专题01 二元一次方程组（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材冀教版

专题01 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 二元一次方程(组)的定义 题型二 解二元一次方程组 题型三 解二元一次方程组（整体代入） 题型四 三元一次方程组 题型五 已知二元一次方程(组)的解求参数 题型六 同解方程组 题型七 错解复原问题 题型八 分配问题 题型九 古代问题 题型十 销售问题 题型十一 行程问题 题型十二 工程问题 题型十三 数字问题 题型十四 图形问题 题型十五 方案问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程定义与解的判定 能依据三要素精准辨析二元一次方程，能代入数值检验是否为方程的解 基础必考小题，易混淆项次数、整式两个判定条件，是高频易错点 二元一次方程组概念与方程组解的检验 能识别二元一次方程组，规范书写方程组的解，熟练验证一组数值是否为方程组的解 选择填空高频出题，易错点为漏代其中一个方程检验、解忘记加大括号 代入消元、加减消元法解二元一次方程组 能根据式子特征选用合适消元方法，规范完整求解二元一次方程组并自主验算 计算必考，以计算题形式考查，易错是去括号、符号运算出错 二元一次方程组实际应用题 能梳理题干等量关系，合理设未知数列方程组求解，结合实际取舍不合理答案 期末大题必考，常结合行程、工程、利润命题，易错漏写单位、忽略实际取值 三元一次方程组基础解法 能利用消元逐步把三元方程组转化为一元一次方程并正确求解 多以中档小题或拓展题出现，侧重考查逐级消元思想，整体考查频次偏低 知识点01 二元一次方程 1.定义 同时满足三个条件：①一共2个未知数；②含未知数的项次数都是1；③等式两边都是整式。 ·示例：是二元一次方程，不是（次数为2） 2.方程的解 能使等式成立的一组数值，单个二元一次方程有无数组解。 验证方法：把数值代入式子，左右相等即为方程的解。 知识点02 二元一次方程组 1.定义 由两个一共含两个未知数、未知数项次数为1的整式方程组合而成。 2.方程组的解 同时满足方程组里全部方程的公共解，书写必须加大括号。 检验：数值代入两个方程，全部成立才是方程组的解。 知识点03 二元一次方程组解法（核心：消元，二元变一元） 两种方法：代入消元法、加减消元法 解题步骤：①消去一个未知数，转化为一元一次方程；②求解一元一次方程，得到一个未知数； ③回代原式，算出剩余未知数；④规范写出方程组的解。 注意：解题两个方程至少各使用1次，算出结果可代回原题检验正误。 知识点04 二元一次方程组实际应用题 解题六步法：①审题，设两个未知数并带单位；②寻找两组等量关系式；③依据等量关系列方程组； ④解方程组；⑤结合现实检验结果，舍去不符合实际的解；⑥带单位规范作答。 提示：设几个未知数，就列几个方程。 知识点05 三元一次方程组解法 解题思路：三元→二元→一元，层层消元。 1.代入/加减消去一个未知数，得到二元一次方程组； 2.解二元方程组，求出两个未知数； 3.代回原式算出第三个未知数，大括号联立三组答案。 题型一 二元一次方程(组)的定义 例1．下列方程：①；②；③；④，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1-1．方程是二元一次方程，则的值不可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 变式1-2．下列方程属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 变式1-3．若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二 解二元一次方程组 例2．解下列方程组： (1)； (2) 变式2-1．关于，的二元一次方程组的解为_____． 变式2-2．解方程组： (1) (2) 变式2-3．解方程组 (1)； (2) 题型三 解二元一次方程组（整体代入） 例3．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 变式3-1．已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 变式3-2．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 变式3-3．阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (2)请你利用“整体代入消元法”解方程组． 题型四 三元一次方程组 例4．解方程组得_______． 变式4-1．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 变式4-2．已知，则的值为_____． 变式4-3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 题型五 已知二元一次方程(组)的解求参数 例5．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 变式5-1．已知是方程组的一组解，那么______． 变式5-2．关于x，y的方程组的解满足，则k的值是________． 变式5-3．小敏解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，则和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 题型六 同解方程组 例6．若关于，的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为________． 变式6-1．若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 变式6-2．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 变式6-3．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 题型七 错解复原问题 例7．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 变式7-1．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 变式7-2．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 变式7-3．甲、乙两同学同时解方程，甲看错了，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程的解为，计算的值． 题型八 分配问题 例8．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 变式8-1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 变式8-2．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 变式8-3．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 题型九 古代问题 例9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 变式9-1．“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 变式9-2．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 变式9-3．《九章算术》中记载；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：若三人坐一辆车，则有两辆空车；若两人坐一辆车，则九人需要步行，请问人与车的数量各是多少？ 题型十 销售问题 例10．为推进校园智慧教育建设，学校为人工智能兴趣小组采购学习耗材，A耗材为AI编程传感器组件，B耗材为智能机器人拼装零件．已知采购套A耗材和套B耗材共需元，采购套A耗材和套B耗材共需元．求A耗材和B耗材的单价各是多少元． 变式10-1．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． 变式10-2．某水果店购进一批柚子和橘子，用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，求购进的这两种水果的单价． 变式10-3．铁岭榛子以果实硕大、营养丰富而驰名省内外，银州区某榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子共130件，总费用为12000元，A包装的进价为80元/件，售价为120元/件，B包装的进价为100元/件，售价为150元/件． (1)该榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子各多少件？ (2)该榛子商店将这130件榛子售完后获得的利润是多少元？ 题型十一 行程问题 例11．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 变式11-1．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 变式11-2．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 变式11-3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 题型十二 工程问题 例12．某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 变式12-1．某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 变式12-2．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 变式12-3．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 题型十三 数字问题 例13．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 变式13-1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 变式13-2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 变式13-3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 题型十四 图形问题 例14．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    变式14-1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 变式14-2．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 变式14-3．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 题型十五 方案问题 例15．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 变式15-1．随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔保障骑行安全．某商店购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元． (1)求A，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），求该商店有多少种购买方案？ 变式15-2．一句“云南咖啡还是代表着中国的”让云南咖啡的醇香飘向世界．昆明的一位咖啡店主决定从咖农手中采购甲、乙两种咖啡．如果购买1盒甲种咖啡和2盒乙种咖啡，共需花费210元；如果购买2盒甲种咖啡和1盒乙种咖啡，共需花费195元． (1)求甲、乙两种咖啡每盒的价格分别为多少元？ (2)店主采购甲、乙两种咖啡（两种咖啡均购买），费用恰好为900元，请问该店主有几种采购方案？并写出所有的方案． 变式15-3．某乡镇助农服务站计划将当地种植的草莓和蔬菜打包运往市区商超，现准备调配两种型号的冷链配送车．已知用2辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载一次可运货10箱；用1辆小型冷链车和2辆中型冷链车满载一次可运货11箱． (1)1辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载时分别可运货多少箱？ (2)服务站打包好后共有35箱农产品，需要一次性运往市区，计划租用小型冷链车辆，中型冷链车辆（，均为正整数），每辆车都载满货物； ①请你帮该服务站列出所有符合条件的租车方案； ②若小型冷链车每辆每次的运输成本为85元，中型冷链车每辆每次的运输成本为110元，请写出最省钱的方案，并算出最少运输成本是多少元？ (3)在（2）的基础上，农户又临时增加箱农产品（为正整数），服务站发现：如果把其中1辆小型冷链车换成一辆中型冷链车，恰好能一次性运完（每辆车均满载），直接写出农户又临时增加多少箱农产品． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．方程组的解为，则和的值分别是多少（     ） A．1、2 B．5、1 C．1、5 D．2、4 2．把方程写成用含的代数式表示的形式为________． 3．（2024·25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 4．（2025·26七年级下·山东济宁·期末）解方程组：． 5．（2025·26七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 6．（2024·25七年级上·西藏·期末）已知方程组的解也是关于的方程的一组解，求 a的值． 7．（2025·26七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 8．（2025·26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·26七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2024·25八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 11．（2025·26七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 12．（2023·24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 13．（2023·24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（2025·26九年级下·重庆铜梁·期末）若实数，同时满足，，则的值为____． 15．（2025·26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 16．（2024·25七年级下·吉林长春·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高______，放入一个大球水面升高______． (2)如果同时放入大小两种球，使水面上升到，列出放入大球、小球个数的关系式，并写出所有可能情况． 17．（2024·25七年级下·广西南宁·期末）某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 18．（2025·26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二元一次方程组（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一 二元一次方程(组)的定义 题型二 解二元一次方程组 题型三 解二元一次方程组（整体代入） 题型四 三元一次方程组 题型五 已知二元一次方程(组)的解求参数 题型六 同解方程组 题型七 错解复原问题 题型八 分配问题 题型九 古代问题 题型十 销售问题 题型十一 行程问题 题型十二 工程问题 题型十三 数字问题 题型十四 图形问题 题型十五 方案问题 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 二元一次方程定义与解的判定 能依据三要素精准辨析二元一次方程，能代入数值检验是否为方程的解 基础必考小题，易混淆项次数、整式两个判定条件，是高频易错点 二元一次方程组概念与方程组解的检验 能识别二元一次方程组，规范书写方程组的解，熟练验证一组数值是否为方程组的解 选择填空高频出题，易错点为漏代其中一个方程检验、解忘记加大括号 代入消元、加减消元法解二元一次方程组 能根据式子特征选用合适消元方法，规范完整求解二元一次方程组并自主验算 计算必考，以计算题形式考查，易错是去括号、符号运算出错 二元一次方程组实际应用题 能梳理题干等量关系，合理设未知数列方程组求解，结合实际取舍不合理答案 期末大题必考，常结合行程、工程、利润命题，易错漏写单位、忽略实际取值 三元一次方程组基础解法 能利用消元逐步把三元方程组转化为一元一次方程并正确求解 多以中档小题或拓展题出现，侧重考查逐级消元思想，整体考查频次偏低 知识点01 二元一次方程 1.定义 同时满足三个条件：①一共2个未知数；②含未知数的项次数都是1；③等式两边都是整式。 ·示例：是二元一次方程，不是（次数为2） 2.方程的解 能使等式成立的一组数值，单个二元一次方程有无数组解。 验证方法：把数值代入式子，左右相等即为方程的解。 知识点02 二元一次方程组 1.定义 由两个一共含两个未知数、未知数项次数为1的整式方程组合而成。 2.方程组的解 同时满足方程组里全部方程的公共解，书写必须加大括号。 检验：数值代入两个方程，全部成立才是方程组的解。 知识点03 二元一次方程组解法（核心：消元，二元变一元） 两种方法：代入消元法、加减消元法 解题步骤：①消去一个未知数，转化为一元一次方程；②求解一元一次方程，得到一个未知数； ③回代原式，算出剩余未知数；④规范写出方程组的解。 注意：解题两个方程至少各使用1次，算出结果可代回原题检验正误。 知识点04 二元一次方程组实际应用题 解题六步法：①审题，设两个未知数并带单位；②寻找两组等量关系式；③依据等量关系列方程组； ④解方程组；⑤结合现实检验结果，舍去不符合实际的解；⑥带单位规范作答。 提示：设几个未知数，就列几个方程。 知识点05 三元一次方程组解法 解题思路：三元→二元→一元，层层消元。 1.代入/加减消去一个未知数，得到二元一次方程组； 2.解二元方程组，求出两个未知数； 3.代回原式算出第三个未知数，大括号联立三组答案。 题型一 二元一次方程(组)的定义 例1．下列方程：①；②；③；④，其中二元一次方程的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①只含有1个未知数，是一元一次方程，不符合二元一次方程定义； ②含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ③含有两个未知数，且所有未知数次数都是1，是整式方程，符合二元一次方程定义； ④中项的次数是2，不符合要求，不是二元一次方程； ∴符合条件的二元一次方程共有2个． 变式1-1．方程是二元一次方程，则的值不可能是（     ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【详解】∵ 二元一次方程中必须含有两个未知数，原方程是二元一次方程 ， ∴ 的系数 ， 因此的值不可能是， 故选B． 变式1-2．下列方程属于二元一次方程的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：只含有1个未知数，属于一元一次方程，不符合二元一次方程的定义，故A不符合题意； 中，是分式，该方程不是整式方程，故B不符合题意； 中，项的次数是2，不是一次，故C不符合题意； 含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程的定义，故D符合题意． 变式1-3．若方程是关于x、y的二元一次方程，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程， ∴且， ∴，， ∴． 题型二 解二元一次方程组 例2．解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1)； (2) 【详解】（1）解：， 把①代入②，得，解得； 把代入①，得， ∴方程组的解为； （2）解：， ，得，解得； 把，代入①，得，解得； ∴方程组的解为. 变式2-1．关于，的二元一次方程组的解为_____． 【答案】 【详解】解： ②①，得： 合并同类项得 解得 把代入①，得： 解得 方程组的解为． 变式2-2．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 由得，， 将代入得，， 解得， 将代入得，， 则该方程组的解为； （2）解：， ，得， 解得， 将代入得，， 解得， 则该方程组的解为． 变式2-3．解方程组 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得：， 将代入①得：， 解得：， 因此，原方程组的解为； （2）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 因此，原方程组的解为． 题型三 解二元一次方程组（整体代入） 例3．已知方程组的解是，那么方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，， 解得，． 变式3-1．已知关于、的方程组的解为，则关于、的方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：整理待求方程组的第二个方程：， 移项得， 提取公因式得， 待求方程组可变形为， 方程组的解为， ，解得． 变式3-2．关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【答案】． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 变式3-3．阅读与思考： 下面是小宣同学数学笔记中的部分内容，请认真阅读并完成相应的任务： 整体代入消元法在利用“代入消元法”解完二元一次方程组后，小宣还想到了一种新的解法； 解：把看作整体代入①，得，解得．将代入②，得，所以原方程组的解为． 这种把看成一个整体进行代入消元解方程组的方法叫作“整体代入消元法”． (1)善于思考的小军在解方程组时， 选择将方程②进行变形，得到 把①代入③求得这个方程组的解 请思考上述小军同学的思路中，当成整体的是__________，从而求出这个方程组的解是__________． (2)请你利用“整体代入消元法”解方程组． 【答案】(1)， (2) 【分析】 【详解】（1）解： 将方程②进行变形，得到， 将①代入③得， 解得 将代入①得， 解得 ∴原方程组的解为：； （2）解：整理方程组得： 由②得③． 将③整体代入，得，解得， 将代入③，得， 解得． 所以原方程组的解为． 题型四 三元一次方程组 例4．解方程组得_______． 【答案】 【详解】解：， ，得 ， ，得 ，解得， 把代入，得，解得， 把代入，得 ，解得， 原方程组的解为． 变式4-1．已知，要使解法较为简便，应该（   ） A．先消去x B．先消去y C．先消去z D．先消去常数 【答案】B 【详解】解：将原方程组标记为， ∵可直接消去y，得到只含x，z的方程， 也可直接消去y，得到另一个只含x，z的方程， 两步即可将三元方程组转化为二元方程组，过程最简便， ∴先消去y的解法更简便，故选B． 变式4-2．已知，则的值为_____． 【答案】 【详解】解：， 得， ∴． 变式4-3．数学活动：探究不定方程： 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值． (1)小川的方法：整理可得：________； 整理可得：_______；∴ 小渝的方法：：__________________；∴． (2)已知，试求解的值． 【答案】(1)；； (2)3 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 题型五 已知二元一次方程(组)的解求参数 例5．已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：是二元一次方程组的解， ，解得， ． 变式5-1．已知是方程组的一组解，那么______． 【答案】 【详解】解：将代入方程组， 得， ，得， 解得， 将代入①，得， ∴方程组的解是， 所以． 变式5-2．关于x，y的方程组的解满足，则k的值是________． 【答案】 【详解】解：， 由得，， ∴， ∵， ∴， 解得． 变式5-3．小敏解方程组的解为，由于不小心，滴上了两滴墨水，刚好遮住了两个数，则和分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：∵方程组的解为， ∴把代入得， 解得， 即， 再把代入得， 即． 题型六 同解方程组 例6．若关于，的二元一次方程组的解与方程的一组解相同，则的值为________． 【答案】2 【详解】解：， 得， ∴， ∴． 变式6-1．若方程组与有相同解，则的值为（    ） A．2026 B． C．1 D． 【答案】C 【详解】解：由题意，得：， ，得：， ∴， 把代入②得：， ∴， 解得， 将代入，得， ，得， 解得：， 把代入④得， 解得：， ， ． 变式6-2．已知关于x，y的方程组与的解相同，求的值． 【答案】1 【详解】解：依题意可得， 解得． 把代入和中，可得方程组， 解方程组可得， ． 变式6-3．已知关于x、y的二元一次方程组与方程组有相同的解． (1)求出a、b的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】 【详解】（1）解：关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解． ∴二元一次方程组①与方程组有相同的解． 由①得：， ∴这两个方程组的相同解为； 将代入得， 解得：； （2）解：． 题型七 错解复原问题 例7．已知是一个被墨水污染的方程组．这个方程组的解与方程组的解相同；因为看错了第二个方程中的的系数，求出的解是，请你根据以上信息，把方程组复原出来． 【答案】 【详解】解：解方程组，得， 把代入，得，， 设方程组中含有▲的方程中的系数为，的系数为， 把和代入含有▲的方程得， 解得， 原方程组为． 变式7-1．在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∴正确的方程组是． 变式7-2．数学课上，在解方程组时，由于粗心，亮亮看错了方程组中的、解得，彤彤看错了方程组中的，解得， 根据上面的信息解答： (1)求出正确的的值； (2)求出原方程组的正确解． 【答案】(1) (2)． 【详解】（1）解：原方程组为：， 由题意得：将，代入②得： ， 解这个方程，得：， 将，代入①得：， 解这个方程，得：， ； （2）解：将代入原方程组：， 得： ， 解这个方程，得：， 将代入②：， 解这个方程，得：， 所以这个方程组的解是． 变式7-3．甲、乙两同学同时解方程，甲看错了，得到方程组的解为，乙看错了方程中的，得到方程的解为，计算的值． 【答案】 【详解】解：把代入得， 解得； 把代入得， 解得， 所以． 题型八 分配问题 例8．某公司承包工程项目需要运送货物，现有大小两种货车，辆大车与辆小车一次可以运货吨，辆大车与辆小车一次可以运货吨．请问大小两种货车每次各能运货多少吨？ 【答案】辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨 【详解】解：设辆大车一次运货吨，辆小车一次运货吨， 根据题意得：， 解得：， 答：辆大车每次可以运货吨，辆小车每次可以运货吨． 变式8-1．某玩具厂共有名生产工人，每个工人每天可生产玩具车架个或车轮个，如果个车架与个车轮配成一套，那么每天安排多少名工人生产车架，多少名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套？（利用二元一次方程组求解） 【答案】每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套 【详解】解：设每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮， 由题意得，， 解得， 答：每天安排名工人生产车架，名工人生产车轮，才能使每天生产出来的产品刚好配套． 变式8-2．疫情之下，我市组织300名医护人员支援威海各地抗疫活动，可以选用的车辆有小客车和大客车两种车型．已知租用2辆小客车和1辆大客车可载150人，租用1辆小客车和2辆大客车可载165人． (1)1辆小客车和1辆大客车分别可载多少人？ (2)要同时租用小客车和大客车两种车型，一次性将300名医护人员送到目的地．要使租用的车辆恰好都能坐满且不超载，则需租用的小客车和大客车数量分别为 （辆）． 【答案】(1)1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人 (2)4，2 【分析】 【详解】（1）解：设1辆小客车可载人，1辆大客车可载人， 根据题意可得： ， 解得， 答：1辆小客车可载45人，1辆大客车可载60人； （2）解：设租用小客车辆、大客车辆，均为正整数（需同时租用两种车型，因此都大于0）， 根据总人数列方程： ，化简得：， 变形得， ∵均为正整数， ∴仅当时，符合要求． 因此需要租用小客车4辆，大客车2辆． 变式8-3．综合与实践：设计制作纸盒方案 如图，有两种无盖纸盒，制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片和3个长方形纸片，竖式无盖纸盒需要1个正方形纸片和4个长方形纸片． 纸盒类型 正方形（张数） 长方形（张数） m个横式无盖纸盒 ① n个竖式无盖纸盒 n ② (1)现要制作横式无盖纸盒m个，竖式无盖纸盒n个，则表格中①应填_________；②应填_________．（用含m、n的式子表示） (2)现有长方形纸板340张，正方形纸板160张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完，求能做成的两种纸盒的个数； (3)工厂共有78名工人，每名工人一天能生产70张长方形纸板或100张正方形纸板，已知一个竖式纸盒与一个横式纸盒配套．如何分配工人，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ 【答案】(1)； (2)能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． (3)分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 【分析】 【详解】（1）解：∵制作横式无盖纸盒需要2个正方形纸片， 则制作横式无盖纸盒m个，则需要个正方形纸片， ∵竖式无盖纸盒需要4个长方形纸片． 则制作竖式无盖纸盒n个，则需要个长方形纸片， 故答案为：，． （2）解：能做成横式无盖纸盒x个，制作竖式无盖纸盒y个， ， 解得：， 答：能做成横式无盖纸盒60个，制作竖式无盖纸盒40个． （3）解：设分配x名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板， 则一天生产长方形纸板张，生产正方形纸板张， 设生产横式无盖纸盒k个，制作竖式无盖纸盒h个，配套要求， 根据题意得：， ∵， ∴原式变成， 解得：， ∴， 答：分配60名工人生产长方形纸板，名工人生产正方形纸板，才能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． 题型九 古代问题 例9．我国古代数学著作《算法统宗》中有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空，问有几房几客？”意思是：一批客人来到李三店中住宿，如果每间客房住人，那么有人无房可住；如果每间客房住人，那么就空出1间房．问有多少间客房，多少位客人．设有间客房，位客人，则下列方程组中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设有间客房，位客人， ∵每间客房住人，有人无房可住，总人数等于间房住的人数加上无房的人，可得， 整理得， ∵每间客房住人，空出间房，实际住了间房，总人数等于乘以实际使用房间数，可得， 即， ∴方程组为． 变式9-1．“曹冲称象”是流传很广的故事，现仿照其称重方法进行操作：将象牵到船上，并在船侧面标记水位，再将象牵出．准备若干重量相等的石块和两个体重相同的搬运工．第一次，往船上放置100块石块，船上留2个搬运工，水位恰好到达标记位置；第二次，向船上增加3块石块，船上留1个搬运工，水位也恰好到达标记位置．已知每个搬运工体重为150斤，设每块石块的重为斤，大象重为斤，下列说法错误的是（     ） A． B． C．该象重5150斤 D．每块石块重50斤 【答案】C 【详解】解：设每块石块重斤，大象重斤， 由第一次称重情况可得方程：， 故选项 A 说法正确； 由第二次称重情况可得方程：， 故选项 B 说法正确； 联立上述两个方程组成方程组：， ，解得 ， 将代入得：， 每块石块重斤，大象重斤； 故选项 D 说法正确，选项 C 说法错误. 变式9-2．《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空，实际使用车辆为，总人数等于乘使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 变式9-3．《九章算术》中记载；今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：若三人坐一辆车，则有两辆空车；若两人坐一辆车，则九人需要步行，请问人与车的数量各是多少？ 【答案】车有15辆，总人数有39人． 【详解】解：设车有辆，总人数为人， 由题意得：， 解得． 答：车有15辆，总人数有39人． 题型十 销售问题 例10．为推进校园智慧教育建设，学校为人工智能兴趣小组采购学习耗材，A耗材为AI编程传感器组件，B耗材为智能机器人拼装零件．已知采购套A耗材和套B耗材共需元，采购套A耗材和套B耗材共需元．求A耗材和B耗材的单价各是多少元． 【答案】 A耗材单价为元，B耗材单价为元 【详解】解：设A耗材的单价为元，B耗材的单价为元， 根据题意，得， 解得． 答：A耗材单价为元，B耗材单价为元． 变式10-1．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． 【答案】甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元 【详解】解：设甲型号健身器材的单价为x元，乙型号健身器材的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元． 变式10-2．某水果店购进一批柚子和橘子，用31元可以购进柚子和橘子，用12元可以购进柚子和橘子，求购进的这两种水果的单价． 【答案】 购进的柚子的单价为元，橘子为元． 【详解】解：设购进的柚子的单价为元，橘子为元， 根据题意可得：， 解得：， 答：购进的柚子的单价为元，橘子为元． 变式10-3．铁岭榛子以果实硕大、营养丰富而驰名省内外，银州区某榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子共130件，总费用为12000元，A包装的进价为80元/件，售价为120元/件，B包装的进价为100元/件，售价为150元/件． (1)该榛子商店购进A，B两种不同包装的榛子各多少件？ (2)该榛子商店将这130件榛子售完后获得的利润是多少元？ 【答案】(1)购进A包装的榛子50件，B包装的榛子80件 (2)6000元 【分析】 【详解】（1）解：设购进A包装的榛子x件，B包装的榛子y件， 由题意得， 解得， 即购进A包装的榛子50件，B包装的榛子80件； （2）解： （元） 即获得的利润是6000元． 题型十一 行程问题 例11．小亮和小文两家人假期乘出租车去郊区游玩．请你根据以下信息，利用方程组求出租车的起步价和超过后的里程费收费标准． 信息1：出租车起步价所包含的行驶里程不超过，超过的部分按一定标准收取里程费． 信息2：两家人乘车的路程和总费用 路程（） 总费用（起步价+里程费） 小亮一家 15 26.8 小文一家 13 23.6 【答案】出租车起步价为6元，超过后的里程费收费标准为每千米1.6元 【详解】解：设出租车的起步价是元，超过后的里程费收费标准是元． 由题意得 解得 答：出租车的起步价是6元，超过后的里程费收费标准是1.6元． 变式11-1．某人乘船顺流从地前往地，用时小时；逆流从地返回地，用时小时．已知两地相距千米，假设水流速度恒定不变，船速不变，则船在静水中的航行速度为________． 【答案】 【详解】解：设水速为、船速为，则 ， 由①②得 解得． 变式11-2．甲、乙两地相距，一艘轮船往返于两地，从甲地顺流航行到乙地用了，从乙地逆流航行回甲地用了，则这艘轮船在静水中的速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设轮船在静水中的速度为，水流速度为， 由题意可得：， 解得：， ∴这艘轮船在静水中的速度为． 变式11-3．某种自行车轮胎，若安装在前轮，行驶后报废；若安装在后轮，行驶后报废．小明新买了一辆自行车，同时安装了一对新轮胎（两个轮胎相同）． (1)如果小明在行驶一段路程后，将前、后轮胎交换位置，继续行驶直到两个轮胎同时报废．设交换前行驶了，交换后又行驶了．请根据题意，列出关于、的方程组． (2)计算和的值，并求出这辆自行车最多可以行驶多少千米． (3)如果小明希望在总行驶里程达到时恰好交换轮胎，并且交换后仍然继续行驶到两个轮胎同时报废．请问他的这个想法能否实现？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)，千米． (3)小明的这个想法不能实现，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设交换前行驶了，交换后又行驶了．则； （2）解； 整理得到 解得 ∴， 即这辆自行车最多可以行驶千米． （3）小明的这个想法不能实现，理由如下： 设交换前行驶了千米，则前轮磨损为，后轮磨损为， ∵， ∴在行驶到千米之前，后轮轮胎就已经报废，所以小明无法在行驶千米时交换轮胎， ∴小明的这个想法不能实现． 题型十二 工程问题 例12．某公司使用甲、乙两种文字生成软件，同时使用每秒钟可以生成400个字符的文章内容，升级后同时使用每秒钟可以生成450个字符的文章内容，其中甲软件生成字符效率比升级前增加，乙软件生成字符效率比升级前增加，求该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数． 【答案】该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个 【详解】解：设该公司使用的甲、乙两种文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符的个数为个 根据题意得， 解得. 答：该公司使用的甲、乙两种AI文字生成软件在升级前每秒钟分别可以生成字符100个，300个． 变式12-1．某地准备修建一条长为米的道路，由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天修路米，乙工程队每天修路米．如果两队同时施工，需要多少天能完成这条道路的修建？请列方程组求解． 【答案】两队同时施工，需要天才能完成 【详解】解：设甲工程队施工天，乙工程队施工天， 根据题意得：， 解得． 答：两队同时施工，需要天才能完成． 变式12-2．山西的老旧城区改造，在国家“城市更新行动”的指导下，已从单纯的“旧房翻新”升级为涵盖老旧小区、街区、城中村的综合整治与功能提升．为了提高居民生活质量，推动城市可持续性发展，某地对部分老旧城区进行改造，在改造工程中，有一条米的道路需要改扩建，现有甲、乙两个工程队分别施工修路，甲队每天修建米，乙队每天修建米，两队施工总时间是天，则甲、乙两个工程队分别修建了多少天？ (1)小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是___________，未知数表示的是_________； (2)小丽同学设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天．请你按照小丽的思路解答上面的问题． 【答案】(1)甲工程队修建道路的长度；乙工程队修建道路的长度 (2)甲工程队修建了天，乙工程队修建了天 【分析】 【详解】（1）解：小红同学根据题意，列出了二元一次方程组那么这个方程组中未知数表示的是甲工程队修建道路的长度，未知数表示的是乙工程队修建道路的长度； （2）解：设甲工程队修建了天，乙工程队修建了天， 据题意得， 解得， 答：甲工程队修建了天，乙工程队修建了天． 变式12-3．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． 题型十三 数字问题 例13．如图，若在以同一点为中心的三个三角形的顶点处填入个数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， 解得， ． 变式13-1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． 变式13-2．幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行每一列以及对角线上的3个数之和都相等，则图中________． 【答案】14 【详解】解：设右上角上的数为m，中间数为n，右下角上的数为b，如图所示： x 21 m 5 n 20 y b 根据题意得：， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 解得：， ∴． ． 变式13-3．我国古代夏禹时期的“洛书”（如图所示）就是一个三阶“幻方”（如图所示），观察图、图，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，即每行、每列和对角线的数字之和必须相等．在显示部分数据的新“幻方”（如图所示）中，求，的值． 【答案】，的值分别为，． 【详解】解：根据题意得， 解得， ∴，的值分别为，． 题型十四 图形问题 例14．在一个大长方形中放入六个完全相同的小长方形（阴影部分），所标尺寸如图所示，则每个小长方形的面积为______．    【答案】 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 由题意得，， 解得：， ∴每个小长方形的面积为． 变式14-1．如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，设每块墙砖的长为，宽为，则符合右侧图形的方程组是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设每块墙砖的长为 ，宽为 ∵3块横放的墙砖高度为，1块竖放的墙砖高度为 ∴ 可得方程：，即 ∵2块横放的墙砖高度为，2块竖放的墙砖高度为 ∴可得方程：，即 ∴ 联立可得方程组：． 变式14-2．将8个一样大小的小长方形进行拼图，可以拼成如图1所示的大长方形；或拼成如图2所示的大正方形，中间留下了一个边长为的小正方形，求小长方形的长和宽．若设小长方形的长为，宽为，则下列可列方程组________． 【答案】 【详解】解：依题意，得 ， 整理得． 变式14-3．将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 题型十五 方案问题 例15．某工业园区汽车制造厂开发了一款新式电动汽车，计划一年生产安装360辆，由于抽调不出足够的熟练工人来完成新式电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，他们经过培训后上岗，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：3名熟练工和2名新工人每月可安装24辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装21辆电动汽车． (1)每名熟练工和每名新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？（用二元一次方程组解答） (2)如果工厂招聘（）名新工人，在该厂抽调名熟练工，刚好能完成一年的安装任务，那么工厂有几种方案?请写出所有方案． 【答案】(1)每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车 (2)①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人 【分析】 【详解】（1）解：设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月安装y辆电动汽车， 根据题意得， 解得． 答：每名熟练工每月可以安装6辆电动汽车，每名新工人每月可安装3辆电动汽车； （2）解：设调熟练工m人， 由题意得，， 整理得，， ∵， ∴当，3，4时，，4，2， 即：①调熟练工2人，新工人6人；②调熟练工3人，新工人4人；③调熟练工4人，新工人2人． 变式15-1．随着交通安全意识的增强，居民开始积极购买头盔保障骑行安全．某商店购进A种头盔2个和种头盔4个共需270元，购进A种头盔4个和种头盔1个共需330元． (1)求A，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用450元购进A，两种头盔（A，两种头盔均购买），求该商店有多少种购买方案？ 【答案】(1)A种头盔的单价是75元，种头盔的单价是30元 (2)该商店共有2种购买方案 【分析】 【详解】（1）解：设种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 根据题意列方程组得 解得 答：种头盔的单价是75元，种头盔的单价是30元． （2）解：设购进种头盔个，种头盔个， 由题意得， 整理得． ，均为正整数， 或 答：该商店共有2种购买方案． 变式15-2．一句“云南咖啡还是代表着中国的”让云南咖啡的醇香飘向世界．昆明的一位咖啡店主决定从咖农手中采购甲、乙两种咖啡．如果购买1盒甲种咖啡和2盒乙种咖啡，共需花费210元；如果购买2盒甲种咖啡和1盒乙种咖啡，共需花费195元． (1)求甲、乙两种咖啡每盒的价格分别为多少元？ (2)店主采购甲、乙两种咖啡（两种咖啡均购买），费用恰好为900元，请问该店主有几种采购方案？并写出所有的方案． 【答案】(1)甲种咖啡每盒60元，乙种咖啡每盒75元 (2)共有2种采购方案，方案一：采购甲种咖啡5盒，乙种咖啡8盒；方案二：采购甲种咖啡10盒，乙种咖啡4盒 【分析】 【详解】（1）解：设甲种咖啡每盒元，乙种咖啡每盒元． 根据题意得， 解得． 答：甲种咖啡每盒60元，乙种咖啡每盒75元； （2）解：设采购甲种咖啡盒，则采购乙种咖啡盒（，均为正整数）． 根据题意得， 整理得， ∵，均为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴该店主有2种采购方案， 即方案一：采购甲种咖啡5盒，乙种咖啡8盒； 方案二：采购甲种咖啡10盒，乙种咖啡4盒． 变式15-3．某乡镇助农服务站计划将当地种植的草莓和蔬菜打包运往市区商超，现准备调配两种型号的冷链配送车．已知用2辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载一次可运货10箱；用1辆小型冷链车和2辆中型冷链车满载一次可运货11箱． (1)1辆小型冷链车和1辆中型冷链车满载时分别可运货多少箱？ (2)服务站打包好后共有35箱农产品，需要一次性运往市区，计划租用小型冷链车辆，中型冷链车辆（，均为正整数），每辆车都载满货物； ①请你帮该服务站列出所有符合条件的租车方案； ②若小型冷链车每辆每次的运输成本为85元，中型冷链车每辆每次的运输成本为110元，请写出最省钱的方案，并算出最少运输成本是多少元？ (3)在（2）的基础上，农户又临时增加箱农产品（为正整数），服务站发现：如果把其中1辆小型冷链车换成一辆中型冷链车，恰好能一次性运完（每辆车均满载），直接写出农户又临时增加多少箱农产品． 【答案】(1)1辆小型冷链车满载时可运3箱，1辆中型冷链车满载时可运4箱； (2)①共有3种租车方案：方案1：小型冷链车1辆，中型冷链车8辆；方案2：小型冷链车5辆，中型冷链车5辆；方案3：小型冷链车9辆，中型冷链车2辆；②最省钱的方案是租用小型冷链车1辆，中型冷链车8辆，最少运输成本是965元； (3)农户又临时增加1箱农产品． 【分析】 【详解】（1）解：1辆小型冷链车满载时可运货箱，1辆中型冷链车满载时可运货箱， 可列式为， 解得， 答：1辆小型冷链车满载时可运货箱，1辆中型冷链车满载时可运货箱． （2）解：①由题意可列式， 运输成本为， ∵为奇数，均为正整数， ∴为偶数，为奇数，即为奇数； 当时，； 当时，； 当时，； ∴共有3种租车方案： 方案1：小型冷链车1辆，中型冷链车8辆； 方案2：小型冷链车5辆，中型冷链车5辆； 方案3：小型冷链车9辆，中型冷链车2辆； ②由①得： 当时，，（元）； 当时，，（元）； 当时，，（元）； 最省钱的方案是租用小型冷链车1辆，中型冷链车8辆，最少运输成本是965元； （3）解：由（2）知，原来小型冷链车1辆，中型冷链车8辆， 将辆小型冷链车换成辆中型冷链车，此时运货量为（箱）， ∴货运量增加（箱）， ∴农户又临时增加箱农产品． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．方程组的解为，则和的值分别是多少（     ） A．1、2 B．5、1 C．1、5 D．2、4 【答案】B 【详解】解：把代入方程中，得，解得，即的值是1； 把，代入方程中，得， B选项符合． 2．把方程写成用含的代数式表示的形式为________． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∴． 3．（2024·25七年级上·安徽淮南·期末）“九宫图”传说是远古时代洛河中的一个神龟背上的图案，故又称“龟背图”，中国古代数学史上经常研究这一神话．数学上的“九宫图”所体现的是一个表格，每一行的三个数，每一列的三个数，斜对角的三个数之和都相等，也称为三阶幻方，如图是一个满足条件的三阶幻方的一部分，则的值为_________． 【答案】 【详解】解：从右上角到左下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 第一列三个数分别为、、， ， 解得：， 从左上角到右下角的对角线上的三个数分别为、、， ， 解得：， ． 4．（2025·26七年级下·山东济宁·期末）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 由①得③， 将③代入②，得，解得， 把代入③，得， 方程组的解为． 5．（2025·26七年级下·河南新乡·期中）数学老师在黑板上出了一道习题，解方程组． 以下是小华的解题步骤： 解：②①，得，第一步 解得：第二步 把代入①，得第三步 所以这个方程组的解为第四步 (1)小华解方程组的方法是______消元法； (2)以上解法，从第______步开始出错； (3)请你用正确的方法解这个方程组． 【答案】(1)加减 (2)三 (3)见解析 【详解】（1）解：由题意知，小华的方法是加减消元法； （2）解：由题意知，以上解法，从第三步开始错误； （3）解： ②①，得， 解得 把代入①， 解得 所以这个方程组的解为． 6．（2024·25七年级上·西藏·期末）已知方程组的解也是关于的方程的一组解，求 a的值． 【答案】 【详解】解：， 得，解得， 将代入得，解得， 则方程组的解为， 方程组的解也是方程的一组解， ， 解得． 7．（2025·26七年级下·河南开封·期中）某港口码头使用，两种型号的机器人搬运货物，在内，3台型机器人和2台型机器人共搬运货物，且每台型机器人比型机器人多搬运货物． (1)每台型机器人和每台型机器人的搬运量分别是多少？ (2)若安排10台型机器人和12台型机器人，求这些机器人内的总搬运量是多少吨？ 【答案】(1) 每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是 (2) 这些机器人内的总搬运量是 【分析】 【详解】（1）解：设每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是， 则有， 解得， 答：每台型机器人的搬运量是，每台型机器人的搬运量是； （2）解：， 答：这些机器人内的总搬运量是． 8．（2025·26八年级上·陕西西安·期末）我校为奖励在数学学科活动《数算逐光，智启新程》中获奖的同学，年级组委派张老师购买一批钢笔和笔记本作为奖品．张老师到文具店看了商品后，决定在钢笔和笔记本中选择奖品．如果买3本笔记本和2支钢笔，需要94元；如果买5本笔记本和1支钢笔，需要110元． (1)求每本笔记本和每支钢笔的售价分别为多少元． (2)张老师恰好用720元购进笔记本和钢笔（两者都要购买）．请帮张老师写出有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； (2)共有3种购买方案：方案1：购买10本笔记本，27支钢笔；方案2：购买20本笔记本，18支钢笔；方案3：购买30本笔记本，9支钢笔 【分析】 【详解】（1）解：设每本笔记本的售价为x元，每支钢笔的售价为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：每本笔记本的售价为18元，每支钢笔的售价为20元； （2）解：设购买m本笔记本，n支钢笔， 根据题意得：， ∴， 又∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴共有3种购买方案： 方案1：购买10本笔记本，27支钢笔； 方案2：购买20本笔记本，18支钢笔； 方案3：购买30本笔记本，9支钢笔． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 9．（2025·26七年级下·安徽芜湖·期末）二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：方程可化为， ∵、均为正整数， 当时，；当时，， 方程的正整数解为，，有2个． 10．（2024·25八年级上·四川成都·期末）某商家将蓝牙耳机、多接口优盘、迷你音箱共22个，搭配为A，B，C三种盲盒各一个．其中A盒中有2个耳机，3个优盘，1个音箱；B盒中耳机与音箱的数量之和等于优盘的数量，耳机与音箱的数量之比为；C盒中有1个耳机，3个优盘，2个音箱．经核算，A盒的价值为145元，B盒的价值为245元，则C盒的价值为 _______元． 【答案】155 【详解】解：由题意得，A盲盒物品总数为个，C盲盒物品总数为个， 因此B盲盒物品总数为个； 设B盲盒中蓝牙耳机数量为，迷你音箱数量为， 由B盲盒中蓝牙耳机与迷你音箱的数量之和等于多接口优盘的数量，得多接口优盘数量为， 因此，解得， 即B盲盒中有蓝牙耳机3个，多接口优盘5个，迷你音箱2个； 设一个蓝牙耳机成本为元，一个多接口优盘成本为元，一个迷你音箱成本为元， 根据题意列方程组得： 得：， 变形得， 将代入得： ， 整理得， ∴C盲盒的价值为，将代入得： ． 11．（2025·26七年级下·福建龙岩·期中）2026年福建掀起了足球热，举办闽超．龙岩市某中学为了响应“足球进校园”的号召，在商场购买A、B两种品牌的足球，已知购买一个B品牌足球比购买一个A品牌足球多30元，购买2个A品牌足球和3个B品牌足球共需340元． (1)求购买一个A品牌足球和一个B品牌足球各需多少元？ (2)该学校决定购买A种品牌足球m个，B品牌足球n个，并且A种品牌足球个数少于B种品牌足球，如果此次购买A、B两种品牌足球总费用为1050元，那么该中学购进A、B品牌足球多少个，请你设计购买方案． 【答案】(1)购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元 (2)学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个 【分析】 【详解】（1）解：设购买一个A品牌足球需要x元，购买一个B品牌足球需要y元， 依题意得：， 解得：． 答：购买一个A品牌足球需要50元，购买一个B品牌足球需要80元． （2）解：根据题意得：， 即且． ∵105的个位数是5，m、n均为正整数，个位数为或， ∴的个位数得为或， ∵偶数，且是正整数， ∴的个位数只能为0， ∴是5的倍数， 当时，，与题意不符，舍去； 当时，，，符合题意； 当时，，与题意不符； ∴． 答：学校有1种购买足球的方案，购买A品牌足球5个、B品牌足球10个． 12．（2023·24七年级下·湖南衡阳·期中）我们在解二元一次方程组时，若假设，则原方程组可化为，解之得，即，解之得，在上面的解题过程中，我们把某个式子看成一个整体，并且用一个字母去替代它，像这种解方程组的方法叫作换元法． (1)已知关于、的二元一次方程组的解为，求关于、的二元一次方程组的解； (2)请用上面的换元法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：设， 则原方程组可化为， ， 解得：； （2）设， 则原方程组可化为， 化简整理得， 解得：， ， 解得． 13．（2023·24七年级下·河南商丘·期末）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得． (1)求正确的的值； (2)求原方程组的正确解． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． （2）解：由（1）得：原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 14．（2025·26九年级下·重庆铜梁·期末）若实数，同时满足，，则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ ∴， 由可得，， 当时，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，， ∴，不符合题意； ∴． 15．（2025·26七年级上·湖北武汉·期末）某学校知识竞赛共18轮，每轮胜一场积分、负一场积分均不变（无平局情况），如表记录了A、B、C、D4名参赛者前5轮积分情况．若18轮结束后，参赛者胜场数是负场数的偶数倍，则参赛者B总积分是___________． 参赛者 胜场数 负场数 积分 A 4 1 19 B 3 2 13 C 3 2 13 D 2 3 7 【答案】54或78/78或54 【分析】 【详解】解：设胜一场得分，负一场得分． 由A（4胜1负积分19）得： 由D（2胜3负积分7）得： 解方程组：， 得， 故胜一场得5分，负一场得分． 设B在18轮后胜场数为，负场数为，则，且（为正偶数）． 代入得，． 为18的正因数，且为偶数，为奇数． 18的正因数有1、2、3、6、9、18． 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，是偶数； 时，不是偶数； 时，不是正偶数，故无效． 因此或． B总积分． 若，则； 若，则． 故答案为：54或78． 16．（2024·25七年级下·吉林长春·期末）根据图中给出的信息，解答下列问题： (1)放入一个小球水面升高______，放入一个大球水面升高______． (2)如果同时放入大小两种球，使水面上升到，列出放入大球、小球个数的关系式，并写出所有可能情况． 【答案】(1)； (2)，共有种放入方式，方案：放入个小球，个大球；方案：放入个小球，个大球；方案：放入个小球，个大球 【分析】 【详解】（1）解： ； ． （2）解：设放入个小球，个大球，依题意得： ， ， 又，均为正整数， 或或， 共有种放入方式， 方案：放入个小球，个大球； 方案：放入个小球，个大球； 方案：放入个小球，个大球． 17．（2024·25七年级下·广西南宁·期末）某运输部门规定：办理托运，当一种物品的重量不超过16千克时，需付基础费30元和保险费元；为限制过重物品的托运，当一件物品超过16千克时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付元超重费．设某件物品的重量为千克． (1)当时，支付费用为________元（用含的代数式表示）；当时，支付费用为________元（用含和、的代数式表示）； (2)甲、乙两人各托运一件物品，物品重量和支付费用如下表所示． 物品重量（千克） 支付费用（元） 18 39 25 60 ①试根据以上提供的信息确定，的值． ②试问在物品可拆分的情况下，用不超过120元的费用能否托运50千克物品？若能，请设计出其中一种托运方案，并求出托运费用；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①，；②能；将物品拆成三件：两件均为16千克，另一种为18千克，费用为105元． 【分析】 【详解】（1）解：依题意知当某件物品之类时，支付费用元； 当时，支付费用为元． （2）解：①由题意得 解得，． ②将物品拆成三件：两件均为16千克，另一件为18千克， 则所需费用为： ∵， ∴用不超过120元的费用能托运50千克物品． 18．（2025·26六年级下·上海金山·阶段检测）阅读材料：对于未知数为x、y的二元一次方程组，将定义为“方程组的解距”，当解距为1时，我们就说方程组的解具有“单位差” (1)判断方程组的解是否具有“单位差”，并说明理由； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”，求a的值； (3)若关于x、y的二元一次方程组的解距是整数，直接写出所有满足条件的整数k的值为________． 【答案】(1)方程组的解具有“单位差”；理由见解析 (2)或 (3)或或或 【分析】 【详解】（1）解：方程组的解具有“单位差”，理由如下： ， ，得， 将代入得，， 解得， ∴， ∴方程组的解具有“单位差”； （2）解：， 得，， ∴， ∴由可得， ∵关于x，y的二元一次方程组的解具有“单位差”， ∴， 解得或； （3）解：， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， ∴ ∴解距， ∵关于x，y的二元一次方程组的解距是整数， ∴或， 解得或或或． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $