期末复习专题06 导数与函数的单调性【考点突破+强化训练】-2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 以导数应用为主线，从基础图象关系到含参单调区间讨论，构建“概念理解-直接应用-参数探究-综合讨论”的递进式训练体系，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |函数与导函数图象关系|6题|图象辨析与解集求解|从形到数建立导数与单调性直观联系| |不含参单调区间|6题|单调区间直接求解|巩固导数判断单调性的基本方法| |由单调性求参数|6题|恒成立问题求解|深化导数与函数增减性的逻辑关联| |存在单调性求参数|8题|存在性问题探究|提升参数范围分析的推理能力| |区间不单调求参数|6题|极值点存在性判断|强化导数应用的逆向思维| |含参单调区间（单根型）|6题|单根分类讨论|构建含参问题的分类框架| |含参单调区间（二次型）|6题|二次函数根的分布|拓展导数应用的代数推理| |含参单调区间（求根公式）|4题|求根公式应用|完善复杂含参问题的求解路径|

专题06 导数与函数的单调性 考点一 函数与导函数图象之间的关系 考点二 利用导数求函数的单调区间(不含参) 考点三 由函数在区间上的单调性求参数 考点四 由函数在区间上的存在单调性求参数 考点五 由函数在区间上的不单调求参数 考点六 利用导数讨论含参函数的单调区间（单根型） 考点七 利用导数讨论含参函数的单调区间（二次型） 考点八 利用导数讨论含参函数的单调区间（利用求根公式） 考点一 函数与导函数图象之间的关系 1．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 【答案】BC 【分析】根据导数的图象判断区间导数值的符号，进而依次判断各项对应区间中的单调性. 【详解】由图知，在区间上，在区间上， 所以在、上不单调，在上单调递减，在上单调递增. 故选：BC 2．可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 【答案】C 【分析】根据图象确定在各个区间的正负，从而得到在各个区间上的单调性，进而做出判断. 【详解】由图象可知，在上，在上， 所以在，上单调递减，在，上单调递增， 所以在，，上不单调，故A，B，D错误， 在上单调递增，故C正确. 故选：C． 3．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像判断的正负及通过的单调性判断的正负，即可求解. 【详解】由函数的图象可知，当和时，； 当时，； 又由图可知当时，函数单调递增，则； 当时，函数单调递减，则， 所以的解集为． 故选：C. 4．已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式得或，根据图象的单调递增和递减区间，得到或的解集，分别求出两个不等式组的解集，得到原不等式的解集. 【详解】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 5．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______. 【答案】 【详解】由可得：或， 由图可知当时，可得，则， 当时，可得，则， 所以的解集为：. 6．已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】由导函数的图像可知，当时，，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，所以B正确，A，C，D错误. 考点二 利用导数求函数的单调区间(不含参) 7．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 【答案】C 【详解】由题设，且， 若，则或， 所以函数的单调递增区间为，. 8．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，，单调递减区间为 【分析】（1）根据导数的几何意义求得切线的斜率，从而得到切线的方程； （2）利用导数分析函数的单调性可得. 【详解】（1）因为，所以，即， 因此函数为. 所以，，， 所以所求切线方程为，即. （2）由（1）知，函数的定义域为， ， 令，解得，或， 令，解得， 所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为． 9．已知函数，则的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】的定义域为， ，令，得， 故的单调增区间为. 10．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，得，解得，所以函数的单调递增区间为. 11．函数的单调递减区间是___________． 【答案】、 【分析】求出函数的定义域，利用导数与函数单调性的关系可求得答案. 【详解】函数的定义域为，， 由可得或，故函数的单调递减区间为、. 12．函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为， ， 由，解得， 函数的单调递增区间为． 考点三 由函数在区间上的单调性求参数 13．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 【答案】 【分析】确定函数定义域，将单调递增转化为导函数在定义域上非负恒成立，分离参数后利用基本不等式求最值即可得到的取值范围. 【详解】函数 的定义域为， 因为是单调递增函数，故对任意恒成立， 即，分离参数得对任意恒成立， 由基本不等式，当时，，当且仅当即时等号成立， 因此，即的最大值为，故，即的取值范围是. 14．已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 【答案】 【分析】先求导，进而得在上恒成立，得，令，利用导数研究单调性进而求解. 【详解】由题意得：在上恒成立，所以， 令，所以， 当时，，所以在单调递增， 所以，所以，所以实数的最大值为. 15．函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用与在处的导数值相等求出. （2）求出的导数，由给定区间及单调性建立不等式求解. 【详解】（1）由，求导得，由，求导得， 由曲线与在处有相同的切线，而，则，即， 解得，此时曲线与在处的切线都为，符合题意， 所以. （2）函数在上单调递减，则，， 即，，而，当且仅当时取等号，因此， 所以a的取值范围是. 16．已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 【答案】 【分析】先求导，进而得，即，进而求解. 【详解】由题意得：，所以在恒成立， 所以，即，所以. 17．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，由给定的单调区间及单调性建立恒成立的不等式求解. 【详解】由函数在上单调递增，得， 恒成立，而当时，，则，又， 所以实数的取值范围是. 18．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题转换成在上恒成立，通过分离参数求最值即可求解. 【详解】对 ，求导得 ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 整理得 ， 即小于等于在上的最小值， 对求导得 ， 当时， ，得到在上单调递增， 因此最小值为 ，故， 因此实数的取值范围为. 考点四 由函数在区间上的存在单调性求参数 19．若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，根据导函数判断原函数的单调性，画出草图，利用数形结合转化求解a的范围即可. 【详解】由题意，得，令，解得或， 当时，，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减. 因为，，再令，解得或者0，所以大致图像如图所示， 结合图像，要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，所以a可取2. 20．（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】转化为在内有解，然后参变分离即可求解. 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意. 21．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【分析】求，根据分离参数，构造函数可得的取值范围. 【详解】∵，∴， ∵在区间内存在单调递增区间， ∴在上有解，故在上有解， 令，则， ∵，∴，即在上为减函数， ∴，∴，故． 22．若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是__________． 【答案】或 【分析】由题意转化为导数小于0有解，利用判别式求解即可. 【详解】求导可得， 由题意，有解， 所以只需，解得或， 故实数的取值范围是或. 故答案为：或. 23．若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知，存在，使得，可得，结合反比例函数的单调性可得出实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由题意可知，存在，使得，可得， 因为函数在上为减函数，则，故， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 24．已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导根据有单调递增区间，转化为不等式能成立即可求得结果. 【详解】易知的定义域为，又， 由题意可知在上有解，即在上有解， 可得，所以． 故选：C． 25．已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）把代入，利用导数求出单调递减区间. （2）求出函数的导数，再将问题转化为在上有解即可. 【详解】（1）当时，的定义域为， 求导得，由，得， 所以的单减区间为. （2）函数，求导得， 由函数在上存在减区间，得，使得成立， 即，使得成立，函数在上单调递增， ，则，解得， 所以的取值范围为. 26．已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】使用导数判断单调性，并对，和分类讨论即可得到答案. 【详解】由于，故. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 当时，对任意都有. 故，从而在上递增，不满足条件. 当时，对，由于，故. 故，从而在上递减，一定满足条件. 综上，的取值范围是. 故选：A. 考点五 由函数在区间上的不单调求参数 27．如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对函数求导并利用导函数符号以及方程有解可求得a的取值范围. 【详解】易知，依题意可得在上有解， 即方程在上有解，显然当时，， 因此实数a的取值范围为. 28．已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得，转化为在上有变号零点，设，求得在上单调递增，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 要使得函数在上不单调，即在上有变号零点， 设，可得， 所以在上单调递增，即在上单调递增， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 29．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 30．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】求出函数的极值点，分析可知，函数在区间内存在极值点，可得出关于实数的不等式组，由此可求得实数的取值范围. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为,，减区间为， 所以，函数的极大值点为，极小值点为， 因为函数在区间上不是单调函数， 则该函数在区间内存在极值点，即或， 解得或， 所以，实数的取值范围是. 故选：CD. 31．（多选）已知函数（   ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C．当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D．若的单调递减区间为，则． 【答案】AD 【分析】先利用导数工具分和两种情况研究函数的单调性，再逐一根据各选项条件和·单调性定义列得方程或不等式即可求解判断 . 【详解】由题可得， 所以当时恒成立，此时函数在定义域上单调递增； 当时，满足， 则令，得（舍去）， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增； 对于A，由上可得当时符合条件，当时，则， 所以若在上单调递增，则实数的取值范围是，故A正确； 对于B，由上可得， 若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是，故B错误； 对于C，当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在区间上不单调，则， 所以实数的取值范围是，故C错误； 对于D，若的单调递减区间为，则，故D正确. 故选：AD 32．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由有解，结合三角函数的值域来求得正确答案. 【详解】， 因为函数在上不单调， 所以函数有零点， 所以方程 有根， 所以函数与 有交点（且交点非最值点）， 因为函数的值域为， 所以 . 故选：D 考点六 利用导数讨论含参函数的单调区间（单根型） 33．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．），讨论函数的单调性； 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【分析】分和两种情况讨论即可. 【详解】由，得． ①当时，恒成立，函数在上单调递增； ②当时，由，解得， （ⅰ）当时，，则在单调递增； （ⅱ）当时，，则在单调递减； 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． 34．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在递增;当时，在单调递减，在单调递增. 【分析】（1）根据导数的几何意义可列出的关系式，计算即可； （2）对函数求导，讨论，两种情况得单调性； 【详解】（1），定义域为 所以， 因为直线的斜率为， 所以，所以. （2），定义域为， 若，则在恒成立，故在递增; 若，令得，令得， 故在单调递减，在单调递增; 综上所述：当时，在递增， 当时，在单调递减，在单调递增. 35．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)当时，函数在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 36．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)； (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性． 【详解】（1）当时，， 所以，所以，又， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 37．已知.讨论的单调性. 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，当时，在上单调递减. 【分析】利用函数单调性和函数导数之间的关系，对参数进行分类讨论. 【详解】因为 所以， ①当时，，则函数在是增函数； ②当时，令，即，解得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增； ③当时，的定义域为， 令，即，解得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减. 38．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数，求切点处切线的方程； （2）利用导数，分类讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为 ，则， 又， 则切线的斜率， 所求切线方程为，即． （2）函数的定义域为， ． ①当时， ，在上单调递增． ②当时， 令，即，解得：， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． ③当时， 令，解得， 时，，函数在上单调递增； 时，，函数在上单调递减． 综上可得， 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减． 考点七 利用导数讨论含参函数的单调区间（二次型） 39．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在，上单调递增． 【分析】（1）先求导数求出斜率，再将点坐标代入求出直线方程. （2）对函数求导，求出导函数的零点，通过分析两个零点的大小关系，讨论的取值和函数的单调区间. 【详解】（1）当时，， 所以，， 所以， 所以所求切线方程为，即． （2）函数定义域为，， 令，所以 或， 当，即时，若，， 若，， 所以在单调递减，在单调递增， 若当，即时，恒成立， 所以在单调递增， 当，即，若，， 若，， 所以在单调递减，在单调递增， 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增． 40．已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间是和；当时，的单调递增区间是；当时，的单调递增区间是和. 【分析】（1）依题意利用可求的值； （2）求导，分，，讨论导函数的符号，确定函数的单调递增区间. 【详解】（1）由 求导得， 依题意 ，解得. （2）定义域是， ①当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和； ②当时，，则的单调递增区间是； ③当时，令得且， 根据的情况列表如下： 1 0 0 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 此时的单调递增区间是和. 41．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 【答案】(1) (2)若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 【分析】（1）利用切点和导数几何意义得到切线斜率，再利用直线的点斜式方程得到切线方程； （2）分情况讨论导函数在定义域内不同区间的正负，进而确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，函数为，定义域为． 因为，所以切点为． 求导得， 在处，，即切线斜率为． 切线方程为． （2）当时，函数为，， ． 令可得或， 当时，恒成立（仅处为零），因此在上单调递增． 当时，时或；时． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 当时，时，或；时，． 因此的单调递增区间为和，单调递减区间为． 综上，当时， 若，单调递增区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为； 若，单调递增区间为和，单调递减区间为． 42．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先代入求出函数值与导数值，得到切点坐标和切线斜率，再用点斜式写成切线方程； （2）先求导并对导数因式分解，再根据时两个临界点的大小关系分情况讨论，确定函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，， 又由得， 所以切线方程为，即. （2）当时，， 令得或， ①若，即，当或时，，单调递增； 当时，，单调递减； ②若，即，则当时，恒成立（当且仅当时取等号），单调递增； ③若，即，则当或时，，单调递增； 当时，，单调递减. 综上，当时， 的单调递增区间是和，单调递减区间是； 当时， 的单调递增区间是，无单调递减区间； 当时，的单调递增 区间是和，单调递减区间是. 43．已知函数．若，讨论的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】求导函数，再因式分解得，得到两根，对两根比较大小分三种情况讨论单调性； 【详解】因为，定义域为， 所以， 当时，令，得，． （ⅰ）若，即， 则当或时，， 当时，， 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅱ）若，即时， 则当或时，； 当时，； 则的单调递增区间为，， 单调递减区间为； （ⅲ）若，即时，，在上单调递增． 综上所述，当时， 的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，， 单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间． 44．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)函数单调递减区间为，单调递增区间为 (2)答案见解析 【分析】（1）利用求导并因式分解，再结合定义域，即可由导数的正负确定函数的单调区间； （2）利用求导，再通过对参数的分类讨论，来决定导数的正负，从而确定函数的单调区间. 【详解】（1）由，可得， 因为定义域，所以由，解得， ，解得， 即在上单调递减，在上单调递增． （2）由函数的定义域为，且， 若，令，解得， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 若，令，解得或， ①若，即时， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ②若，即时， 当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． ③若，即时，可得且等号不恒成立， 所以函数的单调递增区间为． ④若，即时，当时，，当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为． 考点八 利用导数讨论含参函数的单调区间（利用求根公式） 45．已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求导，代入计算，即可得到结果； （2）求导可得，然后分与讨论，即可得到结果； 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 46．已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）应用分类讨论，利用导数研究的区间单调性，即可解得； （2）将问题化为在上恒成立，再应用导数求右侧的最值求参数范围. 【详解】（1）由已知，，， 当时，， 令的图象开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图象开口向上，且， 或时，，即， 则在，上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减． 当时，的图象开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在，上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）在上单调递减， 时，恒成立，即恒成立， ，而， ，， ， ，故a的取值范围是． 47．已知函数，当时，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，分情况讨论时函数的单调性，进而求出对应的单调区间. 【详解】对函数求导得， 当时，，此时在上单调递增. 当时，方程的判别式. ①当时，，恒成立，所以，此时在上单调递增； ②当时，令，解得，. 时，，函数单调递增；时，，函数单调递减； 时，，函数单调递增； 所以在和上单调递增，在上单调递减。 综上，当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减. 48．已知函数，讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域与导函数.令，即，则.分和两种情况讨论，当时，按照两根与的大小再进行分类讨论，分别求出函数的单调区间即可. 【详解】函数的定义域为，. 令，即，则. （1）当时，，在上恒成立，故在上单调递增. （2）当时，令，解得. (ⅰ) 若，则， 令，解得或；令，解得， 所以在和上单调递增，在上单调递减； (ⅱ) 若，令，解得或(舍去). 令，解得；令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增； ⅲ) 若，， 令，解得；令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的符号确定的减区间. 【详解】函数的定义域为，， 当时，单调递增，当时，单调递减； 的减区间是． 2．设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，若是的图象，是的图象， 当时，单调递减，对应在轴下方）； 当时，单调递增，对应（在轴上方），符合规律，故A正确. 对于B，若是的图象，是的图象， 恒成立，对应单调递增，故B正确. 对于C，若是的图象，是的图象， 则恒成立，且单调递增，对应单调递增，且斜率越来越大（越来越陡），完全符合的趋势，故C正确. 对于D，图中恒在轴上方，恒在轴下方，两曲线的单调性都是先增､再减､再增， 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递增，显然不符合； 若是的图象，对应给出图象部分的函数应单调递减，也不符合，故D错误． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，在上恒成立， 则在上恒成立， 因为在上单调递增，所以，则， 故实数a的取值范围是 4．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图象与性质分析即可求解. 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数存在单调递增区间转化为导数大于0在给定区间内有解，分离参数后求解对应函数的值域即可得到的取值范围． 【详解】求导得，定义域为， 因为在区间内存在单调递增区间， 所以在上有解，即在上有解， 设，，求导得在上恒成立， 因此在上单调递增， 所以，即只需满足即可． 6．函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 【答案】B 【详解】函数的定义域为，求导得， 由，即，解得， 因此函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点 C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间 【答案】ABD 【分析】，分、两种情况讨论即可判断BD，的零点个数等价于的图象与的图象的交点个数，由图可判断AC. 【详解】，当时，，在上单调递增 当时，由可得，由可得 所以在上单调递减，在上单调递增 所以是的极小值点，故B正确 不论a为何实数，有总存在单调递增区间，故D正确    的零点个数等价于的图象与的图象的交点个数 设为直线与相切的切点， 则，解得，所以直线与相切 由图可得，当时，有一个零点，故C错误 当时，有两个零点，故A正确 故选：ABD 8．（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 【答案】AC 【分析】根据导函数的图象可判断的单调性，即可求解AB，根据导函数的图象，结合极值的定义即可求解CD. 【详解】由的图象可知：当时，，当时，， 故在单调递减，在单调递增， 对于A, 是的极小值点，故A正确， 对于B，在上单调递减，B错误， 对于C, 在区间内单调递减,C正确， 对于D, 在处取得极小值，D错误， 故选：AC 9．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据题意得出在上恒成立，然后结合导数转化为恒成立问题，即可得到结果. 【详解】由题意，函数在上单调递增，所以在上恒成立， 因为，要使对任意恒成立，则对任意恒成立， 记，易知在上为减函数，所以，因此， 综上，实数的取值范围是． 10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【分析】由题意可得在上恒成立，参变分离后利用基本不等式计算即可得. 【详解】由函数在区间上单调递增， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 由，当且仅当时，等号成立， 由，故的最小值为， 即有，即， 故实数的取值范围为. 11．已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用导数求出函数的单调递增区间，再借助集合的包含关系列式求解. 【详解】由函数，求导得， 由，得，即函数的递增区间为， 由函数在上单调递增，得，即，解得， 所以的取值范围是． 12．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 【答案】 【分析】对函数求导，判断函数的单调性，求出最值，进而求得结果. 【详解】函数，， 依题意，存在，使得，即存在，使得， 显然函数在上单调递减，当时，，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：. 13．已知函数． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）求导，根据求的值； （2）求导，分类讨论，利用导数研究单调性. 【详解】（1），，所以 （2）当时，恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 14．应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)当，的增区间是，减区间是；当， 增区间是，无减区间；当，的增区间是，减区间是 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数与单调性分类讨论求解即可. 【详解】（1）显然椭圆在点处的切线方程就是 函数图象在处的切线方程， 因为，所以切线斜率是 ， 所以切线方程是； （2）定义域为， 当，，在上单调递增； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 当，令，得或，令，得， 所以的增区间是，减区间是； 综上所述，当，的增区间是，减区间是； 当， 增区间是，无减区间； 当，的增区间是，减区间是. 15．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 16．已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)答案见解析. 【分析】（1）对函数求导，再根据函数奇偶性的定义，即可求解； （2）对函数求导，对的取值进行分类讨论，判断的正负区间，进而可得函数的单调区间. 【详解】（1）函数的定义域为，由已知得， 因为函数的导函数是奇函数， 所以，即， 解得； （2）由（1）得，. ①当时，可得恒成立，所以当时，函数在上单调递减， ②当时，由得，即， 所以，解得，所以函数在上单调递增， 由可得，即，解得， 所以函数在上单调递减， 所以时，函数在上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递减， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 导数与函数的单调性 考点一 函数与导函数图象之间的关系 考点二 利用导数求函数的单调区间(不含参) 考点三 由函数在区间上的单调性求参数 考点四 由函数在区间上的存在单调性求参数 考点五 由函数在区间上的不单调求参数 考点六 利用导数讨论含参函数的单调区间（单根型） 考点七 利用导数讨论含参函数的单调区间（二次型） 考点八 利用导数讨论含参函数的单调区间（利用求根公式） 考点一 函数与导函数图象之间的关系 1．（多选）如图是函数的导函数的图象，则下列判断正确的是（ ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减 C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递增 2．可导函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是（   ） A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递减 3．函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 4．已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 5．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为______. 6．已知函数的导函数的图像如图所示，则的图像可能是（   ） A．B．C． D． 考点二 利用导数求函数的单调区间(不含参) 7．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C．， D．， 8．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)在（1）的条件下，求函数的单调区间． 9．已知函数，则的单调增区间为（   ） A． B． C． D． 10．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 11．函数的单调递减区间是___________． 12．函数的单调递增区间为（　　） A．和 B． C． D． 考点三 由函数在区间上的单调性求参数 13．已知函数是单调递增函数，则的取值范围是_____________． 14．已知函数在区间上单调递增，则实数的最大值为__________． 15．函数． (1)若曲线与在处有相同的切线，求的值； (2)若在上单调递减，求的取值范围． 16．已知函数在区间上为增函数，则实数m的取值范围为_________． 17．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 考点四 由函数在区间上的存在单调性求参数 19．若函数在区间内存在最小值，则实数a可以取（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 20．（多选）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 21．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数a的取值范围是______. 22．若函数存在单调递减区间 ， 则实数的取值范围是__________． 23．若函数在上存在单调减区间，则实数取值范围是______． 24．已知函数存在单调递增区间，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 25．已知函数. (1)若，求的单减区间； (2)若函数在区间上存在减区间，求a的取值范围. 26．已知函数在存在单调递减区间，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点五 由函数在区间上的不单调求参数 27．如果在区间上不单调，那么实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 28．已知函数，若在上不单调，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 29．若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 30．（多选）若函数在区间上不单调，则实数的可能取值是（ ） A． B． C． D． 31．（多选）已知函数（   ） A．若在上单调递增，则实数的取值范围是 B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是 C．当，在区间上不单调，则实数的取值范围是 D．若的单调递减区间为，则． 32．函数在上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点六 利用导数讨论含参函数的单调区间（单根型） 33．已知函数．（其中常数，是自然对数的底数．），讨论函数的单调性； 34．已知函数． (1)若曲线在点处的切线平行于直线，求实数的值； (2)讨论函数的单调区间． 35．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 36．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 37．已知.讨论的单调性. 38．已知， (1)当时，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性． 考点七 利用导数讨论含参函数的单调区间（二次型） 39．已知函数，其中． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，讨论函数的单调性； 40．已知函数，其中. (1)若曲线在处的切线斜率为0，求实数的值； (2)求的单调递增区间. 41．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若，求的单调区间． 42．已知函数，其中． (1)若时，求函数在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 43．已知函数．若，讨论的单调性； 44．已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)讨论的单调性． 考点八 利用导数讨论含参函数的单调区间（利用求根公式） 45．已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 46．已知函数，． (1)求函数的单调性； (2)若函数在上单调递减，求a的取值范围． 47．已知函数，当时，讨论函数的单调性. 48．已知函数，讨论函数的单调性. 1．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 2．设是函数的导函数，在同一平面直角坐标系中作出与的大致图象，据图分析一定错误的是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 6．函数的单调递减区间为（　　） A．,， B．, C．,， D．, 7．（多选）已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．当时，有两个零点 B．当时，有极小值点 C．当时，没有零点 D．不论a为何实数，总存在单调递增区间 8．（多选）已知是函数的导函数，的图象如图，则下列说法正确的是（    ） A．在处取得极小值 B．在上单调递增 C．在区间内单调递减 D．在处取得极大值 9．已知函数，若对于任意，都有，则实数的取值范围是_________． 10．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 11．已知函数在上单调递增，则的取值范围是______． 12．若函数在区间上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是____________. 13．已知函数． (1)若，求的值； (2)讨论的单调性． 14．应用导数解决下列问题. (1)求椭圆在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 15．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 16．已知函数. (1)若函数的导函数是奇函数，求的值； (2)求函数的单调区间. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $