1.4.1.3空间中直线、平面的垂直课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.4.1-3 空间中直线、平面的垂直 1 导 2.类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 1.空间中的垂直关系有哪些？ 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直 学习目标 1．能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 2．能用向量方法证明直线与平面垂直，平面与平面垂直 3．能用向量方法证明直线与平面垂直，平面与平面垂直的判定定理重点：空间中点、直线、平面的向量表示. 重点：空间中直线、平面垂直关系的向量表示 难点：建立空间图形基本要素与向量之间的联系，把立体几何问题转化为向量问题。 思 阅读课本31--32页，完成以下问题： 1.根据31页思考，探究在空间中的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系，并完成学案表格； 2.理解“向量是躯体，运算是灵魂，没有运算的向量只能起路标的作用“，体会向量运算的意义； 3.完成典型例题例1及例2，并思考总结证明垂直关系的一般方法. 议 1.由直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系，可以得到直线的方向向量、平面的法向量间的什么关系？ 2.通过例1的练习，共同体会基底法的一般作用，探究用基底法证明垂直问题的一般方法； 3.通过例2的练习，共同探讨体会利用法向量证明平面与平面垂直的一般思路. 展 例1、例2 评 1：类似空间中直线、平面平行的向量表示，在直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系中，直线的方向向量、平面的法向量之间有什么关系？ 一般地，直线与直线垂直，就是两直线的方向向量垂直； 直线与平面垂直，就是直线的方向向量与平面的法向量平行； 平面与平面垂直，就是两平面的法向量垂直． 即：设𝐴(𝑎_1,𝑎_2,𝑎_3),𝐵(𝑏_1,𝑏_2,𝑏_3),则向量 (𝐴𝐵) ⃗=(𝑏_1−𝑎_1,𝑏_2−𝑎_2,𝑏_3−𝑎_3 ). 7 l2 2.如何用直线的方向向量表示两条直线的垂直？ u1 u2 l1 评 l u n 3.如何由直线的方向向量与平面的法向量表示直线与平面垂直关系？ 评 n1 4.由平面与平面的垂直的关系，可以得到平面的法向量有什么关系？ n2 评 分析： 评 解： 【基底法】比【坐标法】更具有一般性 评 评 利用空间向量证明线面垂直的方法 (1)基向量法:选取基向量,用基向量表示直线所在的向量,在平面内找出两个不共线的向量,也用基向量表示,然后根据数量积运算律分别证明直线所在向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (2)坐标法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面内两个不共线向量的坐标,然后根据数量积的坐标运算法则证明直线的方向向量与两个不共线向量的数量积均为零,从而证得结论. (3)法向量法:建立空间直角坐标系,求出直线方向向量的坐标以及平面法向量的坐标,然后说明直线方向向量与平面法向量共线,从而证得结论. 归纳总结 评 证明“平面与平面垂直的判断定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. u n 评 1.利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直. 2.向量法证明面面垂直的优越性主要体现在不必考虑图形的位置关系,恰当建系或用基向量表示后,只需经过向量运算就可得到要证明的结果,思路方法“公式化”,降低了思维难度. 利用空间向量证明面面垂直的方法 归纳总结 评 x y z A1 D1 C1 B1 A C B O E F 检 x y z A1 D1 C1 B1 A C B O E F 检 线线平行 线面平行 面面平行 线线垂直 线面垂直 面面垂直 $$