩形的对角线交点为中点的思路，画图如下： 则点D即为所求． （2）解：画图使得，得交点为H， 连接与的延长线交于点G，易证四边形是平行四边形， 得到， 又， 故，得到， 得到直线是线段的垂直平分线， 连接，交直线于点E， 则，根据， 得到， 则点E即为所求． 中考预测题 1.在如图所示的方格中，请按下列要求作图（每个小正方形的顶点叫格点，不要求写作法）．    (1)在图1中，请在格点上找一点D，使得； (2)在图2中，请在格点上找一点H，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格特点利用平移作图即可； （2）根据网格特点利用平移作即可． 【详解】（1）解：如图，点D即为所求；    （2）解：如图，点H即为所求．    2.如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)相等或互补 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据平行线的性质得出角之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：与的数量关系为相等或互补，理由如下： 如图1所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与的数量关系为相等或互补． 3.如图，矩形的对角线相交于点． (1)尺规作图：请在右侧作出点，连接，使四边形是菱形（不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，当时，求菱形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)40 【分析】（1）分别以点C、D为圆心为半径画弧，两弧相交于E，连接，即可； （2）根据矩形的性质及勾股定理确定，，再求菱形的周长即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求作的菱形． （2）解：∵矩形的对角线相交于点． ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵菱形， ∴菱形的周长为：． 考点二 平移旋转与对称 《解题指南》 解题技巧： 【平移与旋转的不变量锁定】 图形变换无论怎么动，对应线段相等、对应角相等、图形面积不变。平移的特征是“对应点连线平行且相等”；旋转的特征是“**任意一对对应点与旋转中心的连线均构成等腰三角形**，且顶角等于旋转角”。在旋转动态大题中，连接对应点与旋转中心，是构造全等三角形的关键辅助线。 【共顶点旋转：手拉手模型与半角模型通法】 浙江中考几何压轴题极其偏爱共顶点特殊图形（如共顶点的正方形、等腰Rt△）。只要看到这类图形： ① 手拉手模型：立刻锁定连结外侧顶点构成的三角形，直接证明全等（相似），完成线段和角度的转化。 ② 旋转代换法：若条件极其分散，尝试将图形绕着公共顶点旋转 90°（或 60°），将离散的动点路径或平方和关系（如勾股定理）集中到一个Rt△中直接求解。 命题点01 平移与平移的性质 【典例1】．（2025·辽宁·中考真题）在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，将线段平移得到线段，点的对应点的坐标为，则点的对应点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变换—平移，根据平移的性质，由点A平移后的对应点C的坐标确定平移规则，再应用于点B即可得到点D的坐标． 【详解】解：由题意，点向上平移5个单位得到点， ∴点向上平移5个单位得到点， ∴点的坐标为，即； 故选B． 【典例2】．（2025·河北·中考真题）在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．如图，正方形与正方形的顶点均为整点．若只将正方形平移，使其内部（不含边界）有且只有，，三个整点，则平移后点的对应点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图象，一次函数的平移，待定系数法求得直线的解析式为，根据选项判断平移方式，结合题意，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为，代入 ∴ ∴ ∴直线的解析式为 ∵， A. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时经过原点，对应的经过整点，符合题意， B. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时原点在下方，对应的在整点上方，不符合题意， C. 当为时，平移方式为向右平移个单位，， ∴直线平移后的解析式为，此时点在正方形内部，不符合题意， D. 当为时，平移方式为向右平移个单位，向上平移个单位， ∴直线平移后的解析式为，此时点和在正方形边上或内部，不符合题意， 故选：A． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）四个相同的“中国结”的悬挂位置如图所示，已知悬挂点A，B，C，D的坐标分别是，，，．下列平移中，能使四个“中国结”关于y轴对称的是（   ） A．将A向右平移5个单位 B．将B向右平移5个单位 C．将C向右平移4个单位 D．将C向右平移2个单位 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称变换，以及图形的平移，关键是掌握关于y轴对称点的坐标特点：纵不变，横相反． 根据关于y轴对称点的坐标特点解答即可． 【详解】解：将A向右平移5个单位，可得，能使四个“中国结”关于y轴对称． 故选：A 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质：“对应点所连线段平行（或共线）且相等；对应线段平行（或共线）且相等．”是解题的关键．利用平移的性质，找出对应线段相等的关系，进而求出阴影部分的周长． 【详解】解：由题知，由沿方向平移得到， ， 阴影部分的周长为：（cm）． 故选：B． 【典例5】．（2025·江苏淮安·中考真题）点沿y轴向上平移4个单位长度后点的坐标是______． 【答案】 【分析】本题考查的是坐标平移，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．根据“上加下减”的原则求得平移后点的坐标即可． 【详解】解：点沿y轴向上平移4个单位长度后的点坐标是，即． 故答案为：． 命题点02 轴对称与轴对称性质 【典例1】．（2025·山东德州·中考真题）“九达天衢”写成篆体，四个篆体字中可以看作轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称图形的定义，正确理解轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形的定义，如果一个图形沿着一条直线对折后，两部分完全重合，那么这个图形就是轴对称图形，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、“九”写成篆体后，整体形状不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项B、“达”写成篆体后，左右两侧形状不一致，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 选项C、“天”写成篆体后，能找到一条直线，使该字沿中间竖直方向对折后两部分完全重合，是轴对称图形； 选项D、“衢”写成篆体后，左右结构不对称，找不到一条直线，使该字沿此直线对折后两部分完全重合，不是轴对称图形； 故选：C． 【典例2】．（2025·四川雅安·中考真题）某中学八年级（1）班同学在学习了《利用轴对称设计图案》一课后，一小组设计了如图所示的轴对称图案，某同学大胆提议，从a，b，c，d四个方格中选一方格进行阴影填涂，使得填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形，则应选取的方格是（   ） A．a B．b C．c D．d 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解． 【详解】解：如图，当把a方格填涂上阴影，填涂后的整个阴影部分依然是轴对称图形． 【典例3】．（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 【典例4】．（2025·山东济南·中考真题）如图，正方形纸片中，E是上一点，将纸片沿过点E的直线折叠，使点A落在上的点G处，点B落在点H处，折痕交于点F．若，，则___________． 【答案】/ 【分析】由折叠性质可知，进而利用同角的余角相等证明，由此即可得出，进而确定．在中，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：如图，连接交于点，过点作，垂足为， 则， ∵正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠可知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 设正方形边长为，则， ∵， ∴， 在中，，即 解得：或（不合题意舍去） ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，掌握折叠的性质，根据垂直模型证明是解题关键． 命题点03 轴对称与中心对称的图形辨别 【典例1】．（2025·山东济南·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； ．不是轴对称图形是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 【典例2】．（2025·四川巴中·中考真题）下列图形中，既是无盖正方体盒子的表面展开图，又是轴对称图形和中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体的展开图，轴对称图形以及中心对称图形的识别，根据轴对称图形和中心对称图形定义，以及无盖正方体的展开图的特征逐项判定即可． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形和中心对称图形，但不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； C、该图形是轴对称图形和中心对称图形，也是无盖正方体盒子的表面展开图，符合题意； D、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，是无盖正方体盒子的表面展开图，不符合题意； 故选：C． 【典例3】．（2025·江苏徐州·中考真题）传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴．徐州出土汉代玉器的下列纹样，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形和中心对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；在平面内一个图形绕着一点旋转180度，旋转后的图形与原来的图形完全重合，这个图形就叫做中心对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意； D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不合题意； 故选：B． 命题点04 中心对称的性质 【典例1】．（2025·浙江湖州·二模）如图，矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形．若已知矩形的周长，则能够求出长度的线段是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是矩形，正方形的性质，中心对称图形的性质，根据题意设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为，再进一步求解即可． 【详解】解：∵矩形被分割成两个全等的小矩形和三个正方形后仍是中心对称图形． ∴两个大的正方形相同，两个矩形相同， 设两个大的正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴小矩形的两边分别为，，大的矩形两边长分别为，， ∵矩形的周长已知，设为， ∴, 解得：， ∴两个大的正方形的边长为， ∴能够求出长度的线段是， 故选A. 【典例2】．（2025·浙江杭州·二模）如图，在正方形与正方形中，点是的三等分点，点与点关于点成中心对称．连结．若，则的长为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，设正方形的边长为，则正方形的边长为，用表示出，即可求得，再利用勾股定理求得即可，正确利用题中条件求得两个正方形的边长是解题的关键． 【详解】解：设正方形的边长为， 点是的三等分点， ， 则正方形的边长为， ，， ， 则可得方程， 解得（负值舍去）， 如图，连接，过点作交于点， 点与点关于点成中心对称， 三点共线，且, ， ， ， ， ， 故答案为：． 【典例3】．（2025·河北·一模）如图，四边形为平行四边形，点从点出发向点运动，为平行四边形的中心，射线和相交于点，若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，由得，所以，，由平行四边形的性质得，所以，，最后根据，即可求解． 【详解】解：连接， 四边形是关于点的中心对称，为过中心的线段， ，， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ，、、三点在同一直线上， ， ， ， 故答案为：． 命题点05 旋转与旋转的性质 【典例1】．（2025·浙江湖州·二模）如图，将绕点B顺时针旋转得到，点A，C的对应点分别为点D，E，的延长线分别交，于点F，G，下列结论一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查旋转的性质，三角形内角和定理，由旋转前后对应角相等，可得，结合，可得，可证结论D正确． 【详解】解：将绕点B顺时针旋转得到， ，， 又 ，， ， ， 故选项D结论一定正确， 现有条件，不能证明选项A，B，C中结论一定正确， 故选：D． 【典例2】．（2025·浙江杭州·三模）如图，矩形中对角线交于点，，点绕点顺时针旋转得点，连结分别交于点，若，则的值为___________． 【答案】 【分析】先根据矩形的性质得出，，，，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，根据旋转的性质得出，，根据等边对等角和三角形外角的性质可得出，根据等角对等边得出，根据比的性质并结合已知可求出，证明，根据相似三角形的性质得出，，则，，在中根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵矩形， ∴，，，， ∴， 又， ∴， ∵旋转， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，相似三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识， 掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 【典例3】．（2025·山东东营·中考真题）如图，四边形是正方形，E为上一点，将绕点A顺时针旋转至，连接，于点H，交于点G．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】连接，根据旋转知，则和，可知垂直平分，有，设，则和，利用勾股定理列出代入求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由旋转可知， ∴，，， ∴点F、B、C三点共线， ∵ ， ∴ H为的中点， ∴垂直平分， ∴， 设， ∵，， ∴正方形的边长为3， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得， ∴的长为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、中垂线的判定和性质以及勾股定理的应用，解题的关键是熟悉旋转的性质和利用勾股定理列方程． 【典例4】．（2025·浙江丽水·二模）如图，在5×5的方格纸中，三个顶点在格点上．用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，保留作图痕迹，不要求说明理由． (1)在边上找一点，使得； (2)将绕点顺时针方向旋转，画出旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格作图，全等三角形的性质与判定，画旋转图形， （1）取的格点，连接交于点，则点即为所求 （2）根据旋转的性质找到的对应点，进而画出． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图所示，即为所求 中考预测题 1.下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、该图案由两个圆组成，右边的圆可以看作是左边的圆向右平移得到，形状、大小、方向均未改变，符合平移的特征； B、若将上半部分向下平移，无法与下半部分重合，不符合平移的定义； C、右边的三角形需要翻转才能与左边的重合，不符合平移的定义； D、该图案由一个大正方形和一个小正方形组成，两者的大小不同，无法通过平移得到． 2.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】轴对称图形和中心对称图形的定义；在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，一个图形绕某个点旋转180°，如果旋转前后的图形能互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形, 根据轴对称图形与中心对称图形的概念一一判断即可得到答案． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 3.如图，在平面直角坐标系中，点B的坐标为，将绕着点B逆时针旋转，得到，则点C的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作轴的垂线，根据旋转的性质及特殊角的三角函数值，求出垂线段长及垂足到原点的距离即可． 【详解】解：过点作轴的垂线，垂足为， 点坐标为， ． 由旋转可知， ，． 在中， ， 则， ． ， 则， 点的坐标为． 4.如图，沿方向平移到的位置，若，则____________． 【答案】5 【详解】解：∵沿方向平移到的位置， ∴． 考点三 比例及比例的应用 《解题指南》 易错提醒： 【平行线分线段成比例的字母对应错位】 在“A字型”或“X字型”平行线截线模型中，部分同学列比例式时上下颠倒或字母张冠李戴。例如在 X 字型中错把对应线段写成同一直线上的连续段，导致交叉相乘方程列错。 【误把相似图形的面积比直接等同于比例尺（相似比）】 常常在填空题中，已知两地图或相似图形比例尺（线段比）为 1:2000，求面积比时直接套用 1:2000。切记：**面积比等于相似比的平方**，必须平方后才能使用。 命题点01 比例的性质 【典例1】．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【典例2】．（2025·浙江舟山·三模）当时，则________． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，设，再把代入所求式子中计算求解即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴可设， ∴, 故答案为： ． 命题点02 成比例线段 【典例1】．（2025·浙江丽水·二模）如图，中，D为边上一点，过点D作交于点E，若，，则与的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意设和，则和，根据平行线的性质得和，可求得，则即可解得答案． 【详解】解：设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 即，化简得， 整理得， 得，解得（负值舍去）， ∴， 故选：B． 【典例2】．（23-24九年级上·北京石景山·期末）如图，在矩形中，E是边的中点，连接交对角线于点F．若，则的长为________． 【答案】2 【分析】本题考查了矩形的性质，平行线分线段成比例，掌握矩形的性质是解题的关键，由矩形的性质可得，由平行线分线段成比例可得，即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， 点E是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为：2． 【典例3】．（2025·海南省直辖县级单位·模拟预测）白银比是相对于黄金分割的另一个美学比例，在建筑、绘画、雕塑等艺术领域有着广泛的应用，具体比例数值为．如图，，为白银比．已知，则的长为________． 【答案】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是利用该定理建立比例关系求出的长度． 先根据，利用平行线分线段成比例定理得到，再结合已知白银比和，求出，最后将与相加得到． 【详解】 ， ，即， ， ． 故答案为：． 命题点03 黄金分割 【典例1】．（2022·浙江温州·模拟预测）乐器古筝示意图如图所示，弦的黄金分割点C是称为玛子的支撑物，若分米，则玛子离较远的端点A的距离为（   ） A．分米 B．分米 C．分米 D．分米 【答案】B 【分析】根据黄金分割点的定义，所分较长线段的长与原线段长的比值为，由此可解． 【详解】解：∵支撑点C是靠近点B的黄金分割点， ， 分米， 即玛子离较远的端点A的距离为分米． 【典例2】．（2024·山西·中考真题）黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为________（结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解决本题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 【典例3】．（2025·甘肃兰州·中考真题）如图，黄金矩形中，以宽为边在其内部作正方形，得到四边形是黄金矩形，依此作法，四边形，四边形也是黄金矩形．依次以点E，G，L为圆心作，，，曲线叫做“黄金螺线”．若，则“黄金螺线”的长为__________．（结果用表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了黄金矩形的定义，及弧长公式．先根据黄金矩形中，且，求出，进而求出，，再根据弧长公式即可求出“黄金螺线”的长．根据黄金矩形的定义求出的长，以及熟练掌握弧长的公式是解题的关键． 【详解】解: ∵黄金矩形中，且， ∴， ∵四边形是正方形， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ∴“黄金螺线”的长为， ． 故答案为：． 【典例4】．（2025·浙江杭州·一模）如图，已知点P是线段的黄金分割点，，以点B为圆心，以长为半径画弧；再以点P为圆心，以一定长为半径画弧，两弧交于点C，连结． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先由黄金分割的定义得到，，然后由作图可知，进行等量代换，再由两边成比例且夹角相等证明相似； （2）由得到，则，再代入数据求解． 【详解】（1）证明：∵点P是线段的黄金分割点，， ∴，， 由作图可知，， ∴，即， 又， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 命题点04 平行线所截的等比例线段 【典例1】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，点，分别在边，上，，点在边上（不与点，重合），连接交于点，则下列比例式一定正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理或相似三角形的性质，分别在和中建立与、与的关系，通过中间比进行等量代换即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴，即选项C正确，符合题意． 【典例2】．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点O，F在直线上，点O，E在直线上，且，若，则的值为（　　） A．3 B．4 C．4．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再得到，，求出，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵ ， ∴， 即， 解得， 故答案为：C． 【典例3】．（2025·四川雅安·中考真题）如图，直线分别交直线，于点，，，，，，已知，，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 【典例4】．（2025·四川乐山·中考真题）如图，，，，，则的长为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】此题考查了平行线分线段成比例定理，找准线段的对应关系是解决本题的关键． 根据得到，再代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 【典例5】．（2024·浙江温州·一模）如图，在四边形中，．点E在线段上，交于点F，交于点G，交于点H，连接． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)求的值． (3)若E为的中点，，求的长． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握平行线分线段成比例，相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，可得，由，可得，则，证明，则，进而可证； （2）证明，则，证明，则，可得，可求，证明，，则，计算求解即可； （3）由（1）知，，由E为的中点，可得，由（1）可知，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 同理，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）知，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）可知， ∴，即， 解得，， ∴的长为6． 中考预测题 1.若，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵，， ∴设，， A．，故A正确； B．若，则无意义，故B错误； C．，，，故C错误； D．，故D错误． 2.黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“安”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“安”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且．若，则的长更接近的整数是___________． 【答案】2 【分析】首先根据矩形的性质得到，根据黄金分割的定义得到的长度，继而得到的长度． 【详解】解：四边形为正方形，， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ， “安”字的笔画“”的位置在的黄金分割点处，且，， ， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即， ∴更接近的整数是2，即的长更接近的整数是2． 考点四 相似三角形 《解题指南》 易错提醒： 【动态相似三角形对应字母未固定导致的漏解（极高频失分点）】 浙江中考大题最后一问若出现“探究是否存在点 P，使得 ΔABC 与 ΔPQR 相似”，此时**顶点的对应顺序完全是不确定的**。很多同学默认 A 对应 P、B 对应 Q，只算出一个时间 t 或者是线段长。实际上必须分对应角讨论，通常存在两种情况， 【相似性质中边角不对应错误】 在利用“相似三角形对应边成比例”列方程时，错把非对应角所对的边组合在一起，导致代数式推导偏离轨道。 命题点01 相似图形 【典例1】．（2025·河北·中考真题）“这么近，那么美，周末到河北”．嘉嘉周末到弘济桥游览，发现青石桥面上有三叶虫化石，他想了解其长度，在化石旁放了一支笔拍下照片（如图）．回家后量出照片上笔和化石的长度分别为和，笔的实际长度为，则该化石的实际长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似图形的性质，设该化石的实际长度为，根据题意得出，即可求解． 【详解】设该化石的实际长度为，依题意， ， 解得： 故选：C． 【典例2】．（2026·浙江杭州·模拟预测）下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 【典例3】．（2024·江苏连云港·中考真题）下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 【典例4】．（2026·河南周口·一模）我国传统建筑中常用榫卯结构，构件之间通过凹凸结合连接，体现了几何图形的全等变换．下列变换中，不属于全等变换的是（    ） A．平移 B．旋转 C．轴对称 D．相似放大 【答案】D 【详解】解：平移变换、旋转变换，轴对称变换都不改变图形的形状和大小，都属于全等变换； 相似放大变换改变了图形的大小，不属于全等变换. 【典例5】．（2025·浙江·模拟预测）把的长方形沿水平线或竖直线分割成4个图形，要求分割后的4个图形互为相似或全等．请分别在下列长方形中用实线画出4种不同的分割方法（翻转后如果同另一种分割重叠的话，将视作是同一种分割方法）． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似图形和全等图形，根据相似图形的形状相同，全等图形的形状和大小均相同，进行求解即可． 【详解】解：由题意，分割如下：（画出其中任意4个即可） 命题点02 相似图形的性质 【典例1】．（2026·江苏连云港·一模）如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由相似多边形的对应边成比例，即可求解． 【详解】解：设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， ∴， ∴缩小后的宽是， 缩小后的矩形的面积． 【典例2】．（2026·辽宁沈阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点A、C在坐标轴上，矩形与矩形是以点O为位似中心的位似图形，点B的坐标为．若，则的长是（　　） A．3 B．6 C．2 D．4 【答案】D 【分析】先由点的坐标确定矩形的边长；再结合得到新边长；接着利用位似图形对应线段成比例的性质，列出比例式，计算出；最后用减去，得到结论． 【详解】解：∵点的坐标为，矩形与矩形是以点为位似中心的位似图形， ∴，，即，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【典例3】．（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，装裱一幅宽、长的矩形画，要使装裱完成后的大矩形与原矩形画相似，装裱上去的上下部分宽都为，若装裱上去的左右部分的宽都为，则（    ） A．9 B．12 C．16 D．18 【答案】A 【分析】本题考查了相似图形的性质，解分式方程的运用，根据相似的性质“对应边成比例”即可求解． 【详解】解：根据题意，大矩形的长为：（），宽为：， ∵大矩形与原矩形画相似， ∴或， 解得，或（不符合题意，舍去）， 检验，当时，原分式方程的分母不为0，有意义， ∴， 故选：A ． 【典例4】．（2026·河北邯郸·模拟预测）如图，四边形四边形，则________． 【答案】 20 【详解】解：∵四边形四边形， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴． 命题点03 相似三角形的性质 【典例1】．（2025·贵州·中考真题）如图，已知，若，则的长为（  ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选C． 【典例2】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，点，，分别在边，，上，连接，，已知四边形是平行四边形，．若的面积为3，则平行四边形的面积为（   ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质和判定，掌握相关知识是解决问题的关键．利用平行四边形的性质先说明、，再利用相似三角形的性质求出、、的面积，最后利用面积的和差关系得结论． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得， ， ， ， ，． ， ，， ， ． 故选：B． 【典例3】．（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为________ 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 【典例4】．（2024·江苏扬州·中考真题）物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的应用，由题意得，，过作于点，交于点，利用已知得出，进而利用相似三角形的性质求出即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】由题意得：， ∴， 如图，过作于点，交于点， ∴，， ∴，即， ∴（）， 即小孔到的距离为， 故答案为：． 命题点04 相似三角形的判定 【典例1】．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，是等边三角形，为边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由旋转的性质可得是等边三角形，则，由是等边三角形，可得，由等量代换可得，命题得证； （2）过点作于点．由等边三角形的性质和勾股定理可得，，，则，利用计算出的值即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可知，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：过点作于点． ∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴， 由勾股定理可得，，， ∴， 由（1）得， ∴，即， 解得． 【典例2】．（2025·浙江金华·二模）如图，在中，已知，，，点在上．连结，过点作交于点，交于点． (1)求证：． (2)过点作交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用两角对应相等证明； （2）先证，推出，再证，推出，设，则，，根据求出x值，即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设，则，， ， ， ． 【典例3】．（2026·浙江杭州·模拟预测）如图，在四边形中，，直线分别交，的延长线于点，，分别交，，于点，，，已知，求的值． 【答案】 【分析】由，容易证明，则，由平行可判定，则，因此，计算出的值 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【典例4】．（2026·浙江湖州·模拟预测）某科学小组进行了小孔成像相关实验探究，装置如图所示，物体，幕布，光线经小孔O成像，物体成像后的顶端与E重合，底端落在点D处． (1)求证：． (2)已知，求物体的高度（即线段的长）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据题意得到，再根据相似三角形的判定即可求解； （2）根据相似三角形的性质得到，结合图形得到，代入计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ， ∴， ，， ∴， ∴． 【典例5】．（2025·山东滨州·中考真题）如图，中，，．以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点E，F；以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点H，以点H为圆心，的长为半径画弧，两弧交于点G；连接并延长交于点D． (1)求证：； (2)当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握尺规作一个角等于已知角，是解题的关键： （1）根据作图可知，结合，即可得证； （2）等边对等角求出的度数，根据，推出，根据，得到，进而得到，设，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：由作图可知，． 又∵， ∴． （2）解：∵，， ∴． 由（1）得． ∴． ∴， ∴， ∴． 由（1）知， ∴． ∵且， ∴． ∴． ∵，设，则，即． 解得或（舍去）． ∴的长为． 命题点05 相似三角形的应用 【典例1】．（2025·四川内江·中考真题）阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 【典例2】．（2025·江苏无锡·中考真题）某校数学研究性学习小组为测量物体的高度，开展了如下综合与实践活动． 【活动主题】测量物体的高度 【测量工具】卷尺、标杆 【活动过程】 活动1：测量校内旗杆的高度 该小组在校内进行了旗杆高度的测量活动（示意图1）．在点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、旗杆顶在同一条直线上．已知旗杆底端与、在同一条直线上，，． （1）求旗杆的高度． 活动2：测量南禅寺妙光塔的高度 南禅寺妙光塔，简称“妙光塔”，始建于北宋雍熙年间，是无锡著名的文物保护单位之一、该小组为全面了解本土历史文物，决定走出校园去测量妙光塔的高度．他们到达妙光塔后，发现塔顶和塔底中心均无法到达．经研究，设计并实施了如下测量活动（示意图2）．在地面一条水平步道上的点处竖立标杆，直立在点处的小军从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．小军沿的方向走到点处，此时标杆竖立于处，从点处看到标杆顶、塔顶在同一条直线上．已知、和在同一平面内，点在同一条直线上，，． （2）求妙光塔的高度． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查相似三角形的应用，添加辅助线构造相似三角形是解题的关键． （1）于点H，交于点G，得矩形，，证明，根据对应边成比例得，代入数据求解即可； （2）于点H，交于点M，交于点，同（1）证明，推出，同理可得，推出，代入数值计算出，再代入，求出，进而即可求解． 【详解】解：（1）如图，于点H，交于点G， 则四边形，均为矩形， ，，， ， 由题意知， ，， ， ，即， 解得， ， 即旗杆的高度为． （2）如图，于点H，交于点M，交于点， ， 点P在线段上，四边形，，，均为矩形， ，，， ， ， 由题意知， ，， ， ， 同理可得， ， ， ，， ， 解得， ， 代入，得：， 解得， 即妙光塔的高度为． 【典例3】．（2025·河南·中考真题）焦裕禄纪念园是全国重点革命烈士纪念建筑物保护单位，革命烈士纪念碑位于纪念园南部的中心．某综合与实践小组开展测量纪念碑高度的活动，记录如下． 活动主题 测量纪念碑的高度 实物图和测量示意图 测量说明 如图，纪念碑位于有台阶的平台上，太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处，位于点处的观测者眼睛所在位置为点，点在一条直线上，纪念碑底部点在观测者的水平视线上． 测量数据 备注 点在同一水平线上． 根据以上信息，解决下列问题． (1)由标杆的影子的长和标杆的长相等，可得，请说明理由． (2)求纪念碑的高度． (3)小红通过间接测量得到的长，进而求出纪念碑的高度约为．查阅资料得知，纪念碑的实际高度为．请判断小红的结果和（2）中的结果哪个误差较大？并分析误差较大的可能原因（写出一条即可）． 【答案】(1)见解析； (2)纪念碑的高度为． (3)小红的结果误差较大，理由见解析 【分析】本题考查了平行投影，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据平行投影的性质可得，即可证明结论； （2）令与的交点为，则四边形和是矩形，设，证明，得到，求出的值即可； （3）比较纪念碑的实际高度与小红和（2）中的结果，得到误差较大的一方，再分析可能的原因即可． 【详解】（1）解：太阳光下，其顶端的影子落在点处，同一时刻，竖直放置的标杆顶端的影子落在点处， ， 标杆的影子的长和标杆的长相等，即， ； （2）解：如图，令与的交点为， 则四边形和是矩形， ，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 解得：， 答：纪念碑的高度为． （3）解：纪念碑的实际高度为，小红求出纪念碑的高度约为，（2）中纪念碑的高度为， 则小红的结果误差较大， 理由是：纪念碑位于有台阶的平台上，点的位置无法正确定位，使得的长存在误差，影响计算结果． 【典例4】．（2025·浙江杭州·一模）小区内开车必须遵守限速安全规范．如图，在某小区拐角处的一段道路上，有一儿童在处玩耍，一辆汽车从被楼房遮挡的拐角另一侧的处驶来，经过秒直行到处刚好观察到处的儿童（此时三点共线）．已知，，，，试问该汽车是否遵守行车安全规范？（参考数据：，，） 【答案】小车行驶符合安全规范 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 先由勾股定理得，证明，则，求出 ，再求出 ，最后比较即可． 【详解】解：中，， 由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， 在中，，， ∴ ， ∴， ∴小车行驶的速度为， ∴小车行驶符合安全规范． 命题点06 相似三角形的综合题 【典例1】．（2025·浙江·模拟预测）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结与交于M，射线交于点N，交于点Q，交于点K，连接，若已知的值，那么下列图形中可知其面积的是（　　） A． B．四边形 C． D． 【答案】C 【分析】本题先通过设元表示线段的长，在设元过程中，为方便起见，弦图一般设外边直角三角形的直角边为元，不妨设，，因此的值已知．分析图形发现，所有直角三角形分为两类，即与相似的直角三角形和与相似的直角三角形，结合所设x和y，可以分别表示出所需要的等线段长度，而要求和的面积，不妨过点K作高，表示出这条高的线段长度即可，再者，要求四边形的面积，可以通过等量代换可知它与的面积相等，然后得出正确结果即可． 【详解】解：如图，作于点P，设，，则的值已知． 不妨设，则有，其中a为常数． 根据旋转对称性易知；．从而得到：；． ∵， ∴有，即有，，所以，，其面积随着x和y值的变化而变化，所以A错误． 由全等可知，， ∴， ∵， ∴， ∴ ， 其面积随着x和y值的变化而变化，所以B错误． ∵，可知，即，解得； 又∵，可知，即，解得； ∴，化简得， ∴， ∵a为常数， ∴选项C正确； 而，其面积随着x和y值的变化而变化，所以D错误． 故选：C． 【典例2】．（2025·山东东营·中考真题）如图，已知四边形是菱形，，对角线、相交于点O，过点D作交的延长线于点E，F为的中点，连接交于点G，连接交于点H，连接．则下列结论：①四边形为平行四边形；②；③；④．其中正确的有（    ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】由菱形的性质得出，，进而可求出，由含30度直角三角形的性质得出，结合已知条件即可判定①．根据相似三角形的判定和性质即可判定②．证明是等边三角形，由等边三角形的性质进一步证明，由相似三角形的性质进而可判定③，过点H作与点Q，通过解直角三角形求出，，再求出，最后再根据正切的定义求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵F为的中点， ∴， ∴， 又， ∴四边形为平行四边形，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 又∵，， ∴，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； 如下图，过点H作与点Q， 设菱形的边长为，则， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，故④正确， 故选D 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，解直角三角形的相关计算，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，掌握这些知识是解题的关键． 【典例3】．（2025·浙江丽水·二模）如图，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点E，点F在上，，． (1)求证：； (2)若点D为的中点， ①求证：； ②若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）证即可得证； （2）①先证，得到，再根据，证出，，即可得证； ②设，证出，，得，由此证明，根据相似三角形的性质求出,再证，推出，由此求出，过点D作于点H，则，根据三角函数定义求出的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； ②设， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 设， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴, ∵， ∴， ∴，即, 解得， ∴， 过点D作于点H，则， ∴． 【点睛】此题考查圆的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，平行线的性质等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 【典例4】．（2025·浙江·模拟预测）已知菱形，，，点E为射线上的一个动点，连结， (1)如图1，若，求的长； (2)如图2，点F为上一点，且，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连结，（i）的大小是否为定值？如果是定值，请求出定值，否则说明理由，（ⅱ）求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)（i）的大小为定值；（ii） 【分析】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握判定两三角形相似的方法是解本题的关键． （1）根据菱形的性质得到，，，根据平行线到现在得到，求得，根据勾股定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定定理得到，根据相似三角形的性质得到结论； （3）（i）根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论； （ii）根据相似三角形的性质得到，当最小时，有最小值，如图，作的外接圆，交BD于，当F与重合时，DF最小，此时，，，，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：，， ， ， ， ； （3）解：（i）， ， ， ∽， ， 的大小为定值； （ii）， ， 是定值， 当DF最小时，有最小值， 如图，作的外接圆，交于，当F与重合时，最小， 此时，，，， ， ， ， ， 即的最小值是 【典例5】．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在四边形中，，点在四边形内，，于点，将沿翻折，点恰好与点重合，延长交折痕的延长线于点，，则点到直线的距离为__________． 【答案】/ 【分析】过点作，交的延长线于，过点作于，可证得，进而证得四边形是正方形，再证得，求得，利用三角函数求得，即可求得答案． 【详解】解：过点作，交的延长线于，过点作于，如图， ∵将沿翻折，点恰好与点重合， ， ， ∴四边形是矩形， ， ， 即， ， ， ， ， ， ∴四边形是正方形， ， ， 在中，， ， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 则点到直线的距离为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角函数等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 命题点07 位似图型 【典例1】．（2025·上海普陀·三模）如图，与位似，位似中心为点O，，的面积为4，则面积为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】此题考查了位似的性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：与位似， ． ． 的面积为4， 故选：D． 【典例2】．（2025·浙江宁波·二模）如图，四边形和四边形是位似图形，位似比为，且四边形的周长为，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似的相关知识，相似多边形的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，周长比等于相似比．根据位似图形的性质可得四边形和四边形的周长比为，即可求解． 【详解】解：∵四边形和四边形是位似图形，位似比为， ∴四边形和四边形的周长比为， ∵四边形的周长为， ∴四边形的周长为． 故选：C． 【典例3】．（2025·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，与是以为位似中心的位似图形，若，，，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查位似变换，根据位似图形的概念得到，根据点、的坐标求出相似比，再根据位似变换的性质解答即可．解题的关键是掌握：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么原图形上的点对应的位似图形上的点的坐标为或． 【详解】解：∵与是以为位似中心的位似图形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴与的相似比为， ∵点的坐标为， ∴点的坐标是． 故选：B． 【典例4】．（2025·浙江杭州·三模）如图，在直角坐标系中，与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为则点的对应点C的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或 根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以得到C点坐标． 【详解】解：与是以原点O为位似中心的位似图形，位似比为3， 而， 点的对应点C的坐标为， 即． 故选：A． 【典例5】．（2025·浙江·中考真题）如图，五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点的坐标分别为．若的长为3，则的长为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】C 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质，相似三角形的判定与性质是解题的关键． 根据位似图形的性质得到，证明，即可求解． 【详解】解：∵五边形是以坐标原点O为位似中心的位似图形，点的坐标分别为 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【典例6】．（2025·安徽·中考真题）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． (1)在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； (2)以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】（1）解：如图所示，点D即为边的中点， ∵， ∴点D的坐标为． （2）解：如图所示，即为所求作的三角形． 中考预测题 1.下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． 2.正方形和正方形的位置如图所示，点、分别在边、上，连接并延长交于点．若正方形和正方形的边长分别为4和1，则的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】证明，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 3.如图，与是位似图形，点是位似中心，若 ，且的面积为2，则的面积为_____ 【答案】18 【分析】由，可知，证明，则，与的位似比为，则与的面积比为，然后求面积即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，点是位似中心， ∴， ∴， ∴， ∴与的位似比为， ∴与的面积比为， ∴的面积为2， ∴的面积为． 4.如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点．若点的对应点为，则点的对应点的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点的对应点为，可得到相似比，即可求解． 【详解】解：∵与是位似图形，且点的对应点为， ∴与的相似比为， ∴点的对应点的坐标为． 5.如图，，，，则的长是__________． 【答案】4 【分析】利用平行线分线段成比例定理得到，代入已知数据计算即可． 【详解】解：， ． ，， ， ． 6.如图，在中，，为的中点，以为直径作交 于点，过点作，垂足为．记的面积为，四边形的面积为． (1)求证：直线与相切； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）要证直线与圆相切，连接圆心与切点，证明该半径与直线垂直即可；结合直角三角形斜边中线性质、等腰三角形性质推导平行关系，进而证垂直; （2）由直径得，即，推出为中点；结合设边长，分别求出、，进而得． 【详解】（1）证明：连接， 在中，，为的中点， （直角三角形斜边中线等于斜边的一半）， ， ， ， ， ， ， ， 又是的半径， 直线与相切． （2）解：为的直径， ，即， ， 为的中点， ，设，， 由勾股定理得：， 为中点，， ，， 在中，， ， ， ， ， ，， ， ， ． 考点五 三角函数与解三角形 《解题指南》 解题技巧： 【非直角三角形的通用破局大招：“作高法”】 中考中的解三角形应用题或几何计算，给出的三角形往往是锐角或钝角三角形。通法是：**选择不破坏已知特殊角（如 30°、45°、60°）和已知钝角的顶点，向对边作高线**，强行将其切分成两个共高的直角三角形，化斜为直。 【实际解三角形应用题：“双RtΔ公共边方程法”】 面对无人机测距、大国重器测高等双直角三角形复合情境题，其核心通法为： ① 设未知数：通常设两RtΔ的公共直角边（或高线）为 x； ② 代数表示：利用特殊角的三角函数值，把底边上的各段线段全部用含 x 的代数式表示出来； ③ 列方程求解：利用底边总长等于各线段之和（或差）列出方程 解出 x 从而破局。该方法思路极其程序化，能确保学生在考场稳拿满分。 命题点01 正弦、余弦与正切的概念 【典例1】．（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查锐角三角函数定义，勾股定理，熟练掌握锐角的正弦的定义是解本题的关键．先利用勾股定理求出，再在中利用即可求解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴， 故选：C． 【典例2】．（2025·上海嘉定·一模）在中，已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，勾股定理，利用勾股定理求出的长，再根据正切，余切，正弦和余弦的定义求解即可． 【详解】解：∵在中，已知， ∴， ∴，，，， 故选：C． 【典例3】．（2025·江苏南通·中考真题）如图，网格图中每个小正方形的面积都为．经过网格点的一条直线，把网格图分成了两个部分，其中的面积为，则的值为____________________． 【答案】 【分析】设，证明，可求得，根据的面积为，得到，求得，解方程得，根据勾股定理可得，从而可得的值． 【详解】解：如图，在图中标注，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵的面积为，网格图中每个小正方形的面积都是， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，，（舍去）， ∵ ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握以上性质． 【典例4】．（2025·湖南衡阳·模拟预测）如图，在中，，，，则的长为_____． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系和勾股定理．掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．先根据锐角三角函数的边角间关系，可求出的长，再用勾股定理求出的长． 【详解】解：在中， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：3． 【典例5】．（2025·浙江杭州·三模）如图，，为菱形的对角线，将绕点O逆时针旋转至，使得点E在线段上，若，则_____．（用含k的代数式表示） 【答案】 【分析】如图，连接，设，证明，，，，证明，可得，可得，求解，，，，再进一步利用正切的含义求解即可． 【详解】解：如图，连接，设， ∵，为菱形的对角线， ∴，，，， ∵将绕点O逆时针旋转至，点E在线段上， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∵， ∴ ∴ ； 故答案为： 【点睛】本题考查的是菱形的性质，旋转的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键． 【典例6】．（2025·浙江·一模）如图，在四边形中，，，，连结．若，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形．过作于，过作于，由等腰三角形的性质推出是的中点，是的中点，得到，判定，推出，，求出，令，，求出，，由勾股定理求出，得到，于是． 【详解】解：过作于，过作于， ，， 是的中点，是的中点， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， 令，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 命题点02 特殊角的三角函数 【典例1】．（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值： 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解． 【详解】解： ． 【典例2】．（2025·浙江台州·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、乘方、立方根的定义是解题的关键．根据特殊角的三角函数值，乘方和立方根定义进行计算即可． 【详解】解： ． 【典例3】．（2025·浙江杭州·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】此题考查了负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，异分母分式加减运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数值和立方根，然后计算加减； （2）先通分，然后计算减法，然后约分化简即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【典例4】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 命题点03 三角函数综合题 【典例1】．（2025·浙江杭州·一模）如图，在正方形中，点为的中点，点在以为直径的半圆上，，延长分别交于点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为，利用全等三角形的性质证明，，再证明，求出可得结论． 【详解】解：连接，，，交于点，设的中点为，连接，设正方形的边长为， 点为的中点， ， ， ， 是直径， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， ，， 垂直平分线段， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 故选：． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，正方形的性质，三角函数解三角形，熟练掌握以上性质和定理，灵活应用是解题的关键． 【典例2】．（2026·浙江·模拟预测）在菱形中， (1)如图1，求的长． (2)如图2，以点为旋转中心，逆时针转动，记点，旋转得到的对应点分别为，．当第一次平行于时，停止旋转． 当时，求的值． 如图3，设旋转停止前，直线交射线于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)5 (2) ， 【分析】（1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理解答即可． （2）延长交于点，根据菱形的性质，旋转的性质，三角函数的定义解答即可． 根据勾股定理，三角函数的定义，菱形的性质解答即可． 本题考查了菱形的性质，勾股定理，垂线段最短，旋转的性质，三角函数的应用，熟练掌握性质和三角函数是解题的关键． 【详解】（1）解：在菱形中， ∴， ∴． （2）①如图1，延长交于点， 由旋转变换中每条线的旋转角都相等可知，．在菱形中， ∴， ∴． ∴． 又∵， ∴， ∴． ②解 ：如图2，． ∵， ∴最小时，也最小，要想最小，只需最小． ∵为定角， ∴当时，有最小值为， 此时， ∴的最小值为 【典例3】．（2026·浙江杭州·一模）如图，在矩形中，点是对角线上一点，连接，将沿翻折，得到交于点，交于点，交于点，且． （1）若，则___________． （2）若，则四边形与的面积比为___________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查图形的折叠、矩形的性质与判定、三角形内角和定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、三角函数关系等知识，题目比较综合． （1）利用折叠的性质得到 ，结合矩形性质证得，再证明为中点，即为矩形中心，从而易证，得出，即可得出答案； （2）令，证明，利用面积公式和三角函数关系即可求出面积比． 【详解】解：（1）由折叠可知 ， ∴，， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在 中，， ∴， 设 ，则 ，， 在直角中，， 在直角中，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴为中点， 即为矩形中心， ∴ ∴， ∵， ∵ 四边形 是矩形 ， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）令， 在直角中，， 在直角中，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， 由折叠可知， 在直角中， ， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， 在直角中，， ∴， ∴， 化简得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【典例4】．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在直线上，且点A的横坐标为4，直角三角板的直角顶点C落在x轴上，一条直角边经过点A，另一条直角边与直线交于点B，当点C在x轴上移动时，线段的最小值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质．先求出点A的坐标，可得，，根据题意可得点C以的直径的圆上，取的中点D，当圆D与x轴相切时，最小，设切点C，连接，过点A作轴于点M过点D作于点E，则，设圆D的半径为a，则，根据，可求出，即可求解． 【详解】解：∵点A在直线上，且点A的横坐标为4， 当时，， ∴点， ∴， ∴， ∵， ∴点C以的直径的圆上， 如图，取的中点D， ∴当圆D与x轴相切时，最小， 设切点C，连接，过点A作轴于点M过点D作于点E，则， ∴， ∴， ∴， 设圆D的半径为a，则， ∴， 解得：， ∴， 即线段的最小值为． 故答案为： 命题点04 解直角三角形 【典例1】．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在正方形中，点在的延长线上，点是的中点，连接并延长交于点，连接，则（） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据正方形边长和已知条件求出各线段长度，通过证明三角形全等得到的长度，再利用勾股定理求出、、的长度，最后通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出． 【详解】解：∵正方形中，， ∴，． ∵， ∴． ∵是的中点， ∴． ∵，，， ∴（）， ∴，． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． 在中，，， ∴． ∵， ∴是直角三角形，且． ∴． 故选：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及勾股定理逆定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握正方形的性质并结合全等三角形和勾股定理求解线段长度是解题的关键． 【典例2】．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，等边三角形的边长为2，点O为的中点，点D在射线上运动，以为边向右作等边三角形，连接，则线段的最小值是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂线段最短、解直角三角形，连接，证明，得出，，从而可得点在射线上，当时，根据垂线段最短可得，此时的长度最小，最后解直角三角形即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵等边三角形的边长为2，点O为的中点， ∴，，， ∵三角形为等边三角形， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴点在射线上， ∴当时，根据垂线段最短可得，此时的长度最小，为， 故选：B． 【典例3】．（2025·四川·中考真题）如图，为的直径，C为上的一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D．延长交的延长线于点E． (1)求证：平分； (2)若，，求的半径和的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)的半径长为5，的长为 【分析】（1）连接，由等边对等角得到，由切线的性质得，而，则，再由平行线的性质以及等量代换即可证明平分． （2）作于点，因为，，所以，则，求得，可证明，得，求得，则，即可求解半径和． 【详解】（1）证明：连接，则， ， 与相切于点， ， ， ， ， ， 平分； （2）解：作于点，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 的半径长为5，的长为． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 【典例4】．（2025·四川巴中·中考真题）如图，在中，，，点P是边AB中点，，． (1)点N在线段AC上，点M在线段CB上． ①当时，CM的值是______； ②当时，求的值； (2)点N在射线上，点M在射线CB上．当时，直线MN与射线PC相交于点F，若，求的值． 【答案】(1)①2；②4 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，准确理解题目中给的条件，作出辅助线求解是解题的关键． （1）①根据题意可得此时为等腰直角三角形，作图求解即可； ②连结，根据直角三角行斜边上的中线等于斜边的一半求出，进而证明，即可得解． （2）分两种情况讨论，第一种情况，，设．则，求出的长，过点作于交于点，分别证明和即可得解；第二种情况，，连接，分别证明和即可得解． 【详解】（1）①如图所示， 为等腰直角三角形， ， 又， ， 为等腰直角三角形， ， ，， ，， 为中点， 、为、的中点， ， ； 故答案为：2． ②连结， ，， ， 又点为的中点， ，，， ， 又， ， ， ． （2）第一种情况如图所示，，设．则， ， ， ， 过点作于交于点， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 又 ， ； 第二种情况：如右图所示，，连接， 易知，当时，点、分别与、重合，与题意不符，不成立； 由（1）可知：， ， ， 又， ．， 可得，，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， ． 【典例5】．（2025·浙江丽水·二模）如图，正方形中，E为边上一点，，点F在上，连接，满足，过点F作交于点G，若正方形的边长为，则的长为_________． 【答案】 【分析】过点作于点，过点作于点，过点作于点，先导角得到，然后证明，则，则，解中，求出，，再由面积法求得，那么，则，可得，证明出，再解斜即可． 【详解】解：过点作于点，过点作于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得，， 解得（负值舍去）， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ∴， ∴， 设，则， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确添加辅助线来解直角三角形． 命题点05 解直角三角形的应用 【典例1】．（2024·浙江·一模）图1是我国古代提水的器具桔槔(jié gāo)，创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿，大竹竿的中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物，前端连接小竹竿（小竹竿始终与地面垂直），小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力，从而提水出井．当放松大竹竿时，小竹竿下降，水桶就会回到井里．如图是桔槔的示意图，大竹竿米，为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1)如图，求支点到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2)如图，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置，此时，求水桶在竖直方向上升的距离（结果精确到0.1米）．(参考数据：，，) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用．正确构造直角三角形是解题的关键． （1）作于点，易得的长度和的度数，根据的长度和的余弦值可得的长度； （2）在（1）中求得的长，作于点，可得的长度，则水桶在竖直方向上升的距离为与的差． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ， ， ， ， 米，为的中点， 米， （米； （2）解：在（1）中米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ， 水桶在竖直方向上升的距离为米， 故水桶在竖直方向上升的距离约为米． 【典例2】．（2025·浙江·一模）综合与实践 在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法． 【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计） 【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，） 【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空： （2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示． 【答案】（1）的高度为；（2） 【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设，根据进行计算即可； （2）根据三角函数进行化简计算即可． 【详解】解：（1） 设， ， 解得， 答：的高度为； （2）解：设， ∵， ∴． ∵， ∴ ． ∵， 解得 ． 即． 【典例3】．（2025·浙江·一模）如图①所示的是一款机械手臂，由上臂、中臂和底座三部分组成，其中上臂和中臂可自由转动，底座与水平地面垂直．在实际运用中要求三部分始终处于同一平面内，其示意图如图②所示，经测量，上臂，中臂，底座． (1)若上臂与水平面平行，，计算点A到地面的距离（结果保留根号）； (2)在一次操作中，中臂与底座成夹角，上臂与中臂夹角为，如图③，计算此时点A到地面的距离（精确到，，）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、含角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）过点C作，垂足为M，则，证，由含角 的直角三角形的性质得，即可得出答案； （2）过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形，利用解直角三角形及矩形的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为M，则， ∵垂直水平地面，臂与水平面平行， ∴三点共线， ，， ， ，， ， 即点A到地面的距离为； （2）解：如图，过点B作垂直于地面，垂足为G，分别过点A，C作的垂线，垂足分别为E，F，则四边形是矩形， ∴； ，， ，，， ，，， 点A到地面的距离为． 【典例4】．（2025·山东滨州·中考真题）【活动背景】 如图，建筑物、的高度不可直接测量．为测量建筑物、的高度，技术员小李用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在C处测得D点的俯角为，测得B点的俯角为． 【问题解决】 (1)请运用技术员小李提供的数据求出建筑物、的高度（结果保留整数）；（参考数据：，，，，，） (2)请再设计一种测量建筑物、高度的方案（建筑物的宽度忽略不计），画出平面示意图，把应测数据在示意图中用字母标记出来，并用含字母的式子表示出建筑物、的高度．（可提供的测量工具：皮尺、测角仪） 【答案】(1)建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； (2)图见解析，建筑物的高度为，建筑物的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数是解题关键． （1）过点作于点，则四边形是矩形，由题意可知，，，，在直角三角形中，利用正切值求解即可； （2）画出示意图，用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为．再利用正切值求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形， 由题意可知，，，， ，， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 答：建筑物的高度约为，建筑物的高度约为； （2）解：平面示意图如下： 用皮尺测得A、B之间的水平距离为，用测角仪在A处测得D点的仰角为，在B处测得C点的仰角为． 在中，， 在中，， 【典例5】．（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．    【答案】 【分析】利用仰角的余弦解答即可． 本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 中考预测题 1.如图，中，，若正方体的展开图恰好放置在内，则的值为___． 【答案】 【分析】由平行关系得出，，用勾股定理计算出，最后根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ，， 令，， 则， ． 2.计算 【答案】 【详解】解：原式 ． 3.榆溪河被誉为榆林市的母亲河．某“综合与实践”小组开展了利用纸板和倒影测量河畔树高的实践活动，并制定了如下测量方案与报告： 课题 利用纸板和倒影测量树高 成员 组长：××× 组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺，自制矩形纸板，测角仪 测量示意图及说明 说明：如图，组长拿着矩形纸板，站在M处时，观察到矩形纸板的顶点D、G和树顶A恰好在一条直线上；组长站在M处，不移动，他清晰地看到树倒映在平静的河水中，测得树顶A在水中倒影C的俯角为α． 备注 ①组长的眼睛到地面的距离米； ②在矩形纸板中，； ③光线的折射忽略不计，，点A、B、C在一条直线上； ④，图中所有点都在同一平面内； ⑤参考数据： 请根据以上报告，求树的高度． 【答案】米 【分析】延长交于点，证明四边形是矩形，则米，，设树高米，则，，，在矩形中，，，三点共线，则​，即，即可得，根据俯角，​，得出​，解方程即可解答． 【详解】解：延长交于点， ∵， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴米，， 设树高米， ∵，则， ∴，， 在矩形中，，，三点共线， ∴​，即， 则， ∵俯角，​， ∴​， 则​，交叉相乘整理得：， 解得：． 即树的高度为米． 好题速递 1.（25-26七年级下·北京·期中）在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、图形的形状、大小和方向都没有改变，符合平移的性质，故本选项符合题意； B、图形方向发生了改变，故本选项不符合题意； C、图形方向发生了改变，故本选项不符合题意； D、图形的大小发生了改变，故本选项不符合题意． 2.（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为点O．若点的对应点为，则与的面积比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据位似图形的概念求出相似比，再根据相似的性质，面积比等于相似比的平方，即可解题． 【详解】解：∵点，， ∴，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴， ∴， ∴的面积与的面积之比． 3.（2026·安徽阜阳·二模）如图，在中，，，点在边上，于，为的中点，连接，若，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，则，即，解直角三角形可得、，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，最后代入化简即可． 【详解】解：设，则，即， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴． 4.（2026·江苏苏州·一模）如图，在△中，，，，将△绕边的中点旋转后得△，若直角顶点恰好落在边上，交于点，交于点，则阴影部分四边形的面积是__________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，解直角三角形，三角形的面积，关键是由锐角的正弦定义求出的长，由锐角的正切定义求出的长．过作于，由，得到，由线段的中点定义得到，由旋转的性质得到，，，得到，推出，由三角形的外角性质得到，由，求出，得到△的面积，由含30度角的直角三角形的性质得到，因此，由，求出，据此计算即可求出阴影部分四边形的面积． 【详解】解：过作于， ，，， ， ， 是的中点， ， 由旋转的性质得到，，， ， ， ， ， ， ， △的面积， ，， ， ， ， ， ， △的面积， 阴影部分四边形的面积△的面积△的面积． 故答案为：． 5.（2026·山东淄博·一模）如图，点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为，，于点B，连接．若直线与x轴的正半轴所夹的锐角为，则当的值最大时，的面积为__________． 【答案】 【详解】解：如图，设直线与y轴交于G，过A作直线于H，轴于F， ∵轴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点， ∴， 在中，,， 即， ∵随的减小而增大， ∴当最小时有最大值， 即最小时，有最大值，即最大时，有最大值， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点A的坐标为，点M为直线上的一个动点，点B的坐标为， 即， ∴， ∵ ∴当时，有最大值， 此时，，， ∴，， ∴的面积为． 6.（25-26八年级下·广西钦州·期中）如图，在平行四边形中，点E在边上，． (1)尺规作图：过点C作，交线段于点F；（要求：保留作图痕迹，不写作法，标明字母）； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据垂线的作法作图即可； （2）根据平行四边形的性质得到，进而得到，根据垂线的定义得到，证明四边形为矩形，得到，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：如图，CF为所作图形： （2）解：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 在中，，， ， ∴． 7.（25-26七年级下·山东潍坊·期中）如图，点，，，均在正方形方格纸的格点上，按要求完成下列问题． (1)经过点画的平行线，交于点； (2)过点，画的垂线段，交于点； (3)连接，； (4)线段，，，中，最短的线段为______，理由是______． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析； (4)，垂线段最短． 【分析】（）根据网格作平行线即可； （）根据题意画出垂线段即可； （）根据题意画图即可； （）由垂线段最短直接判定即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图， （4）解：线段，，，中，最短的线段为，理由是垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 8.（2026·安徽芜湖·二模）如图1，在中，，，点是射线上的一点，连接，在右侧以为斜边作等腰直角三角形．    (1)若点在线段上，且平分，与交于点，延长交的延长线于点，求证：； (2)如图2，点是射线上一点，平分交于点，平分交于点，交延长线于点． （ⅰ）当点与点重合时，求的值； （ⅱ）当点在射线上时，如图3，连接，直接写出与的位置关系及的值． 【答案】(1)见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）， 【分析】（1）根据等边对等角和三角形内角和定理求得，角平分线的定义得出，根据等腰直角三角形的性质得出，，，求得，，根据三角形的外角性质和等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）（ⅰ）连接，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形的性质得出是直角三角形，，根据全等三角形的判定和性质得出，根据垂直平分线的判定和性质得出，根据等边对等角得出，求得，即可得出为等腰直角三角形，推得，根据勾股定理得出，求得，根据相似三角形的判定和性质得出． （ⅱ）当点在射线上时，延长交于点，设与交于点，过点作交的延长线于点，过点作交射线于点，根据角平分线的性质得出，，根据全等三角形的判定和性质得出，，，，推得， ，根据垂直平分线的判定得出，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据垂直平分线的性质得出，根据等边对等角求得，根据三角形内角和定理求得，根据直角三角形的性质和等角对等边得出，根据角平分线的性质推得，设，则，根据勾股定理求得，进一步求出，，即可求出． 【详解】（1）解：∵，， ∴． 平分， ， 为等腰直角三角形， ，，， ，， ∵，，， ∴， 即， ，，， ． （2）（ⅰ）如图1，连接，    由（1）得， ∵平分，平分， ∴． 在中，，， ∴， 故是直角三角形，． 在和中， ， ∴， ， 故． ，， 垂直平分， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， 故， ∴， ∵， ∴， ， 即， 整理得：． （ⅱ），． 当点在射线上时，延长交于点，设与交于点，过点作交的延长线于点，过点作交射线于点，如图：    则， 平分，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ，． 在和中， ， ， ，． ，， 即，， ，， ∴点和点是垂直平分线上的点， 垂直平分， ， ∵，，， ， 点在垂直平分线上， ， ， ， ， ， ，， ， 为等腰直角三角形， ， 平分，，， ， 即， 设，则，， ∴， ， ， ． 9.（25-26九年级下·陕西榆林·期中）三阳寺塔因邻近泾阳、咸阳，地处渭水之阳，所以又称“三阳塔”．某数学小组在假期开展了测量三阳寺塔高度的活动，活动报告如下： 活动主题 测量三阳寺塔的高度 测量过程及示意图 测量过程 示意图 如图，小组成员甲在地面上的点处竖立一根标杆，三阳寺塔顶端、标杆顶端与地面上的在同一直线上；小组成员乙在地面上的点处放置一面平面镜（大小忽略不计），当其站在地面上的点处时，恰好从平面镜中看到三阳寺塔顶端的像． 数据 米，米，米，米． 说明 ，，，点、、、、在同一直线上，图中所有点均在同一平面内． 请根据上述信息，求出三阳寺塔的高度． 【答案】53米 【分析】本题考查相似三角形的应用．由光的反射的性质可以得出，结合，可以证得 ，得到，再由，结合，证得，从而得到与之间的比例关系，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ，即， ， ， ， ， ， ， , ， 解得， 三阳寺塔的高度为53米． 中考闯关 1.如图1，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图2）；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上（如图3），给出四个结论： ①的长为10；②的周长为18；③；④的长为5，正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】过点作，交、于点、，可知四边形为正方形，可求得的长，可判断①，且和为等腰三角形，设，则可表示出、、，利用折叠的性质可得到，在中，利用勾股定理可求得，再利用，可求得、和，则可求得，即可判断②③④，可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，分别交、于点、，   四边形为矩形， ，， 由折叠可得，且， 四边形为正方形， ，故①正确； ， 和为等腰直角三角形，且， 设，则，，， 又由折叠的可知，   在中，由勾股定理可得， 即，解得， ，，， 又， ， ， ， ， ，即，   ，，故④正确； ， 又和为等腰直角三角形，且，， ，， 的周长， ， 故②③不正确；正确； 综上可知正确的为①④，共2个． 2.如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的概念得到，，得到，得到，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， ， ， ∵， ∴， ， ∴， 3.在菱形中，分别为边上的点，且，连结，过B作垂直于，垂足为，则___________． 【答案】 【分析】根据菱形的性质得和，进一步得到 、和 ，即可得到是等边三角形 ，连接，连接交于点O， 则垂直平分 ，即可求得，利用菱形的性质得和 ，应用勾股定理求得，结合即可． 【详解】解：∵ 四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∵ ， ∴ ，， ， ∴， ∵， ∴是等边三角形 ， 连接，连接交于点O，如图， ∵ 菱形关于对角线对称，， ∴垂直平分 ， ∵， ∴ 点G在上，且是等边的高 ， ∴， ∵ 四边形是菱形 ∴，， ， ∵，， ∴ ， 在中，，， ∴， ∴ ∴ ∴． 4.下图均是由边长为1的小正方形构成的网格图，请仅用无刻度的直尺按要求作图． (1)请在图1中的线段上找一点P，使． (2)请在图2中的边上找一点P，画射线，使． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】本题考查了格点作图，解直角三角形及相似三角形的性质． （1）取格点C，D，连接，与交点P，此时点P即为所求； （2）取格点E，F，G，连接，交于点O，连接交于点P，连接并延长，射线即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，点P即为所求， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图所示，射线即为所求， 由网格的特点可知，，，， ∴， 即． 5.如图，在直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点的坐标分别为，将等腰直角三角形沿轴向左平移个单位，使点平移到点． (1)在图中画出平移后得到的； (2)写出的顶点坐标． 【答案】(1)画图见解析 (2)，， 【分析】（）根据平移的性质画图即可； （）根据所画的图形写出各点坐标即可； 本题考查了平移作图，坐标与图形，掌握平移的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：将等腰沿x轴向左平移3个单位得到，如图所示，即为所求； （2）解：由图可得，，，． 6.如图，将绕点A按逆时针方向旋转得到． (1)当点E恰好落在延长线上时，求的度数； (2)在（1）的条件下连结交于点D．若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据旋转的性质和等腰三角形的性质分别得到和，从而得到结果； （2）证明，得到，结合，计算出结果。 【详解】（1）解：由题意可得：， 又∵E在的延长线上， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图， ∵， ∴， 由（1）知，， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴， ∴． 7.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题： (1)在图中找到D点，连接，使（D为格点）； (2)连接，则线段的长为________； (3)若E为的中点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（）根据画图要求，结合网格进行画图即可； （）根据勾股定理来求的长度； （）直接利用正切定义求解即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：由网格可得，； （3）解：． 8.已知内接于，且，为的直径，连接交于点E． (1)求证：； (2)求证：； (3)连接，记的面积为S，若，求四边形的面积（用含S的代数式表示）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接并延长交于点F，得，根据等腰三角形和圆的对称性质，得，得，即得； （2）可得，得，即得； （3） 连接，过点F作，交于点G，可得 ， ，得，由，得，得，由，得，得，得，得，即得四边形的面积． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点F， 则， ∴， ∵， ∴由轴对称知，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，过点F作，交于点G， 由轴对称知，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为S， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 9.春节前夕，太原市道路两旁的路灯上挂起了灯笼，增添了不少年味．某班成立的学习小组想通过所学知识来测量灯笼的高度，下面是勤学小组和思辨小组的测量方案，根据表格中的信息回答问题． 小组名称 勤学小组 思辨小组 测量工具 自制测倾仪，皮尺 皮尺 测量示意图       测量方案及数据 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，利用自制的测倾仪测得A，B两点的仰角和分别为和，自制测倾仪的高度为 如图，点A，B分别为灯笼的上、下端点，该小组成员站在距离电线杆底端点C远的点D处，举起手中长度为的铅笔，竖直放置于眼前观察，调整的位置使铅笔的上、下端点分别与灯笼的上、下端点重合 计算 …… …… (1)利用勤学小组的数据计算灯笼的高度；（结果保留小数点后两位．参考数据：） (2)思辨小组的丽丽发现利用已有的测量数据无法计算出灯笼的高度，于是又测量了眼睛到铅笔所在直线的距离．若测得该数据为，则的高度为 m（用含x的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）可得四边形为矩形， ， ，可以求解； （2）可得四边形为矩形，证明，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：设交于H点，如图1， ∵， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， 在中， ∵ ， ∴， 在中， ∵ ， ∴， ∴， 答：灯笼的高度为； （2）解：过E点作于M点，延长交于N点，如图， ，， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $