1.3.2　空间向量运算的坐标表示2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学课件聚焦空间向量运算的坐标表示，涵盖加减、数乘、数量积的坐标运算及平行、垂直、模、夹角、两点距离公式。通过“入木三分”环节对比平面向量，搭建从平面到空间的认知支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于结合正方体、直三棱柱等实例，通过题型训练与探究总结，强化数学运算和逻辑推理素养。如例3利用坐标法证明线面垂直，培养学生空间观念，助力教师系统落实教学目标，提升学生解题能力。

1浓》行心洲 2 79 料 1.3 6. 2 空间向 量运算的坐标表 示 素养目标 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会据此判断两个向量是否共线 或垂直.（数学运算）2.掌握空间向量的模、夹角公式和两点间距离公 式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题.（数学运算、逻辑推 理) 课前自学 书读百遍 要点1空间向量运算的坐标表示 设a=(a1,a2,a),b=(b,,b2,b),空间向量的坐标运算 法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a+b=(a1+b1,a2+b2,a 减法 4-b=在b,a,-b,a 数乘 1.m 三 ab)a, ,人∈R 数量积 ab= hasa b,ab2+ ab: 第4页 要点2空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设u=(a1,a2,a),b=(b,b2,b),则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)→a=b曰a1=b1，a2=b2,a3(∈R) =2b 垂直(a⊥b)a⊥b台ab=0曰ab,十a,b,+ab(a,b均为非零向量) =0 模 la=Yaa- Va+a+a函 夹角 a a41b1+a2b2+a3b3 cos〈a,b〉= 公式 ah-a+a+abi+b+b房 第5页 要点3向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设P1(x1,y1,21),P2(2,y2,22),则PP2= ,-，-y,2:PP=PP=1-x2+-M2+-z12. -21) 第页 8 知识拓展 中点坐标公式： 若A(1,y1,21),B(,y2,22),则线段 x1+x32yM+22+22 2 2 2 AB的中点P的坐标为 第7页 然入木三分 1.空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示有何联 系？答：空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示是完全一 致 2.若a=:.=(6,,则a一定有-发=成 立吗？ 答：不一定，当b1,b2,b3均不0， 2=4才成立. b1 b2 b3 3·已知点A(x,y,z),则点A到原点O的距离是多少？ 答：连接OA,OA=|OA=Vx2+y2+2 返回 课时学案 题型一 空间向量的坐标运算 贮4中，A(2,-5,3),AB=(4,1,2),BC=(3,-2,5) (I)求顶点B,C的坐标： 【解析】 (1)设B(x,y,z),C(x1,y1,21), 所以AB=(x-2,y十5，z-3), BC=(x1-x,y1-y,z1一2) 因为AB=(4,1,2), 第10 五 x一2=4， x=6, 所以y+5=1,解得y=一4， z-3=2, 2z=5, 所以点B的坐标为(6，一4,5)： 因为BC=(3,-2,5), x1-6=3, x1=9, 所以y1十4=一2，解得y1=-6, 21-5=5, 21=10, 所以点C的坐标为(9，一6,10) 第11页 (2)求C·B元； 【解析】 (2)因为A=(-7,1, 所以CA·BC=-21-2-35=-58 第12 而 ③)若点P在AC上，且巾=元，求点P的坐标. 【解析】(3)设P(x2,2,2),则A=(x2一2,2十5,2一3)， PC=(9-x2,-6-y2,10-22), 于是有(-2，+5,2-3)=2(9-2，-6-2,10-22)， -2=39-2）, 13 x23' 16 所以+5=2（-6一)，解得2= 3 2-3=7(10-23), 16 23 故点P的坐标为 第13 5 探究 关于空间向量坐标运算的两类问题 (1)直接计算问题：首先将空间向量用坐标表示出来，然后准确运用 空间向量坐标运算公式计算. (2)由条件求向量或点的坐标：首先把向量坐标形式设出来，然后通 过建立方程组、解方程组求出其坐标 第14 而 思考题1已知空间四点A,B,C,D的坐标分别是（一1,2,1），(1， 3,4),(0,-1,4),(2,-1,一2).若p=A方，q=,求下列各式的 值： (1)p+2q; 【解析】由于A(-1,2,1),B(1,3,4),C(0,-1,4),D2, 1,-2), 所以p=AB=(2,1,3),q=C=(2,0,-6) (1)p+2q=(2,1,3)+2(2,0,-6)=(6,1,-9) 第15 (2)3p-q； 【解析】(2)3p \left.9)-(2，0，-6)= -9=3(2,1, (43,15). 3)-(2,0,-6)=(6,3, 第16 而 (3)-q)(p+q): 【解析】 (3)-q)( 32)-[22+02+（-6)]= +q)=p2-q= 26. p2-q2=(22+12+ 第17 而 (4)cos〈p,9〉. 【解析】 (4)cos (p,q> (2,1,3)·(2,0, V2+12+32×V22+02+ 42=- -14 pg -6) (-6)2 第18 而 题型二 空间向量平行、垂直的坐标表示 角度1空间向量平行、垂直的坐标表示 例2己知a=(元+1,1,2)，b=(6,2m-1,2). (1)若∥b,分别求元与m的值； 【解析】(1)因为ub,所以设(+1,1,22)=k(6,2m-1,2),k 元十1=6k, ∈R,所以1=k(2m-1), 22=2k, 解得 k-3 所以= m=3, m=3, 第19 五 (2)若4=V5,且M与c=(2,一2，一)垂直， 【解析】 (2)因为@=V5,且aLc, 所以 (+1)2+12+(2)2=5, 2(+1)-21×1-2×22=0, 52十21=3， 化得 2-22=0, 解得1=-1.因此u=(0 求. 1,-2) 第20 页 探究 利用坐标关系求解平行与垂直问题的方法 (1)研究平行问题时可以适当引入参数（比如向量，b平行，可设 M=b(b≠0)，2∈R),建立关于参数的方程. (2)涉及垂直时可以转化为数量积为0. 第21 而 思考题2已知空间三点A(一2,0,2) 4), 设B=a,AC=b. 0设创量--1.小 试判断2u 【解析】 (1)因为M=AB=(1,1,0), 2a-6=0,2-2》.又c=-2-1.小 -b)∥c. B(-1,1,2),C(-3,0, b与C是否平行？ b=AC=(-1,0,2),f 所以 所以2a一b=-2c,所以(2u 第22 而 (2)若ka+b与ka-2b互相垂直， 【解析】 (2)因为u=AB=(1,1, ku+b=(k-1,k,2),ku-2b=(k+2,k, 所以(k+b)(k-2b)=0,即(k-1,k,2) 朝得{=2或=一 求k 0),b=AC=(-1,0,2),所以 -4).又因为(ka+b)⊥(kM-2b), k+2,k,-4)=22+k一10=0， 第23 而 角度2 向量的平行、垂直关条在立 例3 在正方体ABCD-ABCD1中， 别是CC,,BC, CD和AC,的中点.求证： (1)AB,∥GE,AB,⊥EH; 体几何证明中的应用 己知E,F,G, H分 第24 页 【证明】 如，以A为坐标原点，AB,AD,AA1 A 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设B 正方体的棱长为1，则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1, 0),D(0,1,0),A(0,0,1),B1(1,0,1),C(1,1,1).由 中点坐公式.得1..》L20c610的 (=(1,0,0.=20,2=2因为= 2张，=1×-+1×兮=0，所以.西1，又点A 不在GE上，故AB‖GE,AB1⊥EH. 第25 万 (2)A,G⊥平面EFD. 【证明】2TG=及1--1 A D =1.0.2因为c脉=23+0=0ik=+ 0-}0.所以1L,所以ALD,A ⊥DE,因为DF∩DE=D,所以A1GL平面EFD 第26 五 探究 利用向量的坐标运算证明平行或垂直 系，求出相关向量的坐标，利用向量平行、 要建立恰当的空间直角坐标 垂直的充要条件证明. 第27 页 思考题3 已知空间四点A(一2,3,1)，B(2,一5,3)， C(10,0,10)和D(8,4,9),求证：四边形ABCD是梯形. 【证明】依意可得，AB=(4,一8,2)，DC=(2,一4,1)，AD= (10,1,8),B=(8,5,7). 由B=2dC,可知AB‖C 于与成与心由于8分品 2一4 故不存在实数t,m, 使得AD=C,D=dC,即D与C和C不共线，所以AB∥DC,AD 不平行于BC,所以四边形ABCD是梯形， 第28 五 题型三 央角和距离的计算 直F棱柱ABC-A1BC1中，AC=BC=1,∠BCA=90°，AA1 =2,Q为AA的中点， (1)求BO的长； 【解析】 建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.由已知， 得C(0,0,0),B(0,1,0),Q(1,0,1),B(0,1,2),A(1,A 0,2)..B0=(1,-1,1),CB1=(0,1,2),BA1=(1,-1,2 2). y B (1)0=V12+（-1)2+12=3. 第29 页 (2)求cos〈B0,C乃1〉，cos〈BA1,CB1〉，并比较〈B0,C1〉，〈BA1 C序〉的大小 【解析】 (2):B0CB1=0-1+2=1,B0=V3, 71 成=0+1P+2=5,cs〈0.@)=55=5 V15 B :BA1·C2=0-1十4=3， B BA=V1+1+4=6,1C71=V5, 风》=6 _130 5=10 :0-酒01，&应》，.（脑》e0.引又= 在0，内减 〈B⊙，C序1〉>〈BA,CB〉. 第30 而 探究 利用空间向量的坐标运算求夹角与距离的一般步聚 (1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系. (2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标 (3)论证、计算：结合公式进行论证、计算. (4)转化：转化为夹角与距离问题 第31 而 思考题4如图，在棱长为1的正方体ABCD 中，E,F分别为DD,BD的中点，G在棱CD =D,H为CG的中点. (1)求FH的长； A BCD D C B A 上，且CG E D A B 第32 而 【解析】 (1)如图，以 坐标系Dxyz, 则0,0，号 1), 由C心可知co, 因为H为CG的中点， =2含》 FH的长为4 D为坐标原点，建立空间直角 D B A E 200,1,0.C0,1 D i以H0.引 M=-2+82+开= 第33 而 (2)求异面直线EF与C,G所成角的余弦值. D B 【解析】 2)由（可知=0.- E 成-分》：=平永= 又=0+2-+-(-1)= os成》== E中·C 17 故异面直线EF字C1G所成角的余弦值为 第34 5 日积月累 1·运用空间向量的坐标运算证明平行、垂直问题时，首先要恰当 地建立空间直角坐标系，计算出相关点的坐标，进而写出向量的坐标， 再结合向量平行、垂直的条件进行论证，最后转化为几何结论. 2.运用空间向量的坐标运算解决立体几何中的平行与垂直问题， 避开了抽象的逻辑推理和复杂的空间想象，为研究问题带来了很大方 便.遇到立体几何问题，我们应当有利用空间向量的坐标运算解决问题 的意识和想法. 返回 课后巩固 1.已知M(5,-1,2),A(4,2,一1)，O为坐标原点，若OM=AB 则点B的坐标应为( A.(-1,3,-3) /(9,1,1) C.(1,-3,3) D.(-9,-1,-1 解析连接OB,OA,:O元M=AB=O方-OA, ·OB=O元M+OA=(9,1,1) 第37 五 2.已知a=(1,0,1) 2c等于( ) 3i0 C.V10 解析"a一b+2c=(9, b=(-2,一1,1)c=(3,1,0),则a-b+ B.2V10 D.5 3,0),·14-b+2c=V92+32+02=310. 第38 而 3.已知向量=(1,2， 数k的值为( 25 A. 12 M 解析「 向量4=(1,2,1 十2)，M-2b=(-5,-2, k十2 -3’ 解得=一2 故选C 1),b=(3,2,2) B 25 12 D时 ),b=(3,2,2), 3),因为(k+b) 且(k+b)(a一2b),则实 则ka+b=(k+3,2k+2,k k+3 2k+2 (u-2h),则-5=-2 第39 页 4.若向量4=(1,1，x),b=(1 满足条件(c-)2h=2-2,则x= 解析 c-a=(0,0,1-x), )2b=-2得2(1-x)=-2,解得x= ,2, 1),c=(1,1,1) 2b =(2,4,2),由(c- 2. 第40 而 5.已知△ABC三个顶点的坐标分别为A( 1V238 1,5), 34 C(3解析，由⊙知通书℃的余弦值=(2,0， =14,4C=V4+0+64=2V17, 43:AC=1×2+(-3)×0+2×(-8)=-14, :cos〈4B,A) A心 -14 4-4记V14×2V17 1,2,3),B(2,- -8),÷A=V1+9+4 1V238 34 返回 请做： 课时作业（六）