河北省滦州市第一中学2024-2025学年高一下学期期末数学冲刺卷（七）

河北省滦州市第一中学2024-2025学年高一第二学期期末数学冲刺卷（七） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．已知命题，命题，则是的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．复数满足，则的虚部为（   ） A．i B． C． D． 3．如图，是水平放置的的直观图，则的周长为（    ） A． B． C． D． 4．中国是世界上著名的文明古国之一，为世界文化和科技繁荣谱写了绚丽的篇章，陶瓷的制作工艺及发展，更是其中闪耀的一颗明珠．随着近代科学技术的发展，近百年来又出现了许多新的陶瓷品种．如图为一款陶瓷茶杯，杯盖可以使水温瞬间变成左右并保持恒温状态，将茶杯里面的茶水倒入杯盖中即可饮用到的温水．该款茶杯的杯身内部空间可看作上、下底面直径分别为，，高为的圆台；杯盖内部空间可看作底面直径为，高为的圆锥．若茶杯中装满茶水，则最多可倒满几杯盖?（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 5．A，B两名学生均打算只去甲、乙两个城市中的一个上大学，且两人去哪个城市互不影响，若A去甲城市的概率为0.6，B去甲城市的概率为0.3，则A，B不去同一城市上大学的概率为（    ） A．0.3 B．0.46 C．0.54 D．0.7 6．若函数的值域是，则的取值范围是 A． B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，则此球的表面积等于（    ） A．8π B．9π C．10π D．11π 二、多选题 9．下列说法错误的是（    ） A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥 B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥 D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体 10．生活中台灯的灯罩、喝水的水杯常常设计成圆台的形状．已知某圆台的上底半径为1，下底半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切．则下列命题中正确的是（       ） A．圆台的母线长为4 B．圆台的高为4 C．圆台的表面积为 D．球O的表面积为 11．某学校组织学生参加数学测试，某班成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为.若不低于分的人数是人，且同一组中的数据用该组区间的中点值代表，则下列说法中正确的是（　　）      A．该班的学生人数是 B．成绩在的学生人数是 C．估计该班成绩的众数是分 D．估计该班成绩的方差为 评卷人 得分 三、填空题 12． . 13．已知，则 ． 14．在中，，，，设，，，那么 . 四、解答题 15．下面有两个关于“袋子中装有红、白两种颜色的相同小球，从袋中无放回地取球”的游戏规则，这两个游戏规则公平吗？为什么？ 游 戏 1 游 戏 2 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取1个球，再取1个球 取1个球，再取1个球 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球同色→甲胜 取出的两个球不同色→乙胜 取出的两个球不同色→乙胜 16．已知向量，. （1）求的值； （2）若，求的值. 17．求下列各式中的的值： （1）； （2）． 18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面ABP，，E为BC的中点.    (1)证明：平面平面PAD. (2)若点A到平面PED的距离为，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值. 19．在中，记的内角，，的对边分别为，，，其中. (1)求角； (2)若的面积为，且，求. 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 《河北省滦州市第一中学2024-2025学年高一第二学期期末数学冲刺卷（七）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D C B C D D A ABC ACD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合对数的运算性质和对数函数的性质进行判断即可. 【详解】若，则，故； 反之，若，当其中有负数时，q不成立. 故是q的必要不充分条件. 故选：B. 2．D 【分析】由已知条件得出，利用复数的除法化简复数，利用共轭复数以及复数的概念可求得结果. 【详解】因为，则，故，则， 因此，的虚部为. 故选：D. 3．C 【分析】根据直观图确定原的形状，边长后可得周长． 【详解】由直观图，知原是直角三角形，直角边，， 因此斜边长为， 所以周长为． 故选：C． 4．B 【分析】根据题意，结合圆锥和圆台的体积公式，求得两部分的体积，即可求解. 【详解】由题意得，茶杯杯身内部可装茶水的体积：， 杯盖内部可装茶水的体积， 因为，所以最多可倒满7杯盖. 故选：B． 5．C 【分析】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”，根据A，B不去同一城市上大学的概率为即可求解. 【详解】设事件“A去甲城市”，事件“B去甲城市”， 则,, 则A，B不去同一城市上大学的概率为. 故选:C. 6．D 【分析】根据题意，得到二次函数有零点，再由，求解，即可得出结果. 【详解】因为函数的值域是， 所以要取尽大于的所有数， 即二次函数有零点，因此，解得或， 故选D. 【点睛】本题主要考查由对数型复合函数的值域求参数的问题，熟记对数函数的性质，以及二次函数的性质即可，属于常考题型. 7．D 【分析】由的范围可求得的范围，结合正弦函数单调性，采用整体代换的方式即可构造不等式组求得结果. 【详解】当时，， 在上单调递增，， 解得：，又，， 解得：，又，，， 即的取值范围为. 故选：D. 8．A 【分析】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°可得三角形ABC的面积及外接圆的半径，再由三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点，可得外接球的半径，进而求出外接球的表面积． 【详解】由AB＝2，AC＝1，∠BAC＝60°，由余弦定理可得： BC， ∴，∠ACB＝90°，∴底面外接圆的圆心在斜边AB的中点， 设三角形ABC的外接圆的半径为r，则r1， 又， 所以V柱＝S△ABC•AA1，所以可得AA1＝2， 因为三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面， 所以三棱柱的外接球的球心是过底面外接圆的圆心作垂直于底面的直线与中截面的交点， 设外接球的半径为R，则R2＝r2+（）2＝12+12＝2， 所以外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝8π， 故选：A． 【点睛】本题考查三棱柱的体积及三棱柱的棱长与外接球的半径之间的关系，以及球的表面积公式，属于中档题． 9．ABC 【解析】选项不符合棱锥，棱台定义，所以错误；选项，会得出棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是，构成平面图形，所以错误；选项，可推出侧棱与底面垂直，所以正确. 【详解】选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形， 由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点， 故A错误； 选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的， 而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台， 因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误； 选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是时， 各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误； 选项D，若每个侧面都是长方形则说明侧棱与底面垂直， 又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确. 故选:ABC. 【点睛】本题考查多面体的定义，以及结构特征，属于基础题. 10．ACD 【分析】作出圆台的轴截面，设圆台的上、下底面圆心分别为 ,半径分别为 ，链接 ，利用平面几何知识得到 ，即可逐项计算求解 【详解】设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆为圆台内切球的大圆，如图， 设圆台上、下底面圆心分别为，半径分别为， 则共线，且， 连接，则分别平分， 故， 故，解得， 故圆台的高为，母线长为，圆台的表面积为，球的表面积， 故选：ACD 11．ACD 【分析】根据频率与总数关系、频率和为、频率分布直方图估计众数、平均数和方差的方法依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，不低于分对应的频率为， 该班的学生人数为，A正确； 对于B，，， 成绩在的学生人数为，B错误； 对于C，成绩在对应的矩形面积最大，估计该班成绩的众数为分，C正确； 对于D，估计该班成绩的平均数为， 方差为，D正确. 故选：ACD. 12．/ 【分析】根据二倍角的正弦公式，即可求解. 【详解】. 故答案为： 13． 【分析】由已知可得，从而能求出其结果. 【详解】因为， 所以， 故答案为：. 14． 【分析】根据给定条件，利用向量的加法运算及数量积运算律、数量积的定义求解作答. 【详解】在中，，，，则，而， 所以. 故答案为： 15．规则是公平的. 【分析】本试题主要是考查了古典概型概率的求解，利用游戏规则，我们只需要判定甲胜的概率和乙胜的概率的大小即可．概率不一样就说明不公平．分别求解游戏1和游戏2中的胜出的概率值，我们可以判断游戏1不公平，游戏2公平． 【详解】解：游戏1：从2个红球和2个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有4个.　　　　　　　　　　　　　　 所以P（甲胜）＝，P（乙胜）＝ 因此规则是不公平的. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 游戏2：从3个红球和1个白球中，取1个球，再取1个球，基本事件共有12个. “取出的两个球同色”包含的基本事件有6个. 　　　　　　　　　　　　　 所以P（甲胜）＝，P（乙胜）＝ 因此规则是公平的. 16．（1）（2） 【分析】（1）根据题中条件，先求出，进而可求出结果； （2）先由题意得到，根据得到，进而可求出结果. 【详解】（1）因为向量，， 则， 则 （2）因为向量，， 则， 若， 则， 解得：． 【点睛】本题主要考查求向量的模，以及根据向量垂直求参数的问题，熟记向量的坐标运算即可，属于常考题型. 17．（1）；（2）． 【分析】（1）根据对数式与指数式互化公式进行求解即可； （2）根据对数式与指数式互化公式，结合对数的定义进行求解即可. 【详解】（1）由，得，解得； （2）由， 得，，且，且， 解得（舍去）． 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】 （1）根据线面垂直的判定定理、平行四边形的判定定理，结合面面垂直的判定定理进行证明即可； （2）根据面面垂直的性质定理，结合三棱锥的体积不变性进行求解即可. 【详解】（1）如图，取PD的中点F，PA的中点G，连接EF，FG，BG. ∵平面ABP，平面ABP，∴. ∵，∴. ∵AP，平面PAD，，∴平面 ∵，，，， ∴，， ∴四边形BEFG是平行四边形， ∴， ∴平面PAD，又平面PED， ∴平面平面PAD.    （2）取AB的中点H，连接PH，AC. ∵平面ABP，平面ABP， ∴， ∴， ∴，易得. ∵， ∴. ∵平面ABP，平面ABCD， ∴平面平面ABP. 又，∴，∴平面ABCD 易得，，，， ∴. 设点A到平面PCD的距离为h， ∵，得， ∴直线PA与平面PCD所成角的正弦值为. 19．(1) (2) 【分析】（1）用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出A； （2）根据面积公式求出c，再用余弦定理求出、面积求出可得答案. 【详解】（1）∵，由正弦定理得 ， ∵， ∴， ∴，又， ∴， ∴，又，， ∴，∴； （2）若的面积为，且， 由余弦定理，有， ∴， 又， ∴，∴，∴. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$