期末复习专题10 利用导数研究恒成立与双变量问题【考点突破+强化训练】2025-2026学年高二数学人教B版选择性必修第三册

**基本信息** 聚焦导数应用核心问题，构建从单变量恒成立到双变量证明的递进式方法体系，强化逻辑推理与数学表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |含参数恒成立（参变分离）|6题|参数与变量分离转化为最值问题|导数求导基础→函数单调性→最值求解| |含参数恒成立（分类讨论）|6题|按参数范围讨论函数单调性|参数影响→分类标准→单调区间划分| |存在性问题|6题|等价转化为函数存在最值满足条件|恒成立与存在性的逻辑关系| |双变量恒成立问题|6题|构造函数或转化为单变量问题|双变量关系→变量代换→函数性质应用| |极值偏移问题|6题|构造对称函数或利用单调性|极值点性质→函数对称性→不等式证明| |利用导数证明不等式|6题|构造辅助函数分析单调性与最值|不等式转化→函数构造→极值点分析|

专题10 利用导数研究恒成立与双变量问题 考点一 含参数恒成立问题（参变分离） 考点二 含参数恒成立问题（分类讨论） 考点三 存在性问题（能成立） 考点四 双变量恒成立问题 考点五 导数中的极值偏移问题 考点六 利用导数证明不等式 考点一 含参数恒成立问题（参变分离） 1．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，依题意或在上恒成立，分两种情况讨论，参变分离，结合函数的性质求出参数的取值范围； 【详解】因为，所以， 又在上单调，故或在上恒成立， 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 令，则，， 当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减； 又，，，时，， 所以； 若在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，所以； 综上，实数的取值范围为. 2．已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用在处斜率为0即可求解； （2）将问题转化成进行求解. 【详解】（1）当时，，， 设点的坐标，由题意得：，解得：， 所以，因此点的坐标为. （2）， 令，则， 因为，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增， 所以，所以， 即：a的取值范围是. 3．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 (3) 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值． 【详解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 4．已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最大值. 【答案】(1)极大值为，无极小值． (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． (3) 【分析】（1）求导，通过导数判断函数单调性，然后可得； （2）求导，分，讨论可得； （3）参变分离，将问题转化为在上恒成立问题，记，利用导数求函数的最小值所在区间可得. 【详解】（1）的定义域为， 当 时，， 令，解得 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减． 所以在时取得极大值为，无极小值． （2）因为 当时，在上恒成立，此时在上单调递增； 当时，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （3）因为对任意，恒成立， 所以在上恒成立， 即在上恒成立． 设，则． 设，，则在上单调递增， 因为，， 所以，使得，即． 当时，； 当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以． 因为，所以， 故整数的最大值为． 5．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为 (3) 【分析】（1）代入得到具体函数后，确定定义域，求导找到极值点，根据导数正负判断单调性，进而求得最小值； （2）先求的导函数，对参数分类讨论，根据导函数在定义域上的符号变化，判断的单调性； （3）将不等式变形分离参数，把恒成立问题转化为小于新函数最小值的问题，通过求导得到新函数最小值的范围，进而得到整数的最大值. 【详解】（1）当时，，定义域为，， 令得，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以的最小值为； （2）定义域为，， 若，则恒成立，所以恒成立，故在上单调递减； 若，令得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 综上，当时，的单调递减区间为，无单调递增区间； 当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； （3）即， 整理得， 因，即，两边除以得， 令，则， 令，则，在单调递增， 因为，，故存在唯一零点，满足， 当时，，则，单调递减； 当时，，则，单调递增； 因此的最小值为， 因为，所以，因为，且，所以的最大值为. 6．已知函数． (1)求图象在处的切线方程； (2)当时，．求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）方法一：由，得恒成立，令，即在上恒成立，根据导数与单调性及最值的关系，结合的范围，分情况求解判断即可. 方法二：通过分离参数将原不等式化为对恒成立，构造函数，根据导数与单调性及最值的关系得到在上恒成立，进一步求解即可. 【详解】（1）由，得， 即在处的切线的斜率， 又，所以切点为，切线方程为，即． 所以图象在处的切线方程为． （2）方法一：由，得，即恒成立. 又，所以恒成立. 令，即在上恒成立． 又， ①当时，，即在上单调递增，故． 所以当时，在上恒成立． ②当时，令，得，当变化时，，的变化情况如下表： - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 故存在，使得．所以当时，不成立. 综上，a的取值范围为． 方法二：由，得，即， 又，当时，不等式恒成立； 当时，不等式等价于，即对恒成立. 令，则. 令，则，当时，， 所以在上单调递增，，即， 所以在上单调递增， 又， 所以在上恒成立. 要使对恒成立，只需. 故的取值范围为． 考点二 含参数恒成立问题（分类讨论） 7．已知函数，. (1)当时，判断函数的单调性； (2)当时，，求的取值范围. 【答案】(1)函数在内单调递减，在内单调递增 (2) 【分析】（1）求导，可知在定义域内单调递增，结合零点分析的符号性，即可得函数的单调性； （2）求导，分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性和最值，结合恒成立问题求解即可. 【详解】（1）若，则的定义域为，且， 因为在定义域内单调递增，且， 当时，；当时，； 所以函数在内单调递减，在内单调递增. （2）因为，可知在内单调递增， 则，且当趋近于时，趋近于， 当，即时，则，可知函数在内单调递增， 则，符合题意； 当，即时，可知函数在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 则，不合题意； 综上所述：的取值范围为. 8．（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【分析】（1）构造，利用导数及分类讨论研究不等式恒成立求参数范围； （2）构造，利用导数研究其单调性得，即可证； （3）问题化为，，令，，应用必要性探路得，进而研究其充分性即可得范围. 【详解】（1）令函数，则，， 当时，，函数在上单调递增， 则，即成立， 当时，在上单调递增，， 所以，当时，，在上单调递减， 所以对，，不成立. 综上，实数的取值范围为. （2）令，由（1）知函数在上单调递增， 因为，，所以，因此，即， 即成立； （3）对，都有成立，即对，， 令，即， 当时，，，则， 要使成立，则，即， 下面证明：当时，成立，由（2）得， 下面证明：，即证明， 令，则， 因此在上单调递增，，即成立， 因为，，所以，故， 结合已证的， 可知当时，成立， 综上所述，实数的取值范围是. 9．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 【答案】(1)的单调递减区间为，的单调递增区间为， (2) 【分析】（1）将a的值代入，再对函数求导，对函数的导数进行研究即可；（2）先对函数进行求导，再对a进行讨论，在题目要求的范围内找到一个极小值小于题目要求即可. 【详解】（1）当时， ， 所以．由，得或0；由，得. 所以的单调递减区间为，的单调递增区间为，. （2）由题意，得，因为，由，解得，． ①当时，因为，所以，所以单调递增，即． ，即． 设 ，． 所以 ，即恒成立，即，所以不等式无解； ②当时，当变化时，，变化情况如下表： 0 + 0 - 0 + 极大值 极小值 且， ，因为，所以 ， 因此恒成立， 若，使，则 所以所以 解得． 综上所述，参数的取值范围为. 10．已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先利用导数分析函数单调性，由不等式恒成立条件推导出参数的约束关系，再通过指数与对数的互化，将目标表达式转化为单变量二次函数，最后利用二次函数的性质求出最小值. 【详解】设 ，，原不等式恒成立，等价于 ， 则， 若 ，则 ， 在 上单调递减， 当 时，，不满足 ，舍去； 若 ，令 ，得 ， 当 时，， 单调递减； 当 时，， 单调递增， 因此， 在 处取得最小值： ， 所以 ，即 ，则， 当时，，; 当 时，两边同乘 ，可得，此时 ，无最小值； 当 时，两边同乘 ，可得， 设 ，，则， 当 时，，， 综上可得， 的最小值为. 11．设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增；实数的取值范围是 (2) 【分析】（1）首先求出导函数，根据构造函数，根据研究的单调性；根据以上单调性分析的大致图象，根据其与直线有交点可得结果. （2）构造函数，根据导数研究恒成立问题. 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 12．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【分析】（1）先对函数求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）利用（1）可知的单调性与的关系，分情况讨论，进而利用即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 考点三 存在性问题（能成立） 13．已知函数，其中． (1)若为增函数，求m的取值范围； (2)若关于x的不等式在区间内有解，求m的取值范围； 参考数据：，． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 利用分离参数法，问题转化为对恒成立，从而求出的取值范围； (2) 令，不等式等价转化为, 接着等价转化为存在，使得,再对进行分类讨论； 【详解】（1）函数的定义域为， 因为为增函数，所以 恒成立， 即对恒成立， 令，则， 故， 当时， ，单调递增;当时， ，单调递减, 所以在处取得最大值为，所以 ， 故的取值范围为; （2）因为，所以， 两边除以（）,整理得 因为，令，不等式转化为, 构造函数，,令 得, 当时， ，单调递减, 当时，，单调递增, ，而，故， 故存在，使得，故的解为, 原不等式等价于：存在，使得, 设（），导数，令得 在单调递减，在单调递增,最小值为 故，解得时，所以的取值范围为. （3）略. 14．设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】引入函数，，函数的图象是过的直线，由导数确定的单调性、极值，过作的切线，求出切点的横坐标，确定满足题意的的可能取值，列出不等式组求解． 【详解】设，， 则由题意可知，存在唯一的整数，满足． ∵， ∴当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ∴的最小值为， 又函数的是过定点的直线， 过曲线的切线，切点为， 则，解得或， ， 因此存在唯一的整数，满足，则或， ∴，或， 即或， 解得或， 故实数的取值范围为．    15．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减． (2) 【分析】（1）利用函数导数与单调性分析求解即可； （2）将问题转化为等式成立问题，构造新函数结合函数导数与单调性、函数导数与最值分析求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减． （2）若存在，使得， 即存在，使得成立， 因为时，，故存在，使得， 令，其中， 则， 且不恒为零，故函数在上单调递减， 则，故， 所以实数的取值范围为：. 16．函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) 【分析】（1）求导，利用导数分析函数单调性，进而求解单调区间； （2）利用极限思想和构造函数，结合导数分类讨论，进而确定的极小值点，再建立 关于极小值点的二次不等式求解即可. 【详解】（1）当时，， 则， 令，则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又，因此：时，， 时，. 所以的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由可知， ①当时 若，由于， 当时， ，而. 故存在使得. 若，，取 ，，满足题意. ②：当时，令，则，时，， 故在递增，且最小值为， 由，方程在上有唯一实根， 使得，则为的最小值点. 根据题意需满足： ， 代入： ， 则 ，整理得 ， 解得：或. 由，得：当 时，. 当 时，. 综上所述，的取值范围是. 17．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 18．函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间是，单调递增区间是 (2) 【分析】（1）求导后，判断导数正负即可得该函数单调区间； （2）由题意可得在上有解，即可构造函数，结合导数得到该函数最小值即可得解. 【详解】（1）当时，，可得， 令，可得， 因为和在为单调递增函数，可得在单调递增， 所以，所以在单调递增， 又因为， 所以当时，，时，； 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是； （2）由不等式，可得， 故当时，， 因为存在，使得成立， 即在上有解， 令，则有解， 构造函数，则， 当时，；当时，， 所以在递减，在递增，所以，即， 又因为函数在单调递增， 所以当时，可得，即， 所以实数的取值范围为. 考点四 双变量恒成立问题 19．已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． (2)①；②． 【分析】（1）先化简，求导得，按与分类，根据导数的正负判断单调区间； （2）①有两个零点等价于，求的单调性与最大值，结合图象得； ②由零点条件将不等式转化为，代入，换元，构造函数，求导分析单调性得． 【详解】（1）由题意得的定义域为，， 当时，，则在区间内单调递增； 当时，由，得，（舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减． 所以当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． （2）①依题意，函数的定义域为， 所以函数有两个不同的零点， 可得方程在有两个不同根， 得到函数与函数的图象在上有两个不同交点， 又，当时，，单调递增； 当时，，单调递减，所以． 又有且只有一个零点是1，且在时，，在时，， 如图，的图象如下： 可见，要想函数与函数在图象上有两个不同交点，只需． ②由①可知分别为方程的两个根，即，， 所以原式等价于． 因为，，所以原式等价于． 又由，作差得，，即， 所以原式等价于． 因为，原式恒成立，即恒成立， 令，，则不等式在上恒成立． 令，则． 当时，可见时，，所以在上单调递增， 又，在恒成立，符合题意； 当时，可见当时，；当时，， 所以在时单调递增，在时单调递减． 又，所以在上不能恒小于0，不符合题意，舍去． 综上所述，若不等式恒成立，只须，又，所以． 20．已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）求导代入得到斜率，再求出切点坐标，最后写出点斜式方程即可； （2）分和讨论即可； （3）分和讨论即可. 【详解】（1）∵，切点为， ∵， 则曲线在处的切线方程为. （2）， 等价于， 则使得成立，只需， ，当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以在上有最小值， ， 即对恒成立， 令，即， ，， ①当时，，所以单调递增， 在，不符合题意， ②当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为，解得． （3）因为，令， 由（2）知在上单调递减，在上单调递增，，则， ①当时，所以，又， 故， 函数在上单调递减， 又，则， 要证明，只需证明，只需证明， 即， 令函数，求导得， 又，不妨设，则， 由在上单调递减，得， 当时，， 即， 因此， 令函数，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 则， 当时，，函数在上单调递减， 由，得，即，因此； ②当时，可知有两个极值点，且， 函数在上单调递减，在上单调递增， 由为极值点，得，即， 则， 又， 则． 对任意，由，得，则， 因此，即． 综上可知． 21．已知，. (1)求的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)（i）（ii） 【分析】（1）直接求导分析的符号即可求解； （2）（i）设，把问题转化为与有两个交点，利用导数求出的最值即可求解； （ii）设，则方程变为，设两根为， 则，利用比值换元法证明对数均值不等式可得，然后再根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）（i）方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根. 故的取值范围为. （ii）原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，则， 且满足， 不妨设，下面证明， 令， 则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 由基本不等式可得 ， 要使不等式恒成立，只需， 故的取值范围为. 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 【答案】(1) (2)当时，，单调递减；当时，，单调递增． (3)2． 【分析】（1）当时，求出，求出切线的斜率，然后求解切线方程； （2）求出函数的导数，通过的讨论，判断导函数的符号，然后求解函数的单调性； （3）由（2）知时不符合题意，当时，存在，使，满足令，则，令，利用导数研究该函数的最值即可求解． 【详解】（1）当时，，则， 则，所以曲线在点处的切线方程为． （2）， 令，则， 若，则，所以在上单调递增，所以， 若，则当时，，单调递减；当时，，单调递增，故， 因此当时，，单调递减；当时，，单调递增． （3）由（2）知时不符合题意； 当时，易知在上单调递减，在上单调递增，，且，，当时，，故存在，使，又，故， 则当时，，，单调递减；当时，，，单调递增；当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，故，为的两个极小值点，且满足则令，得 则， 令，则， 令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，，，， 故在内存在唯一零点，即，且当时，，，则单调递减；当时，，，则单调递增， 故， 由，得， 故整数的最大值为2． 23．已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，利用导数结合条件可设，，进而可得，再利用导函数求ab的取值范围即可. 【详解】由，得， 令，即，求导得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而，因此是直线与函数图象的两个交点的横坐标， 不妨令，，而， 则，即有，，因此， 令函数，求导得， 令函数，求导得，令函数， 求导得，函数在上单调递减，则，即， 函数在上单调递减，则，即，函数在上单调递减， 因此，即，即，则， 由恒成立，得，所以实数的取值范围为. 故选：C 24．已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)1 (3) 【分析】（1）在定义域内单调递增等价于恒成立，分离参数转化为最值问题求解； （2）由，构造同构函数，利用的单调性求解； （3）由极值点得双变量之间关系，将通过变量代换转化为关于的函数，利用导数判断单调性求其最值情况即可求解. 【详解】（1）由题的定义域为，在恒成立，且的解不连续， 则， 所以的取值范围是； （2）当时，不等式可化为，变形为， 令，求导得，所以在上是增函数， 故，即，即， 所以对任意，不等式恒成立，即对任意恒成立， 令，则， 所以当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减， 所以，即满足不等式的实数的取值范围为， 所以的最小值为1； （3）因为存在两个不同的极值点， 所以由可得是方程的两根， 所以，且，， 所以，故， 又由可得， 而， 令， 则， ∵，∴，即， 则，所以在区间上单调递减， 所以有，即， 所以实数取值范围. 考点五 导数中的极值偏移问题 25．已知函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 【答案】(1)的取值范围是； (2)由是的零点，得，，所以， 令，则，代入上式得，所以，： 要证，即证， 因为，等价于证明： 令，， 令，， 时，，故在单调递增，所以， 所以在单调递增，故，即， 所以． 【分析】（1）先对函数求导，分析单调性，找到极小值点；函数有两个零点等价于极小值小于，结合极限趋势，解得； （2）利用为零点的条件，通过两式相除引入参数，将转化为关于的表达式；构造函数并求导，证明该表达式恒大于，完成极值点偏移类问题的证明． 【详解】（1）函数有两个零点，即方程有两个不同的实根， 当时，， 所以在上为增函数，最多只有一个零点，不符合题意， 当时，， 令，解得， 时，，单调递减；时，，单调递增， 所以在处取得极小值，也是最小值，且， 因为有两个零点，所以，即，解得， 又当时，，，故； 当时，增长速度远大于，故， 所以，当时，有两个零点， 综上，的取值范围是； （2）略 26．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)由两边同时取对数得， 已知是的两根，所以， 设，因为，所以， 将代入得， 则， 即， 则问题转化为证明：当时，，即证， 设，则 ， 因为，所以且， 因此在上，,单调递增， 所以,即， 由此可得，即， 两边同时取指数，则有，命题得证. 【分析】(1) 运用导数的几何意义求出切线方程，再通过计算该切线在两坐标轴上的截距来求解三角形面积, (2) 采用分离参数法，将“存在实数使不等式成立”的问题，转化为求解新构造函数最小值的最值问题, (3)使用换元法，将难以处理的双根不等式问题，转化为关于单变量的函数单调性证明问题. 【详解】（1）当时，, 则，即切点坐标为, ，， 则切线方程为， 令，得轴截距为，令，得轴截距为， 则切线与两坐标轴围成的三角形的面积. （2）已知，则，若存在正实数x，使， 即，即有解， 因为，两边同时除以得， 即， 令， ， 易得，，则的符号完全由决定， 所以当时，，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以， 即. （3）略 27．已知函数（）． (1)当时，求证：； (2)若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)若，则， 可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增， 所以. (2)①； ②因为函数的两个零点为， 令，， 则， 可知在内单调递减，则， 可得，， 若函数的两个零点为，且，则， 可得， 又因为，，且函数在内单调递增， 则，可得， 所以. 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而证明不等式； （2）①求导，利用导数分析函数的单调性和最值，进而根据函数零点可得，运算求解即可；②，，利用导数可证，，即可得，结合基本不等式分析证明； 【详解】（1）略 （2）①因为，可知函数的定义域为，且， 令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增，则函数的最小值为， 且当趋近于或时，趋近于， 若函数的两个零点，则，即，解得， 所以实数的取值范围为； ②略 28．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）把问题转化为在定义域上恒成立，即，然后利用导数求出的最大值即可； （2）由，令，问题转化为在上恒成立，构造函数，只需利用导数证明在上单调递增即可. 【详解】（1）∵在上是减函数， ∴在定义域上恒成立， ∴，设，则， 由，得，由，得， ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴．∴． 故实数m的取值范围是． （2）由（1）知， ∵函数在上存在两个极值点，，且， 则由，两式相加、相减分别可得与， ∴，∴， 设，则，要证， 只需证，只需证，只需证， 构造函数，则， ∴在上单调递增， ∴，即，∴． 29．已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. (2)①；②证明见解析 【分析】（1）先确定函数定义域为，对函数求导并通分因式分解，把导函数化成整式乘积形式.以参数为分类依据，先讨论时导函数符号，再讨论时比较导函数两个零点与1的大小，分三种情况判断导函数正负，进而得到每一段的单调区间，分类标准清晰、不重不漏. （2）①先化简解析式，将函数有两个零点转化为对应方程有两个正根，分离参数变形为构造新函数.求导研究的单调性、最值与极限趋势，判断函数变化特征，利用直线与曲线有两个交点的条件，列出不等式求解出的取值范围. ②利用零点满足的方程，作和作差得到对数关系式，两式相除构造齐次式.采用极值点偏移常规证法，换元设，把待证不等式转化为关于的函数不等式.构造辅助函数，求导判断单调性，由端点值推出，逆向还原即可证得结论. 【详解】（1）由题意可知:的定义域为，且， 若，则， 当，则;当，则; 可知在内单调递减，在内单调递增; 若，令，解得或， 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 当，即时，则 ， 可知在内单调递增; 当，即时，令，解得或;令，解得; 可知在内单调递增，在内单调递减; 综上所述:若在内单调递减，在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减; 若在内单调递增; 若在内单调递增，在内单调递减. （2）①有两个不同的零点， 即有两个不同实根， 若，则，只有一个实数根，不符合题意， 故，得， 令， 令，得， 当时，，可知在上单调递增， 当时，，可知在上单调递减， 当时，取得最大值，且时，， 当时，可得 可得不等式：. 先解，即，解得或. 再解，移项通分得， 等价于，即 . 因为，故不等式等价于 ， 解得， 结合或，取交集得. 所以实数的取值范围为. ②当时，有两个不同的零点. 两根满足， 两式相加得:，两式相减得:， 上述两式相除得， 不妨设，要证:，只需证: ， 即证， 设，令 ， 则 ， 可知函数在上单调递增，且. 可得，即，所以. 30．已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 【答案】(1)当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）求导后分和讨论可得； （2）分离参数后构造函数，转化问题为直线与的图象有两个交点，利用导数分析单调性和最值可得； （3）类似极值点平移问题，先由单调性得到，构造函数，，求导分析单调性后可得. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 当时，恒有，则函数在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 即函数在上单调递减，在上单调递增； 所以当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为； （2）方程，即，当时，方程不成立，则； 令，依题意，方程有两个不等实根，即直线与的图象有两个交点， 求导得，当或时，，当时，， 所以函数在，上单调递减，在上单调递增， 而当时，，当时，，且当时，取得极小值， 作出函数，的大致图象，如图，    观察图象，当时，直线与函数的图象有两个交点， 所以的取值范围为； （3）当时，，求导得， 由（1）知，函数在上单调递减，在上单调递增； 由，且，得， 令函数，， 求导得， 则函数在上单调递增，有，于是， 而，因此，即， 又，， 函数在上单调递增，所以， 所以. 考点六 利用导数证明不等式 31．已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 【答案】(1)， (2)证明：令， 可得， 所以在上单调递增，所以， 所以，即， 又因为，可得，所以， 则，即. (3)证明：由（2）知：当时，， 所以， 同理可得：，， 所以， 所以. 【分析】（1）根据题意，得到，求得，求得，结合，求得的值； （2）令，求得，得到，即，得到，即可得证； （3）由（2）中的结论，求得，，，结合对数的运算公式，即可得证. 【详解】（1）解：因为在处的切线方程为， 可得，即，可得，则， 又由，可得. （2）略 （3）略 32．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； (3)对任意的且，满足，求的取值范围. 【答案】(1)设，因为， 所以在上单调递减，所以当时，， 即当时，恒成立； (2)设，则， 因为时，，时，， 故在上单调递减，上单调递增，于是， 所以 等号当且仅当时成立，于是可得 ，等号当且仅当成立； 结合两不等式可得，且等号不同时成立； 所以当时，恒成立； (3) 【分析】（1）构造函数，利用导数求最大值即可得证； （2）构造函数，利用导数可证明，据此可得，利用不等式传递性得证； （3）由所给不等式可知在单调递增，利用导数求参数取值范围即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）不妨设，原命题等价于对任意的，； 也就是 在单调递增， 而在恒成立，所以在恒成立， 所以，即的取值范围是. 33．已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 【答案】(1) (2)证明：当时，， 要证，即证恒成立， 令， 则， 当时，，当时，， ∴在单调递减，在单调递增， ∴当时，取得极小值，也是最小值，即， 即恒成立，故原结论成立； (3) 【分析】 （1）依题意，得，解之可得的值； （2）要证，即证恒成立，通过构造函数，结合求导分析，可证得结论成立； （3）由题意，当时，恒成立，通过分离参数，构造函数及求导分析，可得的取值范围． 【详解】（1） 易知函数的定义域为， ∵， ∴. ∴. （2）略. （3）若函数在区间上单调递增， 即当时，恒成立恒成立， 即恒成立，即， 令， 当时，，当时，， ∴在单调递增，在单调递减， 又当时，，当时，， ∴， ∴， 即的取值范围为． 34．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)当恒成立时，证明：． 【答案】(1) (2)证明：， 当时，，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以为函数的唯一极值点且为极小值点； 当时：， 当时，，，所以， 所以在上单调递增，无极值点. 当时，， 设，恒成立，所以在上单调递增， 令得，所以， 所以，所以， 设，易知在上单调递增， ， 令，设，， 当时，，单调递减，所以，所以， 而，根据函数零点存在定理可知，存在唯一的， 使得，所以， 当时，，所以， 当时，，所以， 故是函数唯一的极值点且为极小值点， 综上所述，存在唯一的极值点且为极小值点； (3)证明：设的极小值点为，由（2）可知在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为， 又，所以，所以， 若恒成立，则， 令，则，要证， 即证， 设，，，在上单调递减， 所以， 令，则， 令，因为， 仅当时，“”成立，所以单调递增， 所以当时，，单调递增，，所以， 所以， 所以，所以在上单调递增，所以， 所以，所以成立． 【分析】（1）求导得到，进而计算，可得到切线斜率，再利用点斜式写出切线方程； （2）对求导得到，分类讨论分析的单调性和零点情况；进而判断的极值点情况； （3）结合（2）的结论，利用的极小值建立关于的不等式；先通过不等式求出的范围，再构造函数，利用函数单调性证明不等式． 【详解】（1）当时，， 则， 所以，， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）略 （3）略 35．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 【答案】(1) (2)由题意知，定义域为，， ，当时，，显然为增函数， 当时，，当时，，根据零点存在定理， 使，而当， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以，又，即，则即， 因为，所以，故，所以， 令，则， 故在为增函数，所以，即原不等式成立; (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，求出斜率，代入点斜式方程求出切线方程即可； （2）利用导数研究函数的单调性，结合零点存在定理，即可证明； （3）将方程有三个不等的根转化为两个函数有三个交点，即有三个单调区间，利用导数研究函数的单调性，分别对进行和的讨论，即可求出的取值范围. 【详解】（1）当时，，，则切点为， 又，故，则切线方程为，即; （2）略； （3）由题意知，定义域为， 若使方程三个不等的根，即直线与图像有三个交点， 则应有三个单调区间，又，， ①当时，由（2）可知，在上单调递减，在上单调递增， 此时没有三个单调区间，不成立； ②当时，解得，解得， 故在单调递减，在上单调递增， 故， 当时，，此时在上单调递增，没有三个单调区间，不成立； 当时，，当时，，当时，， 根据零点存在定理，使，，使， 而当， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又当时，，当时，， 故当时方程有三个实根， 综上所述，的取值范围是. 36．已知函数，其图象在处的切线的倾斜角为钝角. (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：. 注：. 【答案】(1) (2)令，则， 所以在上单调递增． 由（1）可知，且当时，， 所以，存在，使得， 且当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 所以， 由，得， 两边取对数，有， 则 故，当且仅当时取等， 故欲证结论成立，只需证，即． 令，只需证， 因为， 所以在单减． 所以，结论成立， 即． (3)令， 则， 由（2）知函数在上单调递增， 又，所以， 即，故在上单调递增． 因为， 所以， 令， 则 同理，在上单调递增， 且， 令，则， 因为，所以， 故在上单减，则． 所以， 所以. 【分析】（1）由求解即可； （2）利用转化思想，确定函数的单调区间，从而得，转证，令，利用导数证明即可； （3），结合（2）可知在上单增，从而得，利用转化思想及导数，证明即. 【详解】（1）因为， 依题意，，解得． 所以实数的取值范围为； （2）略 （3）略 1．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先构造函数比较出自变量的大小关系，将原不等式转化为函数单调性问题，再利用导数研究恒成立条件，分离参数后通过分析函数的最值得出参数范围. 【详解】设， 则， ∴在上单调递增，∴， ∴，， ∴， 又在上恒成立， ∴需要在上为增函数， 即对，恒成立， 即在上恒成立； 令，，则， 当时，，在上单调递减，故， ∴，解得或． 故选：D. 2．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意知:存在，成立，进而构造函数，求解函数最小值即可求得答案. 【详解】由题意知，存在，成立，即存在，成立， 所以，， 令，则在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 所以，即， 所以，即实数的取值范围是. 3．已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得时的值域是时值域的子集，根据二次函数的性质求出在上的值域，利用导数对进行讨论求出在上的值域，最后利用包含关系列出不等式即可求解. 【详解】当时，，该二次函数开口向上，对称轴为，因此在上单调递减， 则 ，即的值域为. 当时，，. 当时： 恒成立，故，在上单调递增， 当时，；当时，， 因此的值域为，显然包含，满足条件； 当时： ，值域为，取不到，不满足条件； 当时： 时，，单调递减；时，，单调递增. 最小值为，要让值域包含，只需最小值， 即满足条件. 综上：的取值范围是. 4．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出函数的导数，再解不等式即可. （2）在给定条件，等价转化不等式，再构造函数，利用导数推理证明即可. 【详解】（1）函数定义域为，求导得， 由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）当时，， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 因函数在上递增，则函数在上递增， 故，函数在上递增， 则，函数在上单调递增， 则， 所以当时，恒成立. 5．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式，进而可求解； （2）设公共点坐标，通过导数几何意义列出等式得到，进而构造函数，求导，确定单调性即可求解； （3）由（2）将问题转换成恒成立，再构造函数，求导确定最值即可. 【详解】（1）当时，，设为与的一个公共点，， 所以， 则，即切点， 所以与在公共点处的切线方程为. （2）设为与的一个公共点， ， 由②得 ，所以 ，即， 将代入①，， 所以，所以. 令，所以， 当时，在区间单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 所以，所以 且， 所以当且仅当时取“”，所以 . （3）由（2）知，. 要证时，，即证， 即证对恒成立. 令，得， 当时，在上单调递减； 当时，在单调递增， 当时，， 故函数在时取最小值， ， 所以， 所以对恒成立. 故当时，成立. 6．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）由题意在上恒成立，参变分离后，构造函数求导后计算最小值即可得； （3）利用导数求出单调性后，设，结合正负性可得、范围，再利用比值换元法，可得，，即可将证明转化为证明在上恒成立，构造相应函数并借助导数研究其单调性即可得. 【详解】（1）若，则，， ，又， 故曲线在点处的切线方程为； （2）由时，，即，整理得， 令，，则， 故在上单调递减，则，即； （3）若，则，， 故当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 又时，，时，， 则，不妨设，则， 由，则， 两边同取对数，可得， 故，令，则， 即，，故， 要证，只需证，即只需证， 令， 则， 故在上单调递增，则， 即有恒成立，即得证. 7．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）求函数的导数，根据的正负判断函数的单调性，因式分解将问题转化为关于的含参一元二次不等式，对参数分类讨论即可. （2）函数在上有两个极值点，即方程有两个不相等的正实根，利用判别式求参数的范围，利用韦达定理求出和的值，整体代入已化简的式子，再将所求问题转化为求关于的函数的值域，根据导数的正负判断函数的单调性，求出的值域，即可得出的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域，， 令得，. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 当时，，当且仅当时取等号， 此时在上单调递增. 当时， 令得，或；令得，. 所以，在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2），定义域为， ， 因为和是的两个极值点，所以方程有两个不同的正实根和， 即方程有两个不同的正实根和， 则，解得. ， ， ， 将和代入上式得， ， 令，则， 由得，，即，所以在上单调递减， 当时，，得， 当时，， 得的范围为， 即的取值范围为. 【点睛】方法归纳： 1.利用导数的正负判断函数单调性，注意对参数分类讨论. 2.将函数有两个极值问题转化为导函数对应的方程有两个不相等的实数根，再结合韦达定理整体代换，构造关于的函数求值域. 易错归纳： 1.漏写函数的定义域，分类讨论时忽视参数的情况，单调性相同的不连续区间错用并集符号. 2根据函数有两个极值，求导数有两个正实根，忽视两根为正，导致参数的范围求错；对数书写时漏写括号. 8．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 【答案】(1) (2) (3)因为的极值点满足，即，即． 因为存在两个极值点等价于方程有两个不同的实根． 令，则的定义域为，， 当时，，则在上单调递减，且； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增． 故在处取得极小值，且． 又当时，，当时，， 所以当，即时，方程有两个不同的实根，且， 故． 由，变形得． 令，则，代入上式得， 两边同时取自然对数，得，因此． 要证，即证，只需证，即. 令，，则， 令，则， 因为，所以，所以在上单调递增， 所以，所以在上单调递增， 所以，即恒成立， 即，得证． 【分析】（1）根据导数的几何意义可得切线方程； （2）先将不等式转化为，再构造函数，进而只需求函数在上的最小值，运用导数研究函数单调性及最值可得； （3）先将函数有两个极值点转化为方程有两个不同的实根，进而可得，且，再令，进而可得及，从而只须证明，即，再构造函数，，用导数求得函数的最小值，从而可得所证不等式. 【详解】（1）当时，，，所以，， 所以切点为，切线的斜率为，所以切线方程为，即． （2）由，即，因为，所以不等式可变形为． 令，则“存在，使得成立”等价于大于等于在上的最小值， ． 令，，则． 当时，，故，所以在上单调递增． 因此，故，所以在上单调递增． 所以，因此的取值范围为． （3）略 9．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii） 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（i）求导，分、、三种情况讨论函数的单调性即可； （ii）转化问题为对任意恒成立，设，，先证明，当且仅当时等号成立，进而得到，进而求解即可. 【详解】（1）当时，，则. 即，而， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）（i）当时，， 令， 则. 令，得或. ①当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. ②当，即时，恒成立，在上单调递增. ③当，即时， 若，则或；若，则. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （ii）由，得， 即对任意恒成立， 设，， 令，，设，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，当且仅当时等号成立， 由于在上单调递增， 且时，，时，， 则存在唯一，使得， 所以，当且仅当时等号成立， 则，又，则实数的取值范围为. 10．已知函数，函数，为实数． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）证明：有两个零点，，且若，则； （ⅱ）证明：． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）求导后，利用导数正负可判断函数单调性，借助单调性计算即可得解； （2）（ⅰ）求导后可判断函数单调性，再结合零点存在性定理即可得证； （ⅱ）结合（1）中所得可得，，构造关于的方程，结合根的判别式与韦达定理可得及，即可得证. 【详解】（1）， 令，则， 故在上单调递减，又， 则当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，即得证； （2）（ⅰ）， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， 则，故在上单调递减， 又， 故当时，，当时， ， 即在上单调递增，在上单调递减， 当时，，由，则， 当时，，由，则，当时，， 故有两个零点，，且若，则； （ⅱ）由（1）知，恒成立， 当时，有，即， 不妨设，则，有， 即，则，整理得； 当时，有，即， 又，即， 则，整理得， 设关于的方程，， 故该方程有两根，设为、，且，则， 由，， 则，故. 11．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意知有两个不同的实根，即方程有两个不同实根，令，通过求导求出的单调性，结合图象即可求出答案； （2），通过求导求出的单调性，即可求出答案； （3）函数，证明出，再证明在上单调递减，从而得到，结合第（2）问即可求出答案. 【详解】（1）由题意知． 因存在两个不同的极值点，故有两个不同的实根， 即方程有两个不同实根． 令，则． 令，因恒成立，故在上单调递减． 又，故： 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减． 所以在处取得极大值即最大值，且． 又，，当，， 要使直线与图象有两个不同交点，必须满足． 当时，易知函数存在两个不同的极值点，符合题意， 故实数的取值范围是． （2）， ， 令， 所以单调递增，又， 所以当时，，则在上单调递减； 当时，，则，在上单调递增． 因此在处取得最大值，． 即的最大值为． （3）由（1）知．不妨设． 因在上递增，上递减，且，故必有． 构造函数， 当时，，即恒成立． 因为，所以．又，故． 因为，且在上单调递减， 所以，即． 当时，，此时，故在上单调递减． 由于，故． 于是． 由（2）知，当时，． 因为，所以． 综上可得，，原命题得证． 12．已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2)①②证明见解析 【分析】（1）先对函数求导，然后根据导数的正负判断函数的单调区间即可； （2）①将方程分离参数得，构造函数，由导数判断函数的单调性，从而得到最小值，即可求得的取值范围； ②先构造函数证明，再构造证得，结合的单调性推出，即，联立两步结论，代回原式即可完成不等式证明. 【详解】（1）因为，，所以． 由，得；由，得 所以函数在上单调递减，在上单调递增． （2）①方程，即，，则． 设，，则方程有两个根， 即函数的图象与直线有两个不同的交点． 因为，， 当时，， 所以当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以当时，函数取得极小值，也是最小值． 因为，当时，，当时，， 所以，即实数的取值范围是． ②证明：由①可知，， 则证不等式，即证， 转化为证． 令，，则． 令，则． 因为在上恒成立， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以当时，，当时，． 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 所以． 由①知，． 令，，则． 令，则． 因为，所以， 所以在上单调递增，所以， 所以当时，． 所以单调递增，所以． 所以当时，． 由①及题意可知，，所以． 因为且在上单调递减，所以， 所以，所以． 所以， 所以． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 利用导数研究恒成立与双变量问题 考点一 含参数恒成立问题（参变分离） 考点二 含参数恒成立问题（分类讨论） 考点三 存在性问题（能成立） 考点四 双变量恒成立问题 考点五 导数中的极值偏移问题 考点六 利用导数证明不等式 考点一 含参数恒成立问题（参变分离） 1．已知函数在上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数. (1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标； (2)若恒成立，求a的取值范围. 3．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 4．已知函数，. (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意，有恒成立，求整数的最大值. 5．已知函数． (1)当时，求函数的最小值； (2)试讨论函数的单调性； (3)当时，不等式恒成立，求整数的最大值． 6．已知函数． (1)求图象在处的切线方程； (2)当时，．求的取值范围． 考点二 含参数恒成立问题（分类讨论） 7．已知函数，. (1)当时，判断函数的单调性； (2)当时，，求的取值范围. 8．（1）若对任意，都有成立，求实数的取值范围； （2）若，，证明：； （3）若对任意，都有成立，求实数的取值范围. 9．已知，． (1)当时，求的单调区间； (2)若，使成立，求参数的取值范围． 10．已知关于x的不等式恒成立，则的最小值为__________． 11．设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 12．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 考点三 存在性问题（能成立） 13．已知函数，其中． (1)若为增函数，求m的取值范围； (2)若关于x的不等式在区间内有解，求m的取值范围； 参考数据：，． 14．设，，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是________． 15．已知函数，． (1)求在内的单调性； (2)若存在，使得，求实数的取值范围； 16．函数，，为自然对数的底数． (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在实数x，满足，求实数a的取值范围； 17．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 18．函数． (1)当时，求函数在的单调区间； (2)若存在，使得成立，求的取值范围． 考点四 双变量恒成立问题 19．已知函数． (1)若函数，求函数的单调区间； (2)若函数有两个不同的零点，记两个零点分别为，且． ①求a的取值范围； ②已知，若不等式恒成立，求的取值范围． 20．已知函数（是自然对数的底数）． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若，使得对恒成立，求实数的取值范围； (3)若函数，且满足，证明：． 21．已知，. (1)求的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 22．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； (3)若有两个极小值点，，且对任意满足条件的，都有恒成立，求符合条件的整数m的最大值． 23．已知，其中，若恒成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．已知函数， (1)若在定义域内单调递增，求实数的取值范围； (2)当时，若对任意，不等式恒成立，求实数的最小值； (3)若存在两个不同的极值点，，且，求实数的取值范围． 考点五 导数中的极值偏移问题 25．已知函数有两个零点，且． (1)求a的取值范围； (2)证明：． 26．已知函数，函数，t，a均为实数． (1)当时，求曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； (2)当时，若存在正实数x，使不等式成立，求a的取值范围； (3)若函数有两个不同的零点，记作，，且，求证：． 27．已知函数（）． (1)当时，求证：； (2)若函数的两个零点为（）． ①求实数的取值范围； ②求证：． 28．已知函数． (1)若函数在上是减函数，求实数m的取值范围； (2)若函数在上存在两个极值点，，且，证明：． 29．已知函数，其中． (1)讨论的单调性． (2)若函数有两个不同的零点． ①求实数的取值范围； ②证明：． 30．已知，，是自然对数的底数. (1)求函数的单调区间； (2)若关于的方程有两个不等实根，求的取值范围； (3)当时，若满足，求证：. 考点六 利用导数证明不等式 31．已知在处的切线方程为. (1)求和； (2)证明：时，； (3)对，证明：. 32．已知函数. (1)证明：当时，恒成立； (2)证明：当时，恒成立； (3)对任意的且，满足，求的取值范围. 33．已知函数． (1)若函数在处的切线与直线平行，求的值； (2)当时，证明； (3)若函数在区间上单调递增，求的取值范围． 34．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：存在唯一的极值点； (3)当恒成立时，证明：． 35．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求证：； (3)若使方程三个不等的根，求的取值范围. 36．已知函数，其图象在处的切线的倾斜角为钝角. (1)求的取值范围； (2)证明：； (3)证明：. 注：. 1．已知，若不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若存在，使得成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知函数若，使成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．已知函数 (1)求的单调区间； (2)证明：当时，恒成立． 5．已知函数与函数的图象在公共点处有相同的切线. (1)当时，求函数与在公共点处的切线方程； (2)求的最大值； (3)证明：当时，. 6．已知函数． (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，，求实数的取值范围； (3)若，且存在，，使得，证明：． 7．已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)设，若，为的两个极值点，求的取值范围． 8．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使得成立，求的取值范围； (3)若存在两个极值点，证明：． 9．已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程. (2)当时，设为函数的导函数. （i）讨论函数的单调性； （ii）令，若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 10．已知函数，函数，为实数． (1)证明：． (2)若． （ⅰ）证明：有两个零点，，且若，则； （ⅱ）证明：． 11．已知函数存在两个不同的极值点． (1)求实数的取值范围； (2)设，求的最大值； (3)求证：． 12．已知函数，． (1)判断函数的单调性． (2)若方程有两个根． ①求实数的取值范围； ②证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $