专题05 一元一次不等式（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题05 一元一次不等式 不等式 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 不等式的解及解集 1.不等式的解 （1）不等式的解是指在某一特定范围内的数，一般情况下不等式的解有无数个，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立； （2）不等式的解与一元一次方程的解的区别：不等式的解的个数是不确定的，一个不等式若有解，则一殼会有无数个解：而一个一元一次方程若有解，则它的解只有一个 2.不等式的解集 （1）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集： （2）不等式的解集必须精合两个条件： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立： ②能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中， 3.不等式的解与不等式的解集的区别与联系 (1)不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立， (2)不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解. (3)不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而 不等式的解集是指满足这个不等式的所有未知数的值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个 元素. 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2.不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 4.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 5.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 6.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 7.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 8.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 9.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 10.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 不等式的定义与解集 1．（25-26七年级下·广西钦州·期末）与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【详解】解： ①，② ，⑤，⑥都含有不等号，是用不等号连接表示不等关系的式子，属于不等式；③是等式，④是代数式，都不是不等式，所以不等式共有4个． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】根据一元一次方程中未知数次数为，一次项系数不为这两个条件，列等式和不等式求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴，且， 解，得，即或， 由，得， 综上，． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，熟练掌握不等式的计算法则是解题的关键； 根据不等式的计算法则即可求解； 【详解】解：关于的不等式无解， 当时， 无解， 即，无解，满足题意； 当时， 无解， 即恒成立， ， 解得：， 综上，实数的取值范围； 故答案为： 不等式的性质 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列不等式变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【详解】解：A、若，则，正确； B、若，则，原变形错误； C、若，则，原变形错误； D、若，则，原变形错误． 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：A、，不等式两边同时减，则，故A正确； B、，不等式两边同时乘以，则，故B正确； C、，不等式两边同时乘以，则，故C正确； D、，不等式两边同时乘以，则，然后不等式两边同时加，则，故D错误，不成立． 7．（25-26七年级上·江苏·期末）若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 【答案】 【分析】本题主要考查去绝对值，取绝对值存在两种取值范围是解题的关键． 首先将进行化简求值得到或，即可以写出的值． 【详解】解：∵，即，解得：或， ∴可取（或任意小于的数即可）， 故答案为：． 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)请你尝试证明：若，则． (2)已知有理数、满足，证明：． 【答案】(1)证明：， 不等式的两边同时加上同一个数，得， 不等式的两边同时除以同一个正数2，得． (2)证明：， 不等式的两边同时乘以同一个正数，得；不等式的两边同时乘以同一个正数，得， ， ． 【分析】（1）不等式的两边同时加上同一个数得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题． 【详解】（1）略 （2）略 一元一次不等式的概念 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断即可，一元一次不等式的定义为：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1，且不等号两边都是整式的不等式． 【详解】解：∵一元一次不等式满足：只含一个未知数，未知数最高次数为1，不等号两边均为整式. A、 含有2个未知数，不符合定义，错误； B、 中 是分式，不等号两边不都是整式，不符合定义，错误； C、 中未知数的最高次数为2，不符合定义，错误； D、 只含一个未知数，未知数次数为1，不等号两边都是整式，符合一元一次不等式的定义，正确． 11．（25-26八年级下·江苏·单元测试）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 【答案】0 【分析】根据一元一次不等式的定义可得，的次数等于，且的系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且，解得：， 验证：当时，，即符合条件． 12．（25-26七年级下·江苏·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 【答案】1 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的指数必须为1且系数不为0，列出条件求解． 此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键． 【详解】解：由题意，不等式是关于的一元一次不等式， 则且， 解，得或， 即或， 当时，，不符合系数不为0的条件， 当时，，符合条件， 故答案为：1． 解一元一次不等式 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式． 【答案】 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把x的系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得，． 14．（2025九年级·江苏·期末）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式．根据不等式的性质求解即可． 【详解】解： ． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查一元一次不等式的解法，关键是掌握解一元一次不等式的基本步骤：对于不含分母的不等式，通过移项、合并同类项、系数化为1求解；对于含分母的不等式，需先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项、系数化为1的操作，注意系数化为1时，若系数为负数，不等号方向要改变． （1）是不含分母的一元一次不等式，直接通过移项、合并同类项、系数化为1即可得到解集； （2）是含分母的一元一次不等式，先去分母消除分母，再按步骤逐步化简求解． 【详解】（1）解：， 移项得，即， 系数化为1，两边同时除以2得． （2）解：， 两边同时乘以6去分母得， 去括号得， 合并右边常数项得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1，两边同时除以5得． 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 【答案】不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3 【分析】本题考查解一元一次不等式，熟知不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式的基本性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据所给解一元一次不等式的步骤，写出每步的依据即可． 【详解】解：由题知， 第一步的依据是：不等式的基本性质2， 第二步的依据是：不等式的基本性质1， 第三步的依据是：不等式的基本性质3， 故答案为：不等式的基本性质2，不等式的基本性质1，不等式的基本性质3． 求一元一次不等式的整数解 17．（2026七年级下·江苏·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】先按照一元一次不等式的解法求出不等式的解集，再在解集中找出符合要求的非负整数，统计个数即可． 【详解】解：不等式两边同时除以，得， 移项得， ∴不等式的解集为 ， 则不等式的非负整数解有，共个． 18．（2024·江苏苏州·二模）不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】根据解一元一次不等式的方法，可以求得不等式的解集，然后即可写出它的负整数解． 【详解】解：去分母得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， ∴负整数解为，共有4个． 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解． 先求出不等式的解集，再根据解集求的取值范围即可． 【详解】解：解得， ∵关于的不等式恰好有3个正整数解， ∴， 解得：， 故答案为： 20．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，熟练掌握方程和不等式的解法是解题关键． （1）先解一元一次方程求出方程的解，再根据建立不等式，解不等式即可得； （2）先根据（1）的结果求出的值，再代入解一元一次不等式即可得． 【详解】（1）解：， ， 解得， 关于的方程的解是非负数， ，即， 解得． （2）解：，且取最大整数， ， 代入得：， ， ， ， 解得， ∴不等式：的最小整数解为． 数轴上表示一元一次不等式的解集 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【详解】（1）解： 在数轴上表示： （2）解： 在数轴上表示： 22．（2025·江苏盐城·三模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，见解析 【分析】本题考查求不等式的解集，在数轴上表示不等式的解集，去分母，去括号，移项，合并，系数化1，求出不等式的解集，定边界，定方向，在数轴上表示出不等式的解集即可． 【详解】解：， ， ， ∴； 解集在数轴上表示如图： ． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题考查解一元一次不等式、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的一般步骤． 根据解一元一次不等式的一般步骤，求得该不等式的解集，然后在数轴上表示出其解集即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：， 其解集在数轴上表示如下所示： ． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 【答案】，图见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题的关键． 不等式去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为，求出解集，表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，两边乘以，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， 不等式的解集在数轴上表示如下：    解一元一次不等式组的解集 25．（2026·江苏扬州·三模）解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 【答案】解集为，所有整数解的和为，数轴表示如图所示： 【分析】按照解一元一次不等式组的一般步骤求出不等式组的解集，然后把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解的和即可． 【详解】解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为：， 数轴表示略， 所有整数解为、、、、， ∴所有整数解的和为：． 26．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：． 【答案】无解 【分析】通过去分母、去括号、合并同类项、移项、系数化为1等方法，分别解出不等式的解，不等式组中的各不等式解集的公共部分，就是不等式组中的取值范围． 【详解】解： 移项，得 系数化为1，得 ， 去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 移项，得， 系数化为1，得， ∴不等式组无解． 27．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 ；所有整数解为0，1，2，3 【分析】根据解一元一次不等式组的方法，分别求解，再根据“大大取大，小小取小、大小小大中间找、大大小小无解”得出解集，再写出所有整数解即可． 【详解】解不等式， ， ； 解不等式， ， ， ； ∴不等式组的解集为，所有整数解为0，1，2，3． 28．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）解不等式组：并求它的所有整数解的和． 【答案】，3 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 本题考查的是解一元一次不等式组，不等式组的整数解，熟知以上知识是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为， 故所有整数解的和． 求一元一次不等式组的整数解 29．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组，并写出的所有整数解． 【答案】，所有整数解为 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为， 所以所有整数解为． 30．（25-26九年级下·江苏苏州·期末）解不等式组：；并写出所有的正整数解． 【答案】，所有的正整数解有2，3，4 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后写出正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：． ∴所有的正整数解有2，3，4． 31．（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 【答案】 【分析】先对不等式组进行求解，再根据不等式组有且只有4个整数解确定m的取值范围即可． 【详解】解：， 解不等式可得，； ∴该不等式组的解集为． ∵不等式组有且只有4个整数解，即3，2，1，0， ∴． 32．（2024七年级下·山东·期末）如果关于的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数的取值不会是（ ） A． B． C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了解不等式组，分别解出每个不等式，再取它们公共部分的解集，结合关于的不等式组整数解的和为7，进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组的解集为， 不等式组的所有整数解的和为， 整数解为4，3或4，3，2，1，0，，， 当整数解为4，3时，， ， 当整数解为4，3，2，1，0，，时，， ， 综上，或， 整数a有，，4，5． 故选：B． 由一元一次不等式组的解集求参数 33．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”可得答案． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 故选：B． 34．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先解不等式组，再根据不等式组的解集，得到关于参数的不等式，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集为：， ∴， ∴； 故选B． 35．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）已知不等式组的解集为，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 36．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． (1)若，求m的值； (2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式或解一元一次不等式组等知识点，利用同时除以一个负数不等号要改变方向，求出a的取值范围是解此题的关键． （1）两式相加即可求解； （2）将m当作常数，解二元一次方程组，用m表示a、b，根据a为负数，b为非正数可以列出不等式组，从而求出m的范围； （3）将不等式进行求解，要得到解集为，则必须使，可以求出m的范围，结合（2）中m的范围，即可求解． 【详解】（1）解：两式相加得：， ， ， 解得：； （2）解：解方程组得： ∵a为负数，b为非正数 ∴， 解得：； （3）解： ∵要使不等式的解集为 必须 解得： ∵，m为整数 ∴ ∴当时，不等式的解集为． 列一元一次不等式（组） 37．（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算目标海拔相对已知海拔的升高量，再根据气温变化规律得到目标海拔处的气温，最后结合适宜温度范围列出不等式组即可． 【详解】解：∵野生兰草适宜温度为，已知海拔处气温为，目标海拔为， ∴目标海拔相对已知海拔的升高量为， ∵海拔每升高，气温下降， ∴总下降气温为，因此处的气温为， 根据适宜温度范围可得不等式． 38．（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，由题意，得： . 39．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了列一元一次不等式组，审清题意、找准不等关系是解题的关键． 设九（1）班有学生x人，由于“每人分4本，则还剩77本书”，则共有本书；由于“每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本每位学生分6本书”列出不等式组即可． 【详解】解：设九（1）班有学生x人，则共有本书， 若每位学生分6本书，则有一名学生能分到书但少于5本， 则． 故选：C． 40．（25-26八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由“张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完”可建立不等式组． 【详解】解：设张力平均每天读x页，则李永平均每天读页 由“张力读了一周（7天）还没读完”可得： 由“李永不到一周就已读完” 可得： 故： 故选：A． 【点睛】本题考查列一元一次不等式组．正确理解题意是解题关键． 一元一次不等式组的实际应用 41．（25-26七年级下·江苏南通·期中）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． (1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ (2)若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 【答案】(1)乙商场更省钱 (2)当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 【分析】（1）设每件A商品x元，每件B商品y元，根据“购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，”列出方程组，即可求解； （2）分别求出在甲商场购买应付费用，在乙商场购买应付费用，然后分三种情况讨论，即可解答． 【详解】（1）解：设每件A商品x元，每件B商品y元，根据题意得： ， 解得：， 即每件A商品20元，每件B商品25元， 使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品， 在甲商场需花费元， 在乙商场需花费元， ∵， ∴乙商场更省钱； （2）解：在甲商场购买应付费用：元， 在乙商场购买应付费用：元， 若两商场购物花费一样：则， 解得：， 即当时，到两家商场购物花费一样； 若到甲商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到甲商场购物花费少； 若到乙商场购物花费少：， 解得：， 即当时，到乙商场购物花费少； 综上所述，当时，到两家商场购物花费一样；当时，到甲商场购物花费少；当时，到乙商场购物花费少． 42．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 【答案】(1) A款运动盲盒销售单价为10元，B款运动盲盒销售单价为8元. (2) ；. (3) 当时，去甲商店更合算. 【分析】（1）设某商店在无促销活动时，A款盲盒的销售单价为x元，B款盲盒的销售单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）分别求出在甲商店购买和在乙商店购买的所需费用； （3）根据甲商店购买方式更合算，列出不等式，即可求解． 【详解】（1）解：设在无促销活动时，A款盲盒的销售单价为x元，B款盲盒的销售单价为y元，由题意得：， 解得， 答：某商店在无促销活动时，A款盲盒销售单价为10元，B款盲盒销售单价为8元； （2）解：依题意得： 在甲商店购买，共需要（元）， 在乙商店购买，共需要（元）， （3）∵去甲商店更合算， ∴， 解得， ∵， ∴， 答：当购买A款盲盒的数量在时，去甲商店购买方式更合算． 43．（2026·河南周口·二模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）开幕式于4月11日晚在常州奥体中心举办，舞台融合科技光影与江苏十三座城市的文化元素，十三面屏幕凌空展示联赛字样，开幕式及相关话题热度居高不下． 素材一 某体育用品店为“接住”这波流量，对所销售的足球进行打折销售． 素材二 该体育用品店A款，B款足球的进价分别为每个30元，每个45元，售价分别为每个40元，每个65元．该体育用品店在3月份购进A款，B款两种足球共80个，进货共用了3150元． (1)求3月份该体育用品店购进A款，B款足球各多少个； (2)该店4月份购进A款足球60个，B款足球40个，若全部售完后的利润不低于元，则最多打几折？（不考虑其他支出） 【答案】(1)3月份该体育用品店购进A款足球30个，B款足球50个 (2)最多打九六折 【分析】（1）设3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个，根据题意列出方程并求解即可； （2）设打折，根据题意列出不等式并求解即可． 【详解】（1）解：设3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个， 根据题意，可列方程：， 解得， 答：3月份该体育用品店购进A款足球个，B款足球个． （2）解：设打折， 根据题意，可得：， 解得， 答：最多打九六折． 44．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)4台 (3)甲型设备5台，乙型设备5台 【分析】（1）根据“购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元”，列出二元一次方程组，即可求解． （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意列出一元一次不等式，求得最小整数解，即可求解． （3）根据题意，得出，结合（2）的结论得出，进而取整数解，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，得 解得 （2）设购买甲型设备台，则购买乙型设备台．根据题意，得 解得． 答：至少购买甲型设备4台． （3）根据题意，得 解得， ∴． ∵取整数， ∴的取值为4或5． 共有两种购买方案： 方案一：购买甲型设备4台，乙型设备6台； 所需资金为 （元）； 方案二：购买甲型设备5台，乙型设备5台； 所需资金为 （元）． ∵ ，∴方案二省钱． 答：最省钱的购买方案为购买甲型设备5台，乙型设备5台． 一元一次不等式的参数问题 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如果 是关于 的不等式 的一个解，那么 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】已知是不等式的解，将代入原不等式，解关于的不等式即可得到结果． 【详解】解：是关于的不等式 的一个解， 将代入原不等式得： ， ∴， 移项得， 不等式两边同乘，不等号方向改变，得， 因此的取值范围是． 46．（25-26八年级下·宁夏中卫·期末）若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 【答案】 【详解】解：∵不等式的解集为， ∴， 解得． 47．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的范围为________ 【答案】 【分析】解方程可得，再根据方程的解是非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1，得， ∵方程的解是非负数， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： (1)若，求m的值． (2)若y为负数，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将方程组的两个方程相加，整理得到关于的表达式，代入即可求出的值； （2）用加减消元法求出关于的表达式，根据为负数列出不等式， 解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解： ①②得， 两边同除以得， 解得； （2）解： ①②得： 两边同除以得 为负数 解得． 不等式组整数解的情况求参 49．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据解集中整数的个数确定整数解，进而推导参数a的取值范围． 【详解】解：解不等式得 ， 解不等式得 ， ∴不等式组的解集为： ， ∵解集中有且仅有3个整数， ∴满足条件的3个整数为， 由此可得的取值范围是：． 50．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可求解． 【详解】解：由不等式组得：， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数是、0、1、2， ∴， 解得：． 51．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 【答案】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据不等式组有且只有个整数解确定的取值范围，找出范围内所有整数，计算其和即可． 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式，不等式两边同乘得， 展开得，移项得， ∴不等式组的解集为， 不等式组有且只有个整数解， 三个整数解为，可得， ∴， ∴， ∴满足条件的所有整数为，和为． 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； （3）解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 不等式组解集的情况求参 53．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集求出的范围是解题的关键．先求出不等式的解集，根据不等式组无解，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①，可得 ， 解不等式②，可得 ， 若不等式组无解， 则有． 故选：B． 54．（2025七年级下·江苏·期末）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先分别求出每一个不等式的解集，再根据不等式组有解，求出，即可求解． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组有解， ∴， 解得， 将不等式两边分别乘以再加4变形得到， ∴不等式的解必有一个整数解2， 整数的个数不可能是0， 故选：A． 55．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）有正数解，则m的取值范围______． 【答案】 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法，解题的关键是根据不等式组有正数解得出m的取值范围． 分为当时，当时，当时，分情况求解即可； 【详解】解：， 当时，x有任意解． 当时，由①得，，由②得，， 不等式组有正数解， 所以得到不等式组，解得； 当时，由①得，，由②得，， 不等式组总有正数解； 故答案为：． 56．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于的不等式组的解集为， (1)求和的值． (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了不等式组的解法和二元一次方程组的解法，掌握不等式组的解法是解答本题的关键．不等式组的解法：先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． （1）先求出每个一元一次不等式的解集，从而得到不等式组的解集，再根据不等式组的解集也是列出关于，的二元一次方程组，求出、即可； （2）根据，得出，根据，得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：解得，， 解得，， ，， 解得：，； （2）解：， ， ， ， ， ． 不等式组与方程组结合的问题 57．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将方程组中的两个方程相加可得：进而得到，然后再结合即可解答；掌握整体思想是解题的关键． 【详解】解：将方程组中的两个方程相加可得：， 则， ∵， ∴，解得：， 故选：C． 58．（25-26七年级下·福建福州·期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】先解关于x的方程求出a的取值范围，然后由二元一次方程组求出a的范围，最后求出整数解即可得出答案． 【详解】解：解关于x的方程得， ∵方程的解为非正数， ， ∵， ， 由二元一次方程组将得， 满足， ， ， ， ， 为整数， 满足条件的整数a有，，，，，，0，共7个. 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程与二元一次方程组，能熟练解方程是解题的关键 59．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】先求出方程组和不等式的解集，再求出a的范围，最后得出答案即可． 【详解】解：解方程组得：， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴≥， 解得：a≥-， ∵关于s的不等式组恰好有4个整数解，即4个整数解为1，0，-1，-2， ∴， 解得-2≤a＜1， ∴≤a＜1， ∴符合条件的整数a的值有：-1，0，共2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程和一元一次不等式组的整数解，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的方程组的解为正数． (1)解这个方程组；用含a的代数式表示 (2)若，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，列代数式，以及解二元一次方程组，一元一次不等式组的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把a看作已知数求出方程组的解即可； （2）把x与y代入已知不等式求出a的范围即可． 【详解】（1）解：， ①②得：，即， 把代入①得：， 则方程组的解为； （2）解：由得：， 解为正数， ∴， ， 综上， 不等式组的实际应用综合 61．（2026·江苏南京·模拟预测）方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 【答案】2本练习本价格更高 【分析】设练习本每本元，铅笔每支元，根据题意可得，再化简，比较与的大小即可． 【详解】解：设练习本每本元，铅笔每支元 根据题意可得 化简第二个等式得 因此 将代入不等式得 整理得 解得 作差得 即 答：2本练习本价格更高． 62．（24-25七年级上·江苏·单元复习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 63．（18-19七年级下·江苏·期末）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元；如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元． (1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？ (2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共个，并且预算总费用不超过元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？ 【答案】(1)每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元 (2)学校至多能购买个乙种规格的足球 【分析】（1）设每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元，根据“如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元；如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校购买个乙种规格的足球，则购买个甲种规格的排球，根据总价单价数量结合预算总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论． 【详解】（1）解：设每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元， 依题意，得：， 解得：． 答：每个甲种规格的排球的价格为元，每个乙种规格的足球的价格为元． （2）设学校购买个乙种规格的足球，则购买个甲种规格的排球， 依题意，得：， 解得：． 又为整数， 的最大值为． 答：该学校至多能购买个乙种规格的足球． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 64．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 【答案】(1)①4x，2y；②制作出竖式和横式的箱子各20只和10只 (2)35，5 【分析】(1)根据竖式箱子和横式箱子的组成，即可求得； (2) 设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板，根据一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板，得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板，得 ，可得，联立成方程组，再对x，n进行讨论，即可求得． 【详解】（1）解：①由图可知：做一个竖式箱子，需1张A板，4张B板，做一个横式箱子，需2张A板，3张B板， 故答案为：4x，2y； ②根据题意，得 ， 解得， 答：制作出竖式和横式的箱子各20只和10只； （2）解：设C型板有x张全部切成A板，则有(n-x-1)张全部切成B板， 且一张3×3m的C型板可以切成3×3=9张A型板或3张B型板， 得(3+9x)张A板，[2+3(n-x-1)]=(3n-3x-1)张B板， 因为竖式箱子制作20只用掉20张A板，80张B板， 则剩余A板(9x-17)张，B板(3n-3x-81)张， 根据题意，得， 整理，得， ∵9x-17≥0， ∴， ∵3n-3x-81≥0， ∴n≥x+27， ， 解得， ∵，且x为整数， ∴x取最小值为2时，(不符合题意，舍去)， 当x=3时，n=35， ∴x取最小值为3时，n=35最小． 此时，剩余A板10张，可以做5只横式板． ∴n的最小值是35，此时能制作横式箱子5只． 故答案为：35，5． 【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键． 一元一次不等式组的新定义问题 65．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 【答案】(1)；； (2)； (3)，，，． 【分析】根据新定义即可求解； 先求出不等式组的解集为，又因为关于的不等式组的整数解恰有个，所以，则，解得； 设（为非负整数），所以，因为，所以，则，故有，解得，从而求得或或或，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴， 解得， ∴实数的取值范围为， 故答案为：，， （2）解：， 解不等式得， 解不等式得， ∴不等式组的解集为， ∵关于的不等式组的整数解恰有个，即，， ∴， ∴， ∴， 即的取值范围是； （3）解：设（为非负整数）， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵为非负整数， ∴或或或， ∴或或或， ∴的值为，，，． 66．（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，再解不等式组，最后验证方程的解是否在不等式组的解集内，判断是否满足 “约定方程” 的定义； （2）先解不等式组得到解集，再求出方程的解，根据 “方程的解在不等式组解集内” 列不等式，求解a的取值范围； （3）先求出两个方程的解，再解含参数的不等式组（需对参数的符号进行分类讨论），根据 “两个方程的解都在不等式组的解集内” 列不等式，求解的取值范围． 【详解】（1）解：解方程得， 不等式组的解集为 ， 方程是不等式组的“约定方程”； （2）解方程得， 不等式组的解集为， 关于的方程是不等式组的“约定方程”， ； 解得； （3）解方程得， 解方程得， 解不等式①得， 解不等式②得， 当时，不等式组的解集为， 方程的解和均不满足，不符合题意； 当时，不等式组的解集为， 上述两方程都是不等式组的约定方程， 解得， 的取值范围为． 67．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)② (2) (3) 【分析】本题可主要考查解一元一次方程和一元一次不等式（组），再根据“学梅方程”和“思梅方程”的定义来求解； （1）先分别把三个方程解出来，再把不等式组求出解集，通过比较即可得到答案； （2）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式，根据思梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； （3）先把看作常数，分别解一元一次方程和一元一次不等式组，根据不等式组恰好有3个整数解和学梅方程的定义，列出关于的不等式，求出解集即可； 【详解】（1）解：解不等式，移项可得，即； 解不等式，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以2得． 所以不等式组的解集为． 解方程①，得． 解方程②，得． 解方程③，得． 根据“学梅方程”的定义判断 ，因为，5和6不在范围内， 故答案是②． （2）解：解方程，去括号得，移项合并同类项得，即，两边同时除以−3得． 解不等式的解集 移项可得，即，系数化为1​​得​​． 据“思梅方程”的定义，所以2a<​ ​​，解得． 综上，的取值范围是． （3）解：解方程​，得． 解不等式，得． 解不等式，得． 所以不等式组的解集为． 根据“学梅方程”的定义和整数解的个数，所以，解不等式得；解不等式得，所以． 因为不等式组恰好有3个整数解，即1，2，3，所以，解不等式得；解不等式得，结合​，可得． 综上，的取值范围是． 68．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 【答案】(1)③ (2) (3) 【分析】（1）先求出方程的解，分别代入三个不等式验证是否满足不等式，再作出判断； （2）先根据“调和解”的意义得出，，再求出，代入不等式组中求得，再将代入后，求出其范围即可； （3）先求出不等式组解，再求出方程的解，然后将代入，求得，再根据关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数，可得，解得：，然后得出． 【详解】（1）解：，解得：， ，故①不成立； ，故②不成立； ，故③成立， 故答案为：③； （2）∵是方程与不等式组的“调和解”， ∴，， 解得：， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； （3）不等式组，解得：， 将代入，得，解得：， ∵关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数， ∴这7个整数为7，6，5，4，3，2，1， ∴，解得：， ∴． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，已知方程组的解求参数的范围等知识点，解题关键是正确求解方程组与不等式组． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元一次不等式 不等式 1.不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． 注意： 凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 2.常用不等号的意义和读法 名称 符号 读法 意义 例子 小于号 < 小于 表示左边的量比右边的量小 x<5 大于号 > 大于 表示左边的量比右边的量大 x>2 小于或 ≤ ①小于或等于; 表示左边的量“不大于”右边的量 x≤3 等于号 ②不大于 大于或 ≥ ①大于或等于; 表示左边的量“不小于”右边的量 x≥-1 等于号 ②不小于 不等号 ≠ 不等于 表示左边的量“不等于”右边的量 x≠-3 3.易错点提示： (1)不等号具有方向性，不等号两边的式子不能随意交换， (2)有些不等式中不含未知数，如3<4，-1>-2：有些不等式中含有未知数，如2x>5中，x表示未知数， (3)对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们就说不等式成立：否则，不等式不成立 不等式的解及解集 1.不等式的解 （1）不等式的解是指在某一特定范围内的数，一般情况下不等式的解有无数个，用它代替不等式中的未知数，不等式一定成立； （2）不等式的解与一元一次方程的解的区别：不等式的解的个数是不确定的，一个不等式若有解，则一殼会有无数个解：而一个一元一次方程若有解，则它的解只有一个 2.不等式的解集 （1）不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集： （2）不等式的解集必须精合两个条件： ①解集中的每一个数值都能使不等式成立： ②能够使不等式成立的所有的数值都在该解集中， 3.不等式的解与不等式的解集的区别与联系 (1)不等式的解是指在某一范围内的数，用它代替不等式中的未知数，不等式成立， (2)不等式的解集是一个范围，在这个范围内的每一个值都是不等式的一个解. (3)不等式的解和不等式的解集是两个不同的概念：不等式的解是能使不等式成立的未知数的值，而 不等式的解集是指满足这个不等式的所有未知数的值，不等式的每一个解都是该不等式的解集中的一个 元素. 不等式的基本性质 1.不等式的基本性质1： 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 即：如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c. 2.不等式的基本性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 即：如果a>b,c>0,那么ac>bc或> 如果a>b,c<0,那么ac<bc或< 3.注意事项 要正确理解“不等号的方向不变”和“不等号的方向改变”的含义： 例如“不等号的方向不变”指的是如果原来是“>”，那么结果仍是“>”。“不等号的方向改变”指的是如果原来是“>”，那么变化后将成为“<”;如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥” 4.解题技巧 （1）运用不等式的基本性质1时，需要注意不等式的两边必须同加或同减，且必须是同一个数或同 一个整式，不等号方向不变； （2）用不等式的基本性质2将不等式变形时，要特别注意不等式两边都乘（或除以）同一个负数的情况，此时不等号的方向必须改变 一元一次不等式 1.一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． 2.概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 1.解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式，基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 2.解一元一次不等式的各步骤依据和注意事项 解一元一次不等式 依据 注意问题 解法 步骤 解的 情况 ①去分母 不等式的基本性质2 不要漏乘不含分母的项 ②去括号 去括号法则 当括号前是“-”时,要注意去 括号后括号内的各项都要改变 符号 ③移项 不等式的基本性质1 移项是从不等式的一边移到另 一边,一定要变号 ④合并同类项 合并同类项法则 只需把同类项的系数相加减 ⑤系数化为1 不等式的基本性质2 若不等式两边都乘(或除以)同 一个负数,不等号的方向要改变 一般有无 数个解 不等式的所有解组成解集 一元一次不等式组 1.一元一次不等式组的定义：把几个含有同一个未知数的一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.注意：(1)不等式组中不等式的个数可以是两个，也可以是多个. (2)不等式组中各个不等式必须含有同一个未知数. 3.归纳：判断一个不等式组是不是一元一次不等式组，需满足两个条件： (1)组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同： (2)不等式组中的不等式至少有2个，也可以多于2个 4.不等式组的解集 不等式组中所有不等式的解集的公共部分叫做这个不等式组的解集 几个不等式解集的公共部分，通常利用数轴来确定. 5.利用数轴表示不等式组的解集 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的情况 6.利用数轴确定不等式组的解集的步骤 (1)将两个一元一次不等式的解集在同一条数轴上分别正确 地表示出来（表示时注意空心圆圈与实心圆点的区别). (2)确定数轴上的公共部分，若有公共部分，则公共部分就是此不等式组的解集；若没有公共部分，此时，我们说这个不等式组无解。 7.解不等式组 求不等式组解集的过程叫做解不等式组， 8.解一元一次不等式组的步骤 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)把各个不等式的解集在数轴上表示出来； (3)利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，即这个不等式组的解集，如果各个不等式的解集没有 公共部分，那么说这个一元一次不等式组无解. 9.解一元一次不等式组与解二元一次方程组的区别 解一元一次不等式组是“先分后合”，即先解不等式组中的每个不等式，再确定公共部分：解二元一次方程组是“先合再分”，即先将两个方程转化为一个方程，再分别求出两个来知数的值 10.确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集.如果没有公共部分，则这个不 等式组无解，这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了，易于掌握. （2）口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律： 同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不了 一元一次不等式（组）的实际应用 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 一元一次不等式（组）的应用题的关键语句： 1、列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2、对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3、在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 不等式的定义与解集 1．（25-26七年级下·广西钦州·期末）与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南南阳·期中）下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）如果关于的方程是一元一次方程，则______． 4．（24-25九年级上·河北保定·期中）已知关于的不等式无解，则实数的取值范围是______． 不等式的性质 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）下列不等式变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）已知，则下列不等式不成立的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26七年级上·江苏·期末）若举例说明“如果，那么”的说法是错误的，则的值可以取__________．（写出一个的值即可） 8．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性．例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)请你尝试证明：若，则． (2)已知有理数、满足，证明：． 一元一次不等式的概念 9．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 10．（25-26八年级下·辽宁沈阳·期末）下列不等式是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·江苏·单元测试）若是关于的一元一次不等式，则值为________． 12．（25-26七年级下·江苏·期末）若是关于的一元一次不等式，则的值为_________． 解一元一次不等式 13．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）解不等式． 14．（2025九年级·江苏·期末）解不等式：． 15．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）解下列一元一次不等式． (1)； (2)． 16．（25-26八年级上·河北张家口·期末）下面是小明同学解不等式的过程． 解： …第一步 …第二步 …第三步 请你写出上述过程中每一步的依据： 第一步的依据： ； 第二步的依据： ； 第三步的依据： ． 求一元一次不等式的整数解 17．（2026七年级下·江苏·期末）不等式的非负整数解有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 18．（2024·江苏苏州·二模）不等式的负整数解的个数有（   ） A．0个 B．2个 C．4个 D．6个 19．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）已知关于的不等式恰好有3个正整数解，则的取值范围为______． 20．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）已知关于x的方程的解是非负数． (1)求m的取值范围； (2)当m取最大整数时，求关于x的不等式：的最小整数解． 数轴上表示一元一次不等式的解集 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）解不等式，并在数轴上表示解集： (1)； (2)． 22．（2025·江苏盐城·三模）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． 23．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． 24．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）解不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来． 解一元一次不等式组的解集 25．（2026·江苏扬州·三模）解不等式组：，在数轴上表示它的解集，并求出它的所有整数解的和． 26．（25-26七年级下·江苏南京·期末）解不等式组：． 27．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 28．（25-26九年级下·江苏扬州·期中）解不等式组：并求它的所有整数解的和． 求一元一次不等式组的整数解 29．（2026·江苏扬州·二模）解不等式组，并写出的所有整数解． 30．（25-26九年级下·江苏苏州·期末）解不等式组：；并写出所有的正整数解． 31．（25-26八年级下·广东梅州·期中）关于x的不等式组有且只有4个整数解，则m的取值范围为______． 32．（2024七年级下·山东·期末）如果关于的不等式组整数解的和为7，符合条件的整数的取值不会是（ ） A． B． C．4 D．5 由一元一次不等式组的解集求参数 33．（2024·湖北宜昌·模拟预测）若关于x的一元一次不等式组的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 34．（2024·四川南充·中考真题）若关于x的不等式组的解集为，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 35．（25-26八年级下·辽宁丹东·期末）已知不等式组的解集为，则的值为_______． 36．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于a、b的方程组． (1)若，求m的值； (2)已知a为负数，b为非正数，求m的取值范围； (3)在（2）的条件下，若m为整数，则当m为何值时，不等式的解集为． 列一元一次不等式（组） 37．（2026·安徽宣城·二模）野生兰草适宜生长在温度为的山区．已知海拔每升高，气温下降5℃，现测得某地区的气温为24℃，海拔为．设野生兰草在海拔高度为的山区较适宜，则所列下面不等式组中正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26八年级下·四川达州·期中）渠县文崇中学组织某次“每周半天计划”活动，学生需完成参观博物馆和参加讲座两项内容．其中讲座时间比参观时间的2倍少10分钟．已知参观时间需超过30分钟，讲座时间不少于60分钟．设参观时间为分钟，则讲座时间为分钟，则下列不等式组正确的是（ ） A． B． C． D． 39．（24-25九年级上·贵州铜仁·期中）将一些书分给九（1）班的所有学生，若每人分4本，则还剩77本书；若每人分6本，则有一名学生能分到书但少于5本，求这些书的本数与九（1）班学生的人数，设九（1）班有学生x人，则列出的不等式组是（   ） A． B． C． D． 40．（25-26八年级下·福建三明·期中）一本书共98页，张力读了一周（7天）还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（　　） A． B． C． D． 一元一次不等式组的实际应用 41．（25-26七年级下·江苏南通·期中）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过200元后，超出200元的部分按九折收费；在乙商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按收费． (1)如果不使用优惠方案，某人购买3件A商品和2件B商品应付110元，购买4件A商品和1件B商品应付105元，如果使用优惠方案购买3件A商品和6件B商品，应到哪家商场更省钱？ (2)若使用优惠方案前，顾客购物应付元，请根据x的取值，讨论顾客到哪家商场购物花费少？ 42．（25-26七年级下·江苏南通·期末）【问题情境】 小明所在的班级准备开展知识竞赛，需要购买A，B两种款式的运动盲盒作为奖品． 素材1：已知甲、乙两个商店均有价格、款式相同的两种运动盲盒出售，在无促销活动时，若买15个A款运动盲盒、10个B款运动盲盒，共需230元；若买25个A款运动盲盒、25个B款运动盲盒，共需450元． 素材2：现甲、乙两商店开展不同的促销活动： 甲商店：用35元购买会员卡成为会员后，凭会员卡购买商店内任何商品，一律按商品价格的8折出售（已知小明在此之前不是该商店的会员）；乙商店：购买商店内任何商品，一律按商品价格的9折出售． 【解决问题】 (1)在无促销活动时，求A款运动盲盒和B款运动盲盒的销售单价各是多少元？ (2)小明计划在促销期间购买A，B两款运动盲盒共40个，其中A款运动盲盒m个，若小明在甲商店成为会员购买，共需要 元；若在乙商店购买，共需要 元；（均用含m的代数式表示） (3)请你帮小明算一算，在（2）的条件下，购买A款运动盲盒的数量m在什么范围内时，去甲商店更合算？ 43．（2026·河南周口·二模）2026年江苏省城市足球联赛（简称“苏超”）开幕式于4月11日晚在常州奥体中心举办，舞台融合科技光影与江苏十三座城市的文化元素，十三面屏幕凌空展示联赛字样，开幕式及相关话题热度居高不下． 素材一 某体育用品店为“接住”这波流量，对所销售的足球进行打折销售． 素材二 该体育用品店A款，B款足球的进价分别为每个30元，每个45元，售价分别为每个40元，每个65元．该体育用品店在3月份购进A款，B款两种足球共80个，进货共用了3150元． (1)求3月份该体育用品店购进A款，B款足球各多少个； (2)该店4月份购进A款足球60个，B款足球40个，若全部售完后的利润不低于元，则最多打几折？（不考虑其他支出） 44．（25-26七年级下·海南海口·期中）为了加强对校内外的安全监控，创建“平安校园”，某学校计划增加10台监控摄像设备，现有甲、乙两种型号的设备，其中每台价格、有效监控半径如表格所示．经调查，购买1台甲型设备比购买1台乙型设备少100元，购买3台甲型设备比购买2台乙型设备多100元． 甲型 乙型 价格（单位：元/台） 有效监控半径（单位：米/台） (1)求，的值； (2)若购买该批设备的资金不超过3600元，则至少购买甲型设备多少台？ (3)在（2）购买设备资金不超过3600元的条件下，若要求所有设备有效监控半径之和不低于600米，为了节约资金，请你设计一种最省钱的购买方案． 一元一次不等式的参数问题 45．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如果 是关于 的不等式 的一个解，那么 的取值范围是（     ） A． B． C． D． 46．（25-26八年级下·宁夏中卫·期末）若不等式的解集为，则m的取值范围是_______． 47．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）已知关于的方程的解是非负数，则的范围为________ 48．（25-26七年级下·重庆·期中）已知关于x，y的方程组的解满足以下条件： (1)若，求m的值． (2)若y为负数，求m的取值范围． 不等式组整数解的情况求参 49．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知关于x的不等式组的解集中有且仅有3个整数，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 50．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 51．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）已知关于y的不等式组有且只有3个整数解，则满足条件的所有整数a的值之和为______． 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 不等式组解集的情况求参 53．（24-25八年级下·河南郑州·期中）如果不等式组无解，那么的取值范围是（   ） A． B． C． D． 54．（2025七年级下·江苏·期末）若关于的不等式组有解，则在其解集中，整数的个数不可能是（   ） A．0 B．1 C．3 D．5 55．（24-25八年级上·江苏苏州·期末）有正数解，则m的取值范围______． 56．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）已知关于的不等式组的解集为， (1)求和的值． (2)若，求的取值范围． 不等式组与方程组结合的问题 57．（25-26九年级上·江苏连云港·期中）在方程组中，若未知数x、y满足，则m的取值范围是（　　）． A． B． C． D． 58．（25-26七年级下·福建福州·期末）如果关于x的方程的解为非正数，且关于x，y的二元一次方程组的解满足，则满足条件的整数a有（    ）个． A．5 B．6 C．7 D．8 59．（25-26八年级上·重庆·期末）已知关于x、y的二元一次方程组的解满足，且关于s的不等式组恰好有4个整数解，那么所有符合条件的整数a的个数为（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 60．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）已知关于x、y的方程组的解为正数． (1)解这个方程组；用含a的代数式表示 (2)若，求a的取值范围． 不等式组的实际应用综合 61．（2026·江苏南京·模拟预测）方程与不等式都是刻画现实世界的模型．请利用所学知识解答如下问题： 某人仅带27元去文具店，想买7本练习本和3支铅笔，但钱不够，结果买了4本练习本和6支铅笔，还剩3元．请你算一算：2本练习本和3支铅笔哪个价格高？ 62．（24-25七年级上·江苏·单元复习）有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 63．（18-19七年级下·江苏·期末）我市某中学计划购进若干个甲种规格的排球和乙种规格的足球．如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元；如果购买个甲种规格的排球和个乙种规格的足球，一共需要花费元． (1)求每个甲种规格的排球和每个乙种规格的足球的价格分别是多少元？ (2)如果学校要购买甲种规格的排球和乙种规格的足球共个，并且预算总费用不超过元，那么该学校至多能购买多少个乙种规格的足球？ 64．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某学校实践课准备用图甲所示的A型正方形板材和B型长方形板材，制作成图乙所示的竖式和横式两种无盖箱子．    (1)若学校现有库存A型板材50张，B型板材100张，用这批板材制作两种类型的箱子． ①请完成下列表格： x只竖式箱子 y只横式箱子 A型板材张数(张) x 　   　 B型板材张数(张) 　   　 3y ②恰好将库存板材用完时，能制作出竖式和横式的箱子各多少只． (2)若学校新购得n张规格为3×3m的C型正方形板材，将其中一张板材切割成了3张A型板材和2张B型板材，余下板材分成两部分，一部分全部切割成A型板材，另一部分全部切割成B型板材(不计损耗)，用切割成的板材制作两种类型的箱子，要求竖式箱子制作20只，且材料恰好用完，则n的最小值是 　 　，此时能制作横式箱子 　 　只． 一元一次不等式组的新定义问题 65．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）对非负实数“四舍五入”到个位的值记为．即：当为非负整数时，如果，则．反之，当为非负整数时，如果，则，例如：，，，． 试解决下列问题： (1)填空：_________；如果，则实数的取值范围为_________； (2)若关于的不等式组的整数解恰有个，求的取值范围； (3)求满足的所有的值． 66．（25-26八年级下·广东深圳·期中）定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的一个解，那么我们称这个一元一次方程为该不等式组的“约定方程”，例如方程的解为，不等式组的解集因为，所以方程是不等式组的“约定方程”． (1)方程是否为不等式组．的“约定方程”？并说明理由． (2)若关于的方程是不等式组的“约定方程”，求的取值范围． (3)若方程和方程都是关于的不等式组的“约定方程”，求的取值范围． 67．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“学梅方程”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程是不等式的“学梅方程”．反之，若一元一次方程的解不在一元一次不等式（组）解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式（组）的“思梅方程”． (1)在下列方程①；②；③中，不等式组的“学梅方程”是________；（填序号） (2)若关于x的方程是的“思梅方程”，求a的取值范围． (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“学梅方程”，且此时不等式组恰好有3个整数解，试求m的取值范围． 68．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）使方程（组）与不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“调和解”． 例：已知方程与不等式＞0，当时，，＞0同时成立，则称“”是方程与不等式＞0的“调和解”． (1)已知有三个不等式：①＞，②2（x+3）＜4，③＜3，判断方程的解是不等式 的“调和解”（填不等式前的序号）； (2)若是方程与不等式组的“调和解”，求的取值范围； (3)若关于x的方程与关于x的不等式恰有7个“调和解”为整数．求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $