期末复习专题07 导数与函数的极值、最值【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 以导数应用为主线，构建从图象关系到含参综合的递进式训练体系，强化逻辑推理与数学运算 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数(导函数)图象与极值关系|6题|图象分析判断极值点、单调性|从形到数建立导数与函数性质的直观联系| |求已知函数极值/极值点(不含参)|6题|导数计算、单调区间判断|夯实无参数背景下极值求解的基本步骤| |由导数求函数最值(不含参)|6题|闭区间端点与极值比较|掌握最值求解的"极值+端点"基本方法| |根据极值/极值点求参数|6题|导数零点分析、分类讨论|参数对极值点影响的逆向思维训练| |由导数求函数极值与最值(含参)|6题|含参函数单调性、极值讨论|提升参数分类讨论的逻辑推理能力| |已知函数最值求参数|6题|最值条件转化为方程/不等式|深化最值与参数关系的数学表达| |单调性、极值与最值综合应用|6题|不等式证明、存在性问题|综合运用导数工具解决复杂数学问题|

专题07 导数与函数的极值、最值 考点一 函数(导函数)图象与极值或极值点的关系 考点二 求已知函数的极值或极值点(不含参) 考点三 由导数求函数的最值(不含参) 考点四 根据极值或极值点求参数 考点五 由导数求函数的极值与最值(含参) 考点六 已知函数最值求参数 考点七 函数单调性、极值与最值的综合应用 考点一 函数(导函数)图象与极值或极值点的关系 1．已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值 D．曲线在点处的切线斜率大于零 2．若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．函数有极大值，无极小值 B．函数有极小值，无极大值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 3．（多选）导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 4．（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 5．（多选）若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（     ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极大值点 D．函数在处的切线斜率大于0 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 考点二 求已知函数的极值或极值点(不含参) 7．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 8．设，函数，． (1)若，判断是否为的极值点，并说明理由； (2)若，求的极值； (3)若，证明：． 9．函数的极小值是____． 10．已知函数. (1)求函数的导函数； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的极值. 11．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 12．函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 考点三 由导数求函数的最值(不含参) 13．函数的最小值是________. 14．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 15．已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 16．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间，并求在上的最大值. 17．已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 18．已知函数在处有极值，且． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 考点四 根据极值或极值点求参数 19．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 20．已知函数. (1)若4是的极小值点，求的极大值； (2)若在其定义域上是增函数，求实数的取值范围. 21．已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 22．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 23．已知函数在处取得极大值0，则________. 24．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点五 由导数求函数的最值(含参) 25．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 26．已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 27．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 28．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 29．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 30．已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 考点六 已知函数最值求参数 31．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 32．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 33．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)判断函数的单调性； (2)证明：当时，． 34．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 35．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 36．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 考点七 函数单调性、极值与最值的综合应用 37．已知函数， (1)当时，，求实数的最大值； (2)若在处有极小值，求实数的值． 38．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 39．已知函数. (1)若是函数的极值点，求a的取值； (2)讨论的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 40．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 41．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 42．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 1．已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 2．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 3．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 5．若函数在定义域上为增函数，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 6．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，单调递增 B．既没有最大值，也没有最小值 C．当时，有且只有三个实根 D．若时，的最大值为，则m的最大值为5 8．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 9．（多选）设函数，则（    ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．曲线的对称中心的横坐标为定值 10．函数的极值为____________． 11．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 12．函数，的所有极小值点的和是__________． 13．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 14．已知函数，且为函数的极值点. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 16．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 17．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 18．已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 导数与函数的极值、最值 考点一 函数(导函数)图象与极值或极值点的关系 考点二 求已知函数的极值或极值点(不含参) 考点三 由导数求函数的最值(不含参) 考点四 根据极值或极值点求参数 考点五 由导数求函数的极值与最值(含参) 考点六 已知函数最值求参数 考点七 函数单调性、极值与最值的综合应用 考点一 函数(导函数)图象与极值或极值点的关系 1．已知为定义在上的函数，其导函数的图象如下图所示，下列命题中正确的是（    ） A．是的极小值点 B．在区间上单调递增 C．是在区间上的最小值 D．曲线在点处的切线斜率大于零 【答案】D 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 仅在和时，， 故在单调递减，在单调递增， 故是函数的极小值点，不是函数的极小值点，故A错误， 由图象可知在区间上不单调，B错误； 当时，，当时，， 则在上单调递减，在单调递增， 即是在区间上的极小值也是最小值，C错误， 由图可知：，因此曲线在点处的切线斜率大于零，故D正确. 2．若函数在上可导，其导函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（   ） A．函数有极大值，无极小值 B．函数有极小值，无极大值 C．函数有极大值和极小值 D．函数有极大值和极小值 【答案】C 【分析】先根据图像分析出导函数的增减区间，进而分析出极值即可选出答案. 【详解】由函数的图象可得， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 所以函数有极大值，和极小值，C正确. 3．（多选）导函数的图象如图所示．在标记的点中，下列说法正确的是（    ） A．是导函数的极大值 B．是导函数的极小值 C．是函数的极大值 D．是函数的极小值 【答案】BCD 【分析】根据极大值、极小值的定义，判断出正确选项. 【详解】根据导函数的图象可知：的两侧的小区域内，的图象左减右增， 所以在，处导函数有极小值；的两侧的小区域内，左增右减， 所以在处导函数有极大值. 根据导函数的图象可知：的左侧导数大于零，在内导数小于零， 所以在处函数有极大值. 在上导数大于零，所以在处函数有极小值. 而左右两侧导函数符号相同，原函数不取得极值. 由此可知A错误，BCD正确. 4．（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（   ） A． B．函数的最大值为 C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点 【答案】AC 【分析】根据图像的符号确定函数的单调性，根据单调性比较大小，判断极值、最值即可逐项判断． 【详解】由图可知，当时，， 所以函数在上单调递增， ，故A正确； 由函数在上单调递增，， 则不是函数的最大值，故B错误； 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以1是函数的极小值点，故C正确； 由图可知的左右两侧， 所以3不是函数的极值点，故D错误． 故选：AC． 5．（多选）若函数的导函数的图象如下图所示，则以下正确的是（     ） A． B．是函数的极大值点 C．不是函数的极大值点 D．函数在处的切线斜率大于0 【答案】CD 【详解】根据导函数的图象可知 时，，时，，时，， 选项A：在上单调递增，因此可得，A错误； 选项B：极值点要求导函数在该点两侧变号，左右两侧都为正，因此不是极值点，B错误； 选项C：左侧，右侧，导函数符号不变，因此不是极值点，C正确； 选项D：函数在某点的切线斜率等于该点的导数值，处，因此切线斜率大于，D正确. 6．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列描述正确的是（    ）    A．在单调递增 B．在处取得极大值 C．在单调递增 D．在处取得最大值 【答案】C 【详解】由导函数的图象，可得： 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，当时，函数取得极小值，当时，函数取得极大值，但不一定为函数的最大值 考点二 求已知函数的极值或极值点(不含参) 7．已知函数（且）. (1)当时，求的极小值点与极小值； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1)是的极小值点，极小值为 (2)当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）通过导数求函数的极值点和极值； （2）分类讨论，结合导数的正负研究函数的单调性； 【详解】（1）当时，，其定义域为， 求导，得， 令，即， 因为，所以，解得， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增， 所以是的极小值点，极小值为. （2）的定义域为， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 当时，， 在上，，所以在上单调递减， 在上，，所以在上单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 8．设，函数，． (1)若，判断是否为的极值点，并说明理由； (2)若，求的极值； (3)若，证明：． 【答案】(1)不是的极值点，理由见解析 (2)极小值为，无极大值． (3)证明见解析 【分析】（1）通过分类讨论证得在上恒成立，得到在上是单调函数，从而根据极值点的定义可判断； （2）将代入并求导，分析得在区间上单调递增，且，进而由在左右两侧的单调性求得极值； （3）将问题转化为证当时，，通过整理得，利用函数与的单调性，结合（1）中得到，再由的单调性即可得证. 【详解】（1）不是的极值点，理由如下： 若，则， 所以， 令，则． 当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，             所以在上恒成立，所以在上单调递减. 所以不是的极值点． （2）若，则， 所以．             因为在区间上单调递增，且， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以是的极小值点，             故的极小值为，无极大值． （3）证明：当时， 因为函数在定义域上单调递减，函数在定义域上单调递增，且当时，， 所以，且， 所以． 由（1）可知，即， 所以．     又函数在定义域上单调递增，且当时，， 所以． 所以当时，. 故时，． 9．函数的极小值是____． 【答案】 【详解】的定义域为. ，令，解得或. 极大值 极小值 的极小值为 10．已知函数. (1)求函数的导函数； (2)求函数的单调区间； (3)求函数的极值. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，单调递增区间为 (3)极小值为，无极大值 【分析】（1）利用导数的运算法则和常见函数的导数，即可求解； （2）利用导数与函数单调性的关系，即可求解； （3）利用函数的单调性和极值的定义，即可求解. 【详解】（1）因为，则. （2）易知的定义域为，， 由，得到，解得，由，得到，解得， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （3）由（2）知在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在处取到极小值，极小值为，无极大值. 11．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 12．函数，曲线过，且在点处的切线斜率为2. (1)求，的值； (2)求的单调区间和极值. 【答案】(1)， (2)的单调递增区间是，单调递减区间是，极大值为，无极小值. 【分析】（1）利用导数的几何意义，求； （2）根据（1）的结果，利用导数的正负求函数的单调区间，以及极值. 【详解】（1），， 由条件可知，且， 解得：，， （2） ，， 由，得（舍）或， ，得，，得， 所以的单调递增区间是，单调递减区间是， 所以函数的极大值为，无极小值. 考点三 由导数求函数的最值(不含参) 13．函数的最小值是________. 【答案】 【分析】利用导数求函数的极小值即可得出最小值. 【详解】， 由， 由， 所以函数在单调递减，上单调递增； 所以. 14．函数在上的最大值是（ ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求解. 【详解】， 时，，递增，时，，递减， 所以是的极大值也是最大值. 15．已知函数为． (1)求； (2)求的单调区间； (3)求在区间上的最值． 【答案】(1) (2)单调递增区间为、，单调递减区间为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）借助导数运算法则计算即可得； （2）求导后，利用导数正负即可判断函数单调性； （3）利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得. 【详解】（1）； （2）由， 则当时，，当时，， 故的单调递增区间为、，单调递减区间为； （3）由的单调递增区间为、，单调递减区间为， 则当时，在上单调递增，在上单调递减， 又， ， ， 故在区间上的最大值为，最小值为. 16．已知函数 (1)求在处的切线方程； (2)求的单调区间，并求在上的最大值. 【答案】(1) (2) 单调递增区间为和，单调递减区间为；最大值为 【分析】（1）根据导数求出切线斜率，由点斜式即可求得切线方程； （2）根据导数求出函数的单调性和极值，比较端点值和极值即可求出最大值. 【详解】（1）由函数，可得， 求导得，则得， 故在处的切线方程为. （2）由（1）得， 当或时，，当时，， 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为， 则的极大值为，极小值为， 又，， 由于， 故在上的最大值为. 17．已知函数，是的导函数． (1)求的值； (2)求曲线在处的切线方程； (3)求的最小值． 【答案】(1) (2) （或等价形式） (3) 【分析】 （1）求的导函数，代入计算即可. （2） 利用二阶导数求出直线斜率，结合切点坐标用点斜式写切线方程； （3）由二阶导数判断一阶导数的单调性，找到一阶导数的零点确定的单调性，进而求得最小值. 【详解】（1）已知，则， 进而. （2）令，则. 则在处切线斜率. 根据（1）知，切点为. 由点斜式得直线方程 ，整理得切线方程. （3）由，因，故，即在上单调递增. 又，则当时，，单调递减; 当时，，单调递增. 故在处取最小值，，即最小值为. 18．已知函数在处有极值，且． (1)求的值； (2)求在区间上的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值为46，最小值为10． 【分析】（1）由得到的等式，由在处有极值得到 ，通过联立方程组求出，经验证得到的值. （2）利用导数求出单调性，利用单调性得到的最大值和最小值． 【详解】（1）（1）， （2）， 联立（1）、（2）解得， 当时，代入恒成立， 所以原函数不存在极值，此组值舍去.所以． （2）当时，， 当或时单调递增， 当时，单调递减． 又因为所以， 所以的最大值为46，最小值为10． 考点四 根据极值或极值点求参数 19．若是函数的极大值点，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意由推得，代入函数解析式消元后，求出导数，根据的取值分类讨论验证，即得参数的范围. 【详解】由求导得， 因是函数的极大值点，则，即， 所以， 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 故在处取极大值，符合题意； 若，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则在处取极小值，不符合题意； 若，则，在上单调递增，无极值，不符合题意； 则的取值范围是. 20．已知函数. (1)若4是的极小值点，求的极大值； (2)若在其定义域上是增函数，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据4是极小值点求出，结合导数与单调性、极值的关系求出极大值，进一步证明即可. （2）在定义域内单调递增即在定义域内恒成立，结合分离常数法及基本不等式求解即可. 【详解】（1）函数的定义域为，. 因为4是的极小值点， 所以，即，解得. 当时，，， 令，则，解得或. 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在处取得极大值，， （2）因为在定义域内单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立. 在上恒成立，也即在上恒成立. 又，当且仅当，即时等号成立. 所以， 即实数的取值范围为 21．已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由求导得， 因函数在区间上存在极值点， 则需使方程在上存在变号零点； 若，则，则在上单调递减，不符合题意； 若，令，解得， 此时当时，单调递增； 当时，单调递减， 故是的极大值点，由题意知要使该极值点落在内，需满足， 故a的取值范围是. 22．已知函数的极小值为，则实数的值可能为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对函数求导得，找到临界点和，再按、、三种情况判断极小值点，代入极小值求解，验证后得到. 【详解】. 令，得临界点，. ①当时，，，函数单调递增，无极小值，舍去. ②当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，即，符合. ③当时，， 时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 故为极小值点，代入得：. 由极小值为，得，解得，不在选项中，舍去. 23．已知函数在处取得极大值0，则________. 【答案】/ 【分析】由和得或，分两种情况，检验后得到答案 【详解】，由题意得，即，故， 且，解得或， 当时，，则， 令得，令得，故为极大值点，满足要求， 所以， 当时，，则， 令得，令得，故为极小值点，不满足要求， 综上，. 24．已知函数有两个极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把已知函数有两个极值点问题转化为导数有两个不同零点问题，构造函数，求导并分析单调性、极值，作出大致图像，利用图像求实数的取值范围． 【详解】函数有两个极值点等价于有两个不同的变号零点， 令，即， 设，求导得， 当时，，单调递增，值域为； 当时： 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 在处取得极大值，，即为最大值，故值域为； 作出的大致图像如下： 由图像可知，当时，与有两个交点， 故实数的取值范围为． 考点五 由导数求函数的最值(含参) 25．已知函数． (1)求曲线在处与直线垂直的切线方程； (2)设，求函数的极值． 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义得到曲线在点处的切线斜率，再结合切线与直线垂直的条件，求出的值，进而得到切线方程； （2）先对函数求导，然后根据导数的正负性判断函数的单调性，最后根据单调性求出函数的极值. 【详解】（1）由已知，，定义域为， 则， 因为曲线在处与直线垂直， 所以切线的斜率为1，即， 所以，解得，此时， 故所求的切线方程为． （2）由（1）得，， ①当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，，函数单调递增； 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． ②当时，则， 所以函数在定义域上单调递增，此时没有极值点，故无极值． ③当时，若，则，函数单调递增； 若，则，函数单调递减； 若，则，函数单调递增． 此时是的极大值点，是的极小值点， 函数的极大值是，极小值是． 综上，当时，的极大值是，极小值是； 当时，没有极值； 当时，的极大值是，极小值是． 26．已知函数，是的导函数. (1)当时，证明：； (2)讨论的极值点个数； (3)若有两个极值点，证明：. 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为 (3)证明见解析 【分析】（1）构造函数，利用导数求解的单调性和最值，从而证得结论； （2）将问题转化为与位置关系的讨论问题，通过导数可求解出的单调性和最值，结合图象进行分析可得正负，进而得到极值点个数； （3）将所证不等式转化为证明，令，则只需证；根据极值点偏移的证明逻辑，构造函数，利用导数可证得，结合分析法可得到结论. 【详解】（1）当时，， 令，则定义域为，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增， ，即. （2）由题意知：定义域为，， 令，则， 令，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， ，且当时，；当时，； 由此可得大致图象如下图所示， ①当，即时，与有唯一交点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有唯一的极小值点，无极大值点； ②当，即时，与交于两点， 则当时，，即；当时，，即； 在上单调递减，在上单调递增， 有一个极小值点，一个极大值点； ③当，即时，恒成立，即恒成立， 在上单调递减，无极值点； 综上所述：当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为；当时，的极值点个数为. （3）由（2）知：若有两个极值点，则，此时； ， ， 要证，只需证， 即证， 只需证，即证， ，， 令，则与交于两点，其中，则， ，当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，； 要证，只需证，即证， ，，在上单调递减，只需证， 又，只需证， 令，则， ，，，在上单调递增， ，又，， 即，原不等式得证，即. 【点睛】方法点睛：处理极值点偏移问题中的类似于（）的问题的基本步骤如下： ①求导确定的单调性，得到的范围； ②构造函数，求导后可得恒正或恒负； ③得到与的大小关系后，将置换为； ④根据与所处的范围，结合的单调性，可得到与的大小关系，由此证得结论. 27．已知函数 (1)当时，求的单调区间； (2)求在区间上的最小值． 【答案】(1)的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）求导，利用导函数和函数单调性的关系可得结果； （2）求导，分、和三类情况进行讨论，对于的情况，再细分和两种情况讨论可得结果. 【详解】（1）因为时，， 所以， 令，解得， 所以时，；时，， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． （2），令，解得， ①当，即时， 在上单调递增；所以； ②当，即时， 对于，，故在上单调递增， 所以； ③当，即时， 时，单调递增； 时，单调递减； 时，单调递增， 若，即，则在上单调递减，所以； 若，即，则在上单调递减，上单调递增， 所以； 综上：当时，； 当时，； 当时，． 28．已知函数. (1)求曲线在处的切线方程； (2)若在单调递增，求实数a的取值范围； (3)当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过求导得出切线斜率并计算出切点坐标，最后代入点斜式得出切线方程； （2）根据函数单调递增转化为其导数大于等于0恒成立，分离参数后转化为求新函数在指定区间上的最小值问题； （3）由题意得将问题转化为两函数最大值的比较，分别利用导数判断单调性求出最值，最后解不等式求得的范围。 【详解】（1）由题意得，， ，故切点坐标为， 则切线方程为，整理得， （2），， 由题意得在上恒成立，即， 则在上恒成立，即， 令，则， 因为，所以且，则，在上单调递增， 所以，因此. （3）由题意得原不等式转化为在上，， ，因为，所以， 所以在单调递增，， ，因为，，所以， 在单调递减，， 则有，整理得. 29．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ） 【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围． 【详解】（1）函数求导得 ， 已知，则， ． （2）（ⅰ），则，求导得：， ，在上恒成立， 导数符号由决定： 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ，， ， 在上的最小值为，最大值为； （ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值， 在上的最大值为， ，解得， 又，， 的取值范围为． 30．已知函数. (1)讨论的单调区间； (2)当时，求函数在上的最小值. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. (2)时，； 时，. 【分析】（1）求导，分，，，根据导数讨论求解即可； （2）结合（1），根据函数单调性，分，讨论求解即可. 【详解】（1）易得定义域为. 当时，. ，， 则在上单调递增，在上单调递减， 当时，. ⅰ.若时，，，， 则在上递增，在上递减. ⅱ.若时，令或. 当， 此时或，， 则在，上单调递增，在上单调递减， 当，此时在上单调递增， 当，此时或， ， 则在，上单调递增，在上单调递减. 综上可得：当时，在上递增，在上递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）分析可得， 若，则在上单调递减， ； 若，则在上单调递减，在上单调递增， 则此时； 综上可得：时，； 时，. 考点六 已知函数最值求参数 31．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)当时，在单调递增；当时，故在单调递减，在单调递增 (2) 【分析】（1）对进行求导，然后分类讨论确定的单调性. （2）分和三种情况讨论，确定在上的最小值，然后解关于的方程，求解出即可. 【详解】（1）的定义域为，. 当时，，此时在上单调递增， 当时，令，解得，令，解得， 故在上单调递减，在上单调递增. （2）①当时，恒成立，此时在上单调递增，，不合题意，舍去. ②当时，恒成立，此时在上单调递减，，解得，不合题意，舍去. ③当时，解得，解得， 故在上单调递减，在上单调递增，，解得. 综上，实数的值为. 32．已知函数在上的最小值为0，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得在上恒成立，且能取等号，即，令，再利用导数得到，解方程即可． 【详解】由题意得在上恒成立，且能取等， 即在上恒成立，且能取等， 令，则的最小值为0， 因为， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，解得． 33．已知函数的图象在点处的切线方程为． (1)判断函数的单调性； (2)证明：当时，． 【答案】(1)函数的增区间为，减区间为 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求出，解出的解为的单调递增区间．解出的解为的单调递减区间. （2）要证，即证，只需证．构造函数，其中，则．构造函数，利用导数得到在上单调递增．又，得到存在，使，可得，从而得到在上单调递减，在上单调递增．求出．得到，即． 【详解】（1）因为， 所以，解得，所以． 函数的定义域为， 令，得； 令，得． 所以函数的增区间为，减区间为． （2）证明：要证，即证，只需证． 令，其中， 则． 令，则，所以在上单调递增． 因为，， 所以存在，使，可得，当时，，即，则在上单调递减； 当时，，即，则在上单调递增． 所以． 所以，所以． 34．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案. （2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，则在上单调递减， 所以，解得，不合题意，故舍去； 当时，若即，则在上单调递增， 所以，解得，符合题意； 若即，则在上单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若即，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1时，. 35．若函数在上有最小值，则实数的取值范围为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可导函数在开区间内存在最小值，则其必在区间内存在极小值点，即导数存在从负到正的变号零点,对于本题，导函数的分子为二次函数，其对应的函数至多只有一个极小值点，故若在内存在最小值，则导数在区间内存在唯一的从负到正的变号零点. 【详解】已知函数的定义域为，对其求导得： ，令， 若在上存在最小值，根据本题的函数结构可知，函数在区间内先递减后递增， 即在内由负变正，等价于. . 解得，即实数的取值范围是. 36．若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 考点七 函数单调性、极值与最值的综合应用 37．已知函数， (1)当时，，求实数的最大值； (2)若在处有极小值，求实数的值． 【答案】(1)的最大值为； (2). 【分析】（1）先代入参数，对函数求导，找出定义域内的极值点，通过分析导数的符号变化确定函数的单调性，从而求得在给定区间上的最小值，该最小值即为实数的最大值； （2）对含参数的函数求导，利用极值点处导数为零建立方程，解出参数的可能取值，再通过计算验证每个取值是否对应极小值点，最终确定符合条件的参数值. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，令，即，解得或， 当时，；当时，，因此在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间的最小值为， 因为，所以的最大值为. （2）函数 ，定义域 ， ，由在处有极小值，得，即，解得或， 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极小值，符合题意； 当，，令，解得或，当时，；当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处有极大值，在处有极小值，不符合题意； 综上所述，. 38．已知函数，其导函数为. (1)当时，求函数的值域； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过连续求导来判断导函数的单调性，进而找出它的最小值，从而确定整个导函数的值域； （2）采用分离参数法构造出一个新的函数，然后通过多次求导分析其导数的符号，证明该新函数在给定区间内单调递增，最终利用端点处的最大值来确定参数的取值范围. 【详解】（1）当时，，则. 令，则. 令，则， 所以在上单调递增，且. 所以时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 所以，所以的值域为. （2）当时，，则恒成立，所以. 当时，由，得. 令，则. 令，则. 令，则. 令，则. 当时，，当且仅当时，等号成立，故在上单调递减， 又，所以，故在上单调递减. 因为， 所以存在，使得. 所以在上单调递增，在上单调递减， 由于，于是当时，，此时， 所以在上单调递增，在上的最大值为， 所以， 综上，实数的取值范围是. 39．已知函数. (1)若是函数的极值点，求a的取值； (2)讨论的单调区间； (3)设，若对任意，均存在，使得，求a的取值范围. 【答案】(1)−1 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3) 【分析】（1）由为极值点,先利用处导数为0求出,再回代验证确为极值点. （2）求导后讨论在上的符号. （3）将“对任意，均存在”转化为恒成立，再利用导数求的最大值. 【详解】（1）由,得. 因为是函数的极值点,所以,即,得. 当时,. 当时,；当时,.. 所以是的极大值点,符合题意. （2）由，且. 当时，，所以，故在上单调递增. 当时，由得. 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减. （3）因为，所以在上的最大值为. 题意等价于对任意，都有，即在上恒成立. 若，则当时，，不符合题意. 若，由小问2知在处取得最大值，且最大值为 所以需，即，得. 又，所以，即. 故的取值范围为. 【点睛】第（3）问中“任意均存在”的关键是利用在上的最大值，将问题转化为在上恒成立. 40．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，分析导函数的符号，从而可判断函数的单调性； （2）先对不等式进行变形分离参数，再构造函数借助导数找到函数的最小值，从而得到m的取值范围. 【详解】（1）当时，，则． 由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增． （2）由，得．因，则得， 依题意，只需即可. 设函数，则，由，得， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以，即， 所以，即的取值范围为． 41．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过将不等式问题转化为函数问题，结合导数即可求解函数最值，进而得到的范围. 【详解】由得 因为，所以 令 则问题转化为求在上的最小值． 求导得 令， 因为，所以与同号． 又，所以在上单调递增． 当时，；又，所以存在唯一的，使得． 再看方程， 函数，，则， 则在上单调递增，且当时，， 当时，，所以该方程有唯一正根． 设这个正根为，则， 于是且，说明这个正是的唯一根． 因此，当时，，从而； 当时，，从而． 所以在处取得最小值． 由，得，又， 所以 所以． 要使对任意恒成立，必须且只需． 当时，取，原不等式等号成立，不满足严格大于． 故的取值范围为． 42．已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对求导，讨论的值确定导数的正负，讨论函数的单调性；（2）首先将不等式恒成立问题转化为恒成立， 令求最值. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，， ， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，， ，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 1．已知函数，则的极小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【详解】函数的定义域为， 令，解得，列表如下， 2 0 单调递减 极小值 单调递增 所以的极小值为． 2．已知函数的定义域为且导函数为，函数的图象如图，则下列说法正确的是（   ） A．函数的增区间是 B．函数的减区间是 C．是函数的极大值点 D．是函数的极大值点 【答案】D 【分析】根据函数图象确定导函数的符号，确定函数的单调区间和极值. 【详解】根据的图象可知：当时，； 当时，，当时，，当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增. 因此函数在时取得极小值，在时取得极大值.故ABC错误，D正确. 故选：D 3．函数在区间上的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数求出函数在区间上的单调区间即可求解. 【详解】由题可得：，令，解得：， 令，解得：， 令，解得：， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取最小值，故函数在区间上的最小值为 4．若函数在时取得极值，则a=（    ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用函数极值点处的导数值为0的性质来求解 【详解】，函数时取得极值，则， 即．当时，， 当或时，单调递增； 当时，单调递减． 函数时取得极大值．故符合题意． 5．若函数在定义域上为增函数，则实数的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数在定义域上单调递增，则恒成立求解. 【详解】函数的定义域为，因为函数在定义域上为增函数， 所以在恒成立， 所以，令，， ，令，， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， ， 所以， 故选项D正确. 6．若函数在区间存在最大值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求，得出的单调性和最值，可得，解不等式即可． 【详解】 ，， 所以当或时，，所以在，上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时取得极大值， 所以要使函数 在区间存在最大值， 则可得：，即， 解得：． 7．（多选）已知函数，则下列结论中正确的是（   ） A．当时，单调递增 B．既没有最大值，也没有最小值 C．当时，有且只有三个实根 D．若时，的最大值为，则m的最大值为5 【答案】AD 【分析】求导，利用导数分析函数的单调性及极值，确定函数大致图象，据此逐项判断即可． 【详解】， 由得，；由得，或， 在上单调递增，在上单调递减，故A正确； 在处取极小值，在处取极大值， 由于当时，恒成立， 所以，函数图象如下： 则没有最大值，在处取最小值，B错误； 又最小值为，极大值为， 根据函数图象可知， 当时，有三个实根，故C错误； 对于D选项，时，的最大值为， 由函数图象可知，的最大值为5，故D正确． 8．（多选）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当时， C．若在有最大值，则的取值范围为 D．是的充要条件 【答案】AC 【分析】对于A，通过求导得到函数的单调性，结合极值点的定义即可判断；对于B，取，即可判断；对于C，根据函数的图象可判断；对于D，充分性代入可判断，必要性可通过取，判断. 【详解】，令，解得， 当，，函数在上单调递增， 当，，函数在上单调递减， 当，，函数在上单调递增， 所以，的极大值点为，极小值点为，所以有两个极值点，故A正确； 取，，， 所以，不符合时，，故B错误； ，令，即，解得或， 为开区间，若在有最大值， 则，解得， 所以的取值范围为，故C正确； 当时，则， 所以 ， 所以是的充分条件， 若， 取，，，， 满足，此时， 所以不是的必要条件， 综上，是的充分不必要条件，故D错误. 9．（多选）设函数，则（    ） A．当时，的极大值大于0 B．当时，无极值点 C．，使在上是减函数 D．曲线的对称中心的横坐标为定值 【答案】BD 【分析】对于A，利用导数求出函数的单调区间，再求得极大值即可判断；对于B，由恒成立即可判断；对于C，由解集能否为即可判断；对于D，求出图象的对称中心即可判断D. 【详解】对于A，当时，，求导得， 令得或， 由，得或，由，得， 于是在，上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，极大值为，故A错误； 对于B，， 当时，，即恒成立， 函数在上单调递增，无极值点，故B正确； 对于C，要使在上是减函数，则恒成立， 而不等式的解集不可能为，故C错误； 对于D，由， 得曲线的对称中心的坐标为，故D正确 10．函数的极值为____________． 【答案】 （极小值为，无极大值） 【详解】由，得 . ∵，∴，∴恒成立， 令，得，得. 令，得，得. ∴在上单调递减，在上单调递增. ∴在处取得极小值，极小值为，无极大值. 11．若函数的极大值为1，则函数的极小值为________， 【答案】 【详解】因为，由得， 且当时，，当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数在处取得极大值，且，即， 函数在处取得极小值，且. 12．函数，的所有极小值点的和是__________． 【答案】0 【分析】分析函数的奇偶性，求出导数确定函数在存在极小值点，再利用对称性求解. 【详解】函数，则， 函数是偶函数， 因此函数在上的极小值点关于原点对称，当时，， 在同一坐标系内作出函数的图象， 观察图象，得函数的图象有两个交点， 当时，，当时，，当时，， 因此函数在处取得极小值，所以函数，的所有极小值点的和是0. 13．已知函数，在上的最小值为，则的最大值为_____________． 【答案】1 【分析】分三种情况，利用导数分析的单调性及最值，从而得到的取值范围，求得的最大值. 【详解】函数， 当时，. 若，则，，所以在上单调递增， 在上的最小值为，符合题意； 若，则，，所以在上单调递减， 在上的最小值为，不符合题意； 若，则当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，在上的最小值为，不符合题意. 综上所述，的取值范围是. 所以的最大值为. 14．已知函数，且为函数的极值点. (1)求的值； (2)求在区间上的值域. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用导数与极值点的关系，即可求解； （2）利用函数在闭区间的单调性，即可求得值域. 【详解】（1）对求导得： ， 因为是的极值点，极值点处导数值为0， 所以代入得： ，解得， 验证：当时，， 当时，，当时，， 所以左右导数符号改变，满足为函数的极值点，故； （2）由（1）得，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 因此的最小值为极小值， 计算端点函数值：， 比较得最大值为, 故在上的值域为. 15．已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的极值； (3)讨论方程实数根的个数. (4)求证：. 【答案】(1)； (2)极大值为，无极小值； (3)当时，方程无实根；当或时，方程有一个实根； 当时，方程有两个实根； (4)证明见详解. 【分析】（1）先对函数求导，根据导数几何意义，可求得切线斜率，再结合点斜式方程，即可求得切线方程； （2）通过求导，判断函数的单调性，结合函数极值的概念，即可求解； （3）由（2）可得函数的单调性，进而可求得函数最值，通过对参数的取值进行讨论，即可求得方程的根个数； （4）由题意，不等式等价于，构造新函数，求导判断其单调性，求得最值，不等式可证. 【详解】（1）根据题意，函数的定义域为，， 所以切点为， 又， 所以， 则曲线在点处的切线方程为， 即； （2）由（1）得，， 令，解得， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以为函数的极大值点，极大值为，无极小值； （3）由（2）得，函数在上单调递增，在上单调递减，且极大值为，同时也为函数的最大值， 当时，，所以， 当时，，但增长速度慢于的增速，所以， 方程实数根的个数即函数与的交点个数， 所以当时，函数与无交点，即方程无实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 所以当时，函数与有两个交点，即方程有两个实根， 所以当时，函数与有一个交点，即方程有一个实根， 综上所述，当时，方程无实根， 当或时，方程有一个实根， 当时，方程有两个实根； （4）由函数，所以不等式，即， 因为，所以不等式等价于， 即， 令函数，即证恒成立， 则， 令，即，解得或（舍）， 所以当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，恒成立，所以在上单调递减， 所以当时，函数取得极大值，也为最大值， 所以， 所以当时，恒成立， 即，即， 又，所以恒成立，即，得证. 16．已知函数 (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，使得，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. (2) (3) 【分析】（1）根据导函数，分、讨论函数的单调性； （2）结合（1）中的单调性分类讨论最值； （3）将题意转化为，易求得，再结合（1）分与两种情况求解，进而求解即可． 【详解】（1）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 17．已知函数 (1)求函数的导函数； (2)若，求函数单调区间； (3)若函数在上的最小值是，求的值． 【答案】(1) (2)的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）根据导数的四则运算求得正确答案. （2）根据判断的单调区间. （3）对进行分类讨论，结合在上的最小值求得. 【详解】（1）依题意，. （2）当时，，的定义域为， 所以当时，单调递减； 当时，单调递增. （3）的定义域为，. 当时：在区间上，，， 所以在上单调递增． 则在上的最小值为，由，与矛盾，舍去． 当时：当时，单调递减； 当时：单调递增． 所以在上的最小值为， 由，即，解得，满足． 当时：在区间上，， 所以在上单调递减． 则在上的最小值为， 由，解得，与矛盾，舍去. 综上，的值为． 18．已知函数，为的导数． (1)求在处的切线方程； (2)证明在区间存在唯一极大值点； (3)证明有且仅有2个零点． 【答案】(1) (2)由题意知定义域为且， 令，， ，， 在上单调递减，在上单调递减， 在上单调递减， 又，， ，使得， 当时，；时，， 即在上单调递增；在上单调递减， 则为唯一的极大值点， 即在区间上存在唯一的极大值点． (3)，， ①当时，由（2）可知在上单调递增， 在上单调递减， 又， 为在上的唯一零点． ②当时，在上单调递增，在上单调递减 又， 在上单调递增，此时，不存在零点， 又， ，使得， 当，，当，， 在上单调递增，在上单调递减， 又，， 在上恒成立，此时不存在零点. ③当时，单调递减，单调递减， 在上单调递减， 又，， 即，又在上单调递减， 在上存在唯一零点， ④当时，，， ， 即在上不存在零点. 综上所述有且仅有2个零点． 【分析】（1）对求导，求，，根据点斜式方程写出切线方程； （2）求二阶导数分析的单调性，分析上零点情况，判断零点个数； （3）分析在的单调性和零点，的单调性和零点，的单调性和零点， 的单调性和零点. 【详解】（1）， ，， 切线方程为． （2）略 （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $