14.2.4用“HL”判定三角形全等（培优课件）2026-2027学年人教版数学八年级上册

该初中数学课件聚焦直角三角形全等的“HL”判定，核心知识点为斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。课堂导入通过尺规作线段、作角等于已知角，结合SSS等全等判定方法，搭建前后知识支架，引导学生从已有作图经验过渡到HL定理学习。 其亮点在于以探究式学习培养几何直观与推理意识，如通过作角、作三角形等尺规作图活动抽象HL判定原理，分层练习题（基础选择填空、规范解答、拓展探索）发展应用意识。学生能规范证明步骤，教师可借助清晰知识脉络与分层设计提升教学效率。

人教版数学八年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 8年级（ ）班 . 时 间： . 2026年6月8日 14.2.4用“HL”判定三角形全等 第十四章 全等三角形 14.2.4 用“HL”判定三角形全等 练习题 本套练习题针对人教版八年级上册14.2.4知识点编写，专门针对直角三角形全等的特殊判定方法——HL（斜边、直角边）。核心知识点：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记HL。需要重点掌握：HL定理只适用于直角三角形，普通三角形不能使用，同时区分HL与SSS、SAS、ASA、AAS的用法差异，习题覆盖概念辨析、基础填空选择、规范几何证明，针对性解决直角三角形全等证明的常见易错点。 一、选择题（每题4分，共20分） 1. HL判定定理适用的三角形是（） A. 任意三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 2. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C=∠F=90°，AB=DE，AC=DF，则判定两个三角形全等的依据是（） A. SAS B. ASA C. HL D. SSS 3. 下列条件中，能利用HL判定两个直角三角形全等的是（） A. 一个锐角对应相等 B. 两条直角边对应相等 C. 斜边和一条直角边对应相等 D. 斜边和一个锐角对应相等 4. 下列说法正确的是（） A. 普通三角形可以用HL判定全等 B. HL需要两组直角边对应相等 C. 直角三角形全等只能用HL判定 D. HL是直角三角形专属全等判定方法 5. 在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠ACB=∠ADB=90°，AB为公共斜边，若用HL证明全等，需要添加的条件是（） A. ∠CAB=∠DAB B. AC=AD C. BC=BD D. AC=AD或BC=BD 二、填空题（每题4分，共20分） 1. HL判定定理：________和一条________对应相等的两个直角三角形全等。 2. 证明直角三角形全等的方法有SSS、SAS、ASA、AAS和________。 3. 使用HL证明全等时，必须先写明两个三角形是________三角形。 4. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠B=∠E=90°，AC=DF，BC=EF，可依据________判定全等。 5. HL定理只针对直角三角形，不能用于________三角形。 三、解答题（共60分） 1.（20分）已知：AC⊥BC，AD⊥BD，垂足分别为C、D，AC=BD。求证：Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 2.（20分）已知：在△ABC中，AD⊥BC，BD=CD。求证：∠B=∠C。 3.（20分）已知：AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B、E，AC=DF，AB=DE。求证：CF被点B、E平分线段成立，即BC=EF。 参考答案与解析 一、选择题 1. B 解析：HL是直角三角形专属全等判定定理，仅适用于直角三角形。 2. C 解析：两个直角三角形，斜边AB=DE，直角边AC=DF，符合HL判定条件。 3. C 解析：HL的核心条件为斜边加一条直角边对应相等。 4. D 解析：HL只能用于直角三角形，直角三角形也可使用普通三角形的四种判定方法。 5. D 解析：AB为公共斜边，添加任意一组直角边相等，即可用HL证明全等。 二、填空题 1. 斜边、直角边 2. HL 3. 直角 4. HL 5. 普通（非直角） 三、解答题 1. 证明：∵AC⊥BC，AD⊥BD，∴∠C=∠D=90°。∴△ABC、△BAD均为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB=BA（公共斜边），AC=BD（已知），∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL）。 2. 证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，△ADB和△ADC为直角三角形。在Rt△ADB和Rt△ADC中，AD=AD（公共直角边），BD=CD（已知），∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL），∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）。 3. 证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，∴∠ABC=∠DEF=90°，两三角形为直角三角形。在Rt△ABC和Rt△DEF中，AC=DF（已知），AB=DE（已知），∴Rt△ABC≌Rt△DEF（HL），∴BC=EF（全等三角形对应边相等）。 探究直角三角形全等的判定方法. 能运用三角形全等的判定方法判断两个直角三角形全等. 回顾导入 作一条线段等于已知线段： a 线段和角都是基本的几何图形，也是构成其他几何图形的元素. 如何用直尺和圆规作一个角等于已知角呢？ 如图，已知∠AOB，要用直尺和圆规作一个角与其相等，关键是能用直尺和圆规确定∠AOB 的大小. 知识点1 作一个角等于已知角 O A B 1. 一个三角形的三条边、三个角是确定的. 如果能将∠AOB“放在”某个三角形中，作为其一个角，再作出一个与其全等的三角形，能否得到与∠AOB 一样大小的角？为什么？ 能，因为全等三角形的对应角相等. 探究新知 O A B 2. 如何围绕∠AOB 构建一个三角形？ 如图，在∠AOB 的边 OA，OB 上分别取点 C，D，连接 CD，得到△COD. ∠AOB 就是△ COD 的一个内角. C D 为了作图方便，一般取 OC = OD. 知识点1 作一个角等于已知角 O A B 3. 为了作出与△COD 全等的三角形，哪种三角形全等的判定方法可以作为作图依据？ SSS C D 知识点1 作一个角等于已知角 O A B 作法： (1) 以点 O 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 OA，OB 于点 C，D； C D (2) 作一条射线 O'A'，以点 O' 为圆心，OC为半径作弧，交 O'A' 于点 C'； O' A' C' 知识点1 作一个角等于已知角 O A B (3) 以点 C' 为圆心，CD 为半径作弧，与上一步作的弧相交于点 D'； (4) 过点 D' 作射线 O'B'，则∠A'O'B' = ∠AOB. O' A' C' D' B' 知识点1 作一个角等于已知角 C D 与“作一条线段等于已知线段”一样，“作一个角等于已知角”也是基本、常用的尺规作图，利用它可以进一步完成其他尺规作图. 知识点2 过直线外一点作这条直线的平行线 例 4 如图，已知直线 AB 及直线 AB 外一点 C，利用直尺和圆规过点 C 作直线 AB 的平行线 CD. C A B 知识点2 过直线外一点作这条直线的平行线 1. 我们学过的判定两直线平行的方法有哪些？ ① 同位角相等，两直线平行； ② 内错角相等，两直线平行； ③ 同旁内角互补，两直线平行； ④ 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 2. 根据题目条件和已学过的知识，可以利用上述哪种判定方法来尝试作图？ 教材P40 例题第4题 作法： (1) 过点 C 作一条直线，与直线 AB 相交于点 E； C A B E (2) 在点 C 处作∠CEB 的同位角∠FCD，使∠FCD = ∠CEB； F D 教材P40 例题第4题 (3) 反向延长 CD，得直线 CD，则直线 CD // AB. C A B E F D 还可以利用“内错角相等，两直线平行”作图. 知识点3 已知两边及其夹角作三角形 例 5 如图，已知线段 a，b 和∠α，求作△ABC，使 AB = a，AC = b，∠A =∠α. a b α 你是怎么想的？ 先作一个角等于已知角，再在作出的角的两边上截取指定长度的边，从而确定三角形. 教材P40 例题第5题 作法： (1) 作∠DAE = ∠α； a b α A D E 教材P40 例题第5题 (2) 在射线 AD 上作 AB = a，在射线 AE 上作 AC = b； a b α A D E B C 教材P40 例题第5题 a b α A D E B C (3) 连接 BC，则△ABC 就是所求作的三角形. 已知三角形的两角及其夹边，如何作出这个三角形？ D 1. 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ ） A.两条直角边对应相等 B.斜边和一锐角对应相等 C.斜边和一条直角边对应相等 D.两个锐角对应相等 课堂检测 基础巩固题 随堂练习 2. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点 E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4， 则 CH的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3.如图，△ABC中，AB=AC，AD是高，则△ADB与△ADC （填“全等”或“不全等”），根据 （用简写法）. 全等 HL 课堂检测 A 随堂练习 4. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.求证：△EBC≌△DCB. A B C E D 证明：∵ BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEC=∠BDC=90 °. 在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中， CE=BD, BC=CB . ∴ Rt△EBC≌Rt△DCB (HL). 课堂检测 随堂练习 如图，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC, AE=CF.求证：BF=DE. 证明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °. ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF.即AF=CE. 在Rt△ABF和Rt△CDE中， AB=CD, AF=CE. ∴ Rt△ABF≌Rt△CDE(HL). A F C E D B ∴BF=DE. 能力提升题 课堂检测 随堂练习 如图，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，一条线段PQ＝AB，P,Q两点分别在AC上和过A点且垂直于AC的射线AQ上运动，问P点运动到AC上什么位置时△ABC才能和△APQ全等？ 拓广探索题 课堂检测 随堂练习 (2)当P运动到与C点重合时，AP＝AC. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝AC， ∴Rt△QAP≌Rt△BCA(HL)， ∴AP＝AC＝10cm， ∴当AP＝5cm或10cm时，△ABC才能和△APQ全等． 课堂检测 解：(1)当P运动到AP＝BC时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在Rt△ABC与Rt△QPA中， ∵PQ＝AB，AP＝BC， ∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)， ∴AP＝BC＝5cm； 随堂练习 1.如图是用直尺和圆规作一个角等 于已知角的示意图，说明 的依据是( ) B A. B. C. D. 考试考法 23 2.如图，已知，是射线上的一点，请用尺规过点在 上方 作，使得 .（保留作图痕迹，不写作法） 解：如图， 即为所作. 考试考法 24 3．下列尺规作图中，不一定能判定直线a平行于直线b的是(　　) C 考试考法 25 4.尺规作图，不写作法，保留作图痕迹. 已知：如图，点是的边 上一点. 求作：点，使，并与交于点 . 解：如图，点 即为所求. 考试考法 26 5.如图，已知 ， ，线段，求作，使得 ， ， . 作法： （1）作线段 ___； （2）在的同侧，作 ___，作 ___，与 交于点___，则 就是所求作的三角形. 考试考法 27 6.如图，已知线段和 ，求作，使得， ， .（要求：尺规作图，不写作法，但保留作图痕迹） 解：如图， 即为所求作. 考试考法 28 C 7.天津期中如图，在△ABC中，∠B＝42°，∠A＝78°，点D在边AB上，观察尺规作图的痕迹，可知∠AID的度数是(　　) A．50° B．55° C．60° D．65° 考试考法 29 “斜边、直角边” 内容 斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等. 前提条件 在直角三角形中 使用方法 只需找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 课堂小结 $