专题06 定义 命题 证明（期末复习知识清单）七年级数学下学期新教材苏科版

专题06 定义 命题 证明 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 2. 常见的定义： （1） 正整数、负整数、零统称为整数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．乘积是1的两数互为倒数． （2） 数或字母的积组成的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式． （3）含有未知数的等式叫作方程；只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （5）用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （6）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （7）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （8）两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线： （9）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （10）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．三条边都相等的三角形叫做等边三角形.有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 定义 1．（2026七年级下·江苏·期末）下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 【答案】C 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：“只有符号不同的两个数互为相反数”，描述了相反数的定义，不符合题意； 对于选项B：“大于0的数叫作正数”，描述了正数的定义，不符合题意； 对于选项C：“对顶角相等”是命题，不是定义，符合题意； 对于选项D：“几个单项式的和叫作多项式”，描述了多项式的定义，不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏·期末）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【分析】定义是对数学概念或术语的精确描述，选项D符合方程的定义，其他选项均为性质或非数学语句． 本题考查了定义的特性，熟练掌握定义的特性是解题的关键． 【详解】解：已知定义是描述概念本质的语句， A、是垂线段的性质，不符合题意； B、不是数学语句，不符合题意； C、是正方形的性质，不符合题意； D、是方程的定义，符合题意； 故选：D． 3．（2026七年级下·江苏·期末）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 【答案】A 【分析】定义是描述一个术语或概念的本质特征的陈述，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：在正数前面加上符号“”的数是负数，描述了负数的本质，是定义，符合题意； 对于选项B：“，两条直线平行吗”是疑问句，不是定义，不符合题意； 对于选项C：“画一个角等于已知角”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意； 对于选项D：“过一点画已知直线的垂线”是描述操作的句子，不是定义，不符合题意． 4．（25-26七年级下·江苏·期末）下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫做负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． 判断是否是命题 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：∵相等的角不一定是对顶角，例如平行线的同位角相等但不是对顶角，∴选项A是假命题； ∵只有两直线平行时，同位角才相等，选项缺少前提条件，∴选项B是假命题； ∵只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，∴选项C是假命题； ∵垂线段最短是垂线的基本性质，∴选项D是真命题． 6．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据错误的命题是假命题，平行线的性质与判定，对顶角，邻补角的定义，逐一判断各命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：只有两条平行直线被第三条直线所截时，同位角才相等，命题未说明两直线平行，①是假命题； 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线形成的同位角均为，根据平行线的判定定理可得两条直线互相平行， ②是真命题； 对顶角一定相等，但相等的角不一定是对顶角，任意两个度数相等的角都不一定是对顶角， ③是假命题； 互补的角仅满足度数和为，邻补角还需要满足有公共顶点和公共边的位置要求， 因此互补的角不一定是邻补角， ④是假命题； 综上，假命题为①③④． 7．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 【答案】（3） 【分析】根据对顶角、平行公理、邻补角、平行线的性质等相关初中数学知识点，逐一判断每个命题的真假即可． 【详解】解：（1）相等的角不一定是对顶角，因此（1）是假命题； （2）该命题未限定“在同一平面内”，因此（2）是假命题； （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行公理，因此（3）是真命题； （4）邻补角需要满足两个角有公共边，且另一边互为反向延长线，仅满足有一条公共边且互补的两个角不一定是邻补角，因此（4）是假命题； （5）只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，因此（5）是假命题； （6）同一平面内，两条直线不垂直，也可能相交不平行，因此（6）是假命题． 8．（25-26七年级下·江苏·期末）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 【答案】(1)是命题 (2)是命题 (3)不是命题 【分析】本题考查了命题的定义，即能判断真假的陈述句；解题的关键是准确判断语句是否能判断真假；易错点是对条件和结论不明确的命题判断失误，例如错误地将疑问句或无法确定真假的语句误判为命题；依据命题是能判断真假的陈述句这一定义，逐一分析各语句是否符合定义，若语句是陈述句且可判断真假（真或假），则是命题；否则不是命题． 【详解】（1）语句“两点之间，线段最短”是一个陈述句，在几何中这是一个公理，可判断为真，因此是真命题． （2）语句“如果，那么是线段的中点”是一个陈述句，但该结论不一定成立，例如当点不共线时，但不是线段的中点，因此可判断为假，是假命题． （3）语句“一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？”是一个疑问句，无法判断真假，因此不是命题． 写出命题的题设与结论 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 【答案】A 【分析】命题由题设和结论两部分组成，题设是已知条件，将原命题改写为“如果…那么…”的形式，即可拆分出题设． 【详解】解：将原命题改写为“如果…那么…”的形式：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行． ∵“如果”引出的已知条件部分是命题的题设， ∴该命题的题设是“两条直线平行于同一条直线”． 10．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 【答案】A 【分析】本题考查了命题与定理的知识，命题中的条件是两条直线平行于同一条直线，放在“如果”的后面，结论是这两条直线平行，应放在“那么”的后面． 【详解】解：题设为：两条直线平行于同一条直线，结论为：这两条直线平行， 故选：A． 11．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 【答案】 两个角的和为 这两个角互为补角 【详解】解：命题“和为的两个角互为补角”的条件是：两个角的和为，结论是：这两个角互为补角． 12．（2026七年级下·江苏·期末）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 【答案】(1)条件为，结论为的补角与的补角相等； (2)条件为两条直线都平行于同一条直线；结论为这两条直线平行． 【分析】（1）如果后面为条件，那么后面为结论； （2）先可以用“如果…那么…”形式表述命题，则如果后面为条件，那么后面为结论． 【详解】（1）条件为； 结论为的补角与的补角相等； （2）条件为两条直线都平行于同一条直线； 结论为这两条直线平行． 判断命题的真假 13．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，给出3个论断：①；②；③．以其中2个为题设（已知），剩余1个为结论（求证），组成一个真命题，并写出证明过程． 解：已知： ．求证： 证明： 【答案】见解析 【分析】利用平行线的性质和判定，选择①②可判断③，选择①③可判断②，选择②③可判断①． 【详解】解：选择①②作为题设，③为结论， 已知，，求证：， 证明：， ， ， ， ； 选择①③作为题设，②为结论， 已知，，求证：， 证明：， ， ， ， ； 选择②③作为题设，①为结论， 已知，，求证：， 证明：， ， ， ， ． 14．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 【答案】(1)①②，④（答案不唯一） (2)见解析 【分析】本题考查命题的证明，平行线的判定和性质： （1）条件选择①②，结论选择④； （2）根据平行线的判定和性质，进行求证即可． 【详解】（1）解：条件①②，结论是④（答案不唯一）； （2）条件为①②，结论④； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为②③，结论为④： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 条件为①④，结论为②； 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为③④，结论为②： 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 条件为②④，结论为③： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， 条件为②④，结论为①： 证明：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·广西崇左·期中）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 【答案】（1）对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，逆命题，真命题． （1）先利用对顶角相等可得，从而可得，然后利用同位角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，再利用内错角相等，两直线平行可得，从而利用平行线的性质可得，最后利用等量代换即可解答． （2）任意找出一对互逆的真命题即可． 【详解】解：（1）因为（已知）， 又因为（对顶角相等）， 所以（等量代换）． 所以（同位角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同位角相等）． 又因为（已知）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． 故答案为：对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；；内错角相等，两直线平行；； （2）两个互逆的真命题为：“两直线平行，同位角相等”与“同位角相等，两直线平行”或“两直线平行，内错角相等”与“内错角相等，两直线平行”．（写其中一个即可） 16．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 【答案】(1)题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等，是假命题 (2)题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除，是假命题 (3)题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，是真命题 【分析】本题主要考查了写出原命题的题设和结论，判断命题的真假，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （2）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可； （3）根据题意写出原命题的题设和结论，再判断真假即可． 【详解】（1）解：题设：两条直线被第三条直线所截，结论：同位角相等， 两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； （2）解：题设：个位数是3的整数，结论：一定能被3整除， 所有数位上的数字之和为3的倍数的整数一定能被3整除，个位数是3的整数不一定能被3整除，原命题是假命题； （3）解：题设：对顶角的平分线，结论：在同一条直线上，原命题是真命题． 举例说明假命题 17．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，正确的命题是真命题，错误的命题是假命题，根据相关基本性质逐一判断即可. 【详解】解： A选项 平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，符合平行线基本性质，是真命题； B选项 垂线段最短，符合垂线的性质，是真命题； C选项 只有两直线平行时，同位角才相等，原命题缺少前提条件，结论不成立，是假命题； D选项 两点之间，线段最短，符合线段的基本性质，是真命题； 18．（25-26七年级下·福建福州·期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】解：选项A：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项B：，，满足，且，满足结论，不是反例； 选项C：，，满足，但，不满足结论，是符合要求的反例； 选项D：，，满足，且，满足结论，不是反例． 19．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 【答案】A 【分析】本题考查了举反例解题，准确从条件，结论两个角度去判断解题是解题的关键．先比较大小，确定满足条件的数，再代入计算判断即可． 【详解】解：当时，满足，但是， 故A符合题意； 当n=时，满足＜1，但是， 故B不符合题意； 当时，满足，但是， 故C不符合题意； ∵1不符合条件， ∴D不符合题意； 故选A． 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 【答案】2.2（答案不唯一） 【分析】只要从满足条件的数中找到一个数，使结论不成立，就可以说明命题是假命题． 【详解】解：当时，满足某不等式的解集即有两个正整数解1和2，但，即不成立， 故a可以是2.2． 写出命题的逆命题 21．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 【答案】A 【分析】先找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换得到逆命题，再和选项对比得到答案． 【详解】解：原命题“同旁内角互补，两直线平行”中，条件为“同旁内角互补”，结论为“两直线平行”. ∵逆命题的定义是将原命题的条件与结论互换得到新命题， ∴该命题的逆命题为“两直线平行，同旁内角互补”. 对照选项可知A正确． 22．（25-26八年级下·江苏·期末）已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先分别写出每个命题的逆命题，再逐一判断原命题与逆命题的真假，统计出两者均为真命题的个数． 【详解】解：①原命题：若，，则．原命题为真命题． 逆命题若，则，． 反例：，，，但，逆命题为假命题． ②原命题：若，则． 反例：，，，但，原命题为假命题． ③原命题：两直线平行，同位角相等．原命题为真命题． 逆命题：同位角相等，两直线平行．逆命题为真命题． ④原命题：对顶角相等．原命题为真命题． 逆命题：相等的角是对顶角．反例：等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角，逆命题为假命题． 综上，原命题与逆命题均为真命题的个数是． 23．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 【答案】② 【详解】解：①逆命题为如果两个实数的积是正数，那么这两个实数都是正数，两个负数的积也为正数，因此该逆命题是假命题； ②逆命题为内错角相等，两直线平行，因此该逆命题是真命题； ③逆命题为如果一个三角形有两个内角为锐角，那么这个三角形是直角三角形，锐角三角形中有三个锐角，也包含两个锐角，因此该逆命题是假命题． 24．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 【答案】(1)如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行； (2)真命题，过程见解析． 【分析】本题主要考查逆命题，平行线的判定，三角形内角和定理，掌握平行线的判定是关键． （1）根据逆命题的书写方法即可求解； （2）根据角平分线的定义得到，，根据三角形内角和定理得到，结合平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）解：逆命题：如果两条直线被第三条直线所截形成的同旁内角的平分线互相垂直，那么这两条直线互相平行． （2）解：已知：如图，直线、被直线所截，平分，平分，． 求证：， 证明：∵平分，平分， ∴， （角平分线的定义）， ∵， ∴， ∵（ 三角形内角和定理 ）， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 证明 25．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 【答案】(1)3 (2)解：如图： 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 已知，，求证：． 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴．（三选一即可） 【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可； （2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】（1）解：从①，②，③请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题，共可组成三个命题，均为真命题， 即正确的命题有3个； （2）略 26．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 【答案】；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【分析】本题考查了反证法，反证法的证明步骤一般先假设与要求证结的相反的命题，再根据已知条件进行正面，最后得出的结论与已知或数学定理矛盾，从而说明要求证命题正确．根据反证法的证明步骤分析即可． 【详解】解：（1）证明：假设． 如图2，过点作直线，使． （同位角相等，两直线平行）， 又，且直线经过点， 过点存在两条直线、与直线平行， 这与基本事实过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾，假设不成立， ． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；过已知直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 27．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 【答案】见解析 【分析】本题考查平行线性质和判定，根据题意选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并结合平行线性质和判定进行证明，即可解题． 【详解】解：（答案不唯一）已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）， ． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，内错角相等）． ， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）． 已知：，， 求证：． 证明：， （两直线平行，同位角相等）． ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 【答案】；不平行；；；两直线平行，同旁内角互补；已知；假设；直线与不平行 【分析】本题主要考查了反证法，平行线的性质，熟知反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法首先假设所求证的结论不成立，然后利用平行线的性质求解即可． 【详解】已知：如图，直线被直线所截，． 求证：直线与不平行． 证明：假设所求证的结论不成立，即， 则（两直线平行，同旁内角互补） 这与矛盾，故假设不成立． 所以直线与不平行． 定理与证明 29．（25-26七年级下·江苏·期末）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据命题、定理、基本事实的概念，逐一判断四个说法的正误即可解答． 【详解】解：∵基本事实是经过实践检验公认的真命题， ∴①正确； ∵定理是依据基本事实、定义等，经过推理证明得到的真命题， ∴②正确； ∵并不是所有真命题都是基本事实，只有公认的作为推理依据的真命题才是基本事实， ∴③错误； ∵只有经过证明，可作为推理依据的真命题才是定理，并非所有真命题都是定理， ∴④错误； 综上，正确的说法有2个． 30．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 31．（25-26八年级上·江苏·期末）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 【答案】C 【分析】本题考查的是定理和公理的定义，通过对定义的理解可找到答案． 【详解】解：公理，也就是经过人们长期实践检验、不需要证明同时也无法去证明的客观规律．定理：是用逻辑的方法判断为正确并作为推理的根据的真命题． 根据公理和定理的定义，可知C是正确的，A、B、D是错误的． 故选：C． 32．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 【答案】2 【分析】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题，举一个反例即可说明；经过推理论证的真命题称为定理．首先利用定理的定义先判断命题是否是真命题，然后再看是否经过推理论证； 经过判断可以得到②、③是假命题，①、④是真命题，是经过推理论证的，据此可以解决问题． 【详解】解：①等式两边加上同一个数仍是等式，符合等式的性质，是定理； ②能被3整除的数，不一定能被6整除，故此命题是假命题，不是定理； ③把代入，方程两边不相等，故不是真命题，更不是定理； ④三角形的内角和是，是经过证明的真命题，故是定理； ∴可以作定理的有2个 故答案为：2 互逆命题 33．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 【答案】A 【详解】解：真命题的逆命题不一定是真命题，例如，对顶角相等是真命题，其逆命题为相等的角是对顶角是假命题，故A是真命题； 对顶角相等的逆命题不成立，即没有逆定理，故B是假命题； 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故C是假命题； “如果，那么”的逆命题是“如果，那么”，故D是假命题． 34．（2025八年级上·江苏·期末）定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 【答案】 如果 ，那么 【分析】本题考查互逆定理． 将原定理的题设和结论互换得到逆命题，如果一个定理的逆命题是真命题，则该逆命题为原定理的逆定理． 【详解】解：“如果，那么”的逆命题为“如果，那么”， ∵“如果，那么”是真命题， ∴定理“如果，那么”的逆定理是“如果，那么”． 故答案为：如果，那么． 35．（25-26八年级上·江苏·期末）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 【答案】(1)①如果两个角是内错角，那么这两个角相等；②如果，那么 (2)不是 【分析】本题考查原命题和逆命题的相关知识，关键是明确逆命题的概念． （1）逆命题就是把原命题的题设和结论换成逆命题的结论和题设，进而求解即可； （2）根据逆定理的性质求解即可． 【详解】（1）解：①“相等的角是内错角”的逆命题；如果两个角是内错角，那么这两个角相等． ②“如果，那么”的逆命题；如果，那么． （2）解：因为定理首先是真命题，而（1）中①的原命题与逆命题都是假命题， 故（1）中①的原命题和逆命题不是互为逆定理． 36．（25-26八年级上·江苏·期末）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 【答案】(1)有逆定理，逆定理为：两个底角相等的三角形是等腰三角形 (2)有逆定理，逆定理为：两直线平行，内错角相等 (3)没有逆定理 【分析】先写出对应命题的逆命题，然后判断真假即可得到答案． 【详解】（1）解：命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题为“两个角相等的三角形是等腰三角形”，是真命题，故定理“等腰三角形的两个底角相等”有逆定理； （2）解：命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，故定理“内错角相等，两直线平行”有逆定理； （3）解：命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题， 故定理“对顶角相等”没有逆定理． 【点睛】本题主要考查了互逆命题和互逆定理，正确写出每个命题的逆命题并判断真假是解题的关键． 证明题补全理由题型 37．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 【答案】(1)内错角相等，两直线平行 (2)；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等 (3)错误，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、命题与定理等知识点，理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据内错角相等，两直线平行即可解答； （2）利用平行线的性质以及等量代换即可解答； （3）先根据题意画出图形，然后根据平行线的性质即可解答． 【详解】（1）解：如图：由题意可知：， 内错角相等，两直线平行． 故答案为：内错角相等，两直线平行． （2）证明：（已知）， 两直线平行，同位角相等． （已知）， 两直线平行，内错角相等． 等量代换． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；，两直线平行，内错角相等． （3）解：如图所示：两个角的两边分别平行，则这两个角相等或互补，故命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是假命题， 已知， 两直线平行，同旁内角互补． 已知， 两直线平行，内错角相等， 等量代换． 38．（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 【答案】（1）①见解析，真命题；②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：．（2）①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 【分析】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题是解题的关键． （1）①根据题意、结合图形写出已知和求证，再进行判断； ②根据平行线的性质得到，根据角平分线的定义得到，根据平行线的判定定理证明． （2）根据推理过程填写所缺少内容即可． 【详解】解：（1）①如图， 命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”是真命题； ②已知：如图，分别交，于，，平分，平分，．求证：． 证明：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴∴， ∴， ∴该命题是真命题． （2）解：， ． ， ． 又，可解得． ， ． ， ．（两直线平行，内错角相等） 又，可解得 ． 故答案为：①；②135；③；④两直线平行，内错角相等；⑤105；⑥120 39．（24-25七年级下·吉林·期末）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 【答案】[证明]两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 [延伸]是真命题，证明过程见解析 【分析】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定及性质是解答此题的关键． [证明]直接根据平行线的判定及性质即可得到答案； [延伸]将题设与结论调换后，为真命题，直接根据平行线的判定及性质进行证明即可； 【详解】解：[感知]（已知）， （两直线平行，同位角相等）． （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）； [延伸]将题设“”与结论“”调换后，为真命题，证明过程如下： ∵（已知）， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故将题设“”与结论“”调换后，为真命题． 40．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 【答案】，，，， 【分析】本题主要考查了反证法（用反证法证明命题），平行线的性质（两直线平行同位角相等，两直线平行同旁内角互补）等知识点，熟练掌握用反证法证明命题的一般步骤是解题的关键：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 按照用反证法证明命题的一般步骤进行推理论证即可． 【详解】证明：假设， ， ， ， ，这和“平角的定义”矛盾， 假设不成立，即， 故答案为：，，，，． 代数证明题 41．（2026七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 【答案】见解析 【分析】根据逆否命题以及完全平方公式进行判断即可． 【详解】证明：设整数个位数为5，可表示为， ∴， 因此，这个整数平方的个位数为5， ∴如果一个数的个位数是5，那么这个数的平方的个位数是5为真命题， ∴一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 42．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 【答案】(1)假命题，见解析； (2)假命题，见解析； (3)真命题，证明见解析； (4)假命题，见解析． 【分析】本题考查了真命题与假命题．熟练掌握真命题与假命题的定义是解题的关键．题设成立结论也成立的命题叫做真命题，题设成立结论不成立的命题叫做假命题．判断一个命题是真命题通常由已知条件出发，经过一步步推理，最后推出结论正确；要说明一个命题是假命题，通常举出一个反例（具备命题的条件，不具备命题的结论的例子）即可 根据真命题和假命题的定义判断并说明即可． 【详解】（1）解：是假命题，反例： 当时， ，， ∴结论不成立； （2）解：是假命题，反例： 当时， ， ∴结论不成立； （3）解：是真命题，证明： 设两个连续的正奇数为，（为正整数）， 则 ∵为正整数， ∴是8的倍数， ∴两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； （4）解：是假命题，反例： 当四边形为等腰梯形时结论不成立． 43．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查不等式的性质，命题的判定，关键是掌握不等式的性质． （1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，由此即可证明问题； （2）不等式的两边同时加上同一个数b得，不等式的两边同时除以同一个正数2，由此即可证明问题； （3）设这三个自然数分别是，，，其中，将这三个自然数求和即可得出结论． 【详解】（1）解：证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性）； 故答案为：，； （2）证明：， 不等式两边同加上，得， 不等式两边同时除以2，得； （3）解：真命题， 证明：设这三个自然数分别是，，，其中， ， 能被3整除， 这三个自然数的和能被3整除． 44．（25-26七年级上·江苏南京·期末）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 【答案】(1)7 (2)14 【分析】（1）根据翻转的操作方法即可得出答案； （2）根据三种情况进行分析，进而得出答案． 【详解】（1）解：总变化量：， 次数（至少）：， 故答案为：7； （2）解：①两张由反到正，变化：； ②两张由正到反，变化：； ③一正一反变一反一正，变化， 要使所有纸牌正面向上，则总变化量仍为14， ∵14无法由4，，0相加得到， ∴不能全正，故不能所有纸牌全正； 故答案为：14． 【点睛】此题主要考查了推理与论证，此题解题的关键是要明确：只有将一张牌翻动奇数次，才能使它的正面向上，根据“奇数奇数偶数，偶数奇数奇数”进行解答即可． 几何证明题 45．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）按要求完成下列各题： (1)如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点P．的度数为 ；与的度数之间的关系为 ． (2)将正方形绕点A旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点P，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． (3)将正方形绕点A旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 【答案】(1)，； (2)与的度数之间的关系没有发生改变，理由如下： 如图②，由条件可知， ∵的平分线交正方形的边于点P， ∴， ∴， ∴； (3)． 【分析】（1）如图①，由四边形为正方形，得，所以，从而得到； （2）如图②，先根据平角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，即可得到； （3）如图③，先根据角平分线的定义得到，则，根据平角的定义得到，变化后 ，消去，可得到． 【详解】（1）如图①， 四边形为正方形， ， ， ∴， （2）略 （3）如图③， 平分， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 46．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；；；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【分析】根据角平分线的定义，平行线的判定和性质补充证明过程即可． 【详解】证明：， （理由：两直线平行，内错角相等）． 平分， ． ． ， ． （理由：同位角相等，两直线平行）． （理由：两直线平行，同旁内角互补）． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，． (1)试说明：．（完成下面推理过程） 证明：∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∴ （ ） (2)若，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，内错角相等；；等量代换；同位角相等，两直线平行； (2)． 【分析】（1）根据平行线的判定与性质即可得出结论； （2）根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵ ， ∴（等量代换）， ∴ （同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 48．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知直线，给出下列信息： ；平分；． 请在上述条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号），并说明理由． 【答案】条件：，结论：，理由见解析（或条件：，结论：或条件：，结论：，选择一种即可）． 【分析】根据角平分线定义，平行线的性质，垂直定义逐一求解即可． 【详解】解：条件：，结论：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，； 条件：，结论：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：，； 条件：，结论：，理由如下： ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴平分， 故答案为：，． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 定义 命题 证明 定义 1.对名称或术语的含义进行描述或做出规定，就是给出它们的定义 如“两点之间的线段的长度，叫做这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义；“在一个方 程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程”是“一元一次方程”的定义 2. 常见的定义： （1） 正整数、负整数、零统称为整数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值．乘积是1的两数互为倒数． （2） 数或字母的积组成的式子叫做单项式，几个单项式的和叫做多项式，单项式和多项式统称为整式． （3）含有未知数的等式叫作方程；只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元一次方程．含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．由两个一次方程组成，并含有两个未知数的方程组叫做二元一次方程组． （5）用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式．含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式．几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （6）如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角．即其中一个角是另一个角的余角． 如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角． （7）对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角． 邻补角：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． （8）两条直线交于一点，我们称这两条直线相交．相对的，我们称这两条直线为相交线；在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线： （9）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角． 内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角． 同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． （10）有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．三条边都相等的三角形叫做等边三角形.有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形． 命题 判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式． 注意： 1.在数学中，命题一般都由条件和结论两部分组成.条件是已知的事项，结论是由已知事项推出的事项. 2.一般情况下，命题的条件是“如果”“若”等字样引出，命题的结论是用“那么”“则”等宇样引出，如果命题不具有“如果…，那么…的形式，一般先将命题改写成“如果…，那么…”的形式，再来确定命题的条件和结论， 真假命题 1.如果条件成立，那么结论成立，像这样的命题叫做真命题.条件成立时，不能保证结论总是正确的，也就是说结论不成立，像这样的命题叫做假命题 2.说明假命题的方法： 要说明一个命题是假命题，只需列举一个具备条件而不具备结论的例子即可，即举出一个不符合题意的反例. 原命题与逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的 条件，那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题. 注意： (1)互逆命题是指两个命题的关系，这两个命题中，确定其中任何一个为原命题，则另一个为其逆命题。 (2)逆命题的真假和原命题的真假不相关，当一个命题是真命题时，它的逆命题不一定是真命题：同样，当一个命题是假命题时，它的逆命题也不一定是假命题。 证明与定理 1.证明 根据已知的真命题，确定某个命题真实性的过程叫做证明 2.定理 经过证明的真命题称为定理，定理一见是真命题，真命题不一是是足理 3.证明与图形有关的命题的一般步骤 (1)根据题意，画出图形： (2)根据命题的条件、结论，结合图形，写出已知、求证； (3)写出证明过程. 4.证明命题的方法 证明一个命题时，可从结论出发，先探求出使结论成立时所需的条件，然后结合图形及巳知 条件，根据基本事实和常用的定理及推论逐步得出所需的条件，从而完成证明过程， 定义 1．（2026七年级下·江苏·期末）下列语句中不是定义的是（    ） A．只有符号不同的两个数互为相反数 B．大于的数叫作正数 C．对顶角相等 D．几个单项式的和叫作多项式 2．（25-26七年级下·江苏·期末）下列属于定义的是（    ） A．垂线段最短 B．你吃饭了 C．正方形的四条边相等 D．含有未知数的等式叫做方程 3．（2026七年级下·江苏·期末）下列句子中，是定义的是（    ） A．在正数前面加上符号“”的数是负数 B．，两条直线平行吗 C．画一个角等于已知角 D．过一点画已知直线的垂线 4．（25-26七年级下·江苏·期末）下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 判断是否是命题 5．（25-26七年级下·云南曲靖·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．同位角相等 C．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 D．垂线段最短 6．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列命题是假命题的是（   ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 ③相等的角是对顶角 ④互补的角是邻补角 A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 7．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）下列6个命题中， （1）相等的角是对顶角 （2）垂直于同一条直线的两条直线互相平行 （3）过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 （4）有一条公共边且互补的两个角互为邻补角 （5）两条直线被第三条直线所截，同位角相等 （6）如果两条直线不垂直，那么这两条直线平行．为真命题的是_____．（写序号） 8．（25-26七年级下·江苏·期末）下列各语句中，哪些是命题，哪些不是命题？ (1)两点之间，线段最短． (2)如果，那么是线段的中点． (3)一条直线上有三个不同的点，这条直线上有多少条不同的线段呢？ 写出命题的题设与结论 9．（25-26七年级下·福建厦门·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是（   ） A．两条直线平行于同一条直线 B．三条直线平行 C．两条直线平行 D．两条直线垂直 10．（24-25七年级下·云南文山·期中）命题“平行于同一条直线的两条直线互相平行”的题设、结论分别是（   ） A．两条直线平行于同一条直线、这两条直线平行 B．两条直线平行、这两条直线平行于同一条直线 C．两条直线平行于同一条直线、这两条直线不平行 D．两条直线平行于同一条直线、这两条直线相交 11．（25-26七年级下·山东淄博·期中）命题“和为的两个角互为补角”的条件是____________，结论是____________． 12．（2026七年级下·江苏·期末）指出下列命题的条件与结论： (1)如果，那么的补角与的补角相等； (2)两条直线都平行于同一条直线，这两条直线平行． 判断命题的真假 13．（25-26七年级下·江西赣州·期中）如图，给出3个论断：①；②；③．以其中2个为题设（已知），剩余1个为结论（求证），组成一个真命题，并写出证明过程． 解：已知： ．求证： 证明： 14．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，点E、F分别在线段上（不含端点）．连接分别交于点G、H．有四个信息：①，②，③，④．从中选择三个信息（两个作为条件，另一个作为结论），构造一个真命题． (1)你选择的条件是________，结论是________；（填序号） (2)证明你构造的命题是真命题． 15．（25-26八年级上·广西崇左·期中）（1）已知：如图，点B，E分别在，上，分别交，于点M，N，，．将下列证明过程补充完整： 求证：． 证明：因为（已知）， 又因为（ ）， 所以（等量代换）． 所以 （ ）， 所以（ ）． 又因为（已知）， 所以 （ ）． 所以 （两直线平行，内错角相等）． 所以（等量代换）． （2）指出（1）的推理中的一对互逆的真命题． 16．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）分别指出下列命题的题设和结论，并判断命题的真假： (1)两条直线被第三条直线所截，同位角相等； (2)个位数是3的整数一定能被3整除； (3)对顶角的平分线在同一条直线上． 举例说明假命题 17．（25-26七年级下·福建厦门·期中）下列命题是假命题的是（   ） A．平面内过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂线段最短 C．同位角相等 D．两点之间，线段最短 18．（25-26七年级下·福建福州·期中）要说明命题“若，则”是假命题，能举的一个反例是（    ） A．， B．， C．， D．， 19．（25-26七年级下·贵州遵义·期末）判断命题“如果，那么”是假命题，只需举出一个反例．反例中的n可以为（   ） A． B． C．0 D．1 20．（25-26七年级下·福建厦门·期中）判断命题“如果某不等式的解集有两个正整数解，那么”是假命题的一个反例中a可以是_________． 写出命题的逆命题 21．（2026·四川绵阳·二模）关于命题“同旁内角互补，两直线平行”，下列说法正确的是（     ） A．逆命题为“两直线平行，同旁内角互补” B．逆命题为“两直线不平行，同旁内角互补” C．逆命题为“两直线不平行，同旁内角不互补” D．逆命题为“两直线平行，同旁内角不互补” 22．（25-26八年级下·江苏·期末）已知下列命题①若，，则；②若，则；③两直线平行，同位角相等；④对顶角相等．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 23．（25-26七年级下·上海·期中）分析三个命题的逆命题：①如果两个实数都是正数，那么它们的积是正数；②两直线平行，内错角相等；③直角三角形有两个内角为锐角．逆命题为真命题的是：________（填写序号）． 24．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）命题：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角的平分线互相垂直． (1)请写出该命题的逆命题； (2)判断（1）中的命题是否是真命题？如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明：如果是假命题，请举反例画图说明． 证明 25．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，①，②，③，请从三个条件中任选两个作为条件，另一个作为结论组成命题， (1)正确的命题有 个． (2)请你选择（1）中的一个真命题进行证明． 26．（24-25七年级下·江苏·期末）已知：如图1，直线，直线分别与、交于点，． 求证：． 完成下面证明过程． 证明：假设_______． 如图②，过点O作直线，使． （_______）． ，且直线经过点O， ∴过点O存在两条直线，与直线平行． 这与基本事实_______矛盾，假设不成立， ． 27．（24-25七年级下·山东临沂·期中）如图，点D，E，F分别是三角形的边，，上的点，给定以下三个条件：①；②；③．请从这三个条件中选择两个作为条件（放在已知处），另一个作为结论（放在证明处）组成一个真命题，并进行证明． 已知：________，________． 求证：________． 证明： 28．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“同旁内角不互补的两条直线不平行”（填空） 已知：如图，直线被直线所截，__________． 求证：直线与__________． 证明：假设所求证的结论不成立，即a__________， 则__________（__________） 这与__________矛盾，故__________不成立． 所以__________． 定理与证明 29．（25-26七年级下·江苏·期末）命题、定理、基本事实的关系如下：①基本事实是真命题；②定理是由基本定义和基本事实推出来的真命题；③真命题是基本事实；④真命题一定是定理．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 30．（25-26八年级上·山东菏泽·期末）下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 31．（25-26八年级上·江苏·期末）下面关于公理和定理的说法正确的是（   ） A．公理是真命题，但定理不是 B．公理就是定理，定理也是公理 C．公理和定理都可以作为推理论证的依据 D．公理和定理都应经过证明后才能使用 32．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）下列命题可以作定理的有_____个． ①等式两边加上同一个数仍是等式；②能被3整除的数能被6整除； ③是方程的根；④三角形的内角和是． 互逆命题 33．（25-26八年级下·河南郑州·期中）下列命题中，真命题是（    ） A．真命题的逆命题不一定是真命题 B．对顶角相等有逆定理 C．过一点有且只有一条直线与这条直线平行 D．“如果，那么”的逆命题是“如果，那么”． 34．（2025八年级上·江苏·期末）定理“如果，那么”的逆定理是：_________． 35．（25-26八年级上·江苏·期末）按要求解答下列各小题． (1)请写出以下命题的逆命题： ①相等的角是内错角； ②如果，那么； (2)判断（1）中①的原命题和逆命题是否互为逆定理． 36．（25-26八年级上·江苏·期末）下列定理中，哪些有逆定理？如果有逆定理，说出它的逆定理． (1)等腰三角形的两个底角相等． (2)内错角相等，两直线平行． (3)对顶角相等． 证明题补全理由题型 37．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）“如图，已知内有一点，射线，且与交于点，过点画射线平行于，与相交于点”园园用两个完全一样的三角板进行画图，画图过程如图所示． (1)园园的画图依据是______； (2)小树看了园园画出的图形后，对进行了如下说理请你补全小树的说理过程； （已知）， ____________ （已知）， ____________ 等量代换． (3)东东看了（2）中小树的说理过程后，认为命题“若两个角的两边分别平行，则这两个角相等”是真命题，请你判断东东的说法是否正确，并说明理由． 38．（24-25七年级下·北京·期中）（1）对于命题“如果两条直线被第三条直线所截，一组内错角的角平分线互相平行，那么这两条直线也互相平行”． ①先画出相应的图形，并判断命题的真假； ②如为真命题，写出“已知”“求证”（不必给出证明）；如为假命题，举出反例． （2）如图，已知，，，若，，将求的过程填写完整． 解：， ． ， ① ． 又，可解得（ ② ）． ， ． ， ③ ．（④此处填推理的依据） 又，可解得（ ⑤ ） （ ⑥ ）． 39．（24-25七年级下·吉林·期末）【感知】如图，已知，若，则．请补全证明过程． 证明：（已知）， （___________）． （已知）， ___________（等量代换）， （___________）； 【延伸】若前提“”不变，将题设中的“”与结论“”调换，命题是真命题还是假命题？如果是真命题，写出证明过程；如果是假命题，举出反例． 40．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）用反证法证明：两直线平行，同旁内角互补（填空）． 已知：如图，，，都被所截．求证：． 证明：假设________， ， ________， ________， ________，这和“平角的定义”矛盾， 假设________不成立，即． 代数证明题 41．（2026七年级下·江苏·期末）证明：如果一个数的平方的个位数不是5，那么这个数的个位数也不是5． 42．（2025·江苏南通·中考真题）请从下列四个命题中选取两个命题，并判断所选命题是真命题还是假命题．如果是真命题，给出证明；如果是假命题，举出反例． (1)若，则； (2)对于任意实数，一定有； (3)两个连续正奇数的平方差一定是8的倍数； (4)一组对边平行，另一组对边相等的四边形一定是平行四边形． 43．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）代数证明题是数学中常见的一种题型，它要求运用逻辑推理和代数知识来证明某个数学命题的正确性． 例如：证明命题“如果，，那么”是真命题． 证明：，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，（已知） 在不等式两边都加上，得．（不等式的基本性质） ，，（已证） ．（不等式的传递性） (1)已知有理数、满足，证明：（补全下列推理过程）； 证明：且，均为正数，（已知） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______，（不等式的基本性质） 不等式的两边都乘以同一个正数，得______．（不等式的基本性质） ．（不等式的传递性） (2)请你尝试证明：若，则． (3)命题“三个连续自然数之和能被3整除”是真命题还是假命题？若为真命题，请证明；若为假命题，请举一个反例说明． 44．（25-26七年级上·江苏南京·期末）桌子上有7张反面向上的纸牌，每次翻转n张（n为正整数）纸牌，多次操作后能使所有纸牌正面向上吗？用“”、“”分别表示一张纸牌“正面向上”、“反面向上”，将所有牌的对应值相加得到总和，我们的目标是将总和从变化为． (1)当时，每翻转1张纸牌，总和的变化量是2或，则最少______次操作后所有纸牌全部正面向上； (2)当时，每翻转2张纸牌，总和的变化量是______，多次操作后能使所有纸牌全部正面向上吗？若能，最少需要几次操作？若不能，简要说明理由． 几何证明题 45．（25-26七年级下·江苏苏州·期末）按要求完成下列各题： (1)如图，正方形的四个内角，，，均为直角，边在直线上，的平分线交正方形的边于点P．的度数为 ；与的度数之间的关系为 ． (2)将正方形绕点A旋转至如图②所示的位置，此时，的平分线交正方形的边于点P，请探究：与的度数之间的关系是否发生改变，并说明理由． (3)将正方形绕点A旋转至如图③的位置，平分，请探究与的度数之间的关系． 46．（25-26七年级下·山东济宁·期中）如图，，的平分线交于点，交的延长线于点， ． 求证：． 请将下面的证明过程补充完整： 证明：， （理由： ）． 平分， ． ． ， ， （理由： ）． （理由： ）． 47．（25-26七年级上·江苏扬州·期末）如图，已知，． (1)试说明：．（完成下面推理过程） 证明：∵ ∴ （ ） ∵ ∴ （ ） ∴ （ ） (2)若，求的度数． 48．（25-26七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知直线，给出下列信息： ；平分；． 请在上述条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个真命题，你选择的条件是_________，结论是_________．（只要填写序号），并说明理由． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $