精品解析：2026年江苏苏州学府中学校初三下学期二模数学试题

苏州学府中学初三二模数学试题 （考试用时：120分钟 满分：130分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据负无理数的定义，即小于0的无限不循环小数，对每个选项逐一判断即可得到结果． 【详解】解：A、是负无理数； B、0是整数，是有理数； C、是负有理数； D、3是正有理数． 2. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”．2026年春假期间苏州市共接待游客4648000人次，实现旅游总收入19.8亿元．数据4648000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵将原数改写为符合要求的科学记数法时，小数点向左移动位，得到 ，满足 ，， ∴． 3. 如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（ 　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形． 【详解】正六棱柱三视图分别为：三个左右相邻的矩形，两个左右相邻的矩形，正六边形． 故选A． 【点睛】本题考查了几何体的三种视图，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，此项错误； B、，此项错误； C、，此项错误； D、，此项正确． 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是对顶角的性质，多边形和正多边形的内角和，熟练掌握正多边形每个内角的求解公式是解题的关键．先根据正多边形每个内角为，得到正六边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， ∵正六边形与正方形的两邻边相交， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故选：B． 6. 关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，解题思路是根据方程无实数根得到判别式小于0，求出k的取值范围，再确定k的最大整数值． 【详解】解：对于一元二次方程，方程无实数根时判别式． ∵原方程为 ∴，， 代入得 ∵方程没有实数根 ∴ 解不等式得 又∵k为整数 ∴k的最大值为 7. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点，的坐标特征，结合反比例函数的性质，建立方程求出的值，进而确定的符号及图象所在的象限． 【详解】解：点，， ，， 若该函数为反比例函数，则， 又∵点在函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴该反比例函数图象位于第二、四象限， 观察选项，A为一次函数图象，B为第一、三象限的双曲线，C为第二、四象限的双曲线，D为二次函数图象， ∴选项C符合题意． 8. 如图，在中，．点D，E分别在边上，．连接，以为边作，连接．当周长最小时，的长为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则．根据当最小，周长最小，写出​，取点和，作关于轴的对称点，连接，求出直线的解析式，令，解得，即得． 【详解】解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系，根据题意得各点坐标：，，，，设，则． ∵是平行四边形， ∴，， ∵周长， ∴当最小，周长最小， ∵,， ∴​的最小值， 相当于在轴上找一点，到点和的距离和最小． 作关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为， 把代入，得， 解得， ∴， 令，解得， 即． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 因式分解的结果是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方差公式，因式分解即可． 【详解】解：． 10. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件可得关于x的不等式，解不等式即可得． 【详解】由题意得： 2-x≥0， 解得：x≤2 故答案为x≤2． 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题主要考查中位数的定义，将这组数据从小到大排列，已知这组数据共有7个数，根据中位数的概念：当n为奇数时，位于中间的数即中位数求解即可． 【详解】解：7名男生引体向上的成绩从小到大排列为：5，6，7，8，8，9，10， 位于最中间的数为第4位8， 则中位数是8， 故答案为：8 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 【答案】 【解析】 【分析】首先证明是等边三角形，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：在中，∵，，， ∴， 由旋转的性质得，， ， ∴是等边三角形， ∴， ∴点的运动路径的长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转变换，含直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解题的关键是证明是等边三角形． 13. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，锐角三角函数的应用，先求解，过点，作，交于点，结合，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则， ∴， ∴， 过点，作，交于点， ∵AD平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点B到的距离为； 故答案为：10． 14. 如图，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，反比例函数y=的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC=2AC，则△AOD的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥OB于点E，设出C，D的坐标，求出△OBD和△OCE的面积，利用平行线的性质得出△OEC∽△OAB，利用相似三角形的性质求出△OAB的面积，用△OAB的面积减去△OBD的面积，结论可得． 【详解】解：过点作于点，如图： 设，， ，在第二象限， ，，，． ，，，． ，在反比例函数的图象上， ． ，． ，， ． ． ． ， ． ． ． ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上的坐标的特征，利用点的坐标表示相应线段的长度是解题的关键． 15. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】先求出直线与轴轴的交点坐标，再根据点在内部（不含边界）列出关于的不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：对于直线， 令，得，解得，故， 令，得，故， ∵动点在内部（不含边界）， ∴， 解不等式得， 解不等式得， 解不等式：移项得，即，系数化为得， ∴不等式组的解集为：， ∴的取值范围是． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作于点，连接，则可得，进而可知为定值，所以当时，最小，利用三角函数和相似比列式可表示出、，即可求出结果． 【详解】解：过点作于点，连接，如图所示： ，， ， ， ， ， ，， ， ， ， 即在点的运动过程中，的大小不变且等于， 当时，最小， 设此时， ， ， ， ， ， 代入，解得， ， ， ， ， 故答案为： 【点睛】本题考查相似三角形综合，熟练掌握手拉手相似模型是解题关键，确定点G的运动路径是本题的难点． 三、解答题（本大题共有11题，共82分．） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据算术平方根、零指数幂、绝对值的定义计算即可． 【详解】解：． 18. 解不等式组：，并写出它的整数解． 【答案】，整数解为：，，0，1 【解析】 【分析】分别解不等式组中的两个不等式，找出解集的公共部分确定出不等式组解集，然后在解集中找出整数即可． 【详解】解：， 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解为：，，0，1． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为． 【解析】 【分析】根据分式的运算法则先化简原式，再把代入，然后通过分母有理化计算出最终结果． 【详解】解：      ， 将代入得， 原式 ． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）列表得到所有等可能性的结果数，再找到小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数，最后根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有四张卡片，且每张卡片被抽到的概率相同， ∴小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是； 【小问2详解】 解：列表如下： 由表格可知，一共有12种等可能性的结果数，其中小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的结果数有6种， ∴小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率为． 21. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_________；②请补全抽取的学生成绩条形统计图； （2）得分为“90分”这一项所对应的圆心角是_________度． （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 【答案】（1）①200，②见解析 （2）144 （3）1800人 【解析】 【分析】（1）①先由得分100分的人数除以占比求出抽查的学生总数； ②由总数减去得分为70分，90分，100分的人数求出得分80分的人数，即可补全条形统计图； （2）由乘以得分分占比即可求解圆心角； （3）用乘以得分分和分的占比即可． 【小问1详解】 解：①抽查的学生总数为（人）； ②竞赛成绩为分的人数为：（人）， 补全学生成绩条形统计图： 【小问2详解】 解：得分为“90分”这一项所对应的圆心角为：； 【小问3详解】 解：由题意得，（人）， 答：该校得分不低于90分的学生有人． 22. 如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【详解】证明：， ∴，即， 在和中， ， ． 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将代入可求反比例函数解析式，进而求出点B坐标，再将和点B坐标代入即可求出一次函数解析式； （2）直线在反比例函数图象上方部分对应的x的值即为所求； （3）设点P的横坐标为，代入一次函数解析式求出纵坐标，将代入反比例函数求出点Q的纵坐标，进而用含p的代数式表示出，再根据面积为3列方程求解即可． 【小问1详解】 解：将代入，可得， 解得， 反比例函数解析式为； 在图象上， ， ， 将，代入，得： ， 解得， 一次函数解析式为； 【小问2详解】 解：，理由如下： 由（1）可知， 当时，， 此时直线在反比例函数图象上方，此部分对应的x的取值范围为， 即满足时，x的取值范围为； 【小问3详解】 解：设点P的横坐标为， 将代入，可得， ． 将代入，可得， ． ， ， 整理得， 解得，， 当时，， 当时，， 点P的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数与反比例函数的综合题，考查求一次函数解析式、反比例函数解析式，坐标系中求三角形面积、解一元二次方程等知识点，解题的关键是熟练运用数形结合思想． 24. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 【答案】博学楼的高度为9米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确构造直角三角形是解题的关键． 过点作于点，则可得四边形是矩形，解中，得到，设，则，，解，得到，求解，再代入即可． 【详解】解：过点作于点，由题意得，，，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，∵， ∴， ∴设， 则，， 在中，∵， ∴， 解得：， ∴， 答：博学楼的高度为9米． 25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，AC＝5，求⊙O的半径长． 【答案】（1）见解析；（2）⊙O的半径长为． 【解析】 【分析】（1）由∠ACB=90°，AC=BC得∠B=∠A=45°，再由圆周角定理得∠DOC=90°，再由DF∥EC，即可证DF为⊙O的切线； （2）先证明∠CDF=∠A=45°，由∠CDF=∠A和∠ACD=∠DCF可证△ACD∽△DCF，从而有，再由、DF∥EC、AC=5得CF=3、AC=5，由此求出CD，再用勾股定理求出OC即可． 【详解】（1）证明：连接OD， ∵∠ACB=90°，AC=BC， ∴∠B=∠A=45°， ∴∠DOC=2∠B=90°， ∴OD⊥CE， ∵DF∥EC， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）解：由（1）知，∠DOC=90°，OD=OC， ∴∠DCO=45°， ∵DF∥EC， ∴∠CDF=∠DCO=45°， ∴∠CDF=∠A， ∵∠ACD=∠DCF， ∴△ACD∽△DCF， ∴，即CD2=AC•CF， ∵，DF∥EC， ∴AF：CF=2：3， ∵AC=5， ∴CF=3，AC=5， ∴CD=， ∵CO2+OD2=CD2， ∴OC=， ∴⊙O的半径长为． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定、切线的判定和性质，平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，解决本题的关键是证明△ACD∽△DCF、求出CD． 26. 结合图形，解决问题 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 【答案】（1）见解析 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用角平分线的性质作辅助线，再证明全等即可求出答案． （2）①利用矩形的性质过点分别作的平行线，构造相似三角形，再利用相似三角形的性质求解． ②借鉴第（2）①问的方法，过点作的平行线，构造相似三角形求解． 【小问1详解】 证明：如图，作，， 是的角平分线， ， ， 四边形为矩形， ， ， 在和中， ， ， ． 【小问2详解】 ①解：如图所示,过点分别作的垂线，交于点，交于点， ，， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ， 又， ， ， ②解: 如图，作，作， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了利用已知条件作辅助线，构造全等或相似三角形，解题关键是找到破题点，作辅助线，再利用全等或相似求解． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． （1）请求出直线对应函数的表达式； （2）当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）有最小值为 【解析】 【分析】本题考查二次函数的综合应用，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）求出点的坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过作轴于点，设，则，根据，列出二次函数关系式，求最值即可； （3）过作于点，于点，求出点坐标，过作于点，得到，进而得到，利用轴对称结合垂线段最短，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴令，得，令，得或3， ，，， 设直线的解析式为， 将点、点坐标代入可得， 解得， 直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，过作轴于点， 设，则， ， ， 当时，四边形的面积最大值为， 此时； 【小问3详解】 解：如图，过作于点，于点， 则，， ∴， ， ，， ， △为等腰直角三角形， ，， ∴， 作，则为等腰直角三角形， ∴， ∴， ， 过作于点， 则△为等腰直角三角形， ， ， 要求的最小值，则可求的最小值， 作关于轴对称点，则，， ，当且仅当、、三点共线时取等， 另根据垂线段最短可知，当时，最小， ， ， △是等腰直角三角形， ， ，故有最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州学府中学初三二模数学试题 （考试用时：120分钟 满分：130分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 1. 下列四个选项中，负无理数的是（ ） A. B. 0 C. D. 3 2. 为缓解学生学业压力，打破传统教学空间壁垒，将“读万卷书”与“行万里路”结合，今年开始国家明确“支持有条件的地方推广中小学春秋假”．2026年春假期间苏州市共接待游客4648000人次，实现旅游总收入19.8亿元．数据4648000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，下列选项中不是正六棱柱的三视图的是（ 　） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，正六边形与正方形的两邻边相交，则（ ） A. B. C. D. 6. 关于的方程没有实数根，若为整数，则的最大值是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 7. 已知点在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，．点D，E分别在边上，．连接，以为边作，连接．当周长最小时，的长为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．） 9. 因式分解的结果是____． 10. 要使式子有意义，则的取值范围是__________． 11. 某校以“阳光运动，健康成长”为主题开展体育训练．已知某次训练中7名男生引体向上的成绩为：7，8，5，8，9，10，6．这组数据的中位数是________． 12. 如图，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点首次落在斜边上，则点的运动路径的长为_________. 13. 如图，在中，，平分，已知，，则点B到的距离为__________． 14. 如图，在Rt△ABO中，∠ABO=90°，反比例函数y=的图象与斜边OA相交于点C，且与边AB相交于点D．已知OC=2AC，则△AOD的面积为_____． 15. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴、轴于点、，动点在的内部（不含边界），则的取值范围是____． 16. 如图，矩形ABCD中，AD=6，DC=8，点E为对角线AC上一动点，BE⊥BF，，BG⊥EF于点G，连接CG，当CG最小时，CE的长为______． 三、解答题（本大题共有11题，共82分．） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，并写出它的整数解． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 数学社团开展“讲中国数学家故事”的活动．社团成员制作了印有四位中国数学家图案的四张卡片，分别为：A．刘徽，B．祖冲之，C．华罗庚，D．陈景润，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述所选卡片上数学家的故事． （1）小安随机抽取了一张卡片，则抽到“A．刘徽”卡片的概率是________； （2）小明随机抽取了两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中恰好有“C．华罗庚”卡片的概率． 21. 开展航空航天教育对提升青少年的科学素养有重要的意义．某学校对学生进行了航空航天科普教育并组织全校学生参加航空航天知识竞赛，每个学生回答10道问题，每题10分，赛后发现所有学生知识竞赛成绩不低于70分，为了更好地了解本次知识竞赛的成绩分布情况，从所有学生答题成绩中随机抽取部分学生答题成绩作为样本进行整理，绘制条形统计图和扇形统计图．部分信息如下： 请根据以上信息，完成下列问题： （1）①此次抽查的学生总数为_________；②请补全抽取的学生成绩条形统计图； （2）得分为“90分”这一项所对应的圆心角是_________度． （3）已知该校共有3000名学生，请估计该校得分不低于90分的学生有多少名？ 22. 如图，，，，求证：． 23. 如图，一次函数与函数为的图象交于两点． （1）求这两个函数的解析式； （2）根据图象，直接写出满足时x的取值范围； （3）点P在线段上，过点P作x轴的垂线，垂足为M，交函数的图象于点Q，若面积为3，求点P的坐标． 24. 学校综合实践小组测量博学楼的高度．如图，点，，，，在同一平面内，点，，在同一水平线上，一组成员从19米高的厚德楼顶部测得博学楼的顶部的俯角为，另一组成员沿方向从厚德楼底部点向博学楼走15米到达点，在点测得博学楼顶部的仰角为，求博学楼的高度．（参考数据：，，，，，） 25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上一点，作△BCD的外接圆⊙O，CE是⊙O的直径，且CE与AB交于点G，DF∥EC交AC于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若，AC＝5，求⊙O的半径长． 26. 结合图形，解决问题 （1）如图1，是的角平分线，的直角顶点在上，两条直角边分别交、于、，，求证：． 【深度探究】 （2）在平行四边形中，，点为上一动点（不与，重合），，，点为直线上一动点，连接，将射线绕点逆时针旋转度交直线于点． ①如图2，若，，，求的值； ②如图3，若，求的值（用含有，的代数式表示）． 27. 如图，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，二次函数上第一象限内有一点，第三象限有一点，线段上有一点，连接交于，连接． （1）请求出直线对应函数的表达式； （2）当四边形的面积最大时，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，当和的面积比为时，猜想有没有最小值？如果有，请求出这个最小值，如果没有，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $