河北保定市2025-2026学年高一下学期数学期末自编模拟试卷（四）

**基本信息** 本试卷聚焦高一数学核心内容，通过测量双子塔距离、药物实验数据分析等真实情境题，融合向量、立体几何、统计概率等模块，考查数学眼光观察现实世界、数学思维分析问题的能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|向量运算、统计平均数、立体几何基础|第4题结合骰子点数考查随机试验样本点，体现概率思维| |多选|3/18|复数几何意义、正八面体性质、解三角形|第10题正八面体结合外接球与二面角，考查空间观念| |填空|3/15|空间四边形中点性质、概率概念、多面体表面积|第13题辨析概率与频率关系，强化数据意识| |解答|5/77|向量共线、解三角形、统计案例、立体几何动态问题|16题测量方案设计考查数学语言表达，19题正方体动点问题提升推理能力|

河北省保定市2025-2026学年高一下学期数学期末模拟试卷（四） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知，则（    ） A．5 B． C．25 D． 2．已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（   ） A．5 B．7 C．17 D．25 3．边长为2的正方形，为的中点，则的值为（   ） A．2 B．3 C．1 D．4 4．依次投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是(　　) A．第一枚是3点，第二枚是1点 B．第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 5．给出下列四个命题： ①存在与两条异面直线都平行的平面； ②过空间中一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行； ③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行； ④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行． 其中正确命题的个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 6．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　) A. B. C. D. 7．某件精品瓷器可近似地看作由一个半球和一个圆台构成的组合体，如图所示，该瓷器的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知是在同一平面内的三个单位向量，且，，，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若z是复数，其在复平面内对应的点为Z，下列说法正确的是（    ） A．为纯虚数 B．若，则Z的轨迹是以为圆心，半径为1的圆 C．若，则 D．若，则 10．正八面体是一种正多面体，由8个正三角形面组成，对角面为正方形．如图，正八面体的棱长为5，为棱上一点，且，则（   ） A．平面平面 B．该正八面体外接球的表面积为 C．二面角的余弦值为 D．异面直线与所成角的余弦值为 11．在中，角，，的对边分别是，，，且，，则下列结论正确的是（   ） A．若，则有两解 B．的面积有最大值 C．的周长有最大值12 D．若是钝角三角形，则边上的高的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知在空间四边形中，各边的中点分别为、、、，且，则四边形是____________________． 13．下列说法正确的是_______________ 随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 在一次试验中，不同的基本事件不可能同时发生 任意事件发生的概率总满足 若事件发生的概率趋近于，而，则是不可能发生的事件． 14．如图，从正四面体的4个顶点处截去4个相同的正四面体，得到一个由正三角形与正六边形构成的多面体.若该多面体的表面积是，则该多面体外接球的表面积是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）设向量满足，，． (1)若，求； (2)若与共线，求实数的值． 16．(15分)某校数学兴趣小组计划测量本市双子塔塔顶之间的直线距离，设计了两套方案，具体如下： (1)方案一：无人机沿水平方向在两点观测塔顶，在同一个铅垂平面内（如示意图），若在处测得塔顶的俯角分别为，在处测得塔顶的俯角分别为，无人机飞行距离．利用上述数据能否计算出两塔塔顶之间直线距离？若能，求出（结果精确到）；若不能，请说明理由．（参考数据：） (2)方案二：在与两塔基底同一水平面内选取测量点，在点处分别测得塔顶的仰角为，测量点与两塔基底的夹角为． ①假设塔高，试用表示两塔塔顶间距离； ②为实施方案二，需要测量两塔的高度，不妨以测量塔顶距水平地面的高度为例．兴趣小组在水平地面内选取点，在点测得塔顶的仰角分别为．若点是线段的中点，，试用表示． 17．（15分）为探究某药物对小白鼠的生长抑制作用，将生长情况相同的80只小白鼠随机均分为两组：对照组（不添加药物）和实验组（添加药物），饲养相同时间后，分别测量这两组小白鼠的体重增加量（单位：g），这些小白鼠的体重增加量都在内，按照，，，，，分组，得到如下频率分布直方图. (1)估计对照组小白鼠体重增加量的平均数（每组以该组所在区间的中点值为代表）及中位数； (2)求a的值及实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠的只数； (3)现从实验组和对照组中各随机抓取1只小白鼠，用事件A表示“所取2只小白鼠体重增加量均超过20g”，事件B表示“2只小白鼠仅有1只体重增加量不超过25g”，求，，并判断A，B是否相互独立. 18．(17分)已知的内角所对的边分别为向量,,且. (1)求角； (2)若,,求的面积； (3)若求的最大值. 19．（17分）如图，正方体的棱长为4，，分别是，上的点，且，. (1)求直线与所成角的余弦值. (2)设是线段上的动点（含端点）. （i）判断三棱锥的体积是否为定值.若是，求出该定值；若不是，求出体积的最小值. （ii）当平面时，求的值. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．【答案】B 【解析】，则． 2．【答案】C 【解析】，所以，，…，的平均数为 . 3．【答案】A 【解析】如图，建立平面直角坐标系， 设， ，，， 则为 的中点，所以. 因此，， 所以. 4． 【答案】　B 【解析】　依次投掷两枚均匀的骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验的样本点是第一枚是3点，第二枚是1点或第一枚是1点，第二枚是3点或两枚都是2点．故选B. 5． 【答案】　C 【解析】　①将一个平面内的两条相交直线平移到平面外，且平移后不相交，则这两条直线异面且都与该平面平行，故①正确；②当点在其中一条直线上时，作不出满足要求的平面，故②不正确；③过平面外一点存在一个平面与该平面平行，这个平面内过该点的无数条直线都与已知平面平行，故③正确；易知④正确．故选C. 6．【答案】　C 【解析】　为了方便列举，将颜色为红、黄、蓝、绿、紫的5支彩笔分别标记为1，2，3，4，5.从5支颜色不同的彩笔中任取2支彩笔的方法有10种，其中含有红色彩笔(即含有数字1)的取法有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，共4种．由古典概型的概率公式，可得满足题意的概率为＝.故选C. 7．【答案】B 【解析】半球的半径为6，半球的体积为， 圆台的体积为， 故该瓷器的体积为. 8．【答案】D 【解析】因为是在同一平面内的三个单位向量，且， 所以，设与的夹角为，与的夹角为， 又因为，， 所以且，即与和的夹角均为锐角， 又因为，若把，，平移到同一起点，则在和之间， 如图所示，其中，，，则有， 则 ， 因为即，所以， 则，则， 即． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．【答案】BC 【解析】A.若，，不是纯虚数，故A错误. B.设（），，即， 表示圆心在，半径为1的圆，故B正确. C.因为，所以，故C正确. D.， 10．【答案】ABC 【解析】对于A，由正八面体的性质，，平面，平面，所以平面， 又因，平面，平面，故平面， 又平面，故平面平面，故A正确；    对于B，连接，，设，则即该正八面体的外接球的半径， 因，则该正八面体的外接球的表面积为：，故B正确；    对于C，取中点，连接易得，则即二面角的平面角， 因正八面体的棱长为5，则， 由余弦定理，可得，故C正确； 对于D，因，故为异面直线与所成的角， 又因 ， 由余弦定理，， 则，故D错误. 故选：ABC. 11．【答案】ABD 【解析】对于A，由正弦定理得， 所以，则有两解，故A正确． 对于B，由正弦定理，得，， 所以 ． 又，所以，所以， 所以， 所以， 所以的面积有最大值，故B正确． 对于C， 由选项B得的周长为 又，所以，所以， 故的周长有最大值，故C错误． 对于D，因为，，所以对于边上的高，角或角为钝角的情况是等价的，不妨令角为钝角． 因为， 所以由选项B有， 由是钝角三角形，，得， 所以，， 所以，所以若是钝角三角形． 则边上的高的取值范围为，故D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．【答案】矩形 【解析】如图， ，，，分别是四条边的中点， 且，且， 且，故四边形是平行四边形． 又 ，，， ， 平行四边形是矩形． 13．【答案】 【解析】随机事件的概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值，故 ①正确； 一次试验中的任意两个基本事件都是互斥的，故不可能同时发生，故 ②正确； 必然事件的概率为，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于且小于， 任意事件发生的概率满足，故 ③错误； 若事件的概率趋近于，则事件是小概率事件，故 ④错误． 故说法正确是． 14．【答案】 【解析】由题意可得多面体的棱长为原正四面体棱长的，设原正四面体的棱长为， 则其表面积为，由图易知该多面体与原正四面体相比较， 表面积少了8个边长为的正三角形的面积， 所以该多面体的表面积为，所以. 如图，是下底面正六边形的中心，是上底面正三角形的中心， 由正四面体的对称性可知截角四面体的外接球的球心在原正四面体的高上， . 设球的半径为，在中，，所以， 在中，， 所以， 所以，解得，所以， 所以该多面体外接球的表面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（13分）【解析】（1）当时，， 所以， 所以． （2）， 因为与共线，所以． 解得． 16．(15分) 【解析】（1）在中，由正弦定理得， 在中，由正弦定理得， 由余弦定理得 ． （2） ①如图1，在中，∵，∴， 在中，∵，∴； 在中，由余弦定理得， ∴； ②如图2， ， 在中，，即， 由余弦定理，， ∴， ∴． 17．（15分）【解析】（1）估计对照组小白鼠体重增加量的平均数为 . 因为， 所以估计对照组小白鼠体重增加量的中位数为20. （2）由， 得， 估计实验组中体重增加量不大于20g的小白鼠只数为. （3）由题意知，从对照组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.5，超过25g的概率为0.3，从实验组中随机抓取1只小白鼠，体重增加量超过20g的概率为0.4，超过25g的概率为0.15， 所以， ， ， ， 因为，所以A，B不相互独立. 18．(17分) 【解析】（1）因为向量，且，所以. 又由正弦定理得，因为，所以 又因为，所以. （2）因为中,,,由（1）知，由余弦定理， 即,所以,解得或（舍去）. 所以的面积. （3）由余弦定理可知，，即， 则，因为， 所以，则，当时等号成立， 则，且，所以， 所以的最大值为. 19．（17分）【解析】（1）在棱长为4的正方体，过点作交于，连接， 由正方体的对角面是矩形，得，则， 即为直线与所成的角或其补角， 由，，得，，，， 因此， 所以直线与所成角的余弦值为. （2）（i）三棱锥的体积不是定值. 假设三棱锥的体积是定值，则线段上任意每一点到平面的距离都相等， 又平面，于是平面，由（1）知，且平面， 则平面，而平面，则平面平面， 又平面，因此平面，取中点，连接，显然为的中点， 则，又与平面交于点，于是与平面相交，两者矛盾， 即假设不成立，所以三棱锥的体积不是定值， 由图知，线段在平面的同侧，且在线段的所有点中，到平面的距离最小， 则当与重合时，三棱锥的体积最小， 且， 所以三棱锥体积的最小值为 （ii）连接，由正方体的对角面是矩形， 得，且平面，则平面，同理平面， 而平面，因此平面平面， 此时线段平面，满足平面， 设，到平面的距离分别为，，则. 是边长为的等边三角形，则， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $