精品解析：2024年江苏省苏州中学校伟长班九年级数学中考二模试题

2023～2024学年度第二学期初三教学情况调研（二）数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考场、座位号、考号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔把10位考号在答题卡相应位置上的数字涂黑； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了幂的运算法则和二次根式的性质，根据幂的运算法则和二次根式的性质计算后即可得到答案． 详解】解：A．，故选项错误，不符合题意； B．，故选项错误，不符合题意； C．，故选项错误，不符合题意； D．，故选项正确，符合题意． 故选：D． 2. 已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（ ） A. B. 2 C. D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查平均数与方差的计算，先运用平均数的计算公式：，结合这组数据的平均数是2，可求出x的值；再运用方差的计算公式：，代入相关数据计算即可． 【详解】解：∵数据1、2、x、3、4的平均数是2， ∴， 解得， ∴这组数据的方差为：． 故选：B． 3. 在平面内，下列说法错误的是（ ） A. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 B. 若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行 C. 同平行于一条直线的两条直线平行 D. 同垂直于一条直线的两条直线平行 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行线的判定和性质，平行公理及推论，根据平行线的判定和性质，平行公理及推论进行判断即可． 【详解】解：A．过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行，故选项正确，不符合题意； B．若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行，故选项正确，不符合题意； C．同平行于一条直线的两条直线平行，故选项正确，不符合题意； D．在同一平面内，同垂直于一条直线的两条直线平行，故选项错误，符合题意． 故选：D． 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了三角形内角和定理，先求出等量代换得到由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：A 5. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆锥的计算，设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R，由地面圆的周长等于侧面展开图的弧长，可得，所以，再计算圆锥的侧面积与底面积的比即可． 【详解】解：设底面圆的半径为r，侧面展开扇形的半径为R， 由题意得， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 6. 如图，平面直角坐标系中有一张透明纸片，透明纸片上有抛物线及一点．若将此透明纸片向右、向上移动后，得抛物线的顶点为，则此时点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，能根据题意得出新抛物线的解析式是解答此题的关键．先根据“左加右减、上加下减”的原则得出新抛物线的解析式，再求出点坐标即可． 【详解】解：抛物线及移动至顶点坐标为时的新抛物线解析式为：，即先向右平移7个单位，再向上平移2个单位， 应先向右平移7个单位，再向上平移2个单位，其新坐标变为， 即． 故选：B． 7. 如图，在中，，D是边上的点，，垂足为E且．若，，则线段长度为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，证明，则，证明，得到，则，求出，由勾股定理得到，在中，由勾股定理得到即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，由勾股定理得到， 在中，由勾股定理得到，， 故选：D 8. 若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题属于解三角形的题型，主要考查了三角形解个数的问题，重在分情况分类讨论． 要对三角形解得各种情况进行讨论即：无解、有1个解、有2个解，从中得出满足条件的只有2个时满足的条件． 【详解】解：设， 当，即，即时，三角形无解； 当，即，即时，三角形有1解； 当，即，即时，三角形有2个解； 当，即时，三角形有1个解． 综上所述：当时，恰好有两个， 故选：A． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上． 9. 如图，，与交于点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由两直线AB∥CD，推知内错角∠1=∠D=70°，然后根据三角形外角定理求得∠1=∠B+∠E，从而求得∠E=30°． 【详解】解：如图所示： ， ， 又， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质、三角形的外角性质，求∠2的度数时，∠1的度数是连接已知条件∠B=40°与∠D=70°的纽带． 10. 若是一元二次方程的实数根，则代数式_________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程解的定义．能使方程成立的未知数的值，就是方程的解，把代入方程，得出关于m的一元二次方程，再整体代入求值即可． 【详解】解：当时，则， 即， 所以，， 故答案为：3． 11. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的边角关系，利用网格构造直角三角形是解题的关键．利用网格构造直角三角形，根据格点线段的长度求出斜边的长，再根据三角函数的意义求出答案． 【详解】解：如图，设小正方形边长为1，连接，交于点O，则， 则， ∵， ∴ 故答案为： 12. 如图，是的中位线，cm，cm，则梯形的周长为_______cm． 【答案】12 【解析】 【分析】中位线DE为ABC底边BC的一半，且点D、点E分别是AB、AC的中点，所以DB+EC的值为AB+AC的一半，故梯形DBCE的周长可求． 【详解】解：∵DE是ABC的中位线， ∴DEBC，且DE=BC=2cm，故BC=4cm， ∵点D、点E分别是AB、AC的中点， ∴DB+EC=， ∴梯形DBCE周长为：DE+EC+ BD+CB=2+6+4=12cm， 故答案为：12． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，且长度等于第三边的一半． 13. 无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 【答案】9 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求一次函数解析式，令，则；再令，则．再利用待定系数法求直线的解析式，再根据直线上点的坐标与函数解析式的关系得到，再求代数式的值． 【详解】∵由于a不论为何值此点均在直线l上， ∴令，则；再令，则． 设直线l的解析式为， ∴ ，解得 ． ∴直线l的解析式为：． ∵是直线l上的点，∴，即． ∴． 故答案为：9 14. 如图，在正方形中，E，F在对角线上且，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，利用旋转性质求解是解答的关键．将绕点B逆时针旋转，即，连接，求出，证明，得到即可． 【详解】解：将绕点B逆时针旋转，即，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， 由旋转得，，，，， ∴，， ∴，， 在和中， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，其中A点在第三象限，B点在第一象限．若线段的中点坐标为，则实数k的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，设点A的坐标为，点B的坐标为，根据中点坐标得到，由与联立得到，由根与系数关系得到，得到，由得到，即可得到答案． 【详解】解：设点A的坐标为，点B的坐标为， 则， 由与联立得到， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 故答案为：1 16. 在锐角三角形中，，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，过点A作于点M，在中，，在中，，由得到，求出，由即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点A作于点M， 在中，， 在中，， ∵ ∴， 整理得到，， ∴ 解得或（舍去）， ∴， 在中， 在中， ， 故答案为： 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，先计算乘方、特殊角的三角函数值、零指数幂、负整数指数幂，再进行混合运算即可． 【详解】解： 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了解分式方程，去分母化为整式方程，解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 去分母得， 整理得到， 解得 经检验，是分式方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，先进行分式的加减乘除混合运算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可． 【详解】解： 当时， 原式 20. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，且的面积为． （1）求k和m的值； （2）若一次函数的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求的值． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合是解题的关键． （1）根据的面积为，得到m的值，得到点A的坐标，代入反比例函数解析式进而可以求出的值． （2）把A代入中，就可以求出的值，得到函数的解析式，求出点的坐标，在中就可以求出的值，得到，得到的值，在中，根据勾股定理就可以求出的值，即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， 又过点A，则， ∴． 【小问2详解】 ∵直线过A， ∴，， ∴ ∴． 当时，， ∴C，， ∵， ∴． 在中，， 在中，． ∴． 21. 图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为点． （1）求所在的半径的长； （2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）． 【答案】（1）4米； （2）平方米． 【解析】 【分析】（1）连接，过作于，交于，利用等腰三角形三线合一，可知的长度，再利用勾股定理，得到的长度； （2）利用的值，可得的度数，从而得到的度数，再计算的长度，从而求得帆布的面积． 【小问1详解】 连接，过作于，交于，由题意可知，， ， ， 在中， 根据勾股定理可得， 解得： 答：所在圆的半径的长为4米； 【小问2详解】 ， 的长为（米） 帆布的面积为：（平方米） 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，勾股定理，解直角三角形，弧长的计算，利用三角函数求得扇形的圆心角是解题的关键． 22. 文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系； （2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支“”铅笔的概率为，求这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值． 【答案】（1） （2）1.15 【解析】 【分析】本题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）根据表格确定m，n满足的数量关系即可； （2）利用概率公式列式计算即可． 【小问1详解】 解：观察表格发现：， ∴用等式写出m，n所满足的数量关系为， 【小问2详解】 解∵盒中混入1支“”铅笔的概率为， ∴， ∴， ∴这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值为． 23. 在平行四边形中，，垂足为E，，垂足为F，且，． （1）求证：； （2）求四边形的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，菱形的判定与性质以及勾股定理和解直角三角形，熟知相关知识是解题的关键 ： （1）由平行四边形的性质可得出，由垂直的定义得到，然后根据证明即可； （2）由得，则四边形是菱形，由可证明得，设，则，由勾股定理得，从而得，故可得四边形的周长． 【小问1详解】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，， ∴ 又∵ ∴； 【小问2详解】 解：∵； ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴ ∵，， ∴ ∵ ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴，即， 设则， 在中，由勾股定理 ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， ∴四边形的周长． 24. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）见解析 （2）3 【解析】 【分析】此题考查了切线的性质、相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）连接，证明．则．由得，则，即可得到结论； （2）由可得，则，得到，设，则，求出，即可得到答案． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵切于点E， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）知，， ∴， ∴， ∴，即， 设，则 ， ∴， ∴， ∴的半径为3． 25. 已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． （1）若折叠后点B与点A重合，求直线的解析式； （2）若折叠后点B落在边上的点为，设，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； （3）若折叠后点B落在边上的点为，且使，则的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案） 【答案】（1） （2），y的取值范围为 （3） 【解析】 【分析】（1）因为折叠后点B与点A重合，那么，可先设出C点的坐标，然后表示出，在中，根据勾股定理即可求出C点的纵坐标，也就求出了C点的坐标，然后根据待定系数法即可得到结论； （2）方法同（1）用表示出然后在中根据勾股定理得出x，y的关系式．由于在上，因此有，由此可求出y的取值范围； （3）根据（1）（2）的思路，应该先得出的关系，知道的值，那么可以通过证来实现．和是平行线的内错角，又因为，因此，即，由此可得出两三角形相似，得出的比例关系，然后根据（1）（2）的思路，在中求出的值，根据勾股定理和三角形的周长公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：如图1，折叠后点B与点A重合，则． 设点C的坐标为，则， ∴， 在中，由勾股定理，， 即，解得． ∴点C的坐标为， ∵， ∴， 设直线的解析式为 ∴， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图2，折叠后点B落在边上的点为， ∴． ∵ ∴ 在中，由勾股定理，得． ∴， 即． 由点边上，有， ∴解析式所求． ∵当时，y随x的增大而减小， ∴y的取值范围为； 【小问3详解】 解：如图3，折叠后点B落在边上的点为，且． ∴． 又∵， ∴， ∵． ∴． ∴， ∴， Rt△B″OC中， 设，则． 由（2）的结论，得， 解得． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴的周长 故答案为：． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，待定系数法求函数的解析式，勾股定理，折叠的性质，正确地作出图形是解题的关键． 26. 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1）一次函数的解析式为；二次函数解析式为． （2）相切，证明见解析 （3）当时，过三点的圆面积最小，最小面积为． 【解析】 【详解】把代入得 一次函数的解析式为 二次函数图象的顶点在原点,对称轴为轴， 二次函数的解析式为,将代入解析式得 二次函数的解析式为 由解得或，，取的中点， 过作直线的垂线,垂足为,则 ，而直径 ，即圆心到直线的距离等于半径， 以为直径的圆与直线相切. 平移后二次函数的解析式为, 令得 过三点的圆的圆心一定在平移后抛物线的对称轴.上,要使圆面积最小,圆半径应等于点到直线2的距离,点坐标为. 此时,半径为,面积为 设圆心为的中点为,连接,则， 在三角形中， ，而 当时，过三点圆面积最小,最小面积为. 27. 2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 【答案】（1）方案③较好 （2）①小时；②见详解 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，及优化方案的选择，难点在最后一问，注意判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间是突破口，难度较大． （1）解直角三角形，可得出、的长度，然后分别求出三种方案需要的时间即可作出比较； （2）①在中求出、的长度，继而得出的长度，这样即可求出汽车行加上冲锋舟行的总时间； ②分两种情况讨论，当点在上时，当点在上时，过点作于点，表示出、，根据，可得，继而能判断出汽车行的时间冲锋舟行的时间，转换后比较即可得出结论． 【小问1详解】 解：（1）在中， ，， ，， ∵ ∴ 方案①需要用时：小时分钟， 方案②需要用时：小时分钟， 方案③需要用时：小时分钟 方案③较好； 【小问2详解】 解：①， 设，，则， 解得：， 即可得，， ， 故可得所用时间为：小时； ②延长过作于， 点为上任意一点，汽车开到点放冲锋舟下水，用时， 汽车开到放冲锋舟下水，用时， ∵ ∴， ∴， ∴ ， ∵， ， ； ∴当点在上任意一点时，过作于，同理可证：． 综上可得汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023～2024学年度第二学期初三教学情况调研（二）数学 本试卷由选择题、填空题和解答题三大题组成，共27小题，满分130分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的班级、姓名、考场、座位号、考号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上，并用2B铅笔把10位考号在答题卡相应位置上的数字涂黑； 2．答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上，不在答题区域内的答案一律无效，不得用其他笔答题； 3．考生答题必须答在答题卡上，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破，答在试卷和草稿纸上一律无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上． 1. 下列计算正确是（ ） A. B. C. D. 2. 已知一组数据1，2，x，3，4的平均数是2，则这组数据的方差是（ ） A. B. 2 C. D. 10 3. 在平面内，下列说法错误的是（ ） A. 过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行 B. 若一条直线上有两点到另一条直线距离相等，则这两条直线平行 C. 同平行于一条直线的两条直线平行 D. 同垂直于一条直线的两条直线平行 4. 如图，在中，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 不确定 5. 若圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积与底面积的比为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平面直角坐标系中有一张透明纸片，透明纸片上有抛物线及一点．若将此透明纸片向右、向上移动后，得抛物线的顶点为，则此时点P的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，D是边上的点，，垂足为E且．若，，则线段长度为（ ） A. 3 B. C. D. 8. 若满足，的恰好有两个，则边的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．把答案直接填在答题卡相应位置上． 9. 如图，，与交于点，，，则________． 10. 若是一元二次方程的实数根，则代数式_________． 11. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，则_________． 12. 如图，是的中位线，cm，cm，则梯形的周长为_______cm． 13. 无论a取何实数，动点恒在直线上，是直线上的点，则的值等于____________． 14. 如图，在正方形中，E，F在对角线上且，若，，则__________． 15. 已知一次函数的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，其中A点在第三象限，B点在第一象限．若线段的中点坐标为，则实数k的值为__________． 16. 在锐角三角形中，，则的值为_________． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17 计算：． 18 解方程：． 19 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，已知反比例函数的图像经过点，过点A作轴于点B，且的面积为． （1）求k和m的值； （2）若一次函数的图像经过点A，并且与x轴相交于点C，求的值． 21. 图1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为点． （1）求所在的半径的长； （2）车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）． 22. 文具店购进了20盒“”铅笔，但在销售过程中，发现其中混入了若干“HB”铅笔．店员进行统计后，发现每盒铅笔中最多混入了2支“”铅笔，具体数据见下表： 混入“”铅笔数 0 1 2 盒数 6 m n （1）用等式写出m，n所满足的数量关系； （2）从20盒铅笔中任意选取了1盒，若“盒中混入1支“”铅笔的概率为，求这20盒中混入“”铅笔的数量的平均值． 23. 在平行四边形中，，垂足为E，，垂足为F，且，． （1）求证：； （2）求四边形周长． 24. 如图，在中，，点D是边上一点，以为直径的与边相切于点E，连接并延长交的延长线于点F． （1）求证：； （2）若，，求的半径． 25. 已知一个直角三角形纸片，其中，，．如图1，将该纸片放置在平面直角坐标系中，折叠该纸片，折痕与边交于点C，与边交于点D． （1）若折叠后点B与点A重合，求直线的解析式； （2）若折叠后点B落在边上的点为，设，，试求出y关于x的函数解析式，并直接写出y的取值范围； （3）若折叠后点B落在边上的点为，且使，则的周长为_____．（请直接在答题卷相应位置上写出答案） 26. 已知二次函数图象的顶点在原点，对称轴为轴．一次函数的图象与二次函数的图象交于两点（在的左侧），且点坐标为．平行于轴的直线过点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）判断以线段AB为直径的圆与直线的位置关系，并给出证明； （3）把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位（t＞0），二次函数的图象与x轴交于M，N两点，一次函数图象交y轴于F点．当t为何值时，过F，M，N三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ 27. 2012年广东陆丰渔政大队指挥中心（A）接到海上呼救：一艘韩国货轮在陆丰碣石湾发生船体漏水，进水速度非常迅猛，情况十分危急，18名船员需要援救．经测量货轮到海岸最近的点的距离，，指挥中心立即制定三种救援方案 （如图1）： ①派一艘冲锋舟直接从A开往B；②先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点C，然后再派冲锋舟前往B；③先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到距指挥中心的点D，然后再派冲锋舟前往B．已知冲锋舟在海上航行的速度为，汽车在海岸线上行驶的速度为．，， （1）通过计算比较，这三种方案中，哪种方案较好（汽车装卸冲锋舟的时间忽略不计）？ （2）事后，细心的小明发现，上面的三种方案都不是最佳方案，最佳方案应是：先用汽车将冲锋舟沿海岸线送到点P处，点P满足（冲锋舟与汽车速度的比），然后再派冲锋舟前往B（如图2）． ①利用现有数据，根据，计算出汽车行加上冲锋舟行的总时间． ②在线段上任取一点；然后用转化的思想，从几何的角度说明汽车行加上冲锋舟行的时间比车行加上冲锋舟行的时间要长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $