专题03 图形的变换（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题03 图形的变换 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 平移、轴对称、旋转现象 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（    ） A．斐波那契螺旋线 B．阿基米德三角形 C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线 3．（2026·江苏南通·模拟预测）下列由七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏·期末）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 利用平移的性质求解（应用） 5．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 7．（25-26七年级下·黑龙江鸡西·期中）春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为______． 8．（25-26七年级下·吉林·期末）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 平移作图 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接与，则线段与线段的关系_________． 12．（24-25七年级下·山西朔州·期末）如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 根据成轴对称图形的特征进行求解 13．（2026七年级下·江苏·期末）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，直线，垂足为O，请按下列要求作图，并解答问题． (1)作出点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称； (2)点与点有怎样的对称关系？请说明你的理由． 轴对称中的角度计算 17．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 20．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 对称轴 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； (3)四边形的面积为___________． (4)画出点关于直线的对称点． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 24．（25-26七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    镜面对称 25．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 26．（25-26八年级上·重庆江北·期末）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 27．（2025八年级上·江苏·期末）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 28．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 尺规作垂直平分线、角平分线 29．（25-26八年级下·福建宁德·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 30．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 32．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 折叠问题 33．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数为______． 34．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 35．（25-26七年级下·福建福州·期中）【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． (1)如图1，在纸上折出一条折痕，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则折痕与的位置关系是______． (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．王芳的说法正确吗？请予以证明． (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点G，请求出的度数． 36．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 旋转中心、旋转角、对应点 37．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 38．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 39．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 根据旋转的性质求解 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 43．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将长方形绕点旋转，点、、对应点记为点、、，旋转角记为．当时，如果与的度数之比为，的度数为________． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 画旋转对称图形 45．（24-25七年级下·江苏·单元测试）作图： (1)如图①，以点O为中心，把线段逆时针旋转； (2)如图②，以点O为中心，把三角形顺时针旋转． 46．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的； (3)在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 47．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 48．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 中心对称图形的性质求面积、长度、角度 49．（2025九年级上·江苏·期末）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 50．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 51．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值． 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 53．（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 54．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． (1)画出将向右平移个单位长度后的图形； (2)画出关于直线对称的图形； (3)如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 55．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 56．（2024·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； (2)以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； (3)以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 忽略平移的性质 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿射线BC方向平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点D，E，． (1)若，，求； (2)若，求的度数． 58．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 59．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 60．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．    (1)填空：线段与线段的关系为________． (2)求四边形的面积； (3)连接，若，，求的度数． 根据轴对称的性质求最值 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 62．（24-25七年级下·江苏南京·期末）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 63．（25-26八年级上·江苏南京·期末）我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的相关问题．如图①，已知点A、在直线的同一侧，在直线上求作一点，使得最小，我们只要作点关于的对称点（如图②），根据对称性可知，，因此，求最小就相当于求最小，显然，当点A、、在同一直线上时，最小，因此连接，与直线的交点就是要求的点．    探究：四边形是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点、的位置． (1)如图③，怎样击打白球，能使它先碰撞台边，经反弹后再击中黑球？（画出白球经过的路线） (2)如图④，怎样击打白球，使它能先碰撞台边，经反弹后又碰撞台边，然后再击中黑球？（画出白球经过的路线） 64．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，点在的边上．（注：尺规作图保留作图痕迹）    (1)请用圆规在射线上截取一点，使得． (2)①分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，画出射线；②则与的关系是______． (3)①在射线上找一点，使得最小；②这样作图的依据是：______． (4)过点的射线满足，垂足为点， ①若，则的度数为______． ②通过验证，发现，请说明：． 折叠问题中的分类讨论问题 65．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 66．（25-26七年级下·浙江温州·期末）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 67．（25-26七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 68．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 三角板中的角度旋转问题 69．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 70．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 71．（25-26七年级下·江苏南京·期末）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 72．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的变换 平移及其性质 1.平移的概念：把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，图形的这种移动，叫做平移 2.平移的要素：一是平移的方向，二是平移的距离 3.平移的特点： (1)图形是整体移动的：(2)沿某一直线方向移动：(3)移动前后图形的形状、大小完全相同 【要点提示】 (1)图形的平移只改变图形的位置，不改变图形的形状和大小： (2)确定一个图形平移的方向和距离，只跨确定其上一个点平移的方向和距离即可， 4.平移的性质 性质1：平移后得到的新图形与原图形的形状、大小完全相同；对应边平行（或在同一条直线上）且相等，对应角相等 性质2：连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等. 平移作图 利用平移作图的一般步骤 (1)定：确定平移的方向和距离； (2)找：找出图形的关键点； (3)作：过这些关键点作与平移方向平行的线段， 使这些平行线段的长度都等于平移的距离： (4)连：按原图形顺序连接关键点的对应点. 轴对称的相关概念 1.轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴． 2.轴对称包含两层含义： ①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同； ②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合． 3.轴对称的基本性质 1.如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 由轴对称的性质得到一下结论： ①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称； ②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴． 2.轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． 4.轴对称图形 1.轴对称图形的概念： 如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条． 3.常见的轴对称图形： 等腰三角形，长方形，正方形，等腰梯形，圆等等． 线段的垂直平分线 定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）垂直平分线． 旋转的概念与性质 旋转的概念 1. 旋转的定义： 在平面内，把一个图形绕着某一个点O旋转一个角度的图形变换叫做旋转．点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角，如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做对应点． 2.旋转的三点注意： ①旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键． ②旋转中心是点而不是线，旋转必须指出旋转方向． ③旋转的范围是平面内的旋转，否则有可能旋转成立体图形，因而要注意此点． 旋转的基本性质 1.旋转的性质： 　　旋转前后的两个图形中，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角都等于旋转角 2.旋转三要素： ①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度．　　 注意：三要素中只要任意改变一个，图形就会不一样． 中心对称与中心对称图形 中心对称 1.中心对称的定义      把一个图形绕着某个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．． 2.中心对称的性质： 成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分  3.中心对称的性质的两点注意 ①关于中心对称的两个图形能够完全重合；  ②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分． 中心对称图形 1.中心对称图形的定义      把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 注意：中心对称图形和中心对称不同，中心对称是两个图形之间的关系，而中心对称图形是指一个图形自身的特点，这点应注意区分，它们性质相同，应用方法相同． 2.常见的中心对称图形 平行四边形、圆形、正方形、长方形等等． 平移、轴对称、旋转现象 1．（25-26七年级下·江苏连云港·期末）新能源汽车是我国经济发展的重要产业之一．下列新能源车标中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：不是轴对称图形， 不符合题意； 对于选项B：不是轴对称图形， 不符合题意； 对于选项C：是轴对称图形， 符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形， 不符合题意； 2．（25-26八年级下·江苏南通·期末）数学家是对世界数学的发展作出创造性工作的人士，他们运用他们的特殊知识与专业方法解决许多在科学领域的显著问题．下面的图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形的是（    ） A．斐波那契螺旋线 B．阿基米德三角形 C．赵爽弦图 D．笛卡尔心形线 【答案】C 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形． 3．（2026·江苏南通·模拟预测）下列由七巧板拼成的图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】轴对称图形沿一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，据此逐项判断即可． 【详解】解：选项A、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故A不符合题意； 选项B、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故B不符合题意； 选项C、该图形沿中间竖直直线折叠，左右两部分能够完全重合，是轴对称图形，故C符合题意； 选项D、该图形找不到任何一条直线使图形折叠后重合，不是轴对称图形，故D不符合题意． 4．（25-26八年级上·江苏·期末）下列现象中属于平移的是（   ） A．升降电梯从一楼升到五楼 B．卫星绕地球运动 C．树叶从树上随风飘落 D．纸张沿着它的中线对折 【答案】A 【分析】本题考查了平移的定义，理解平移的定义：物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变是解题的关键． 根据平移的定义，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：∵平移的定义是物体在运动过程中，所有点移动相同距离和方向，形状和大小不变. 选项A：升降电梯从一楼升到五楼，是沿直线移动，电梯本身形状不变，符合平移； 选项B：卫星绕地球运动，是圆周运动，方向不断变化，不符合平移； 选项C：树叶从树上随风飘落，运动轨迹不规则，且常有旋转，不符合平移； 选项D：纸张沿着中线对折，是对称折叠，形状改变，不符合平移. ∴属于平移的是A， 故选：A． 利用平移的性质求解（应用） 5．（25-26七年级上·浙江金华·期末）如图1、图2为一张纸片的两种剪拼方案（沿虚线剪开），记图1为方案甲，图2为方案乙，其中，，.对于方案甲，满足，；对于方案乙，满足，．若要拼一个与原纸片面积相等的正方形（纸片没有空隙也不重叠），则（    ） A．甲可以、乙不可以 B．甲不可以、乙可以 C．甲、乙都不可以 D．甲、乙都可以 【答案】D 【分析】本题主要考查图形的平移，通过计算可得所给纸片的面积为5，图1中以为边构造正方形，图2中以为边构造正方形，通过平移即可判断求解． 【详解】解：方案甲，如下图所示，将四边形移至处，将四边形移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形； 方案乙，如下图所示，将移至处，将移至处，即可得到一个与原纸片面积相等的正方形． 因此甲、乙都可以， 故选D． 6．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，在一块长，宽的长方形草地上，修建三条宽均为的长方形小路，则这块草地的绿地面积（图中空白部分）为______． 【答案】1288 【分析】根据平移的性质，将三条小路分别平移到长方形草地的边缘，可得绿地部分拼成一个新的长方形，确定新长方形的长和宽，然后利用长方形面积公式进行计算即可解答． 【详解】解：由题意及平移的性质得： 绿地部分可拼成一个长方形， 其长为，其宽为， 则绿地面积为：． 7．（25-26七年级下·黑龙江鸡西·期中）春天到了，为美化环境，鸡西市儿童公园在一块长方形的空地上修两条宽一米的小路，其余部分种上不同的花卉，测得数据如图所示，求种花的面积和为______． 【答案】8 【分析】根据图形利用平移的性质，将图中空地平移后，种花的正好组成一个长为4，宽为2的长方形，然后求出结果即可． 【详解】解：根据题意可知，种花的面积和为： ． 故答案为：8． 【点睛】本题主要考查了平移的性质，解题的关键是根据平移得出种花的正好组成一个长为4，宽为2的长方形． 8．（25-26七年级下·吉林·期末）图形操作：（图1、图2、中的长方形的长均为10米，宽均为5米） 在图1中，将线段向上平移1米到，得到封闭图形（阴影部分）； 在图2中，将折线（其中点叫做折线的一个“折点”）向上平移1米到折线，得到封闭图形（阴影部分）． (1)问题解决，设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为，则 平方米；并比较大小： （填“”“”或”）； (2)联想探索：如图3，在一块长方形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路的宽度是1米），长方形的长为，宽为，请你直接写出空白部分表示的草地的面积是 平方米（用含，的式子表示）． (3)实际运用：如图4，在长方形地块内修筑同样宽的两条“相交”的道路（道路与长方形的边平行或垂直），余下部分作为耕地，若道路宽为4米，则剩余的耕地面积为 平方米． 【答案】(1)， (2)或 (3)448 【分析】本题主要考查了平移变换、矩形面积等知识点，利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形计算面积成为解题的关键． （1）依据平移变换可知，图1，图2中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为10米，宽为4米，进而得出其面积即可； （2）依据平移变换可知，图3中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为a个单位，宽为个单位的长方形，进而得出其面积； （3）依据平移变换可知，图4中除去阴影部分后剩下部分可以拼成一个长为28米，宽为16米的长方形，进而得出其面积． 【详解】（1）解：设图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为， 则平方米，平方米； ∴． 故答案为：40，=． （2）解：如图3，长方形的长为32米，宽为20米，小路的宽度是1米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方单位． 故答案为：． （3）解：如图4，长方形的长为，宽为，道路宽为4米， ∴空白部分表示的草地的面积是平方米． 故答案为：448． 平移作图 9．（25-26七年级上·江苏宿迁·期末）在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C都在格点上． (1)找一格点，使得直线，画出直线； (2)找一格点，使得直线于点，画出直线，并注明垂足； (3)找一格点，使得直线，画出直线； (4)线段___________线段；（填“>”“<”或“=”） 【答案】(1)见详解； (2)见详解； (3)见详解； (4)> 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平移的性质，垂线的定义，垂线段最短． （1）根据平移的性质画出图形即可； （2）根据垂直的定义画图即可； （3）根据垂直定义画图即可； （4）根据垂线段最短判断即可． 【详解】（1）解：如图，则即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，直线即为所求． ； （4）解：∵， ∴根据垂线段最短，得． 故答案为：>． 10．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了平移作图，掌握平移的性质是解题的关键． （）根据点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接即可； （）利用长方形面积减去四个直角三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； （2）解：如图，连接， 扫过的面积是 ， 故答案为：． 11．（24-25七年级下·福建福州·期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1．在方格纸内将经过一次平移后得到，图中标出了点B的对应点． (1)在给定方格纸中画出平移后的； (2)连接与，则线段与线段的关系_________． 【答案】(1)画图见解析 (2)平行且相等 【分析】本题考查平移变换以及平移的性质，正确得出对应点位置是解题关键． （1）直接利用平移的性质得出各对应点位置进而得出图形位置； （2）利用平移的性质得出对应点连线的关系即可； 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； ； （2）解：如图，连接与， 线段与线段的关系是：平行且相等； 12．（24-25七年级下·山西朔州·期末）如图，由小正方形组成的网格中点，，，均在网格线的交点处． (1)将三角形向下平移2格后得到三角形，请在网格中画出三角形． (2)将三角形平移后得到三角形，点移动到处，请补全三角形． (3)在（2）的基础上，连接和，则与的位置关系为______，数量关系为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)平行，相等 【分析】本题考查图形的平移，熟练掌握平移规律是解题的关键， （1）根据题中平移规律，平移后即可得到答案； （2）点移动到处，平移规律为：从右平移4个单位，再向下平多1个单位，再将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，即可得到三角形； （3）连接和，根据平移的性质可得答案． 【详解】（1）解：将三角形向下平移2格后得到三角形，如图所示： （2）解：∵点移动到，平移规律为：向右平移4个单位，再向下平多1个单位， ∴将点，点，都按照此平移规律平移，得到，依次连接，得到三角形，如图所示： （3）解：∵一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行且相等， ∴，， 故答案为：平行，相等． 根据成轴对称图形的特征进行求解 13．（2026七年级下·江苏·期末）如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 14．（25-26八年级上·河北衡水·期末）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质、角的和与差，根据轴对称可知，，因为，，，即可求出的度数． 【详解】解：由轴对称可知，， ，，， ， ． 故选：D． 15．（25-26七年级下·吉林长春·期中）如图，点P是外的一点，点M，N分别是两边上的点，点P关于的对称点Q恰好落在线段上，点P关于的对称点R落在的延长线上．若，，，则线段的长为______． 【答案】 【分析】根据轴对称的性质可得，，再根据得出答案． 【详解】解：∵点P关于的对称点是Q， ∴， 同理． ∵， ∴． 16．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，直线，垂足为O，请按下列要求作图，并解答问题． (1)作出点与点A关于直线对称，点与点A关于直线对称； (2)点与点有怎样的对称关系？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析 (2)点与点关于点O成中心对称，见解析 【分析】（1）根据轴对称的作图方法作图即可； （2）由轴对称的性质得，，，，进而得，，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图， （2）如图，点与点关于点O成中心对称，理由如下： ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∵点与点A关于直线对称， ∴，， ∴， ∴， 即点、的连线经过点O，且， ∴点与点关于点O成中心对称． 轴对称中的角度计算 17．（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图，直线m是多边形的对称轴，若，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质， 掌握知识点是解题的关键． 根据轴对称的性质，得到，即可解答． 【详解】解：∵直线m是多边形的对称轴，若， ∴． 故选C． 18．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，点D在边上，做点D关于直线的对称点E，连接，做点D关于直线的对称点F，连接．，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查轴对称的性质，由点E和点F分别是点D关于和的对称点，得，再根据，所以，即可求出答案． 【详解】解：点E和点F分别是点D关于和的对称点， ， ， ， ， 故选：A． 19．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）如图，线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O，若，则______． 【答案】36 【详解】解：∵ ∴ ∵线段与关于直线l对称，与直线l相交于点O， ∴． 20．（24-25七年级下·江苏·期末）如图，点P在的内部，点C和点P关于直线对称，点P关于直线的对称点是点D，连接交于点M，交于点N． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为 ． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 故答案为：． 对称轴 21．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）已知直角三角形，．请用圆规和无刻度的直尺，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）． (1)作线段的对称轴； (2)作的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可； （2）根据角平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求． ； （2）如图，射线即为所求． . 22．（25-26七年级下·江苏无锡·期末）在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点的位置如图所示．将平移，使点平移至点，点、的对应点分别是点、． (1)在图中请画出平移后得到的； (2)若连接、，则这两条线段之间的关系是_______； (3)四边形的面积为___________． (4)画出点关于直线的对称点． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)25 (4)见解析 【分析】（1）观察得点C平移到点D的平移规则：向右平移3个单位，向下平移2个单位， 按照同样规则平移点A得到对应点E，平移点B得到对应点F，顺次连接E、F、D，即得到平移后的； （2）根据平移的性质解答即可； （3）利用“割补法”进行求解即可； （4）观察网格，线段的走向是“向右6格，向上3格”，将从点D“向右移动3格，再向下移动6格”得到格点M，连接，此时，垂足为点N，观察网格，点D位于点N“向上2格，向左1格”的位置，则从点N“向下移动2格，向右移动1格”得到格点G，此时，则点G即为所求． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：根据平移的性质，平移后所有对应点的连线平行且相等，、都是平移的对应点连线， 因此，线段与之间的关系是平行且相等； （3）解： 因此，四边形的面积为25； （4）解：如图，点即为所求． 23．（25-26七年级下·江苏盐城·期末）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点A、B、C、M、N均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移3格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质作图即可； （2）根据轴对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图：即为所作， ； （2）解：如图，即为所作， ； 24．（25-26七年级上·山东烟台·期中）（1）如图所示的正多边形的对称轴有几条？把答案写在图下方的横线上：    正三角形有______条对称轴，正四边形有______条对称轴， 正五边形有______条对称轴，正六边形有______条对称轴， 正七边形有______条对称轴，正八边形有______条对称轴； （2）一个正n边形有______条对称轴； （3）在图①中画出正六边形的一条对称轴l；    在图②中，只能用无刻度的直尺，准确画出正五边形的一条对称轴m．（不写画法，保留画图痕迹）    【答案】（1）3， 4，5， 6，7， 8；（2）n；（3）见解析 【分析】（1）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （2）由正多边形有几个顶点，就有几条对称轴，从而可得答案； （3）利用正六边形有偶数条边，画出正六边形的对称轴即可，利用全等三角形的性质或等腰三角形的性质画正五边形的对称轴即可． 【详解】解：（1）正三角形有3条对称轴，正四边形有4条对称轴， 正五边形有5条对称轴，正六边形有6条对称轴， 正七边形有7条对称轴，正八边形有8条对称轴； （2）一个正n边形有条对称轴； （3）如图所示，在图①中直线l即为所求；在图②中直线m即为所求．    图②也可以如下作法．    【点睛】本题考查的是正多边形的性质，理解正多边形是轴对称图形，正多边形有几个顶点就有几条对称轴是解本题的关键． 镜面对称 25．（24-25七年级下·福建三明·期末）在“制作万花筒”的综合与实践课中，将“镜子门”垂直放在所给的平面图形上，调整“镜子门”位置和角度，使镜子前的图形与镜子中的像共同组成如下图形．下列“镜子门”摆放的位置和角度错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称，平面镜成像中，实物与其像成镜面对称，那么实物与其像的连线与镜面垂直，据此可得答案． 【详解】解：∵平面镜成像中，实物与其像成镜面对称， ∴实物与其像的连线与镜面垂直， ∴四个选项中只有D选项中的图形不是镜面对称图形， 故选：D． 26．（25-26八年级上·重庆江北·期末）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【详解】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 27．（2025八年级上·江苏·期末）下列电子钟示数中，在平面镜中的像与原示数相同的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的像与原示数左右对称，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．在平面镜中的像为，与原示数相同，符合题意； B．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； C．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意； D．在平面镜中的像为，与原示数不同，不符合题意． 故选：A． 28．（25-26七年级上·内蒙古赤峰·期末）李叔叔开车回家，在路中等红灯时，从车子的后视镜里看到了后面的公交车，如图所示，根据图中信息，可以判断出该公交车是多少路？（    ） A． B． C． 【答案】C 【分析】根据镜子中看到的像正好与现实相反可得答案． 【详解】解：从车子的后视镜里看到了后面的公交车为路公交， 该公交车是路， 故选：C． 【点睛】本题考查了镜面对称的知识，熟知在镜中看到的像与现实的像正好相反是解本题的关键． 尺规作垂直平分线、角平分线 29．（25-26八年级下·福建宁德·期中）某班开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动．各组展示作图痕迹如下，其中是的角平分线，判断正确的是（   ） A．①④ B．②③ C．①③④ D．①②④ 【答案】C 【分析】由角平分线的尺规作图可判断图①；垂直平分线的尺规作图可判断图②；由平行线和等边对等角性质可判断图③；由三线合一性质可判断图④． 【详解】解：图①，由作图得，是的平分线，符合题意； 图②，由作图得，是的垂直平分线，不符合题意； 图③，由作图得， ∴ ∴ 由作图得， ∴ ∴ ∴是的平分线，符合题意； 图④，由作图得，，垂直平分 ∴是的平分线，符合题意． 综上所述，判断正确的是①③④． 30．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）现有两条高速公路l1、l2和两个城镇A、B（如图），准备建一个燃气控制中心站P，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇的距离也相等，请你利用直尺和圆规作出中心站P的位置． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线和线段垂直平分线的性质及其尺规作图，熟练掌握角平分线和线段垂直平分线的性质及其作法是解题的关键．作出角平分线、线段的垂直平分线，交点就是所求． 【详解】解：如图，分别作出线段的垂直平分线和l1、l2夹角的角平分线，两者的交点即为点的位置． 31．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，直角三角形中，，，，，用无刻度的直尺和圆规完成下列作图． (1)作边的中点； (2)作的平分线，交边于点； (3)作点关于直线的对称点； (4)直接写出的长为________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)3 【分析】（1）分别以为圆心，大于的长为半径画弧，作出的中垂线，得到中点即可； （2）以为圆心，任意长为半径画弧，交角的两边于两个点，以这两个点为圆心，大于这两个点所连线段的长为半径画弧，画出的角平分线即可； （3）根据对称的性质，得到，故以为圆心，的长为半径画弧，交于点即可； （4）根据线段中点的定义，线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，点即为所求； （4）由作图可知：， ∴． 故答案为：3． 32．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）光的反射是生活中常见的现象，图①是光的反射示意图（反射角等于入射角且法线与平面镜垂直，垂足为入射点）． (1)如图①，若入射光线与平面镜的夹角为，则反射角的度数是____________； (2)如图②，已知：入射光线，反射光线．求作：法线（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）； (3)如图③，已知：A为入射光线上一点，B为反射光线上一点．求作：入射点O（用直尺和圆规作图，保留作图痕迹）． 【答案】(1)60 (2) 见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据法线与平面镜垂直求出入射角的度数即可得到答案； （2）根据入射角等于反射角可知，法线即为入射光线与反射光线组成的角的角平分线，据此作的角平分线即可； （3）过点A作平面镜所在直线的垂线，垂足为D，以D为圆心，的长为半径画弧交直线于点C，连接交平面镜所在直线于点O，则点O即为所求． 【详解】（1）解：∵入射光线与平面镜的夹角为， ∵法线与平面镜垂直， ∴入射角的度数为， ∴反射角的度数是； （2）解：如图所示，射线即为所求； （3）解：如图所示，点即为所求． 折叠问题 33．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）将一张长方形纸片按如图所示的方式进行折叠，，为折痕，点，，的对应点分别为点，，，点在上，点在上，若，则的度数为______． 【答案】 【分析】根据折叠性质可得：，，再根据邻补角性质得出：，即可得出的度数，由可得的度数，再根据即可得出答案． 【详解】解：由折叠性质可得：，， ， ， ， ， ． 34．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知．点是射线上一点，连接，将沿着翻折得，点的对应点为点，如果，那么_________． 【答案】或 【分析】分点在直线上方和下方两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 将沿着翻折得，点的对应点为点， ∴， ①当点在直线上方时，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点在直线下方时，如图， 则， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 35．（25-26七年级下·福建福州·期中）【知识初探】 王芳同学在探究“过直线外一点画已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线． (1)如图1，在纸上折出一条折痕，在外取一点P．过点P折叠纸片，使得点C的对应点落在上（如图2），记折痕与的交点为A，将纸片展开铺平．则折痕与的位置关系是______． (2)【深入探究】 接着，过点P将纸片进行折叠，使得点E的对应点落在直线上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王芳说，就是的平行线．王芳的说法正确吗？请予以证明． (3)【拓展延伸】 王伟同学改变折痕和点P的位置，按照王芳同学的方法折叠得到后（点B，C，K，F分别在线段，，，上），再画出和的角平分线、，、所在的直线交于点G，请求出的度数． 【答案】(1) (2)王芳的说法正确，证明见解析 (3)或 【分析】（1）由折叠推出，进而得到，即可得出结论； （2）同（1）可得，，然后结合即可得到； （3）作，得到，推出，求出，然后分交点在的上方和下方，两种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：由折叠可知： 又∵ ∴ ∴； （2）解：王芳的说法正确，证明如下： 同（1）可得， ∵ ∴； （3）解：如图，作，则：， ∴，， ∴， ∵， ∴ 当点在直线的下方时，如图：过点作，则：， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 当点在上方时，如图，作，则：， 则：， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∵， ∴； 综上：或． 36．（25-26七年级上·安徽芜湖·期末）利用折纸可以作出角平分线，如图1折叠，则为的平分线，如图2、图3，折叠长方形纸片，，均是折痕，折叠后，点落在点，点落在点，连接． (1)如图2，若点恰好落在上，且，则 ； (2)如图3，当点在的内部时，连接，若，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查折叠的性质，角的和差计算，掌握好相关知识是关键． （1）根据折叠的性质可得，，．由点恰好落在上可得，，代入求值即可； （2）由折叠的性质可知，，，根据平角的性质计算出．根据、、和之间的关系，计算出． 【详解】（1）解：由折叠的性质可知，，， ∵点恰好落在上， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠的性质可知，，， ∴， ∴． 旋转中心、旋转角、对应点 37．（25-26八年级上·山东淄博·期末）如图，在的方格纸中，格点三角形甲经过旋转后得到格点三角形乙，则其旋转中心是（P，N，Q都是格点，M是小正方形对角线的交点）（   ） A．点M B．点P C．点Q D．点N 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；②对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；③旋转前、后的图形全等．熟练掌握旋转的性质是确定旋转中心的关键所在． 根据旋转前后对应点到旋转中心的距离相等来判断所求的旋转中心． 【详解】解：如图，连接N和两个三角形的对应点； 发现两个三角形的对应点到点N的距离相等，且夹角都是， 因此格点N就是所求的旋转中心． 故选：D． 38．（25-26九年级上·江苏·期末）如图，点，，，，都在方格纸上，若是由绕点按逆时针方向旋转而得，则旋转的角度为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，确定旋转角是解题的关键．由图可知，为旋转角，可利用，结合平角的定义即可得解． 【详解】解：观察题图结合网格特点可知，， ，即旋转角为． 故选：D． 39．（25-26九年级上·广东江门·期中）如图是由绕点顺时针旋转得到的，若____________________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是熟练掌握旋转的不变性和旋转的三要素． 由旋转的性质即可得到，，再由角的和差计算求解的度数． 【详解】解：由旋转得，， ∵， ∴， 故答案为：，． 40．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）如图，网格中每个小正方形边长为1，的顶点都在格点（网格线的交点）上，利用网格画图． (1)在图（1）中画出将先向上平移3格，再向左平移2格，得到的（点的对应点为，点的对应点为，点的对应点为），请在图上标出，并求出线段扫过图形的面积为__________； (2)通过旋转可以使其与重合，请用无刻度的直尺在图（2）中确定旋转中心（保留作图痕迹），并标出点． 【答案】(1)图形见解析，14 (2)图形见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、作图-平移变换； （1）根据平移的性质作图即可；利用割补法计算即可． （2）结合旋转的性质，连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则点即为所求． 【详解】（1）解：如图（1），即为所求． 线段扫过图形的面积为． 故答案为：14． （2）解：如图（2），连接，分别作线段的垂直平分线，相交于点，则绕点逆时针旋转可以与重合， 则点即为所求． 根据旋转的性质求解 41．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将绕点O逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用旋转的性质并结合图形计算即可得出结果． 【详解】解：由旋转的性质可得：， ∴． 42．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由旋转的性质得到的度数，再由角的和差关系可得答案． 【详解】解：由旋转的性质可得， ∵， ∴． 43．（25-26七年级下·江苏扬州·期中）如图，将长方形绕点旋转，点、、对应点记为点、、，旋转角记为．当时，如果与的度数之比为，的度数为________． 【答案】或 【分析】分顺时针和逆时针两种旋转方向进行讨论，对与进行表示，然后根据与的比例关系列方程，求解得到的可能值． 【详解】解：如图，当顺时针旋转， ，， 则， 解得， 如图，当逆时针旋转， ，， 则， 解得， 综上，的度数为或． 44．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）已知一副三角板按如图1的方式摆放，、、三点在同一直线上，其中，． (1)求图1中的度数． (2)如图2，三角板固定不动，将三角板绕点按逆时针方向旋转一个角度，其中．当三角板的一边平分时，求旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)旋转角的度数为或． 【分析】（1）根据平角的性质，结合三角板中的角度计算即可求解； （2）设的平分线为射线，先求得，再分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点B、C、D在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 设的平分线为射线， ∴， 根据题意，分两种情况讨论： ①当边平分时： 此时， ∵初始位置时， ∴旋转角； ②当边平分时： 此时． ∵初始位置时与重合， ∴旋转角． 综上所述，旋转角的度数为或． 画旋转对称图形 45．（24-25七年级下·江苏·单元测试）作图： (1)如图①，以点O为中心，把线段逆时针旋转； (2)如图②，以点O为中心，把三角形顺时针旋转． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查旋转； （1）根据旋转的性质，找出端点A，B绕点O旋转后的对应点，连接即可； （2）根据旋转的性质，找出端点A，B，C绕点O旋转后的对应点，连接即可． 【详解】（1）解：如图，线段为所求； （2）解：如图，三角形为所求； 46．（25-26八年级上·吉林长春·期末）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，点、、、、、均为格点．只用无刻度的直尺，按下列要求作图： (1)在图①中，画出图中向下平移格后的； (2)在图②中，画出图中关于直线对称的； (3)在图③中，画出图中绕点顺时针旋转后的． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换，作图-轴对称变换，作图-平移变换，解题的关键是学会掌握平移变换，轴对称变换，旋转变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）利用轴对称变换的性质分别作出，的对应点的，即可； （3）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求； （2）在图②中，即为所求； （3）在图③中，即为所求． 47．（24-25七年级下·江苏泰州·期末）仅使用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． (1)如图1，已知点是长方形边的中点，过点作长方形的对称轴； (2)如图2，在方格纸上画出绕点按顺时针方向旋转后的图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图-旋转变换、矩形的性质、作图-轴对称变换，熟练掌握旋转的性质、矩形的性质、轴对称的性质是解答本题的关键． （1）连接、交于点，连接，过点与点，作直线，结合矩形的性质即可求解； （2）结合题意，根据旋转的性质进行作图，即可． 【详解】（1）解：如图，连接、交于点，过点与点，作直线．则直线即为所求． 作法：连接、交于点，过点与点，作直线． 证明：∵四边形是矩形， ∴， 即点在的垂直平分线上， ∵点是的中点， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， 即直线是长方形的一条对称轴． （2）解：如图，即为所求． 作法：连接、、，分别将、、绕点按顺时针方向旋转，得到、、；依次连接、、；即为所求． 48．（24-25七年级下·江苏徐州·期末）如图，在的正方形网格中，点均为格点，直线m经过点．按下列步骤依次完成作图： (1)画出关于直线m对称的； (2)画出绕点P按逆时针方向旋转所得的； (3)与是否成轴对称？若是，画出对称轴l； (4)与是否成中心对称？若是，用无刻度的直尺作出对称中心O． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是，见解析 (4)是，见解析 【分析】本题考查了作图：轴对称变换及旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形． （1）利用关于直线m对称的点的坐标特征分别标出、、，然后顺次连接即可； （2）利用旋转的性质分别标出、、，然后顺次连接即可； （3）根据轴对称的性质进行判断即可； （4）根据轴对称的性质进行判断并求解即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：如图，即为所作； （3）解：与成轴对称，对称轴l如图所示； （4）解：与成中心对称，对称中心O如图所示． 中心对称图形的性质求面积、长度、角度 49．（2025九年级上·江苏·期末）如图，与关于点D中心对称，连接，以下结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的性质，即对应点在同一条直线上，且到对称中心的距离相等． 根据中心对称图形的性质可得结论． 【详解】解：∵与关于点D中心对称， ∴，，，， ∴，， ∴选项A、C、D正确； 无法证明， ∴选项B错误； 故选：B． 50．（25-26八年级下·湖南邵阳·期末）如图，与关于点O成中心对称，下列结论成立的是 ________（填序号）． ①点A与点是对应点； ②； ③； ④． 【答案】①②③ 【分析】本题考查了中心对称的性质，利用中心对称的性质解决问题即可． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴， ∴点A与点是对称点，，， 故①②③正确， 故答案为：①②③． 51．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，与关于点成中心对称，为的高，若，，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了中心对称的性质，三角形面积公式，由题意得，，求出即可，熟练掌握中心对称的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与关于点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 52．（25-26七年级下·吉林长春·期末）如图，在长方形中，，．点从点出发，沿折线以每秒2个单位的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒1个单位的速度向点运动，当点到达点时，点、同时停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点在边上运动时，______（用含的代数式表示）； (2)当点与点重合时，求的值； (3)当时，求的值； (4)若点关于点的中心对称点为点，直接写出和面积相等时的值． 【答案】(1)2t-4（2≤t≤5）； (2) (3)t=或； (4)满足条件的t的值为或． 【分析】（1）判断出时间t的取值范围，根据线段的和差定义求解； （2）先判断P的位置，再根据BP+CQ=BC，构建方程求解； （3）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解； （4）分两种情形，点P在线段AB上，或在线段BC上两种情形，分别构建方程求解； 【详解】（1）解：当2≤t≤5时，PB=2t-4， 故答案为：（2t-4）（2≤t≤5）； （2）当时，重合，此时不重合， 当P，Q重合时，2t-4+t=6， ∴； （3）当BQ=2PB时，6-t=2（4-2t）或6-t=2（2t-4）， 解得，或， ∴t=或； （4）当点P在AB上时，如图甲所示， ∴×2（4-2t）×6=×t×4， 解得，． 当点P在BC上时，如图乙所示， ×2（2t-4）×4=×t×4，解得，， 综上所述，满足条件的t的值为或． 【点睛】本题考查了长方形的性质，三角形的面积，中心对称的性质，一元一次方程的几何应用等知识，解题的关键是学会利用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 方格纸中补画图形使之成为中心对称图形 53．（2025·江西赣州·一模）如图在正方形网格中，已知顶点为格点的．请仅用无刻度的直尺按下列要求作图． (1)在图1中，作一个四边形，使它是中心对称图形； (2)在图2中，作一个，使它是轴对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了在正方形网格中利用无刻度的直尺作中心对称图形和轴对称图形，熟练掌握中心对称图形和轴对称图形的定义是解题的关键． （1）根据中心对称图形的定义画图即可； （2）根据轴对称图形的定义画图即可． 【详解】（1）如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求． 54．（24-25七年级下·江苏连云港·期中）如图，已知的顶点、、在格点上，按下列要求在方格纸中画图． (1)画出将向右平移个单位长度后的图形； (2)画出关于直线对称的图形； (3)如果点与点关于某点成中心对称，请标出这个对称中心，并画出关于点成中心对称的图形 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了网格作图，作平移图形，作轴对称图形，中心对称的性质，熟悉掌握作图方法是解题的关键． （1）平移作图即可； （2）轴对称作图即可； （3）根据中心对称的性质作图即可． 【详解】（1）解：如图所示即为所求： （2）解：如图所示即为所求： （3）解：如图所示即为所求： 55．（24-25七年级下·江苏南京·期中）如图，方格纸中四边形的四个顶点均在格点上，将四边形向右平移4格得到四边形．将四边形绕点A旋转，得到四边形． (1)在方格纸中画出四边形和四边形； (2)四边形经过一次________可以与四边形重合（填“平移”“旋转”或“轴对称”）； (3)写出四边形与四边形经过（2）中变换的两条性质． 【答案】(1)见解析 (2)旋转 (3)四边形与四边形形状大小都相同 【分析】本题考查轴对称和中心对称作图，掌握轴对称和中心对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质和中心对称的性质作图即可； （2）根据两图形的位置进行判断解题即可； （3）根据两图形得到性质即可解题． 【详解】（1）解：如图所示，四边形和四边形即为所作； （2）解：四边形可以看作是四边形绕着中点旋转得到的， 故答案为：旋转； （3）四边形和四边形的形状相同，大小相同． 56．（2024·安徽宿州·一模）如图，在由边长为1个单位的小正方形组成的网格中，四边形的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位得到线段，画出线段； (2)以D为旋转中心，将线段按逆时针方向旋转，得到线段，画出线段； (3)以为顶点，画一个四个顶点均为格点的四边形，使得该四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了平移作图、旋转作图、轴对称图形和中心对称图形的定义，菱形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）根据旋转的性质作图即可． （3）由图可知，，取格点M，使，则四边形为菱形，结合轴对称图形和中心对称图形的性质可知，四边形即为所求． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：如图，线段即为所求． （3）解：如图，四边形即为所求． 忽略平移的性质 57．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，将三角形沿射线BC方向平移得到三角形，点A，B，C的对应点分别是点D，E，． (1)若，，求； (2)若，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据平移的性质计算即可得出结果； （2）由平移的性质可得，，再结合平行线的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由平移的性质可得，， ∴， ∴． 58．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图1，在中，，的周长为，边在直线上，将沿着直线平移得到，（，，的对应点分别为，，）， (1)如图1，连接，若平移距离为，则阴影部分的周长为 ； (2)如图2，当时，求的度数； (3)在整个运动中，当时，则的度数为 ． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据平移可得，，进而可得根据阴影部分周长等于的周长，即可求解； （2）根据平移可得，，根据垂线的定义可得，进而根据平行线的性质即可得出，由，即可求解； （3）根据，设，则，根据平行线的性质以及平移的性质得出，进而列出方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， ∵的周长为， ∴ ∴阴影部分的周长为 故答案为：． （2）解：∵， ∴， 依题意，， ∴， （3）解： ∵，设，则 如图，连接， ∵， ∴ ∴ 解得： 即 故答案为：． 59．（24-25七年级下·河北邢台·期末）如图，在三角形中，，，，将此三角形向右平移得到三角形，此时边与边相交于点，连接． (1)分别求和的度数． (2)若点落在边的中点处，且，求四边形的面积． (3)已知是三角形内部一点，三角形平移到三角形的位置后，点的对应点为，连接．若三角形的周长为，四边形的周长为12，直接写出的长度． 【答案】(1)， (2)18 (3)6 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）由平移的性质得，则，再根据角的关系进行运算，即可作答． （2）由线段的中点得，再得，结合割补法列式计算求出四边形的面积，即可作答． （3）先由平移的性质得，因为三角形的周长为，四边形的周长为12，且结合周长的公式列式计算，即可作答． 【详解】（1）解： 三角形向右平移得到三角形， ， ， ， （2）解：为的中点， ． ， 四边形的面积三角形的面积三角形的面积 四边形的面积为18． （3）解：三角形向右平移得到三角形， ． 则四边形的周长， 三角形的周长为， 四边形的周长， ． 60．（25-26七年级下·湖北咸宁·期中）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形沿着方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形，其中．    (1)填空：线段与线段的关系为________． (2)求四边形的面积； (3)连接，若，，求的度数． 【答案】(1)平行且相等 (2) (3) 【分析】（1）由题意得：线段与线段的关系为平行且相等； （2）由平移知，，则，因为三角形的面积=三角形的面积，推出四边形的面积=四边形的面积，利用梯形面积公式求解即可； （3）由平移知，，，则，再利用平等线的性质以及角的和与差求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：线段与线段的关系为平行且相等， 故答案为：平行且相等； （2）解：由平移知，， ∴， ∵三角形的面积=三角形的面积， ∴四边形的面积=四边形的面积 ； （3）解：由平移知，，，    ∴，， ∵， ∴． 【点睛】本题考查平移的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识． 根据轴对称的性质求最值 61．（25-26八年级上·江苏无锡·期末）如图，网格中的与为轴对称图形． (1)利用网格线作出与的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，解题的关键是掌握以上性质． （1）连接对应点，利用网格作出对应点连线的垂直平分线即可得； （2）连接，与直线的交点即为点． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； 连接，利用网格图形作的垂直平分线，即正方形的对角线所在的直线， ∴直线即为对称轴； （2）解：如图所示，点即为所求； 连接，交直线于点， 根据轴对称的性质，， 根据两点之间线段最短得， 此时，此时的值最小． 62．（24-25七年级下·江苏南京·期末）利用图形的变换可以解决很多生活中问题． 如图1，要在一条笔直的路边l上建一个燃气站，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短． 如图2，作出点A关于l的对称点，线段与直线l的交点P的位置即为所求，即在P处建燃气站，所得路线是最短的． (1)如果在A，B两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域，请分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由，作图工具不限）． (2)如图，已知及其内部一点P，试在，上分别确定点M，N，使最小（不需说明理由，作图工具不限）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）第一个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的；第二个图：连接，作C关于l的对称点，连接交l于P，即在P处建燃气站，所得路线是最短的； （2）分别作P关于的对称点，连接分别交于，连接，由对称性可得：，则，根据两点之间线段最短可知，最小． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 63．（25-26八年级上·江苏南京·期末）我们在七年级曾学过“两点之间线段最短”，利用这一知识点也可以解决两条线段之和最小的相关问题．如图①，已知点A、在直线的同一侧，在直线上求作一点，使得最小，我们只要作点关于的对称点（如图②），根据对称性可知，，因此，求最小就相当于求最小，显然，当点A、、在同一直线上时，最小，因此连接，与直线的交点就是要求的点．    探究：四边形是长方形台球桌的台面，有白、黑两球分别位于点、的位置． (1)如图③，怎样击打白球，能使它先碰撞台边，经反弹后再击中黑球？（画出白球经过的路线） (2)如图④，怎样击打白球，使它能先碰撞台边，经反弹后又碰撞台边，然后再击中黑球？（画出白球经过的路线） 【答案】(1)图见详解； (2)图见详解； 【分析】（1）作出点E关于的对称点，连接交于一点M，连接，即可得到白球的路线； （2）分别作E、F分别关于、的对称点，，连接，即可得到路径； 【详解】（1）解：作出点E关于的对称点，连接交于一点M，连接，即可得到白球的路线：，如图所示，   ； （2）解：分别作E、F分别关于、的对称点，，连接，交、于点M、Q即可得到路径：，如图所示，    【点睛】本题主要考查了利用轴对称作图，熟练掌握轴对称定义是解题的关键． 64．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图，点在的边上．（注：尺规作图保留作图痕迹）    (1)请用圆规在射线上截取一点，使得． (2)①分别以点、点为圆心，大于长为半径画弧，两弧在内部交于点，画出射线；②则与的关系是______． (3)①在射线上找一点，使得最小；②这样作图的依据是：______． (4)过点的射线满足，垂足为点， ①若，则的度数为______． ②通过验证，发现，请说明：． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② (3)①见解析；②两点之间线段最短 (4)①或；②见解析 【分析】（1）根据要求作出图形； （2）①根据要求作出图形，②根据作图以及角平分线的定义可得结论； （3）连接交于点，点即为所求，②根据两点之间线段最短即可求解； （4）①画出图形，分两种情形求解； ②证明，进而根据垂直与同一直线的两直线平行即可得证． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）①如图，射线即为所求； ②， 故答案为：； （3）①如图，点即为所求， ②依据：两点之间线段最短； （4）①平分， ， ， 或． 故答案为：或； ②，平分， ， ， ． 【点睛】本题考查了作角平分线，两点之间线段最短，角平分线的定义，平行线的判定，结合图形中角度的计算；熟练掌握以上知识是解题的关键． 折叠问题中的分类讨论问题 65．（25-26七年级下·山东济南·期末）如图，已知长方形纸片，点E，F分别在边和上，且，H和G分别是边和上的动点，现将点A，B，C，D分别沿、折叠至点N，M，P，K处，若，则的度数为___． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：当在上方时，延长，相交于Q点，证明，则，求出，则可得的度数；当在下方时，延长交于Q点，证明，则．求出，则可得的度数． 本题考查了矩形中的折叠问题，分类讨论，掌握平行线的性质和折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：①如图，在上方时， 延长，相交于Q点， 由折叠知：，， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ， ； ②如图，在下方时， 延长，交于Q点， 由折叠知：，， ， 又， ， ， ， ， ， ， ，， ， 由折叠知：， ， ． 故答案为：或 66．（25-26七年级下·浙江温州·期末）如图1，在长方形纸片中，点P在上，点Q在上，将纸片沿折叠，点C，D的对应点分别为点E，F．交于点G．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为．    （1）若，则_____°． （2）沿继续折叠纸片，若恰好是的三等分线，则_____°． 【答案】 或36 【分析】（1）根据矩形的性质可得，从而利用平行线的性质得，然后根据折叠的性质可得，即可得出答案； （2）根据折叠的性质可得，再利用平行线的性质可得，然后分两种情况：当时，当时，分别得出结果． 【详解】解：（1）如图：      ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴， 故答案为：； （2）如图：    由折叠得：， ∵， ∴， ∵是的三等分线， ∴分两种情况： 当时， ∴， ∴， 当时， ∴， ∴， 综上所述， 或， 故答案为：或36． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角的计算，翻折的变换，熟练掌握平行线的性质，以及折叠的性质是解题的关键． 67．（25-26七年级上·浙江金华·期末）东东发现折纸中蕴含着丰富的数学问题，他将长方形纸片按如图1所示折叠，点F在边上，点E，G在其它三边上，和为两条折痕，且折叠后重叠的纸片最多不超过三层．东东在探究的过程中，发现随着点E，G的位置变化而变化，为了研究方便，把记为，记为． (1)如图1，当时，求的度数． (2)如图2，当点F，，在同一直线上（即）时，探究和的数量关系，并说明理由． (3)在和中，当其中一个角是另一个角的3倍时，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）根据折叠的性质解题即可； （2）根据折叠的性质计算即可解题； （3）分三种情况分别画图，列方程进行计算解题． 【详解】（1）解：由折叠可得：，， ∴； （2）解：，理由为： 由折叠可得：，， ∴， ∴； （3）如图1所示，由折叠可得：，， ∴ ， 当时，， 解得； 如图3，， 当时，， 解得：； 如图4所示，， 当时，， 解得：； 综上所述，的度数为或或时，和中，当其中一个角是另一个角的3倍时． 68．（25-26七年级上·江苏连云港·期末）如图1，点O是直线上一点，射线从开始以每秒的速度绕点O顺时针转动，射线从开始以每秒的速度绕点O逆时针转动，当、相遇时，停止运动；将、分别沿、翻折，得到、，设运动的时间为t（单位：秒）． (1)如图2，当、重合时， ； (2)当时， ，当时， ； (3)如图3，射线在直线的上方，且，在运动过程中，当射线、、其中一条射线是另外两条射线组成角的平分线时，求出t的值． 【答案】(1)90 (2)20，12 (3)t的值为10或或． 【分析】（1）利用折叠性质得，，再利用邻补角即可求解； （2）利用折叠性质得求出、、、的度数，即可得解； （3）根据角平分线的不同，分是的角平分线、是的角平分线、是的角平分线三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将、分别沿、翻折，得到、， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：90； （2）解：当时， ，， ∴， 当时，如下图，，， ∴， 故答案为：20，12； （3）解：当是的角平分线时，则，如图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 当是的角平分线时，则，如下图， 由折叠可知，， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 解得； 综上，的值为或或． 【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，邻补角的性质，折叠的性质，一元一次方程的应用，根据题意正确分类讨论是解题的关键． 三角板中的角度旋转问题 69．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），则___________； (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的，判断边与边的位置关系，并说明理由； (3)当时， 若，求的度数． 如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点为边上一点．，在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数的值． 【答案】(1) (2)图见解析，，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）由旋转的性质可得，，， 进而根据角的和差关系即可求解； （2）根据题意画出图形，然后根据旋转的性质以及平行线的判定定理即可得证； （3）分逆时针方向旋转和顺时针方向旋转两种情况，分别画出图形，然后根据角的数量关系列方程求解即可；由旋转的性质得， 根据角的和差关系依次表示出， ， ，根据为定值可令含未知数的系数为，列方程求解即可． 【详解】（1）解：将三角板绕着点旋转得到，旋转角记为， ，， ， ， ； （2）解：如图，即为所求； ，理由如下： 由旋转的性质可得，， ， ； （3）解：如图，当旋转方向为逆时针方向时，，， ， ， 解得； 当旋转方向为顺时针方向时，，， ， ， 解得； 综上，的度数为或； 由旋转性质可得，， ，， ， ， ， 与始终满足为定值， ，解得， 常数的值为． 70．（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知直角三角板中，，．将三角板绕着点A旋转得到，旋转角记为． (1)当旋转方向为逆时针方向，且时（如图1），求和的大小． (2)当旋转方向为逆时针方向，且时，在图2中，画出旋转得到的． (3)当时， ①若，求的度数． ②如图3，当旋转方向为逆时针方向时，点D为上一点，．在旋转过程中，若与始终满足为定值，求常数m的值． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①或；② 【分析】（1）根据旋转的性质可得，结合旋转角度可求解． （2）根据逆时针旋转得到作图即可． （3）①分类讨论旋转方向为逆时针与顺时针两种，结合已知条件列式求解即可． ②根据旋转的角度先求解，再由角的关系求解与的度数，由定值列式求解m的值． 【详解】（1）解：∵三角板绕着点A逆时针旋转得到， ∴， 又∵，． ∴，． ∴， ． （2）解：当时，则， ∴三角板绕着点A逆时针旋转得到，如图： （3）解：①当旋转方向为逆时针时，如图： 则有，， ∵，即， 解得； 当旋转方向为顺时针时，如图： 则有，， ∵，即， 解得； 综上，的度数为或． ②当旋转方向为逆时针方向时，， ∴． ∴， ， 则， ∵与始终满足为定值， ∴，解得． 故常数m的值为． 71．（25-26七年级下·江苏南京·期末）取一副三角板按图①拼接，固定三角板，将三角板绕点依顺时针方向旋转一定的角度得到．请问： (1)如图②，当与垂直时，求的度数； (2)如图①，三角板绕点以顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转时间为，三角板旋转一周时停止运动，当三角板的一边与平行时，求出时间的值（直接回答，不用证明）． 【答案】(1)或 (2)的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用垂直和旋转的性质求解即可； （2）由旋转性质依次分析不同情况，作出图形，由平行线的性质求出旋转角度即可得到答案． 【详解】（1）解：①如图，令与的交点为， ， ， ， ； ②如图，延长交于点， ， ， ； 综上可知，的度数为或； （2）解：三角板绕点依顺时针方向旋转，旋转速度为每秒，旋转一周停止． 当三角板的一边与平行时，分下列情况讨论： ①，如图， ， ，即旋转角为， 秒； ②，如图，令与的交点为， ， ， ，即旋转角为， 秒； ③，如图， ，即旋转角为， 秒； ④（第二次平行），如图， ， 旋转角为， 秒； ⑤（第二次平行），如图， 同（1）②理可得：， 旋转角为， 秒； ⑥（第二次平行），如图所示： ， 旋转角为， 秒． 综上， 的值为5秒或35秒或50秒或65秒或95秒或110秒． 72．（25-26七年级上·江苏盐城·期末）如图1，点O为直线上一点，两个完全相同的直角三角板的直角顶点与点O重合，直角边在直线上，． (1)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置，若，则______； (2)将图1中的三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，此时，三角板不动，请问几秒后所在的直线平分？ (3)将图1中的三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，同时三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转（随三角板COD停止而停止），请直接写出几秒后所在的直线平分？ 【答案】(1)150° (2)15秒或35秒时，所在的直线平分 (3)27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分 【分析】本题主要考查了旋转的性质、角的和差、一元一次方程的应用等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）由角的和差可得，由旋转的性质可得，再根据角的和差即可解答； （2）由题意可得：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周需40秒；然后分两种情况，分别分解旋转的性质以及角平分线的定义求解即可； （3）由题意可得：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，需120秒；然后分当三角板绕点O沿逆时针方向旋转、、三种情况，分别运用旋转的性质、角平分线的定义列一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三角板绕点O按顺时针方向旋转到如图2所示的位置， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：三角板绕点O按顺时针方向以每秒的速度旋转一周，则旋转时间为（秒）． 如图，当旋转至时，平分，则， ∴， ∴，即15秒时，所在的直线平分； 如图，当旋转至时，所在直线平分，交于点E， ∴，即35秒时，所在的直线平分． 综上，15秒或35秒时，所在的直线平分． （3）解：三角板绕点O按逆时针方向以每秒的速度旋转两周，则旋转时间为（秒）， 三角板绕点沿逆时针方向按每秒的速度旋转，旋转的角度为， 设旋转时间为t秒， ①如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：； ②如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． ③如图：当三角板绕点O沿逆时针方向旋转时，所在的直线平分， ∴，解得：． 综上所述，27秒或63秒或99秒时，所在的直线平分． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $