1.2 空间向量基本定理 课时作业word版-2026-2027学年高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习通过“基础巩固”“更上层楼”“探究发现”三层设计，实现从空间向量概念到综合应用的进阶，培养抽象能力、推理能力与创新意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量基底概念、线性运算、距离计算|选择/填空/解答结合，夯实基础概念与基本运算| |更上层楼|基底判定、共面条件、不同基底转换|综合题型提升逻辑推理，衔接知识内在联系| |探究发现|三棱锥重心、共面探究|开放探究发展创新意识，深化空间观念|

课时作业(四) 1．下列说法中，正确的是(　　) A．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且只有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．{3a，a－b，a＋2b}　　　 B．{2b，b－2a，b＋2a} C．{a，2b，b－c} D．{c，a＋c，a－c} 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．1 D. 5.【多选题】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是(　　) A.＝b－a B.＝a－b＋c C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 6．【多选题】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 8．已知{a，b，c}是空间的一个基底，其中＝2a＋3b，＝a－c，＝2b＋λc.若A，B，C，D四点共面，则λ＝________． 9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点． (1)用基底{a，b，c}表示向量，，； (2)化简＋＋，并在图中标出化简结果． 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； (2)求AP的长． 11．若向量，，的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O是空间任意一点)中，能使向量，，构成空间的一个基底的是(　　) A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 12．在四面体ABCD中，点E满足＝λ，F为BE的中点，且＝＋＋，则实数λ＝________． 13．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为________． 14.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，AB＝2，AA1＝1，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝90°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量； (2)设点E满足＝λ，是否存在λ使得E，M，N三点共线？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由． 15．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，若＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________． 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，则＋＋的值为________． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 课时作业(四) 1．下列说法中，正确的是(　　) A．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一个基底 B．空间的基底有且只有一个 C．两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底 D．基底{a，b，c}中的基向量与基底{e，f，g}的基向量对应相等 答案　C 解析　只有不共面的三个非零向量才能构成空间向量的基底，基底不唯一，因此A、B、D均不正确，C正确．故选C. 2．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成空间的一个基底的一组向量是(　　) A．{3a，a－b，a＋2b}　　　 B．{2b，b－2a，b＋2a} C．{a，2b，b－c} D．{c，a＋c，a－c} 答案　C 解析　向量a，b，c是不共面的三个向量，由3a＝2(a－b)＋(a＋2b)，则向量3a，a－b，a＋2b共面，A不能构成空间基底；由2b＝(b－2a)＋(b＋2a)，则向量2b，b－2a，b＋2a共面，B不能构成空间基底；由2c＝(a＋c)－(a－c)，则向量c，a＋c，a－c共面，D不能构成空间基底；选项C中假定向量a，2b，b－c共面，则存在不全为0的实数λ1，λ2，使得a＝2λ1b＋λ2(b－c)，整理得a－(2λ1＋λ2)b＋λ2c＝0，而向量a，b，c不共面，则有显然不成立，所以向量a，2b，b－c不共面，C能构成空间基底． 3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，E是PD的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(　　) A.a－b＋c B.a－b－c C.a－b＋c D.a－b＋c 答案　C 解析　连接BD，＝－＝－＝(＋)－＝(－)＝(＋－)＝(－＋－－)＝－＋＝a－b＋c. 4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C．1 D. 答案　D 解析　{，，}构成空间的一个基底，因为＝＋＋，所以||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝. 5.【多选题】如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AC和BD的交点为O，设＝a，＝b，＝c，则下列结论正确的是(　　) A.＝b－a B.＝a－b＋c C.＝a＋b＋c D.＝a＋b＋c 答案　AC 解析　＝－＝b－a，故A正确；＝＋－＝b＋c－a，故B错误；＝＋＋＝a＋b＋c，故C正确；＝－＝(＋)－＝a＋b－c，故D错误． 6．【多选题】如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出以下结论正确的是(　　) A．A1M∥D1P B．A1M∥B1Q C．A1M∥平面DCC1D1 D．A1M∥平面D1PQB1 答案　ACD 解析　因为在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，所以＝＋＝－，＝＋＝－，所以∥，又A1∉D1P，所以A1M∥D1P，所以A正确．因为＝＋＋＝－－＝－，所以与不平行，即A1M与B1Q不平行，所以B错误．因为A1M∥D1P，A1M⊄平面DCC1D1，D1P⊂平面DCC1D1，所以A1M∥平面DCC1D1，所以C正确．因为A1M∥D1P，A1M⊄平面D1PQB1，D1P⊂平面D1PQB1，所以A1M∥平面D1PQB1，所以D正确． 7．正方体ABCD－A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________． 答案　2 解析　如图，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋. 由条件知x＝1，y＝，z＝. ∴x＋y＋z＝1＋＋＝2. 8．已知{a，b，c}是空间的一个基底，其中＝2a＋3b，＝a－c，＝2b＋λc.若A，B，C，D四点共面，则λ＝________． 答案　 解析　由题意，设存在唯一的实数对(x，y)，使得＝x＋y，即2a＋3b＝x(a－c)＋y(2b＋λc)＝xa＋2yb＋(λy－x)c，则x＝2，y＝，λy－x＝0，解得λ＝. 9.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点． (1)用基底{a，b，c}表示向量，，； (2)化简＋＋，并在图中标出化简结果． 解析　(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c. ＝＋＋＝－a＋b＋c. ＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋b＋c. (2)连接DA1，＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋＝，如图中向量. 10.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为3的菱形，PC＝4，∠ABC＝∠BCP＝∠DCP＝120°. (1)利用空间向量证明PA⊥BD； (2)求AP的长． 解析　(1)证明：设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底， ＝－＝b－a， ＝＋＋＝a＋b＋c， 所以·＝(b－a)·(a＋b＋c)＝b2－a2＋b·c－a·c＝32－32＋3×4cos 60°－3×4cos 60°＝0， 所以PA⊥BD. (2)由(1)知＝a＋b＋c， 所以2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝32＋32＋42＋2×3×3cos 60°＋2×3×4cos 60°＋2×3×4cos 60°＝9＋9＋16＋9＋12＋12＝67. 所以AP＝||＝. 11．若向量，，的起点与终点互不重合且无三点共线，则下列关系(O是空间任意一点)中，能使向量，，构成空间的一个基底的是(　　) A.＝＋＋ B.≠＋ C.＝＋＋ D.＝2－ 答案　C 解析　A中M，A，B，C四点共面；B中，，可能共面；D中，，共面．故选C. 12．在四面体ABCD中，点E满足＝λ，F为BE的中点，且＝＋＋，则实数λ＝________． 答案　 解析　连接AE，由F为BE的中点，得＝＋，又＝＋＋，所以＝＋.由＝λ，得－＝λ(－)，即＝λ＋(1－λ)，所以λ＝. 13．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，3c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为________． 答案　m＝4(a＋b)－(a－b)＋3×3c 解析　由题意知，m＝3a＋5b＋9c，设m＝x(a＋b)＋y(a－b)＋z×3c，则有解得则m在基底{a＋b，a－b，3c}下可表示为m＝4(a＋b)－(a－b)＋3×3c. 14.如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1的底面是正方形，AB＝2，AA1＝1，∠BAA1＝60°，∠DAA1＝90°，＝3，＝2，设＝a，＝b，＝c. (1)用向量a，b，c表示向量； (2)设点E满足＝λ，是否存在λ使得E，M，N三点共线？若存在，求出λ；若不存在，请说明理由． 解析　(1)连接AM，AN，NM，因为＝＋＝＋＝＋(＋＋)＝a＋b＋c，＝＋＝＋＝＋(＋)＝a＋b＋c， 所以＝－＝－＝－a－b－c. (2)连接AC，ME，假设存在λ满足条件，所以＝－＝λ－＝λ(a＋b)－＝a＋b－c， 因为E，M，N三点共线，所以设＝k， 所以－a－b－c＝k， 所以解得 故λ＝满足条件． 15．已知V为矩形ABCD所在平面外一点，且VA＝VB＝VC＝VD，若＝，＝，＝，则VA与平面PMN的位置关系是________． 答案　平行 解析　设＝a，＝b，＝c，则{a，b，c}为空间的一个基底，＝a＋c－b.由题意知＝－＝b－c，＝－＝a－b＋c.易知＝＋，所以，，共面．又VA⊄平面PMN，PM∩PN＝P，所以VA∥平面PMN. 16.如图，在三棱锥P－ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM＝3MG，过点M任意作一个平面分别交线段PA，PB，PC于点D，E，F，若＝m，＝n，＝t，则＋＋的值为________． 答案　4 解析　连接AG并延长交BC于点H，连接DM(图略)．由题意，取{，，}为空间的一个基底，则＝＝(＋)＝＋×＝＋×＝＋(－)＋(－)＝＋＋.∵D，E，F，M四点共面，∴存在实数λ，μ使得＝λ＋μ，即－＝λ(－)＋μ(－)，∴＝(1－λ－μ)＋λ＋μ＝(1－λ－μ)m＋λn＋μt，由空间向量基本定理，知＝(1－λ－μ)m，＝λn，＝μt，∴＋＋＝4(1－λ－μ)＋4λ＋4μ＝4. 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $