精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中等学校2025-2026学年八年级下学期6月阶段检测数学试题

2025-2026师梅八年级下学期第三次月考数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A、，被开方数含有分母，不是最简二次根式； B、，不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，被开方数含有分母，不是最简二次根式. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股数的定义．勾股数必须满足都是正整数，同时还需满足两较小的数的平方和等于最大数的平方，据此注意判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴4，5，6，不是勾股数，不符合题意； B、，这两个数都不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； C、∵， ∴6，8，10是勾股数，符合题意； D、不是正整数，故这组数不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 3. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A中方程含有和两个未知数，不符合一元二次方程定义，所以A不符合题意； 选项B中方程整理为，只含一个未知数，未知数最高次数为，且是整式方程，符合一元二次方程定义，所以B符合题意； 选项C中方程含，分母含有未知数，不是整式方程，不符合一元二次方程定义，所以C不符合题意； 选项D中方程展开化简得，即，是一元一次方程，不符合一元二次方程定义，所以D不符合题意． 4. 如图，在中，，点D为边的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先由勾股定理求出的长，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求得的长． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， 是中点， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟记性质是解题的关键． 5. 对于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在这个函数图象上 B. y随着x的增大而减小 C. 当时， D. 图象不经过第三象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，逐一判断各选项说法，找出错误选项即可. 【详解】解：函数中，，， ∵ 当时，， ∴ 点在函数图象上，A说法正确，不符合题意； ∵ ， ∴ 随的增大而减小，B说法正确，不符合题意； ∵ 令，则，解得， 即只有当时，，当时，， ∴ C说法错误，符合题意； ∵ ，， ∴ 函数图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，D说法正确，不符合题意. 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：一元二次方程， ， 方程有两个不相等的实数根， 故选：A． 7. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定及性质定理判断即可； 【详解】解：平行四边形对角相等，故A错误； 一组对边平行不能判断四边形是平行四边形，故B错误； 三边相等不能判断四边形是平行四边形，故C错误； 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故D正确； 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定及性质，掌握平行四边形的判定及性质是解题的关键． 8. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，熟练掌握函数图象法是解题关键．先利用待定系数法求出点的坐标，再根据关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方，结合函数图象求解即可得． 【详解】解：将点代入函数得：，解得， ∴， ∵关于的不等式表示的是函数的图象位于函数的图象的上方， ∴由函数图象可知，， 即关于的不等式的解集是， 故选：D． 9. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（ ） A. 12 B. C. D. 24 【答案】C 【解析】 【分析】首先过点作于点E，于点，由题意可得四边形是平行四边形，继而求得的长，判定四边形是菱形，则可求得答案． 【详解】解：过点作于点E，于点， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， 同理： ， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， ∴四边形的周长是． 10. 小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（ ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】观察图象可知小明家到学校的距离可判定①；根据速度、路程、时间的关系求出小明步行的速度，根据图象求出小明家到图书馆的距离，即可判定②；理用待定系数法求得线段可判定③；同理可得线段得解析式，最后分别计算小明到达学校前与离开学校后距离学校100米时所用时间即可判定④． 【详解】解：由图象可知：小明家到学校的距离为240米，即①正确； 小明步行的速度是（米/分）， 小明家到图书馆的距离为（米），则小明从家到新华书店所用时间为（分），即；故②正确； 设线段所表示的y与x之间的函数表达式为（k、b为常数，且）． 将坐标分别代入得： 得，解得， ∴线段所表示的y与x之间的函数表达式为，即③正确； 同理可得：线段所表示的y与x之间的函数表达式， 当时，，解得； 当时，，解得． ∴在分钟和分钟时，小明距离学校100米，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选A． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 12. 比较大小：________．（用、或连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式 的大小比较，熟练掌握二次根式的大小比较的方法是解答的关键．将根号外的正因数平方后移到根号内，计算出被开方数，再比较被开方数的大小，即可得到答案． 【详解】解：，，且， ，即， 故答案为：． 13. 若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平移规律得到平移后函数解析式，再代入已知点坐标求解即可. 【详解】解：将一次函数的图象向上平移个单位长度后，得到解析式， 将点代入，得， 解得. 14. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了以直角三角形三边为边长的图形面积，设四个正方形的面积分别为：，由图可知：，即可求解； 【详解】解：设四个正方形的面积分别为：， 由图可知：， 故答案为： 15. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根与系数之间的关系，熟练掌握根与系数之间的关系，是解题的关键．根据根与系数之间的关系，得到，将代数式用多项式乘以多项式的法则展开后，利用整体代入法进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴ ； 故答案为：． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，勾股定理，垂线段最短，连接，由矩形的性质可得四边形是矩形， 即得，可知要求的最小值，就是要求的最小值，当时，取最小值，由勾股定理得，再根据三角形的面积求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴.， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴要求的最小值，就是要求的最小值， 当时，取最小值， 在中，，，， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数幂，零指数幂，二次根式的运算以及绝对值的化简，按照相关运算规则进行化简运算即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； （2）已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1）证明：∵， ∴无论m取何实数，这个方程总有实数根． （2）或． 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有实数根； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，，再将变形得：，最后建立关于m的方程，解方程即可求得m的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴或． 20. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）根据平行四边形的性质得到，，证明，根据勾股定理求出，即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 21. 如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，根据进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，解得，， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴． 22. 某学校初二学生计划在学校空中农场种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组用240元购进第一批向日葵花苗后，又用660元购进第二批向日葵花苗．第二批所购数量是第一批数量的3倍，第二批单株进价比第一批便宜了0.2元． （1）求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； （2）学校计划再购进向日葵花苗和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元．学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 【答案】（1）该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； （2）购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元． 【解析】 【分析】（1）设第二批向日葵花苗的单株进价为x元，则第一批向日葵花苗的单株进价为元，第二批所购数量是第一批数量的3倍，据此列出分式方程并解方程即可； （2）设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗株，根据月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍求出m的取值范围，再根据总费用列出一次函数，根据一次函数的性质即可求出答案． 【小问1详解】 解：设第二批向日葵花苗的单株进价为x元，则第一批向日葵花苗的单株进价为元， 由题意，得：， 解得， 经检验是原分式方程的解，符合题意； 答：该学校购进的第二批向日葵花苗单株进价为2.2元； 【小问2详解】 解：设购进向日葵花苗m株，购买总费用为W元，则购进月季幼苗株， 由题意，得：， 解得； ， ∵， ∴W随m的增大而增大， ∴当时，W取得最小值， 此时（株） 答：购进向日葵花苗50株，月季幼苗150株时，购买总费用最少，最少总费用是335元 23. 如图，矩形的对角线与交于点O，点F是上的一点，，延长至点G，使，交于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴是的中位线， ∴，， 又∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）． 【解析】 【分析】（1）首先利用中位线的性质证明，然后再证明即可； （2）由条件可知四边形是矩形，因此只要求出即可．首先由求出，进而由勾股定理求出，然后结合矩形对角线的性质以及求出，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴．，， ∵， ∴平行四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴． ∴． ∴． ∴， 又，， ∴． ∴． ∴． 24. 新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． （1）根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 【答案】（1）①√；②×；③√ （2）①；②0 （3） 【解析】 【分析】（1）由“师梅方程”的定义，逐一判断即可； （2）①根据题意可知该一元二次方程有两个相等实数根，结合根的判别式可知，从而求出a的值，注意一元二次方程二次项系数，要舍去的情况；②将方程的“师梅方程”，即方程 变形为：，由此可知当方程的时，方程的，且方程与的根互为相反数，从而求得； （3）先将方程化简为，写出其“师梅方程”为：，设两个方程的公共根为，将公共根代入两个方程并相减，可得，随后分析和 两种情况，最后求出k的值． 【小问1详解】 解：①两组方程二次项系数均为1，一次项系数为2和，常数项均为0，符合定义，标记为√； ②两组方程常数项分别为4和，不相等，不符合定义，标记为×； ③两组方程二次项系数均为1，一次项系数为3和，常数项均为，符合定义，标记为√． 【小问2详解】 解：①∵关于x的一元二次方程有两个相等实数根， ∴ ， 解得或， ∵一元二次方程二次项系数， ∴， ∴； ②∵，方程的“师梅方程”为方程， ∴，即， ∴当方程的时， 师梅方程的， 且方程与的根互为相反数， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴该方程化为：， 该方程的“师梅方程”为：， 设两个方程的公共根为， 则有及， 两式相减得：， ∴或． 若， 则两个方程均为， 此时两个方程有两个公共根，不符题意， 故； 若，将其代入方程中， 解得：， 经验证，符合题意， ∴． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． （1）记，则________；________；点B的坐标为________； （2）与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； （3）y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1），，； （2）解：，，理由如下： 如图，作于点K． ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴． ∵正方形， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形． 又∵在等腰中，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， 即， ∴． （3）存在， ， 【解析】 【分析】（1）先运用以及正方形的性质，推导出， ，再过点B作于点N，证，得出，，根据已知条件求出，的长度，从而求得点B坐标，注意B点在第四象限； （2）作于点K．先运用已知条件计算得到，从而证得 ，再证明，最后运用全等三角形的性质证得，； （3）过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，．易证， 设，点，点．求出直线的解析式，由点P在直线上，可将点P代入直线中，求得m的值，从而求出P、Q两点的坐标． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， 即； ∵正方形， ∴， ∴， ∴， 即； 过点B作于点N． ∵， ∴， ∵正方形， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∵点B在第四象限， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：过点P，Q分别作x轴的平行线，过点A，F分别作y轴的平行线，分别交于点N，E，M，H，连接，． ∵，， ∴， 同理可证，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， 同理可证． 设， ∵， ∴四边形为矩形， ∴． ∵直线交x轴于A，交y轴于D， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点，点． ∵由（1）可知， 又∵， ∴设直线的解析式为：， 则有：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵点P在线段上， ∴将点代入直线的解析式中，得：， ∴， ∴，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026师梅八年级下学期第三次月考数学试卷 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是“勾股数”的一组是（ ） A. 4，5，6 B. 1.5，2，2.5 C. 6，8，10 D. 1，，2 3. 在下列方程中，属于一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 4. 如图，在中，，点D为边的中点，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5. 对于函数，下列说法不正确的是（ ） A. 点在这个函数图象上 B. y随着x的增大而减小 C. 当时， D. 图象不经过第三象限 6. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 7. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数与的图象相交于点，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，两张宽为3的长方形纸条叠放在一起，已知，则阴影部分四边形的周长是（ ） A. 12 B. C. D. 24 10. 小明步行从家出发经过学校前往图书馆，途中一直保持匀速运动．如图是小明步行时离学校的距离y（米）与行走时间x（分）之间的函数关系的图象． 下列说法一定正确的是（ ） ①小明从家到学校的距离为240米；②图中a的值是18； ③线段所表示的y与x之间的函数表达式为； ④小明与学校相距100米时，用时3.5分钟． A. ①②③ B. ②③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 12. 比较大小：________．（用、或连接） 13. 若一次函数的图象向上平移3个单位长度后经过点，则________． 14. 如图，图中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形，已知最大的正方形的边长为6，则四个正方形的面积之和为________． 15. 已知方程的两根分别为，，则的值为________． 16. 如图，在矩形中，，，点是对角线上一动点，过点分别作的垂线，垂足分别为点，连接，则的最小值为______． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何实数，这个方程总有实数根； （2）已知，是该方程的两个实数根，且，求m的值． 20. 如图，在中，E为的中点，延长交于点F，连接． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，求的面积． 22. 某学校初二学生计划在学校空中农场种植向日葵，寓意一举夺魁．学校采购组用240元购进第一批向日葵花苗后，又用660元购进第二批向日葵花苗．第二批所购数量是第一批数量的3倍，第二批单株进价比第一批便宜了0.2元． （1）求该学校购进的第二批向日葵花苗的单株进价； （2）学校计划再购进向日葵花苗和月季幼苗共200株，且月季幼苗的进货数量不超过向日葵花苗数量的3倍．向日葵花苗的进价与第二批价格相同，月季幼苗单株进价为1.5元．学校应该如何安排进货，才能使购买这批幼苗的总费用最少？最少总费用是多少？ 23. 如图，矩形的对角线与交于点O，点F是上的一点，，延长至点G，使，交于点E，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求四边形的面积． 24. 新定义：关于x的一元二次方程与互为“师梅方程”． （1）根据上述定义，判断以下三组方程是否互为“师梅方程”（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①与（ ） ②与（ ） ③与（ ） （2）若关于x的一元二次方程的两实数根． ①求a的值； ②记方程的“师梅方程”为方程，q是方程的一个实数根，求的值． （3）若关于x的一元二次方程与它的“师梅方程”有且只有一个公共实数根，求k的值． 25. 如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于A，交y轴于D，以为边作正方形，连接，P是线段上（不与B，D重合）的一点，在线段上截取，点G在点P的下方，过G作交于F，连接，． （1）记，则________；________；点B的坐标为________； （2）与有怎样的数量关系和位置关系？并说明理由； （3）y轴上是否存在一点Q，使得四边形是正方形？若存在，请求出P、Q两点的坐标；若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $