专题04 二元一次方程组（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题04 二元一次方程组 二元一次方程与解 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 二元一次方程组的概念与解 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法与加减消元法 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 二元一次方程的定义与解 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则_________． 4．（25-26七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 二元一次方程组的定义与解 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 7．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·江苏·期末）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 已知二元一次方程组的解求参数 9．（25-26八年级下·江苏·期末）已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 12．（25-26七年级下·湖南常德·期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 解二元一次方程组 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）解方程组： (1)； (2)． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）解方程组： (1) (2) 15．（25-26七年级下·山东聊城·期末）解下列方程组 (1) (2) 16．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 二元一次方程组的错解还原问题 17．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 18．（25-26七年级下·山东德州·期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________． 19．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，那么、、的正确的值应为______． 20．（24-25七年级下·四川巴中·期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 方程组相同解问题 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是______． 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如果方程组和解的相同，则___________． 23．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 24．（25-26七年级下·四川内江·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 三元一次方程组的解与应用 25．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2)． 26．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 27．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 28．（25-26七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 根据问题列二元一次方程组 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 30．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 31．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为x、y的两个正方形，其面积之差为24． (1)根据题意，请你列出一个关于x、y的方程组； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 用二元一次方程组解决问题 33．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 34．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 35．（2025·江苏泰州·三模）箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． (1)小明每次取的白球数为________； (2)求m、n的值． 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 二元一次方程组的特殊解法 37．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 38．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 39．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 40．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 构造二元一次方程组求解 41．（25-26七年级下·福建福州·期中）若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 42．（25-26八年级上·江苏·期末）二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 43．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则________． 44．（2026八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 已知二元一次方程组解的情况求参数 45．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 46．（25-26七年级下·广东江门·期中）已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 47．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 48．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 方案问题中的分情况讨论 49．（24-25七年级下·重庆万州·期末）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求、两款奶茶的单价各为多少元？ (2)某班参加社会实践活动的有56位学生和4名教师，现该班决定团购下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠5元，奶茶在原来单价的基础上打八折，在班级现有经费648元的情况下，若奶茶的数量不少于34杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？最少费用多少元？ 50．（2025·江苏泰州·二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 51．（24-25八年级下·广东佛山·期末）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 52．（25-26七年级下·北京·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 销售问题中的利润最值问题 53．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该超市有几种进货方案？ 54．（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 55．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 56．（25-26七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 二元一次方程组的新定义问题 57．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 58．（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 59．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 60．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； (2)下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ (3)若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 二元一次方程与解 1.定义： 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程； 2.注意： （1）在方程中“元”是指未知数，“二元”就是指方程中有且只有两个未知数； (2)“含有未知数的项的次数都是1”不可理解为两个未知数的次数都是1； (3)二元一次方程的左边和右边都是整式， 3.方法技巧 判断一个方程是不是二元一次方程要“三看”：一看原方程是不是整式方程；二看化简后的方程是否含有两个未知数；三看含有未知数的项的次数是否都是1， 二元一次方程的解 定义： 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.注意： （1） 在二元一次方程中，任意给出一个未知数的值，总能求出另一个未知数的一个唯一确定的值，所以二元一次方程有无数解． （2）在求一个二元一次方程的整数解时，往往采用“给一个，求一个”的方法，即先给出其中一个未知数的值，再依次求出另一个的对应值． 3.验证二元一次方程的解的方法 把数值代入原方程，验证等号左右两边是否相等： 简记为：一代，二算，三判断 4.一般情况下，一个二元一次方程有无数组解，但如果对其未知数的取值附加某些限制条件，那么也 可能有有限个特殊的解. 二元一次方程组的概念与解 1.二元一次方程组的定义： 由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． 2.注意： (1)二元一次方程组一共要含有两个未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数 (2)方程组中的各个方程，相同未知数必须代表同一数量，否则不能将两个方程合在一起。 3.方法技巧： 判断一个方程组是二元一次方程组的方法 (1)方程组中各个方程都是整式方程： (2)方程组中一共含有两个不相同的未知数，而不是每个方程都必须含有两个未知数： (3)含未知数的项的次数都是1. 二元一次方程组的解 1. 定义： 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解． 2. 注意： 一般情况下二元一次方程组的解是唯一的．当遇到有关二元一次方程组的解的问题时，要回到定义中去，通常采用代入法，即将解代入原方程组，这种方法主要用在求方程中的字母系数． 3.方法技巧： （1）方程组的解一定是方程组中每一个方程的解，但方程组中每一个方程的解不一定是这个方程组的解； （2）方程组的解要用大括号联立表示； （3）一般地，二元一次方程组的解只有一组，但也有特殊情况，代入检验法检验一对数值是否为某二元 次方程组的解的方法是将这对数值分别代入方程组中的每个方程，只有这对数值满足其中的所有方程时，才能说这对数值是此方程组的解，如果这对数值不满妮其中的某一个方程，那么它就不是此方程组的解. 代入消元法与加减消元法 代入消元法 1.代入消元法的概念 将方程组的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示，并代人另一个方程，消去这个未知数，从而把解二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为代入消元法，简 称代入法. 2. 用代入法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来． （2） 代入：将变形后的关系式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求出x（或y）的值． （4） 回代：将求得的未知数的值代入变形后的关系式中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把求得的x、y的值用大括号“{”联立起来，就是方程组的解． 3.方法技巧： 用代入消元法解二元一次方程组的关键是“消元”，即化“二元”为“一元”。应注意的问题： (1)找准消元对象，消元对象一般选取系数简单的（如系数的绝对值较小的，系数是±1的)未知数，使变形后的方程比较简单或代入后比较容易化简. (2)在用代入法解二元一次方程组的一般步骤的“代入”中，必须理解“另一个”的含义，否则，若把y=ar+b代入变形的原方程，必然得到一个恒等式 (3)用代入法求出一个未知数的值后，再求另一个未知数时，一般代入变形后得到的方程比较 简单。 加减消元法 1.加减消元法的概念 把方程组的两个方程（或先做适当变形）的左、右两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，从而把解 二元一次方程组转化为解一元一次方程.这种解方程组的方法称为加减消元法，简称加减法. 2.用加减法解二元一次方程组的一般步骤： （1） 变形：方程组的两个方程中，如果同一个未知数的系数既不相等又不互为相反数，就用适当的数去乘方程的两边，使某一个未知数的系数相等或互为相反数． （2） 加减：把两个方程的两边分别相减或相加，消去一个未知数，得到一个一元一次方程． （3） 求解：解这个一元一次方程，求得未知数的值． （4） 回代：将求出的未知数的值代入原方程组的任意一个方程中，求出另一个未知数的值． （5） 写解：把所求得的两个未知数的值写在一起，就得到原方程组的解，用大括号“{”的形式表示． 3.用加减消元法解二元一次方程组应注意的问题： (1)化为标准形式·用加减消元法解二元一次方程组时，一般先把方程组整理成标准形式，再设法加减消元，这样不易出错. (2)选准消元对象，当某个未知数的系数相等或互为相反数或有倍数关系时，选择消去该未知数较简单，如果同一未知数的系数既不相等，也不互为相反数，那么可以利用等式的性质进行转化，使同一未知数的系数变得相等或互为相反数· 4.加减消元法四大解题策略： 策略一：对于相同未知数的系数互为相反数的二元一次方程组，直接相加消元. 策略二：对于相同未知数的系数相同的二元一次方程组，直接相减消元 策略三：当二元一次方程组中有系数成倍数关系的相同未知数时，应适当变形后消去这个未知数. 策略四：当二元一次方程组不具备以上三种类型时，选择系数的绝对值较小的相同未知数作为“消元” 的目标更简便 三元一次方程组的概念、解与应用 三元一次方程组的概念 1.三元一次方程组的定义： 方程组含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组． 2.三元一次方程组必须同时满足三个条件： （1）方程组中一共含有三个未知数，而不是每个方程都必须含有三个未知数； (2)含未知数的项的次数是1； (3)方程组中共有三个整式方程， 解三元一次方程组 1.解三元一次方程组的基本思路 通过“代入”或“加减”进行消元，把“三元”化为“二元”，使解三元一次方程组转化为解二元一次方程组，进而再转化为解一元一次方程 2.解三元一次方程组的方法： 解三元一次方程组时，先仔细观察三个方程中各个未知数系数的特点及整个式子的特点，然后确定消哪个“元”，再灵活选用代入消元法或加减消元法将三元化为二元， 3.解三元一次方程组的一般步骤： ①消元：首先利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组． ②求解：然后解这个二元一次方程组，求出这两个未知数的值． ③回代：再把求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个关于第三个未知数的一元一次方程． ④求解：解这个一元一次方程，求出第三个未知数的值． ⑤写解：最后将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起即可． 三元一次方程组的简单应用 在解决实际问题时，若未知量较多，要考虑设三个未知数，但同时应注意，设几个未知数，就要找到几个等量关系列几个方程． （1）把求等式中常数的问题可转化为解三元一次方程组，为以后待定系数法求二次函数解析式奠定基础． （2）通过设二元与三元的对比，体验三元一次方程组在解决多个未知数问题中的优越性． 二元一次方程组的实际应用 由实际问题抽象出二元一次方程组 1. 由实际问题列方程组是把“未知”转化为“已知”的重要方法，它的关键是把已知量和未知量联系起来，找出题目中的相等关系． 2.一般来说，有几个未知量就必须列出几个方程，所列方程必须满足：①方程两边表示的是同类量；②同类量的单位要统一；③方程两边的数值要相符． 3.找等量关系是列方程组的关键和难点，有如下规律和方法： ①确定应用题的类型，按其一般规律方法找等量关系． ②将问题中给出的条件按意思分割成两个方面，有“；”时一般“；”前后各一层，分别找出两个等量关系． ③借助表格提供信息的，按横向或纵向去分别找等量关系．④图形问题，分析图形的长、宽，从中找等量关系． 4. 建立二元一次方程组的基本模型 二元一次方程组的应用 （一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： （1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系． （2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来． （3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组． （4）求解． （5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答． （二）设元的方法：直接设元与间接设元． 当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程． 二元一次方程的定义与解 1．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二元一次方程需满足：含有两个未知数，所有未知数的次数均为1，且是整式方程，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A．中，的次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项错误； 选项B．中，含有3个未知数，是三元一次方程，不符合二元一次方程定义，故此选项错误； 选项C．中，含有两个未知数，所有未知数次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义，故此选项正确； 选项D．中，的次数为2，不符合二元一次方程定义，故此选项错误． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期末）已知是关于的方程的解，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将方程的解代入原方程得到的值，再对所求代数式变形，整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴把代入方程得， 整理得， ∴． 3．（25-26七年级下·内蒙古乌海·期中）已知二元一次方程，用含的代数式表示，则_________． 【答案】 【分析】把y看成常量，把x看成未知数，求解关于x的一元一次方程即可． 【详解】解：∵， ∴． 4．（25-26七年级下·河北邢台·期中）已知是二元一次方程的一个解． (1)求m的值； (2)用含x的代数式表示y． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了方程的解以及解方程 （1）根据二元一次方程组的定义代入计算，即可得出答案； （2）根据解方程的方法用含x的代数式即可表示y． 【详解】（1）由题意得，， 解得，． （2）由得，． 二元一次方程组的定义与解 5．（25-26八年级上·四川成都·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，需满足两个条件：①方程组含有两个未知数；②每个方程都是整式方程且未知数的次数为1． 【详解】解：A． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． B． 方程组中第一个方程含项，次数为，不符合一次方程要求，排除． C． 方程组中两个方程均为一次方程，且仅含、两个未知数，符合定义，正确． D． 方程组含、、三个未知数，不符合“二元”条件，排除． 故选：C． 6．（24-25七年级下·江苏苏州·期中）若方程组的解是，则（    ） A．2 B． C．0 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，代数式求值，将方程组的解代入原方程组，解关于a和b的方程，再求和即可． 【详解】解：方程组的解是， ，解得：， ， 故选：C． 7．（25-26七年级下·重庆荣昌·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的判断，根据由2个一次方程组成，共含有2个未知数的方程组是二元一次方程组，进行判断即可． 【详解】解：A、第一个方程含项（次数为2），不是一次方程，不符合题意； B、第一个方程含分式，不是整式方程，不符合题意； C、方程组共有三个未知数，不符合题意； D、是二元一次方程组，符合题意； 故选D． 8．（25-26七年级下·江苏·期末）下列方程组，其中是二元一次方程组的有________（填序号） ①②  ③   ④． 【答案】①③/③① 【分析】根据二元一次方程组的定义，即可求解． 【详解】解：二元一次方程组有①③． 故答案为：①③ 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握组成二元一次方程组应共含有两个未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程是解题的关键． 已知二元一次方程组的解求参数 9．（25-26八年级下·江苏·期末）已知二元一次方程的一个解是则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的关系式，再将该关系式整体代入所求代数式进行计算． 【详解】解：∵二元一次方程的一个解是， ∴将代入方程， 得，即， ∴． 10．（25-26七年级下·江苏·期末）若关于，的二元一次方程组的解是其中的值被盖住了，但还是可以求出的值，则的值是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据和方程求出的值，再将和的值代入方程求出 【详解】解：， 且， .． 将代入， 得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是牢记“一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解”． 11．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 12．（25-26七年级下·湖南常德·期末）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，试求出a，b的值． 【答案】， 【分析】由于甲看错了①，但甲的解仍满足②；乙看错了②，但乙的解仍满足①，分别代入即可求出． 【详解】解：把，代入②，得 ， ∴ 把，代入①，得 ， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了含参二元一次方程的错解问题，熟练掌握二元一次方程的解与方程的关系是解题的关键． 解二元一次方程组 13．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： ， ，得：， 解得， 将代入①，得：， 解得， 则方程组的解为； （2）解： ， ，得：， 整理得：， 解得， 将代入②，得：， 解得， 则方程组的解为． 14．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 把①代入②得， 解得， 把代入①得， ∴原方程组的解为； （2）解：， 得， 得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴原方程组的解为． 15．（25-26七年级下·山东聊城·期末）解下列方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 将①整理，得， ，得，解得， 把代入②，得，解得， ∴原方程组的解为． 16．（25-26七年级下·山东聊城·期中）解下列方程组： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【详解】（1）解： 将①代入②，得 将代入①，得 ∴方程组的解为 （2）解： ①两边同乘12，得 ②展开并化简，得 ，得 ，得 ，得 将代入③，得 ∴方程组的解为 二元一次方程组的错解还原问题 17．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）小颖在解方程组 时，本应解出，由于看错了系数 ，得到的解为 ．试求 、、 的值． 【答案】，， 【分析】将代入方程组得到，将代入方程得到，进而即可求出a，b，c的值． 【详解】解：将正确的解 代入原方程组得 ， 由可得：， 解得：． 看错得到的解 满足方程， ∴． ∴， 得 ， 把代入②得：， 解得：． ∴，，． 18．（25-26七年级下·山东德州·期末）解方程组时，甲同学正确解得，乙同学因把c写错而得到，则______________． 【答案】10 【分析】将代入方程组可得，再将代入方程可得，然后解方程组可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：将代入方程组可得，解得， 将代入方程可得， 联立，解得， 则， 故答案为：10． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的错解问题，熟练掌握消元法是解题关键． 19．（25-26七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）两位同学在解方程组时，甲同学由正确地解出，乙同学因把写错了解得，那么、、的正确的值应为______． 【答案】，， 【分析】把代入②得出，求出，把代入①得出③，把代入①得出④，③＋④求出，把代入③求出即可． 【详解】解：， 把代入②得：， 解得：， 把代入①得：③， 把代入①得：④， ③＋④得：， 把代入③得：， 解得：， 所以，，， 故答案为：，，． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，能得出关于、、的方程、、是解此题的关键． 20．（24-25七年级下·四川巴中·期末）一个星期天，小明和小文同解一个二元一次方程组小明把方程①抄错，求得的解为，小文把方程②抄错，求得的解为． (1)求a，b的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解题的关键是根据题意建立关于a、b的二元一次方程组． （1）根据一个方程抄错则另一个方程没有抄错，得到关于a、b的二元一次方程组，计算即可得到答案． （2）a、b的值代入原方程，解方程组即可． 【详解】（1）解：由题意得： 由可得： 解得：， 把代入①得 解得： ∴ （2）解：把代入原方程组为： 得 解得； 把代入①得， ∴， ∴． 方程组相同解问题 21．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若方程组的解是，则方程组的解是______． 【答案】 【分析】参考题中思路，将所求方程组的两个方程两边同时除以6，通过换元替换，与已知解的原方程组对比求解即可． 【详解】解：将方程组两边同时除以6得， 该方程组与原方程组结构相同， 由原方程组的解为，可得， 解得． 22．（24-25七年级下·江苏苏州·期末）如果方程组和解的相同，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，根据方程组解的定义，转化为关于的方程组，求出即可解决问题． 【详解】解：由题意得，， 解得， ， 解得，， ． 故答案为：． 23．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）已知关于x，y的方程组与有相同的解，求的值． 【答案】 【分析】先根据题意得到方程组，解方程组求出，进而得到关于a、b的方程组，求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， 解得：， ∵关于x，y的方程组与有相同的解， ∴， ∴， 解得， ∴． 24．（25-26七年级下·四川内江·期末）已知关于x，y的方程组和的解相同，求代数式的值． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得x、y是方程组的解，解方程组求出x、y的值，进而得到关于a、b的方程组，解方程组求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于x、y的方程组的解和的解相同， ∴x、y是方程组的解， 解方程组，得， 将代入另外两个方程得：，解得， ∴． 三元一次方程组的解与应用 25．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）解方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 对二元一次方程组使用加减消元法，通过消去未知数s先求出t的值，再回代求出s即可； （2） 对三元一次方程组，先将三个方程相加整理得到的值，再结合原方程依次消元得到每个未知数的值即可； 【详解】（1）解：原方程组整理为， 得：， 得：， 得：， 解得， 把代入①得，解得：， 因此原方程组的解为； （2）解：， 得，整理得， 把①代入④得，解得：， 把②代入④得，解得：， 把③代入④得，解得：， 因此原方程组的解为． 26．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）阅读材料： 已知方程组，求的值． 解法一：由原方程组，得 ，得．③ 把③代入①，得 ． 所以． 解法二： 将原方程组整理得 ，得③ 把③代入①，得． 请根据阅读材料，选择一种方法，尝试解决问题：已知方程组，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组的知识，根据题意采用两种不同的方法求解即可，解题的关键是利用整体法解方程组． 【详解】解：解法一： ， 由得：， 把代入得：， ∴； 解法二： 由题意，将原方程整理得： ， 得：， 得：， 解得：． 27．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 28．（25-26七年级下·河南安阳·期末）［阅读理解]在解方程组或求代数式的值时，可以用整体代入或整体求值的方法，化繁为简． （1）解方程组， 解：把②代入①得，， 解得， 把代入②得， 所以方程组的解为， （2）已知求的值． 解：，得，③ ，得． ［类比迁移] （1）求方程组的解． （2）若求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据题干给出的方法解二元一次方程组即可； （2）利用整体的思想求出即可． 【详解】（1）把②代入①， 得， 解得． 把代入②，得， ∴方程组的解为； （2）， 得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组，解题的关键是熟练掌握解方程组的方法，准确计算，注意整体思想． 根据问题列二元一次方程组 29．（25-26七年级下·江苏泰州·期中）苹果的单价比梨的单价贵元，买的苹果和梨共花去元． (1)小红根据题意，列出方程组，分别指出未知数，表示的意义：表示__________，表示____________； (2)小亮“设苹果的单价为元，梨的单价为元”，按照小亮的思路列出方程组，并求出，的值． 【答案】(1)苹果的价格，梨的价格 (2)，． 【分析】（1）根据所列方程组，写出未知数表示的意义即可； （2）根据题意列方程组，求解即可． 【详解】（1）解：表示苹果的价格，表示梨的价格． （2）解：设苹果的单价为元，梨的单价为元， 根据题意可得， 解得． 30．（25-26七年级下·河南周口·期末）某工厂安排工人生产两种零件．已知生产个零件需甲材料、乙材料；生产个零件需甲材料、乙材料．现共有甲材料、乙材料． (1)设生产零件个，零件个，列出关于的方程组； (2)求零件各生产多少个恰好把材料用完． 【答案】(1) (2)零件个，零件个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用． 根据甲、乙两种材料的总用量建立等量关系得到二元一次方程组，解方程组得到零件的个数． 【详解】（1）解：∵设生产零件个，零件个， ∴根据甲材料总用量：生产个零件需甲材料，生产个零件需甲材料，总共有， 乙材料总用量：生产个零件需乙材料，生产个零件需乙材料，总共有， 可列方程组为：； （2）解：解方程组得：， ∴零件个，零件个． 31．（24-25七年级下·江苏南京·期中）某校计划创建大小图书角共20个，现有图书3200册，其中每个小图书角需图书100册，每个大图书角需图书250册，问该校创建的大小图书角分别有多少个？ (1)小亮根据题意，列出方程组，请分别指出未知数表示的意义： 表示__________，表示__________ (2)小丽“设该校创建的大图书角个，小图书角个”，请按照小丽的思路列出方程组，并求的值． 【答案】(1)大图书角所需的图书数量，小图书角所需的图书数量 (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键： （1）根据所列方程组，得到未知数表示的意义即可； （2）根据大小图书角共20个，有图书3200册，列出方程组进行求解即可． 【详解】（1）解：由所列方程组可知：表示大图书角所需的图书数量，表示小图书角所需的图书数量； （2）由题意，得：， 解得：． 32．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）如图，已知边长分别为x、y的两个正方形，其面积之差为24． (1)根据题意，请你列出一个关于x、y的方程组； (2)请将（1）中的方程组，转化为一个二元一次方程组； (3)分别求两个正方形的面积． 【答案】(1) (2) (3)这两个正方形的面积分别为25和1． 【分析】本题考查的是利用图形性质建立方程组，平方差公式的应用，二元一次方程组的解法，熟练的利用数形结合的方法解题是关键． （1）由边长之和与面积之差列方程组即可； （2）由，，可得，从而可得答案； （3）先解方程组，再求解正方形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得： （2）∵，． ∴． ∴． ∴ （3）∵， 解得： ∴，， ∴这两个正方形的面积分别为25和1． 用二元一次方程组解决问题 33．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 34．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）用二元一次方程（组）解决问题：为了防治“新型冠状病毒”，某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完． (1)求医用口罩和消毒液的单价； (2)由于实际需要，除购买医用口罩和消毒液外，还需购买单价为6元的口罩m个．若需购买医用口罩和口罩共1000个，剩余的钱恰好可以买n瓶消毒液，若，则 ． 【答案】(1)医用口罩：1.5元/个，消毒液：20元/瓶 (2)120或160 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解此题的关键． （1）设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶，根据“某小区准备用3500元购买医用口罩和消毒液发放给本小区住户，若医用口罩买800个，消毒液买120瓶，则钱还缺100元；若医用口罩买1000个，消毒液买100瓶，则钱恰好用完”列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）由题意可得，整理可得，在结合，均为正整数，且即可得解． 【详解】（1）解：设医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶， 由题意可得：， 解得：， ∴医用口罩和消毒液的单价分别为元/个和元/瓶； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， ∵，均为正整数，且， ∴为的倍数， ∴或． 35．（2025·江苏泰州·三模）箱子里有m个红球，n个白球，小明、小丽分别按下列方式取球：小明的取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多1个，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下6个红球；小丽取法是每次取相同数量的球，其中红球数比白球数多3个，小丽每次取的球中的白球数与小明每次取的球中的白球数相同，连续取了几次后（不放回），箱子里只剩下9个白球．已知小明取球的次数比小丽多3次． (1)小明每次取的白球数为________； (2)求m、n的值． 【答案】(1)3； (2)，． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握根据实际问题列二元一次方程组是解题的关键． （1）设小明每次取白球个，那么每次取红球个，小丽每次取白球个，每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次．根据红球和白球的数量关系，通过设未知数来推导小明每次取的白球数． （2）根据上述设的未知数，结合红球和白球剩余数量，列出关于、的方程，进而求解、的值． 【详解】（1）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． 由白球数量关系， ∵小丽取球后只剩下个白球， ∴， ∴， ， ， 解得， 故答案为：3； （2）解：设小明每次取白球个，则小明每次取红球个，小丽每次取白球个，小丽每次取红球个．设小丽取球次，则小明取球次． ∵， ∴小明每次取红球个，小丽每次取红球个． 由红球数量关系 ∴，， ∴， ， ， 解得． ∴，． 36．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）某电器超市销售每台进价160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况，（进价、售价保持不变，利润销售收入进货成本） 销售 时段 销售量 销售 收入 A型号 B型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 (1)求A、B两种型号的电风扇的销售单价． (2)若超市准备用不多于7500元的金额再购进这两种型号的电风扇共50台，且该超市销售完这批电风扇利润能超过1850元，则该超市有哪几种进货方案． 【答案】(1)A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元 (2)采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台 【分析】本题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台，根据金额不多于7500元，销售完这批电风扇利润能超过1850元，列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）解：设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇台． 依题意得：， 解得：， ∵a是正整数， ∴a的值是36，37， ∴该超市有两种采购方案：采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台；采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 二元一次方程组的特殊解法 37．（25-26七年级下·浙江金华·期末）已知关于x，y的方程组的解是．则关于x，y的方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程组的解与整体思想，整体思想的运用是解题关键．将变形为，观察两个方程组可得：由第一个方程组到第二个方程组就是换成，换成，代入数据即可求解． 【详解】解：变形为 由题意得：， 解得： 故选：D 38．（24-25七年级下·甘肃天水·期中）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的值为（   ） A．3 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】将方程组中的两个方程相加，得，得到，结合，代入解答即可． 本题考查了整体思想解方程组，熟练掌握解方程组是解题的关键． 【详解】解：由， 将方程组中的两个方程相加，得， 故， 由， 得， 解得． 故选：D． 39．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴． 40．（25-26八年级上·山西晋中·期末）小红完成教材142页第7题时遇到了这样一个问题：解方程组 【尝试】 （1）若用已学的消元法求解，运算量大，且容易出错．如果把方程组的看成一个整体，把看作一个整体，先通过换元法，可以解决问题，具体过程如下，请将下面的解题过程补充完整． 解：设，则原方程组可化为___________， 解关于的方程组，得， 所以，解这个方程组得； 【迁移】 （2）利用上述方法解方程组 【答案】（1），；（2） 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，掌握整体换元法是解题的关键． （1）根据换元法和加减消元法可得答案； （2）利用换元法将原方程组变形，解关于m，n的方程组，然后得到关于x，y的新的二元一次方程组，再解方程组可得答案． 【详解】解：（1）设，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得， 故答案为：，； （2）设，，则原方程组可化为， 解关于m，n的方程组，得， 所以， 解这个方程组，得． 故原方程组的解为． 构造二元一次方程组求解 41．（25-26七年级下·福建福州·期中）若，且，，满足方程组，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组看作关于a、b的二元一次方程组可求得，然后代入化简即可解答． 【详解】解：将方程组看作关于a、b的二元一次方程组： 可得：，解得：， 将代入可得． 42．（25-26八年级上·江苏·期末）二元一次方程组的解的值相等，则的值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查方程组的解的概念，掌握方程组的解满足方程组的每一个方程是解题的关键． 把代入第一个方程可求得、的值，再把、的值代入第二个方程可求得的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入，得：， 解得：， 故选：A. 43．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中），则________． 【答案】1 【分析】根据绝对值的非负性和完全平方的非负性，当几个非负数的和为0时，每个非负数都为0，据此列出二元一次方程组求解的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，且， ∴， 解得， ∴， ∴． 44．（2026八年级下·辽宁沈阳·期末）甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：．甲由于把第一个多项式中的“”看成了“”，得到的结果为；乙由于漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果为． (1)求正确的a、b的值． (2)计算这道乘法题的正确结果． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）按甲、乙错误的做法计算，联系结果列出关于系数a，b的方程组，解方程即可； （2）把a，b的值代入原式求出整式乘法的正确结果． 【详解】（1）解： ， ， ，解得， 则，； （2） ． 已知二元一次方程组解的情况求参数 45．（25-26七年级下·四川乐山·期中）已知关于、的方程． (1)解这个方程组，它的解用含的代数式表示； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的解； （2）将得到的解代入已知等式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， 得：，解得， 把代入得：，解得， 原方程组的解为； （2）解：把代入得：， 整理得， 解得． 46．（25-26七年级下·广东江门·期中）已知关于、的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)已知当取不同值时，关于、的方程总有一组公共解，求出这组公共解． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）把y看作已知数表示出x，进而确定出方程的正整数解即可； （2）由题意得：，解方程组求解，，再把，的值代入，从而可得答案； （3）方程变形后，确定出公共解即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，；，， ∴方程的所有正整数解为，． （2）解：联立得：， 解得：， 代入得：， 解得：． （3）解：，即总有一组公共解， 方程的解与无关， ，， 解得：，． 则方程的公共解为． 47．（25-26七年级下·河南南阳·期末）已知关于，的二元一次方程组 (1)请写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）先将方程变形为，再根据、为正整数的条件，确定的取值范围，进而得到对应的值． （2）可将与原方程组中的组成新的方程组，先求出、的值，再将、的值代入含的方程中，求解． 【详解】（1）将方程变形为 ， 因为、是正整数，所以，即， 因为是正整数， ∴或； 当时，； 当时，； 因此所有正整数解为： ，； （2）由题意，方程组的解满足， 联立得： ， 由得， 代入，解得，． 将，代入方程，得 ， 解得． 48．（24-25七年级下·北京顺义·期中）已知关于x、y的方程组 (1)请写出的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值； (3)如果方程组有正整数解，求整数m的值． 【答案】(1)， (2) (3)整数的值为 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）把看作已知数表示出，进而确定出方程的正整数解即可； （2）已知方程与方程组第一个方程联立求出与的值，进而求出的值； （3）根据方程组有正整数解，根据（1）的结论代入第二个方程，确定出整数的值即可． 【详解】（1）解：方程， 解得：， 当时，； 当，； 即方程的正整数的解为，； （2）解：联立得， 解得， 代入得：， 解得； （3）解：∵方程组有正整数解，由（1）可得，； 代入得， 或 解得：（舍去）或 综上所述，整数的值为． 方案问题中的分情况讨论 49．（24-25七年级下·重庆万州·期末）某奶茶店推出A、B两款新品奶茶，已知购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元． (1)求、两款奶茶的单价各为多少元？ (2)某班参加社会实践活动的有56位学生和4名教师，现该班决定团购下午茶，恰逢A、B两款新品奶茶搞促销活动，其中A奶茶在原来单价的基础上优惠5元，奶茶在原来单价的基础上打八折，在班级现有经费648元的情况下，若奶茶的数量不少于34杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用，则共有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)A单价14元，B单价为15元 (2)①24A，；②25A，35B；③26A，34B，第三种方案最划算，要642元 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组解决实际问题，理解题意是解答的关键． （1）设A款奶茶的单价为x元，B款奶茶的单价为y元，根据“购买5杯A奶茶和4杯B奶茶共花费130元，购买3杯A奶茶和2杯B奶茶共花费72元”列出方程组，求解即可； （2）设购买A款奶茶m杯，则购买B款奶茶杯，根据“在学校不超过648元经费的情况下，若B奶茶的数量不少于杯，且所有参加活动的师生均有下午茶享用”列出不等式组，求解后根据m为整数即可解答． 【详解】（1）解：设A款奶茶的单价为x元，B款奶茶的单价为y元， 由题意可得， 解得：， 答：A奶茶的单价为14元，B奶茶的单价为15元． （2）解：设购买A奶茶m杯，则购买B奶茶杯， 根据题意，得：， 解得：， ∵m为正整数， ∴m可以为，，， ∴共有种购买方案： 方案一：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯，花费（元）； 方案二：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯，花费（元）； 方案三：购买A奶茶杯，购买B奶茶杯，花费（元）． ∵， ∴第三种方案最划算，最少费用为642元． 50．（2025·江苏泰州·二模）某公司组织50名员工外出团建，有两种出行方案及对应费用如下表： 方案类型 坐动车人数 坐飞机人数 总费用 方案一 10人 40人 24000元 方案二 15人 35人 23750元 根据表中信息，求动车和飞机票价分别是多少元？ 【答案】动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张，根据表格数据列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设动车的票价是元/张，飞机的票价是元/张． 根据题意得：， 解方程组得； 答：动车的票价是440元/张，飞机的票价是490元/张． 51．（24-25八年级下·广东佛山·期末）某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件． (1)求A、B型号衣服进价各是多少元？ (2)若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案？ 【答案】(1)型号衣服每件90元，型号衣服每件100元 (2)有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确理解题意建立不等式组和方程组是解题的关键； （1）设型号衣服每件元，型号衣服每件元，根据等量关系：A种型号衣服9件进价B种型号衣服10件进价，A种型号衣服12件进价B种型号衣服8件进价建立方程组求解即可； （2）设型号衣服购进件，则型号衣服购进件，根据获利不少于930元，且A型号衣服不多于32件．关系式为：型件数型件数，A型号衣服件数，据此建立不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设型号衣服每件元，型号衣服每件元， 由题意得 解得 答：型号衣服每件90元，型号衣服每件100元； （2）解：设型号衣服购进件，则型号衣服购进件， 由题意得 解得， 为正整数， 或，当时，，当时，． ∴有两种进货方案：①型号衣服购买13件，型号衣服购进30件；②型号衣服购买14件，型号衣服购进32件. 52．（25-26七年级下·北京·期中）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． (1)求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ (2)根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【答案】(1)A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元 (2)见解析 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式组的运用， （1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）解：设购买m个B种品牌的足球，则购买个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球， ∴总费用为（ 元）． ∵， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 销售问题中的利润最值问题 53．（24-25七年级下·江苏南京·期末）某超市准备购进A，B两种商品，进3件A，4件B需要270元；进5件A，2件B需要310元． (1)种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？ (2)超市计划用不超过1560元的资金购进，两种商品共40件，其中种商品的数量不低于种商品数量的一半，该超市有几种进货方案？ 【答案】(1)种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元 (2)该超市有5种进货方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，熟练掌握方程组和不等式组的应用是解题关键． （1）设种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元，根据题意建立方程组，解方程组即可得； （2）设该超市购进种商品件，则购进种商品件，根据题意建立不等式组，求出不等式组的正整数解，由此即可得． 【详解】（1）解：设种商品每件的进价是元，种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， 答：种商品每件的进价是50元，种商品每件的进价是30元． （2）解：设该超市购进种商品件，则购进种商品件， 由题意得：， 解得， ∵是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 答：该超市有5种进货方案． 54．（24-25七年级下·重庆·期中）某中学组织学生参与校园手工制作与义卖实践活动，同学们负责制作并售卖手工艺品纸艺花和手工编织挂件，已知纸艺花每个成本15元，每个售价20元，手工编织挂件每个成本8元，每个售价14元．在第一次义卖活动中，学生共卖出了150件手工艺品，总收入为2496元． (1)请求出纸艺花和手工编织挂件各销售了多少个？ (2)学校计划筹备第二次义卖活动，需制作纸艺花和手工编织挂件共80件，要求总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的．请为第二次义卖活动设计一种利润最大的方案． 【答案】(1)纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个 (2)制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个，根据卖出了150件手工艺品，总收入为2496元．再建立方程组解题即可； （2）设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件，根据总成本不超过885元，且纸艺花的数量不低于手工编织挂件数量的建立不等式组求解的范围，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：设纸艺花销售了x个，手工编织挂件销售了y个， 由题意得： 解得： 答：纸艺花销售了66个，手工编织挂件销售了84个． （2）解：设制作纸艺花m件，则制作手工编织挂件件， 由题意得： 解得： ∴ ∵m是整数   ∴，35 当时，，利润是元 当时，，利润是元 ∵ 方案：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件； 答：制作纸艺花34件，手工编织挂件46件，利润最大． 55．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解，6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元． (1)求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若“五一”搞活动，该公司了解到、两种型号汽车均按照原来的六折出售，所以公司计划正好用960万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利4000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； (2)共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； (3)购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）利用总价单价数量求出三种购车方案获得的利润． （1）设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元，根据“6辆型汽车、5辆型汽车的进价共计980万元；3辆型汽车、7辆型汽车的进价共计940万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进型汽车辆，购进型汽车辆，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数，即可得出结论； （3）利用总价单价数量，即可求出三种购车方案获得的利润，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元， 依题意，得：， 解得：． 答：型汽车每辆的进价为万元，型汽车每辆的进价为万元； （2）解：设购进型汽车辆，购进型汽车辆， 依题意，得：， 解得：． ，均为正整数， ，， 共3种购买方案，方案一：购进型车5辆，型车12辆；方案二：购进型车10辆，型车8辆；方案三：购进型车15辆，型车4辆； （3）解：方案一获得利润：（元； 方案二获得利润：（元； 方案三获得利润：（元． ， 购进型车15辆，型车4辆获利最大，最大利润是元． 56．（25-26七年级下·吉林白山·期末）“天青色等烟雨”形容的就是青花瓷中最上等的天青色，古时只能在下雨天烧制，不同釉色的瓷器价格也是大不相同，下表是某瓷器专卖店近两个月两款瓷器的销售情况： 销售时间 釉色销售数量 釉色销售数量 总售价 第1个月 7套 6套 6530元 第2个月 9套 5套 6550元 (1)求釉色，两款瓷器每套的售价分别为多少元？ (2)若釉色瓷器的进价为300元，釉色瓷器的进价为600元，现专卖店计划用不超过8500元购进釉色，两款瓷器一共20套，且釉色瓷器的数量不少于釉色瓷器数量的一半，请你帮忙计算有哪几种进货方案？（瓷器数量为整数） (3)在（2）的条件及进货方案下，求该商店卖出这些瓷器的最大利润． 【答案】(1)釉色A瓷器每套售价350元，釉色B瓷器每套售价680元 (2)见解析 (3)1240元 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解决实际问题，涉及解二元一次方程组、一元一次不等式组等知识，读懂题意，找准题中的等量关系及不等关系列式求解是解决问题的关键． （1）设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元，找到等量关系列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套，由不等关系列不等式组求解即可得到答案； （3）根据（2）中的情况，分类求解即可得到答案． 【详解】（1）解：设釉色瓷器每套售价元，釉色瓷器每套售价元， 根据题意得，解得， 答：釉色瓷器每套售价350元，釉色瓷器每套售价680元； （2）解：设购进釉色瓷器套，则购进釉色瓷器套， 根据题意得，解得， 为整数， 可以取12，13，故可以有两种进货方案： ①购进釉色瓷器12套，则购进釉色瓷器8套； ②购进釉色瓷器13套，则购进釉色瓷器7套； （3）解：当进货方案为方案①时，此时的利润为（元）； 当进货方案为方案②时，此时的利润为（元）； ， 该商店卖出这些瓷器的最大利润是1240元． 二元一次方程组的新定义问题 57．（25-26七年级下·河北石家庄·期末）对、定义一种运算，规定（其中、为非零常数），如，若，则（    ） A． B．0 C．4 D．6 【答案】B 【分析】根据新运算法则可得关于m、n的方程组，再两式相减可得答案. 【详解】解：因为， 所以，两式相减可得， 即； 故选：B. 【点睛】本题以新运算为载体，考查了二元一次方程组的解法，正确得出方程组是关键. 58．（25-26七年级下·北京·期中）对于关于的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“近解”方程组．若对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，则的值为_____． 【答案】或 【分析】先根据新定义求出的值，再把的值代入中，根据对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组，求出的值，即可． 【详解】解：由题意， 解得或， 把代入，得， 整理，得， ∵对于任意实数，关于的二元一次方程组都是“近解”方程组， ∴，解得， ∴； 把代入，得， 整理，得， ∴，解得， ∴； 综上：或． 59．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．已知，． (1)求a，b的值； (2)若关于，的方程组的解也满足方程，求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； （2）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 解得：； （2）解：依题意得， 解得：， ∵， ∴， 解得：． 60．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）对于关于x，y的二元一次方程组（其中是常数），给出如下定义：若该方程组的解满足，则称这个方程组为“开心”方程组． (1)若有一个“开心”方程组的解为，则的值为______； (2)下列方程组是“开心”方程组的是______（填序号）； ①；②；③；④ (3)若关于x，y的方程组是“开心”方程组，求的值． 【答案】(1)2或4 (2)②③ (3)或 【分析】（1）根据计算即可； （2）分别判断是否符合即可； （3）根据加减消元法求出的值，根据列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵有一个“开心”方程组的解为， ∴， 解得：或； （2）解：①由可知，不是“开心”方程组； ②由可知，是“开心”方程组； ③两方程相加得，化简得，可知，是“开心”方程组； ④两方程相加得，化简得，可知，不是“开心”方程组； （3）解： 得， ∴， ∵关于x，y的方程组是“开心”方程组， ∴， 即， 解得：或． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $