专题二 几何计算（一）2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦三角形性质与特殊线的几何计算，按图形类型分层设题，覆盖角度、长度、面积等核心考法，强化几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形的性质与判定|10题|角度计算（如第1、5题）、等积法求高（第3题）|从边等导角到面积转化，构建等腰三角形性质应用链| |等边三角形与直角三角形|3题|特殊角（30°/60°）计算（第11、13题）|结合等边三角形特殊性与直角三角形边角关系| |角平分线与线段垂直平分线的性质|10题|距离相等（第14题）、周长计算（第18题）|从性质定理到判定应用，强化图形对称与等量转化| |三角形的中位线|7题|中点性质应用（第24题）、动态问题（第26题）|通过中位线实现线段倍分关系，解决实际测量与面积问题|

专题二 几何计算（一） 类型一．等腰三角形的性质与判定 1．（2026春•宝安期中）如图，在△ABC中，点D在BC上，AB＝AC＝CD，BD＝AD，则∠C的大小为（　　） A．30° B．32° C．36° D．45° 2．（2025春•宝安期末）如图是一个非机动车的交通指示牌，自行车车架的支撑部分可以看成两个共边的三角形，若AD∥BC，DB＝DC，∠A＝∠BDC＝40°，则∠ABD＝ 　 　 °． 第1题 第2题 3．（2026春•徐汇期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，该三角形的面积为20，O是边BC上任意一点，OE⊥AB于点E，OF⊥AC于点F，则OE+OF等于　 　 ． 第3题 第4题 第5题 第7题 第8题 第9题 4．（2026春•宝安区校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝∠ACB，AD⊥BC点D，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE＝5cm，则BF＝　 　 ． 5．（2025秋•长春期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，若AD＝BD＝BC，则∠A的度数是　 　 ． 6．（2019春•南山区期末）等腰三角形的一个内角为100°，则它的一个底角的度数为　 　 ． 7．（2024春•盐田区期末）如图，△ABC中，∠B＝90°，以AC为边向右下方作△ACD，满足CA＝AD，点M为BC上一点，连接AM，DM，若，，，则DM＝　 　 ． 8．（2024春•罗湖区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．以点C为圆心，以CB长为半径作圆弧，交AC的延长线于点D，连结BD．若AB＝DB，则∠A＝　 　 °． 9．（2023春•深圳校级期末）如图，△ABC中，点D是AB的垂直平分线与AC的交点，AK⊥BD交BD延长于点K，若AB＝AC，AK＝3，BC，则△ABC的面积为 　 　 ． 10．（2026•南山区三模）如图，已知△ABC（AC＞AB），用尺规作图的方法在BC边上确定一点P，连接AP，能判断△ABP一定是等腰三角形的图形有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 类型二：等边三角形与直角三角形 11．（2024春•福田区校级期末）如图，△ABC是等边三角形．D，E分别是AC，BC上的点，若AE＝AD，∠CED＝20°．则∠BAE＝　 　 °． 第11题 第12题 第13题 第14题 第15题 第16题 12．（2024春•福田区校级期末）如图，在等边△ABC中，AB＝6，BE＝2，∠DFC＝60°，DF，则CF的长为 　 　 ． 13．（2025春•坪山区期末）如图所示，△ABC是直角三角形，其中∠B＝30°，∠C＝90°，，D为线段AC上一点，作DE垂直AB于点E，当AD＝2CD时，AE的值是　 　 ． 类型三：角平分线与线段垂直平分线的性质 14．（2026春•龙岗区期中）如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F．若S△ABC＝16.8，DE＝2.8，AC＝5，则AB的长是（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 15．（2025春•福田区校级期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，BD＝AD＝5，DF⊥AC，垂足为F，DF＝4，则AB的长为 　 　 ． 16．（2025春•深圳期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点D在AB的垂直平分线上，若AD＝6，则CD＝　 　 ． 17．（2025春•深圳校级期末）如图，△ABC的边AB，AC的垂直平分线相交于点P，连接PB，PC．若∠A＝75°，则∠BPC的度数是 　 　 ． 第17题 第18题 第19题 第21题 18．（2024春•南山区期末）如图，△ABC的周长为26，AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，若AE＝5，则△ADB的周长是 　 　 ． 19．（2023春•深圳校级期末）如图，在△ABC中，BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．若△ABD的周长为13，BE＝5，则△ABC的周长为 　 　 ． 20．（2026春•宝安区校级期中）下列说法中，正确的结论有（　　）个． ①到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上；②三角形三条边的垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等；③“对顶角相等”的逆命题是真命题；④反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”“应先假设这个三角形中最小角大于60°”． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 21．（2025春•南山区校级期末）△ABC中，O是两内角平分线的交点，AC＝6，BC＝8，BA＝10，O到AB的距离是　 　 ． 22．（2026春•龙岗区校级期中）如图，点A，B分别在射线OP，OQ上，点C在∠POQ的内部，CA＝CB，CD⊥OP，CE⊥OQ，垂足分别为D，E，AD＝BE． （1）求证：OC平分∠POQ； （2）如果OD＝6，OB＝4，求OA的长． 23．（2025春•期中）如图①，在△ABC中，BD平分∠ABC，且与△ABC的外角∠ACE的平分线交于点D． 【问题解决】 （1）若∠ABC＝75°，∠ACB＝45°，则∠D=_______； （2）若∠ABC＝80°，∠A＝60°，则∠D＝ 　 ． 【猜想证明】 （3） 当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含有∠A的式子表示∠D） 【拓展提高】 （4）若把∠A截去，得到四边形MNCB，如图②，猜想∠D、∠M、∠N的数量关系，并说明理由． 类型四：三角形的中位线 24．（2025春•深圳期末）为双减赋能，某校开展劳动实践课程，协助工人测量公园假山两点A、B之间的距离．如图所示，在地面上取一点C，使C到A、B两点均可直接到达，找到AC和BC的中点D、E，测得DE的长为28m，则假山两点A、B之间的距离为（　　） A．14m B．28m C．46m D．56m 第24题 第25题 第26题 第27题 第28题 25．（2022春•期末）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若EF＝6，BC＝13，CD＝5，则△BCD的面积为（　　） A．60 B．48 C．30 D．15 26．（2024秋•龙华区期中）如图，在△ABC中，BA＝BC＝5，AC＝6，点D，点E分别是BC，AB边上的动点，连结DE，点F，点M分别是CD，DE的中点，则FM的最小值为（　　） A． B． C．3 D． 27．（2024春•福田区期末）如图，在△ABC中，AD是中线，AE平分∠BAC，过点B作BF⊥AE，交AE延长线于点F，垂足为点F，连接FD，若AB＝6，AC＝3，则DF长为（　　） A．2.5 B．2 C．1.5 D．1 28．（2025秋•福田区校级期中）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，点F是线段DE上的一点．连接AF，BF，∠AFB＝90°，且AB＝8，BC＝14，则EF的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 29．（2024春•南山区校级期末）如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠EPF＝140°，则∠EFP的度数是 　 　 ． 第29题 第30题 30．（2025春•深圳期末）如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，E、F分别是AB、CD的中点．若AC＝4cm，BD＝6cm，则EF＝　 　 cm． com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题二 几何计算（一） 参考答案与试题解析 类型一．等腰三角形的性质与判定 1．【分析】设∠C＝α，根据AB＝AC得∠B＝∠C＝α，根据BD＝AD得∠DAB＝∠B＝α，根据三角形外角性质得∠CDA＝2α，再根据AC＝CD得∠CAD＝∠CDA＝2α，然后在△CAD中，根据三角形内角和定理得2α+2α+α＝180°，由此解得α即可得出∠C的度数． 【解答】解：∠C＝α， ∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C＝α， 又∵BD＝AD， ∴∠DAB＝∠B＝α， ∵∠CDA是△DAB的外角， ∴∠CDA＝∠DAB+∠B＝2α， ∵AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝2α， 在△CAD中，∠CAD+∠CDA+∠C＝180°， ∴2α+2α+α＝180°， 解得：α＝ 36°， ∴∠C＝α＝ 36°． 故选：C． 2．【分析】利用平行线的性质以及等腰三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：∵AD∥BC，∴∠A+∠ABC＝180°． 又∵∠A＝40°， ∴∠ABC＝140°． ∵DB＝DC，∠BDC＝40°， ∴∠DBC＝∠C70°， ∴∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC＝70°． 故答案为：70． 3．【分析】根据△ABC的面积＝△ABO的面积+△AOC的面积，利用面积公式和已知条件，求出答案即可． 【解答】解：如图所示：连接AO， ∵S△AOBAB•OE，S△AOCAC•OF，AB＝AC＝8，S△ABC＝20＝S△AOB+S△AOC， ∴AB•OEAC•OF＝20， 8OE8OF＝20， 4OE+4OF＝20， 4（OE+OF）＝20， OE+OF＝5， 故答案为：5． 4．【分析】先利用等角对等边可得AB＝AC，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得BD＝CD，从而可得△ABC的面积＝2△ABD的面积，最后利用面积法进行计算即可解答． 【解答】解：∵∠ABC＝∠ACB， ∴AB＝AC， ∵AD⊥BC， ∴BD＝CD， ∴△ABC的面积＝2△ABD的面积， ∵DE⊥AB，BF⊥AC， ∴AC•BF＝2AB•DE， ∴BF＝2DE＝10（cm）， 故答案为：10cm． 5．【分析】利用等边对等角得到三对角相等，设∠A＝∠ABD＝x，表示出∠BDC与∠C，列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出∠A的度数． 【解答】解：∵AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C， ∵BD＝BC＝AD， ∴∠A＝∠ABD，∠C＝∠BDC， 设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝2x，∠C， 可得2x， 解得：x＝36°， 则∠A＝36°， 故答案为：36°． 6．【分析】由于等腰三角形的一个内角为100°，这个角是顶角或底角不能确定，故应分两种情况进行讨论． 【解答】解：①当这个角是顶角时，底角＝（180°﹣100°）÷2＝40°； ②当这个角是底角时，另一个底角为100°，因为100°+100°＝200°，不符合三角形内角和定理，所以舍去． 故答案为：40°． 7．【分析】延长CB至G，使BE＝BG．证△ABM≌△ABN得AN＝AM，∠BAM＝∠BAN，再证△NAC≌△MAD即可求解． 【解答】解：延长CB至N，使BN＝BM， ∵∠ABM＝∠ABN＝90°，BM＝BN，AB＝AB， ∴△ABM≌△ABN（SAS）， ∴AN＝AM，∠BAM＝∠BAN， ∴∠BAM∠MAN． 又∵， ∴∠MAN＝∠CAD， ∴∠MAN+∠MAC＝∠CAD+∠MAC，即∠NAC＝∠MAD． 在△NAC和△MAD中， ， ∴△NAC≌△MAD（SAS）， ∴CN＝DM． ∵CN＝CM+MN＝CM+2BM， ∴DM＝CM+2BM． 又∵，， ∴DM25． 故答案为：5． 8．【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角的性质在△BCD中可求得∠CDB＝∠CBD＝∠A．设∠A＝x，根据三角形内角和180°可列出x+2x+2x＝180°解出x值即可得到∠A的度数． 【解答】解：设∠A＝x， ∵AB＝DB， ∴∠D＝∠A＝x， 由作图可知，CD＝CB， ∴∠D＝∠CBD＝x， 由三角形外角性质可得：∠ACB＝∠D+∠CBD＝2x， ∵AC＝AB， ∴∠ACB＝∠ABC＝2x 由三角形内角和可得：x+2x+2x＝180°， 解得x＝36°． ∴∠A＝36°． 故答案为：36． 9．【分析】如图，过点B作BE⊥AC于E，证明△ADK≌△BDE（AAS），得BE＝AK＝3，由勾股定理得CE＝1，根据已知角的关系和三角形的内角和定理得：∠C＝∠ABC，所以AB＝AC，设AC＝x，由勾股定理列方程可得x的值，从而解决问题． 【解答】解：如图，过点B作BE⊥AC于E， ∵点D是AB的垂直平分线与AC的交点， ∴AD＝BD， 在△ADK和△BDE中， ， ∴△ADK≌△BDE（AAS）， ∴BE＝AK＝3， 在Rt△BEC中，∵BC， ∴CE1， ∵∠BCD＝90°∠BAC， ∴2∠BCD+∠BAC＝180°， ∵∠BCD+∠ABC+∠BAC＝180°， ∴∠C＝∠ABC， ∴AB＝AC， 设AC＝x，则AB＝x，AE＝x﹣1， 由勾股定理得：AB2＝AE2+BE2， ∴x2＝32+（x﹣1）2， ∴x＝5， ∴AC＝5， ∴△ABC的面积•AC•BE5×3． 故答案为：． 10．【分析】根据尺规作图和等腰三角形的判定方法逐一判断即可． 【解答】解：图1为过点A作BC的垂线，垂足为P，无法保证△ABP中有两边相等，∴△ABP不一定是等腰三角形； 图2为以点B为圆心，AB为半径画狐，交BC于点P，此时AB＝BP，∴△ABP一定是等腰三角形； 图3的作图痕迹错误，不能判断是边AB的垂直平分线，∴△ABP不一定是等腰三角形； 图4是∠BAC的角平分线交BC于点P和过点P作AC边的垂线，此时△ABP不一定是等腰三角形． 综上，能判断△ABP一定是等腰三角形的有1个． 故选：A． 类型二：等边三角形与解直角三角形 11．【分析】利用等边三角形的性质可得∠C＝∠BAC＝60°，从而利用三角形的外角性质可得∠ADE＝80°，然后利用等腰三角形的性质可得∠AED＝∠ADE＝80°，从而利用三角形的内角和定理可得∠DAE＝20°，最后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠C＝∠BAC＝60°， ∵∠CED＝20°， ∴∠ADE＝∠CED+∠C＝80°， ∵AE＝AD， ∴∠AED＝∠ADE＝80°， ∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝20°， ∴∠BAE＝∠BAC﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°， 故答案为：40． 12．【分析】过点D作DH⊥CE于点H，根据等边三角形性质及∠DFC＝60°得∠ECB＝∠DBA，进而可依据“ASA”判定△ECB和△DBA全等，则BE＝AD＝2，进而得CD＝AC﹣AD＝4，然后在Rt△DHF中求出∠FDH＝30°，则FHDF，DH，在Rt△CDH中再由勾股定理求出CH，继而可得CF的长． 【解答】解：过点D作DH⊥CE于点H，如图所示： ∵△ABC为等边三角形，AB＝6， ∴∠A＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC＝CA＝6， ∵∠DFC＝∠ECB+∠DBC＝60°，∠ABC＝∠DBA+∠DBC＝60°， ∴∠ECB＝∠DBA， 在△ECB和△DBA中， ， ∴△ECB≌△DBA（ASA）， ∴BE＝AD＝2， ∴CD＝AC﹣AD＝6﹣2＝4， ∵DH⊥CE于点H， ∴△DHF和△DHC均为直角三角形， 在Rt△DHF中，∠DFC＝60°，DF， ∴∠FDH＝30°， ∴FHDF， 由勾股定理得：DH， 在Rt△CDH中，由勾股定理得：CH， ∴CF＝CH+FH． 故答案为：． 13．【分析】先利用直角三角形的两个锐角互余可得∠BAC＝60°，∠EDA＝30°，从而可得BCAC，进而可得AC＝6，AD＝4，然后在Rt△ADE中，利用含30度角的直角三角形的性质可得AD＝2AE，从而可得AE＝2，即可解答． 【解答】解：∵∠C＝90°，∠B＝30°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝60°，BCAC＝6， ∴AC＝6， ∵AD＝2CD， ∴AD＝4， ∵DE⊥AB， ∴∠EDA＝90°﹣∠BAC＝30°， ∴AD＝2AE＝4， ∴AE＝2， 故答案为：2． 类型三：角平分线与线段垂直平分线的性质 14．【分析】由角平分线的性质推出DF＝DE＝2.8，由三角形的面积公式得到（AB+AC）•DE＝16.8，即可求出AB的长． 【解答】解：∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F， ∴DF＝DE＝2.8， ∵△ABD的面积+△ACD的面积＝△ABC的面积， ∴AB•DEAC•DF（AB+AC）•DE＝16.8， ∵DE＝2.8，AC＝5， ∴AB＝7． 故选：B． 15．【分析】过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝DF＝4，由勾股定理求出BH＝3，由等腰三角形的性质得到AB＝2BH＝6． 【解答】解：过D作DH⊥AB于H， ∵AD平分∠BAC，DF⊥AC， ∴DH＝DF＝4， ∵BD＝5， ∴BH3， ∵BD＝AD，DH⊥AB， ∴AB＝2BH＝6． 故答案为：6． 16．【分析】由角平分线的定义可得∠ABD＝∠CBD，由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD＝6，从而可得∠A＝∠ABD，再结合三角形内角和定理求出∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°，最后由直角三角形的性质即可得解． 【解答】解：∵△ABC中，∠C＝90°，BD是∠ABC的角平分线，点D在AB的垂直平分线上，AD＝6， ∴∠ABD＝∠CBD，AD＝BD＝6， ∴∠A＝∠ABD， 在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠ABD+∠CBD＝90°， ∴∠A＝∠ABD＝∠CBD＝30°， ∴， 故答案为：3． 17．【分析】连接AP，根据三角形内角和定理得到∠ABC+∠ACB＝105°，根据线段垂直平分线的性质得到PA＝PB，PA＝PC，根据三角形内角和定理计算，得到答案． 【解答】解：连接AP， ∵∠A＝75°， ∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝105°， ∵AB，AC的垂直平分线相交于点P， ∴PA＝PB，PA＝PC， ∴∠PAB＝∠PBA，∠PAC＝∠PCA， ∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠BAC＝75°， ∴∠PBC+∠PCB＝105°﹣75°＝30°， ∴∠BPC＝180°﹣30°＝150°， 故答案为：150°． 18．【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AD＝CD，AC＝2AE＝10，根据△ABC的周长求出AB+BC＝16，再求出△ABD的周长＝AB+BC，最后代入答案即可． 【解答】解：∵AC的垂直平分线交BC于点D，垂足为E，AE＝5， ∴AD＝CD，AC＝2AE＝10， ∵△ABC的周长为26， ∴AB+AC+BC＝26， ∴AB+BC＝26﹣10＝16， ∴△ADB的周长＝AB+AD+BD ＝AB+CD+BD ＝AB+BC ＝16， 故答案为：16． 19．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得到BD＝CD，BC＝2BE＝10，再根据△ABD的周长为13得到AB+AC＝13，据此求解即可． 【解答】解：∵BC的垂直平分线分别交AC，BC于点D，E．BE＝5， ∴BD＝CD，BC＝2BE＝10， ∵△ABD的周长为13， ∴AB+BD+AD＝13， ∴AB+AD+CD＝13， ∴AB+AC＝13， ∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝23， 故答案为：23． 20．【分析】先根据角平分线性质定义解答①，再根据三角形三条边的线段垂直平分线的性质定理解答②；然后说明逆定理，并判断③；最后根据反证法解答④． 【解答】解：因为“在一个角的内部，到一个角两边距离相等的点在这个角的平分线上”，所以①不正确； 因为“三角形三条边垂直平分线的交点到这个三角形三个顶点的距离相等”所以②正确； 因为“对顶角相等”的逆命题是“相等的角就是对顶角”不是真命题，所以③不正确； 反证法证明“一个三角形中最小角不大于60°”应先假设“这个三角形中最小角大于60°”，所以④正确，则正确的有2个， 故选：B． 21．【分析】连接OC，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F，根据勾股定理的逆定理得到∠ACB＝90°，根据角平分线的性质得到OD＝OE＝OF，再根据三角形面积公式计算即可． 【解答】解：如图，连接OC，过点O作OD⊥AB于D，OE⊥BC于E，OF⊥AC于F， ∵AC＝6，BC＝8，BA＝10， ∴AC2+BC2＝AB2， ∴∠ACB＝90°， ∵O是两内角平分线的交点，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC， ∴OD＝OE＝OF， ∵S△ABC＝S△AOB+S△BOC+S△AOC， ∴AC•BCAB•ODBC•OEAC•OF， ∴6×810×OD8×OE6×OF， 解得：OD＝2， 则O到AB的距离是2， 故答案为：2． 22．【分析】（1）证明出Rt△CDA≌Rt△CEB（HL），得到CD＝CE，即可得到OC平分∠POQ； （2）证明出Rt△OCD≌△OCE（HL），得到OD＝OE＝6，然后利用线段的和差求解即可． 【解答】（1）证明：∵CD⊥OP，CE⊥OQ， ∴∠CDA＝90°，∠CEB＝90°（垂直的定义）， 在Rt△CDA和Rt△CEB中， ， ∴Rt△CDA≌Rt△CEB（HL）， ∴CD＝CE（全等三角形对应边相等）， ∴点C在∠POQ的平分线上， ∴OC平分∠POQ； （2）解：在Rt△OCD和Rt△OCE中， ， ∴Rt△OCD≌△OCE（HL）， ∴OD＝OE＝6（全等三角形对应边相等）， ∴AD＝BE＝OE﹣OB＝6﹣4＝2， ∴OA＝OD+AD＝6+2＝8． 23．【分析】（1）根据三角形内角和定理以及角平分线的定义进行计算即可； （2）由三角形内角和定理，角平分线的定义进行计算即可； （3）由三角形内角和定理，角平分线的定义得到∠D∠A； （4）延长BM、CN交于点A，将问题转化为（3）即可． 【解答】解：（1）∵∠ABC＝75°，BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC＝37.5°， 又∵∠ACB＝45°， ∴∠ACE＝180°﹣45°＝135°， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE＝67.5°， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝67.5°﹣37.5°＝30°， 答：∠D＝30°； （2）∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC） （∠A+∠ABC﹣∠ABC） ∠A ＝30°， 故答案为：30°； （3）不变化，理由如下： ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBE∠ABC， ∵CD平分∠ACE， ∴∠DCE∠ACE， ∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC ∠ACE∠ABC （∠ACE﹣∠ABC） （∠A+∠ABC﹣∠ABC） ∠A， 即∠D∠A； （4）（∠M+∠N﹣180°），理由如下： 如图，延长BM、CN交于点A， 则∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM） ＝180°﹣[360°﹣（∠BMN+∠CNM）] ＝∠BMN+∠CNM﹣180° ∴∠A＝∠BMN+∠CNM﹣180°， 由（3）可得∠D∠A， ∴∠D（∠M+∠N﹣180°）． 类型四：三角形中位线 24．【分析】根据三角形中位线定理解答即可． 【解答】解：∵点D、E分别为AC和BC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴AB＝2DE＝2×28＝56（m）， 故选：D． 25．【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出BD，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，然后求得面积即可． 【解答】解：连接BD， ∵E、F分别是AB、AD中点， ∴BD＝2EF＝12， ∵CD2+BD2＝25+144＝169，BC2＝169， ∴CD2+BD2＝BC2， ∴∠BDC＝90°， ∴S△DBCBD•CD12×5＝30， 故选：C． 26．【分析】连接CE，过点B作BH⊥AC于H，根据三角形中位线定理得到MFCE，根据等腰三角形的性质求出AH，根据勾股定理求出BH，再根据三角形面积公式、垂线段最短解答即可． 【解答】解：如图，连接CE，过点B作BH⊥AC于H， ∵点F，点M分别是CD，DE的中点， ∴MF是△DEC的中位线， ∴MFCE， ∵BA＝BC，BH⊥AC， ∴AH＝HCAC＝3， ∴BH4， 当CE⊥AB时，CE最小，此时AC•BHAB•CE， ∴6×45×CE， 解得：CE， ∴FM的最小值为， 故选：A． 27．【分析】分别延长AC、BF交于点G，证明△AFB≌△AFG，根据全等三角形的性质得到AG＝AB＝6，BF＝FG，再根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】解：如图，分别延长AC、BF交于点G， ∵AE平分∠BAC， ∴∠BAF＝∠GAF， ∵BF⊥AE， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， 在△AFB和△AFG中， ， ∴△AFB≌△AFG（ASA）， ∴AG＝AB＝6，BF＝FG， ∴CG＝AG﹣AC＝6﹣3＝3， ∵BF＝FG，AD＝DC， ∴DF是△BCG的中位线， ∴DFCG＝1.5， 故选：C． 28．【分析】根据三角形中位线定理和直角三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∵BC＝14， ∴DEBC＝7， ∵∠AFB＝90°，AB＝8， ∴DFAB＝4， ∴EF＝DE﹣DF＝7﹣4＝3， 故选：B． 29．【分析】根据三角形中位线定理得到PEAD，PFBC，在PE＝PF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【解答】解：∵P是BD的中点，E是AB的中点， ∴PE是△ABD的中位线， ∴PEAD， 同理，PFBC， ∵AD＝BC， ∴PE＝PF， ∴∠EFP（180°﹣∠EPF）（180°﹣140°）＝20°， 故答案为：20°． 30．【分析】取BC的中点H，连接EH、FH，根据三角形中位线定理求出EH、FH，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：取BC的中点H，连接EH、FH， ∵E、F分别是AB、CD的中点， ∴EHAC＝2，FHBD＝3，EH∥AC，FH∥BD， ∴∠EHF＝90°， ∴EF， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $