专题01 幂的运算（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题01 幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 同底数幂乘法及逆用 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知，，则的值为________． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 4．（25-26八年级上·江苏·期末）规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 幂的乘方及其逆用 5．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，为整数，则______． 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 积的乘方及其逆用 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算______． 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 同底数幂的除法及其逆用 13．（2026·江苏常州·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，那么______． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 幂的混合运算 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 18．（2025七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 19．（2025七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 零指数幂和负整数指数幂 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（     ） A． B． C． D． 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 23．（2026·江苏常州·一模）计算：__________． 24．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 科学记数法 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将用科学记数法表示为_______． 26．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为，用科学记数法表示为________________m． 27．（2026·河南洛阳·一模）在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 28．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．          (1)求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了块大理石，共约重千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示） 幂的运算正误辨析问题 29．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是(     ) A． B． C． D． 30．（2026·江苏徐州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 31．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，m为大于1的整数，下列各式计算结果一定大于m的是_________（填所有正确结论的序号）． ①；②；③；④． 32．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 利用幂的运算比较大小 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）比较大小：__________．（填“>”、“<”或“=”）． 34．（25-26六年级下·山东青岛·期中）若，，比较，大小关系的方法：因为，，32>27，所以，所以．已知，，则，的大小关系是__________（填“<”或“>”）． 35．（24-25七年级下·江苏·期末）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 36．（24-25八年级上·湖南·期末）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 幂的运算中指数关系 37．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 39．（2024七年级下·江苏·期末）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 40．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 幂的运算等于1的分类讨论问题 41．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 42．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，则______． 43．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，则_____． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 幂的运算中用x表示y型题 45．（25-26八年级上·江苏·期末）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 46．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若且是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 47．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 48．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 幂的新定义运算 49．（25-26七年级下·河北保定·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 50．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 51．（25-26七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 52．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如果，那么我们规定．例：若，则． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)若，，．试说明：． 幂的新定义运算（抽象函数类） 53．（25-26八年级上·江苏·期末）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 54．（24-25七年级下·江西九江·期末）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 55．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 56．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 幂的运算 同底数幂的乘法 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n，am·an=·==． 语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【拓展】（1）同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用． （m，n，…，p都是正整数）． （2）同底数幂的乘法法则的逆用：am+n=am·an（m，n都是正整数）． 幂的乘方与积的乘方 幂的乘方 （1）幂的乘方的意义： 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a5）3是三个a5相乘，读作a的五次幂的三次方，（am）n是n个am相乘，读作a的m次幂的n次方． （2）幂的乘方法则： 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 【拓展】 （1） 幂的乘方的法则可推广为（m，n，p都是正整数）． （2）幂的乘方法则的逆用：（m，n都是正整数）． 积的乘方 积的乘方的意义： 积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab）3，（ab）n等． （积的乘方的意义） =（a·a·a）·（b·b·b）（乘法交换律、结合律） =a3b3． 积的乘方法则： 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 同底数幂的除法 同底数幂的除法法则： 一般地，我们有（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【拓展】 （1）同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质， 例如：（a≠0，m，n，p都是正整数，并且m>n+p）． （2）同底数幂的除法法则的逆用：（a≠0，m，n都是正整数，并且m>n）． 零指数幂与负整数指数幂 零指数幂：a0=1 (a≠0) 负整数指数幂：当n 是正整数时，（，n是正整数） 科学记数法 科学记数法：有了负指数幂后，绝对值小于 1 的数，也能写成 a10n 的形式，其中 n 是正整数，1a 10 ，这叫科学记数法． 注：对于一个绝对值小于 1 的数，如果小数点后至第一个非 0 数字前有 m 个 0，则 10d 的指数 n=m+1． 同底数幂乘法及逆用 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同底数幂乘法法则为：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）已知，，则的值为________． 【答案】27 【分析】利用同底数幂的乘法法则将所求代数式变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．（25-26七年级上·陕西西安·期末）已知：，，，求a，b，c三者之间的数量关系． 【答案】 【分析】本题考查了同底数幂相乘的应用，理解题意，整理得，又因为，故，运用同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得，即可作答． 【详解】解：，， ∴， ∵， ． 则 4．（25-26八年级上·江苏·期末）规定，例如：． (1)求的值． (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据同底数幂的乘法的运算法则“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”进行计算； （2）根据新定义列出关于的方程，求解即可． 【详解】（1） （2）， ，即， ，解得． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，熟记幂的运算法则是解答本题的关键． 幂的乘方及其逆用 5．（2026·江苏南京·一模）计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查幂的运算性质，先化简括号内的同底数幂乘法，再利用幂的乘方法则计算即可得到结果． 【详解】解：． 6．（24-25七年级下·江苏扬州·期末）若，，，为整数，则______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算，同底数幂除法逆用，解题关键是熟练掌握运算法则．根据，，得出，，再逆用同底数幂除法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 7．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）求值： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)27 (2)8 【分析】（1）根据，求解即可； （2）根据，求解即可． 【详解】（1）解：因为， 所以； （2）解：因为， 所以， 所以 ； 8．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）若（且是正整数），则．请你利用上面的结论解决下面的2个问题． (1)如果，求的值； (2)如果，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可得，则，进而可得，解方程即可得到答案； （2）根据题意可得，则，进而得到，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 积的乘方及其逆用 9．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】原式． 10．（25-26七年级下·江苏常州·期中）计算______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方运算，可对原式拆分变形，逆用积的乘方法则简化计算． 【详解】解： 原式 ． 11．（24-25八年级上·河南周口·期末）阅读下列各式：，， (1)根据积的乘方得出规律：（_____，_____； (2)应用规律： ①填空：_____，_____； ②计算： 【答案】(1)， (2)①1，1② 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，积的乘方的逆运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）运用积的乘方法则计算求解即可； （2）①利用积的乘方的逆运算求解即可； ②把原式变形为，进而求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，， 故答案为：，； （2）解：①， ， 故答案为：1，1； ② ． 12．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 同底数幂的除法及其逆用 13．（2026·江苏常州·一模）计算的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： 14．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，那么______． 【答案】16 【分析】用同底数幂法则化简，再将代入即可． 【详解】解：， , ． 15．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2) 【分析】（1）逆用幂的乘方法则变形求解即可； （2）逆用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则将原式变形，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴ ． 16．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)已知，，求： ①的值； ②的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1)6； (2)x的值为 【分析】（1）按照幂的运算的逆向思维公式转换代入计算即可； （2）将原式按照幂的运算公式进行转化，得到关于x的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：①， ； ②， ∴ ； （2）解：， ， 解得． 幂的混合运算 17．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）计算 (1) (2)； 【答案】(1) (2)8 【分析】此题主要考查了整式的混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． （1）直接利用同底数幂的乘除法，积的乘方运算法则计算得出答案； （2）直接利用，有理数的乘方，零指数幂的性质和负指数幂的性质分别化简得出答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（2025七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查的是幂的混合运算；掌握运算顺序是关键； （1）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的除法即可； （2）先计算幂的乘方，积的乘方，再计算同底数幂的除法与乘法即可； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法与除法即可； 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3） ． 19．（2025七年级下·江苏·期末）计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】本题主要考查幂的混合运算： （1 ）先计算幂的乘方，再根据同底数幂乘除法计算法则求解即可； （2 ）先计算积的乘方，再计算同底数幂乘除法，最后合并同类项即可； （3 ）先计算同底数幂除法，然后去括号，最后合并同类项即可； 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 20．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）计算： (1)； (2) (3)； (4)． 【答案】(1)a (2) (3)6 (4) 【分析】本题考查了整式的加减乘除混合运算，零指数幂，绝对值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据同底数幂乘除法法则进行计算即可； （2）首先根据，再根据同底数幂乘法法则进行计算即可； （3）根据绝对值的意义，零指数与负整数指数幂的意义进行即可； （4）根据幂运算性质进行运算，最后合并同类项即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ； 零指数幂和负整数指数幂 21．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）将，，这三个数按从小到大的顺序排列，正确的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据初中幂运算的法则化简三个数，再比较大小得到排序结果． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）已知：，，，则a、b、c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据负整数指数幂、有理数乘方、零指数幂的运算法则，分别计算出a、b、c的值，再比较大小即可得到结果． 【详解】解：∵，， 又 ， ， 可知， ∴． 23．（2026·江苏常州·一模）计算：__________． 【答案】 4 【详解】解：原式 24．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 科学记数法 25．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）将用科学记数法表示为_______． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，熟练掌握一般形式为，其中，为由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定是解题的关键．左起第一个不为零的数为，前面有个零，故，即可求解． 【详解】解：， 故答案为：． 26．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）水是由氢原子和氧原子组成的，其中氢原子的直径为，用科学记数法表示为________________m． 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为整数，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．据此求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 27．（2026·河南洛阳·一模）在高速光纤通信中，为了提高传输容量，会把光信号压缩成极短脉冲．某超高速光纤系统中，单个光脉冲宽度约为毫秒．数据“”用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示，需形式为，其中，n是正整数，等于原数中左起第一个非零数字前零的个数． 【详解】解：． 28．（25-26六年级下·山东烟台·期中）将如图所示的长为，宽为，高为的大理石运往某地用以建设革命历史博物馆．          (1)求每块大理石的体积；（结果用科学记数法表示） (2)如果一列火车总共运送了块大理石，共约重千克，求每块大理石约重多少千克？（结果用科学记数法表示） 【答案】(1)每块大理石的体积为 (2)每块大理石约重千克 【分析】（1）根据长方体的体积公式列式计算即可； （2）用总质量除以块数求出结果即可． 【详解】（1）解：根据题意，得： ， 答：每块大理石的体积为； （2）解： （千克）． 答：每块大理石约重千克． 【点睛】本题主要考查了同底数幂乘法和同底数幂除法的应用、科学记数法，解题的关键是熟练掌握同底数幂乘法和除法法则准确计算． 幂的运算正误辨析问题 29．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）下列运算正确的是(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意． 30．（2026·江苏徐州·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加； ，A错误； 对选项B：根据合并同类项法则：合并同类项时，系数相加，字母和字母的指数不变； ，B错误； 对选项C：根据积的乘方法则：积的乘方等于积中每个因式分别乘方，再将结果相乘； ，C错误； 对选项D：根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减； ，D正确. 31．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，m为大于1的整数，下列各式计算结果一定大于m的是_________（填所有正确结论的序号）． ①；②；③；④． 【答案】①③/③① 【分析】根据为大于的整数，分别化简四个式子，将化简结果与比较大小，即可得到正确结论． 【详解】解：已知且为整数，即． ①化简：个相加得，则原式， ，， ，故①符合要求． ②化简：个相减得 ，当时，括号内结果为，原式 ，故②不符合要求． ③化简：个相乘得，则原式， ，， ，故③符合要求． ④化简：当时，括号内结果为，原式 ，故④不符合要求． 32．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）已知，，．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③④ B．②③④ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】根据同底数幂乘法和除法的运算法则，逐项计算判断即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，故①正确； ∵ ∴， ∴，即，故②错误； ∵，且， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∴， ， ∴，故④正确； 综上，正确结论为①③④． 利用幂的运算比较大小 33．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）比较大小：__________．（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方，先把两个数字指数化成一样，再比较底数大小即可． 【详解】∵，， ∴， 故答案为：． 34．（25-26六年级下·山东青岛·期中）若，，比较，大小关系的方法：因为，，32>27，所以，所以．已知，，则，的大小关系是__________（填“<”或“>”）． 【答案】< 【详解】解：参照题目中比较大小的方法可知， ，，， ， ， 故答案为：<． 【点睛】本题考查利用幂的乘方比较未知量的大小，熟练掌握幂的乘方的运算法则（底数不变，指数相乘）是解题的关键． 35．（24-25七年级下·江苏·期末）在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： (1)比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） (2)已知，，，试比较，，的大小． 【答案】(1)< (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【详解】（1）解：∵若，，则，， ∴； （2）解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 36．（24-25八年级上·湖南·期末）在学习了“幂的运算法则”后，经常遇到比较幂的大小的问题，对于此类问题，通常有两种解决方法，一种是将幂化为底数相同的形式，另一种是将幂化为指数相同的形式，请阅读下列材料：若，，则的大小关系是______（填“”或“”．） 解：，，且， ， 类比阅读材料的方法，解答下列问题： (1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质：______； A．同底数幂的乘法    B．同底数幂的除法    C．幂的乘方    D．积的乘方 (2)比较的大小； (3)比较与的大小； (4)已知，，．求之间的等量关系． 【答案】(1)C (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算和幂的乘方运算，同底数幂乘法计算： （1）根据幂的乘方的逆运算法则判断即可； （2）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，，据此可得答案； （3）根据幂的乘方计算法则及其逆运算法则得到，，据此可得答案； （4）根据得到，进而得到，则． 【详解】（1）解：由题意得，上述求解过程中，逆用了幂的乘方计算法则， 故答案为：C； （2）解：∵，，，且， ∴； （3）解：∵，，且， ∴． （4）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 幂的运算中指数关系 37．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）若，是正整数，且满足，则下列与的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据幂的性质，底数相同幂相等时指数相等，即可推导出和的关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）已知，，，那么、、之间满足的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，根据可得，再根据得到，最后根据同底数幂的乘法可得出结论．熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 39．（2024七年级下·江苏·期末）若，，，则a、b、c之间满足的等量关系成立的是____________ ①；②；③；④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂的乘法，解答本题的关键是熟练掌握“同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． ②可根据同底数幂乘法法则判断；①可根据幂的乘方的逆用，同底数幂除法法则判断；③可根据同底数幂乘法的逆用判断． 【详解】解：，, ， ， ，②关系成立； ， ，①关系成立； ， ，③关系成立； 则①②③成立， 故答案为：①②③． 40．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期末）已知：，，． (1)求的值． (2)写出m，n，p之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查幂的运算； （1）利用同底数幂的乘法即可求解； （2）由可得，利用即可得结论. 【详解】（1）解：∵，， 又∵ ∴. （2）解：数量关系为，理由如下： ， ， 又，，， 即， . 幂的运算等于1的分类讨论问题 41．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）探究等式的基本性质与特殊幂值的求解方法，并完成以下问题： 【课内回顾】 (1)若，则； 若（c满足条件________），则． 【阅读材料】 如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1，例如； ③底数为的偶数次幂，例如． 【知识运用】 (2)若，求x的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据等式的性质，即可求解； （2）根据材料分三种情况讨论①当且时，②当时，③当且为偶数时，根据一个幂的结果等于，分别计算即可求解． 【详解】（1）解：， 当时，则， 因此若，当满足时，则， 故答案为：； （2）解：分三种情况讨论如下： ①当且时，， 由，解得：，此时， 当时，； ②当时，， 由，解得：， 当时，； ③当且为偶数时，， 由，解得：， 此时不是偶数，故不合题意，舍去． 综上所述：若，则x的值为或． 42．（25-26七年级下·江苏南京·期中）已知，则______． 【答案】2或0 【分析】分3种情况进行讨论求解即可. 【详解】解：当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，符合题意； 当，即时，原式，不符合题意； 综上：. 43．（25-26七年级下·江苏南京·期末）已知，则_____． 【答案】 或或 【分析】根据幂运算结果为的三种情况分类讨论，分别求解并验证，即可得到的所有可能值． 【详解】解：原方程整理得：分三种情况讨论： 情况1：当指数为，底数不为时，可得，解得，此时，等式成立； 情况2：当底数为，指数为任意数时，可得，解得，此时，等式成立； 情况3：当底数为，指数为偶数时，可得，解得，此时，是偶数，，等式成立． 44．（25-26七年级下·江苏镇江·期末）【课内回顾】如果一个幂的结果等于1，有如下三种情况： ①底数不为零的零指数幂，例如； ②底数为1的整数指数幂，例如； ③底数为的偶数指数幂，例如． 【知识运用】 (1)若，则_________； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)、、 【分析】（1）由题意可知符合非零底数的零指数幂的情况， 令指数求解即可； （2）分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为． 【详解】（1）解：∵，底数为，既不是也不是， ∴指数， 解得； （2）解：分三种情况讨论： ① 零指数幂情况：指数为，底数不为， 得 ，且， 解得，，符合题意； ② 底数为的情况：底数为，任意整数次幂结果都为， 令， 解得，，符合题意； ③ 底数为的偶数次幂情况：底数为，指数为偶数时结果为， 令， 解得，，符合题意； 综上，的取值为、、． 幂的运算中用x表示y型题 45．（25-26八年级上·江苏·期末）若（且，是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的式子表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含的代数式表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）将式子变形得，再对应相等即可求解； （2）将变形为，继而得到，即可求解； （3）根据题干可得，再化简得，将代入即可求解． 【详解】（1）， ， 解得． （2）， ， ， ， ． （3）， ． ， ． 46．（25-26七年级上·江苏扬州·期中）若且是正整数），则． 利用上面结论解决下面的问题： (1)，求的值； (2)如果，求的值； (3)若，用含的代数式表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方． （1）根据幂的乘方运算法则把化为底数为2的幂，解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则把变形为即可解答； （3）由可得，再将代入即可． 【详解】（1）解：， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴． 47．（25-26七年级下·江苏南京·期末）若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题： （1）如果，求x的值； （2）如果，求x的值； （3）若，，用含x的代数式表示y． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）先,将底数都化为2，再利用同底数幂的乘除法法则计算； （2）利用积的乘方逆运算解答； （3）利用等式的性质及幂的乘方逆运算将式子变形为，，即可得到x与y的关系式，由此得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， 解得； （2）∵， ∴， ， ， ； （3）∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查整式的乘法公式：同底数幂相乘、同底数幂相除、积的乘方以及幂的乘方的计算法则，熟记法则及其逆运算是解题的关键． 48．（25-26八年级上·福建厦门·期中）若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 幂的新定义运算 49．（25-26七年级下·河北保定·期中）规定两数，之间的一种运算，记作：如果，那么．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：_____________，_____________； (2)若，，，试探究，，之间存在的数量关系． 【答案】(1)3，5 (2)，见解析 【分析】（1）根据新定义运算，求解即可； （2）根据新定义运算，对式子进行变形，再根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ，； （2）解：，理由如下： ，， ，， ，即 ． 50．（25-26七年级下·江苏南京·期中）我们规定：如果，记作．例如：因为，所以． (1)根据上述规定，填空：______，______； (2)若，，．试说明：； (3)若，，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)，理由见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）证明：由题意得：，，， ， ， ． （3），理由如下： 由题意得：，， ， ， ． 方法二：， ， ． 51．（25-26七年级下·江苏淮安·开学考试）规定：如果两数，满足，则记为．例如：因为，所以．我们还可以利用该规定来说明等式成立．证明如下：设，，则，，故，则，即． (1)根据上述规定，填空：__________； (2)计算__________； (3)如果，，那么________； (4)若，，请说明与的关系．（为正整数） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）令，根据所给的定义可得，于是可求出； （2）令，，根据所给的定义可得，，因而可得，则； （3）由题意可得，解得，再由，即可求解； （4）由题意可得，，则，从而得到． 【详解】（1）解：令， ， ， 故答案为：； （2）解：令，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； （3）解：， ， 解得：， ， ， ， 故答案为：； （4）解：， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的乘方运算，幂的乘方，同底数幂的乘法，解一元一次方程等知识点，熟练掌握幂的乘方与同底数幂的乘法的运算法则，深刻理解题中新定义是解题的关键． 52．（25-26七年级下·江西吉安·期中）如果，那么我们规定．例：若，则． (1)根据上述规定，填空：_____，_____； (2)若，，．试说明：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】（1）利用新定义的运算法则计算； （2）利用新定义计算，得出． 【详解】（1）解：∵，， ∴，； （2）解：∵，，， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴． 幂的新定义运算（抽象函数类） 53．（25-26八年级上·江苏·期末）规定新运算：（其中m，n为正整数）．例如：若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值． (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2) 【分析】（1）①利用新运算的规定进行运算即可；②将变换为，再利用新运算的规定解答即可； （2）将算式中的每个因式利用新运算的规定表示出的幂的形式，再按照同底数幂的运算性质解答即可． 【详解】（1）解：①， ． ②， ． （2）解：依题意，得， ． 【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，同底数幂乘法，数字的变化规律，本题是新定义型题目，连接并熟练应用新运算的规定是解题的关键． 54．（24-25七年级下·江西九江·期末）在学习同底数幂的乘法和除法法则后，类似的，我们规定关于任意整数，的一种新运算，即：，且，以及的值都不等于．请根据这种新运算解决下列问题： (1)求证； (2)若，则求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查新定义下对同底数幂的乘法法则的应用，解题的关键是正确理解题意，准确计算． （1）令，根据，即可证明； （2）根据新定义，将变形，得，可得进而可求的值． 【详解】（1）证明：令，，可得：， 又， 故等式左右两边同时除以得：． （2）解：， 而 ， ． 55．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为（其中，m，n为正整数）．类似的，我们规定关于任意正整数m，n的一种新运算：（其中m，n为正整数）． 例如，若，则．． (1)若， ①填空：_______； ②当，求的值． (2)若，化简：． 【答案】(1)①125；② (2) 【分析】（1）①根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 本题主要考查同底数幂的乘法，数字的变化规律，解答的关键是理解清楚所给的新的运算． 【详解】（1）解：①， ∴ ； ②， ， ， ， ， ； （2）解： ， ， ， ， ． 56．（24-25八年级上·福建漳州·期中）规定新运算：（其中m、n为正整数）．例如， 若，则． (1)若， ①求的值； ②当，求n的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)①25；②3 (2)243 【分析】本题考查了乘方及同底数幂的乘法，新定义，理解新定义的规则是解题的关键． （1）①按照新定义的运算规则有，再代入值进行计算即可； ②根据新的运算，再将相应的值代入运算即可； （2）结合新的运算，利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：， ． ② ， 又， ， ， ． （2）解：依题意得，，， . 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $